2022年中考数学压轴题押题含解析

2022年中考数学压轴题

1.在平面直角坐标系中，点4是)，轴上一点，其坐标为(0,6),点B在x轴的正半轴上.点

P,。均在线段AB上，点P的横坐标为加，点。的横坐标大于相，在△PQM中，若PM

〃x轴，QM〃y轴，则称△PQM为点P,。的“肩三角形.

(1)若点8坐标为(4,0),且机=2,则点P,8的“肩三角形”的面积为1；

(2)当点P,。的“肩三角形”是等腰三角形时，求点8的坐标；

(3)在(2)的条件下，作过O,P,2三点的抛物线y=a?+bx+c

①若M点必为抛物线上一点，求点P,Q的“肩三角形”面积S与m之间的函数关系式，

并写出自变量，”的取值范围.

②当点尸，Q的“肩三角形”面积为3,且抛物线=/+6x+c与点尸，。的“肩三角形”

恰有两个交点时，直接写出机的取值范围.

解：(1)如图1,VA(0,6),B(4,0),

直线AB解析式为y=—|-x+6

JL

*：m=2

：.P(2,3)

轴，QM〃y轴，

：.M(4,3),NPMB=90°

:.PM=2,BM=3

・・・点尸，5的“肩三角形”△2出的面积=23侬=/2X3=3；

(2)如图2,根据题意，得MP=M。，NPMQ=90°,

：.ZMPQ=45°,

AZABO=45°,

：.OB=OA=69

・,•点8的坐标为(6,0)；

(3)如图3,①首先，确定自变量取值范围为0(根＜3,

由(2)易得，线段43的表达式为y=6-X,

・•・点尸的坐标为3n,6-m),

•.•抛物线＞=/+版+。经过O,3两点，

・・・抛物线的对称轴为直线x=3,

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・••点M的坐标为(6-m,6-/n),

；.PM=(6-m)=6-2"?,

S=|PM2=1X(6-2m)2=2序-12m+18；

②当点P在对称轴左侧，即w<3时，•.•点P,Q的“肩三角形”面积为3,

由①得：2Mz2-12加+18=3,

解得："2=3-孚

当点P在对称轴上或对称轴右侧，即机23时，PM=V6

••M("?+乃,6-团),Q(m+述,6—V6—tn)

・・,抛物线=/+笈+。与点P,。的“肩三角形”恰有两个交点

二上一…解得:-遍

综上所述，加的取值范围为：m=3—苧或3一遍.

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2.图①，二次函数(〃W0)的图象经过点4(-1,0),并且与直线y=3-2

相交于坐标轴上的3、C两点，动点尸在直线3C下方的二次函数的图象上.

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图①，连接PC,PB,设△PCB的面积为S,求S的最大值；

(3)如图②，抛物线上是否存在点Q,使得/A8Q=2NA8C?若存在，则求出直线8。

的解析式及。点坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)对于直线y=g-2,

令x=0,则y=-2,

1

令y=0,即一天-2=0,解得：x=4,

•2

故点3、C的坐标分别为(4,0)、(0,-2),

抛物线过点A、3两点，则)，=〃(1+1)(x-4),

将点C的坐标代入上式并解得：«=i

故抛物线的表达式为尸p-fx-2①；

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(2)如图2,过点P作/〃y轴交BC于点H,

图1

1a1

设点P(x,-V2—-2)»则点，(x,-x-2),

S=SAPHB+S»HC=*PH,(XB-xc)=x4X(-%-2—；/+|^+2)=-/+4x,

V-1<0,故S有最大值，当x=2时，S的最大值为4；

(3)①当点。在BC下方时，如图2,

延长8Q交),轴于点H,过点C作SCL2C交x轴于点R,交BQ于点S,过点S作SK

_Lx轴于点K,

'：ZABQ=2ZABC,则BC是NA8H的角平分线，则△RSB为等腰三角形，

则点C是RS的中点，

设RC=x=SB应改为RC=x=CS.

r\rinr

在△BOC中，tan/O8C=^=/=tan/ROC=等，

贝ij设RC=x=CS,贝ijBC=2x,贝I」RB=心+(2x)2=届=/s,

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11114-Y

在△SRB中，S^RSB=1XSR-BC=|xBR-SK,即yx2x2=•底，解得：KS=至，

4x

sinZRBS==-y=-=则tanNH3H=2，

Bby/Sx53

在RtZi08"中，OH=O8・tan/RBH=4x1=^,则点”(0,一争，

由点8、H的坐标得，直线BH的表达式为尸寺(x-4)②，

联立①②并解得：x=4(舍去)或|,

当x=|时，产-等故点Q(|,一管；

②当点。在8c上方时，

同理可得：点。的坐标为(一1争1―92);

综上，点Q的坐标为.，-学)或(-

3.如图，抛物线y=-7+bx+c与x轴交于点A(-1,0),8(3,0),与y轴交于点C.点

。是直线8C上方抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接B。、CD,设点。的横坐标为a,△BCQ的面积为s.试求出s与机

的函数关系式，并求出s的最大值；

(3)如图2,设4B的中点为E,作。F1.BC,垂足为尸，连接CC、CE,是否存在点。，

使得以C、D,尸三点为顶点的三角形与△CE。相似？若存在，请直接写出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

图1图2

解：(1):抛物线y=-7+&v+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0)

.•.y=-(x+1)(x-3)=-W+2x+3

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，抛物线解析式为y=-f+2x+3

(2)过点。作。M〃y轴，交8c于点M

当x=0时，，>-=-?+2x+3=3

：.C(0,3)

...直线BC解析式为y=-x+3

.'.D(m,-n^+2m+3),M(m,-，〃+3)

DM=-n^+2m+3-(-nz+3)=-m2+3/M

13、3TQ33,27

.'.5=-^OB*DM=2(~nr+3m)=-^m一+亍”二一(.m—^~+®(0<w<3)>

；.s与m的函数关系式为s=—^m2+^in,s的最大值为

(3)存在点£>,使得以C、D,尸三点为顶点的三角形与△CEO相似

如图2,连接8。

设点力的横坐标为m,

;点E为AB中点，4(-1,0),B(3,0),C(0,3)

\£(1,0),OE=1,OC=3,CD2=m2+(-m2+2m+3-3)2

CE=yJOE2+OC2—Vl2+32-V10

••/“r0E1同oc33710

•smN℃EF=kWcosZOC£=^=-/==^-

：BC=y]OB2+OC2=3V2,DFVBC

•.由(2)知，面积s=4BUOF=—|机2+京

,,DF=^=—377i2+9m_—m2+3m

372——质~一

.♦以C、D,尸三点为顶点的三角形与△CEO相似，NCFD=NCOE=90°

\/\CFD^/\COE或△CFQs△£；6%;

①若ACFDSACOE,则/FCD=/OCE

；.sin/FC£>=若=袈

A10DF2=CD2

2

-m+3mIDoo

/.10(---T=--)2=/w2+(-nr+2m)2

V2

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解得：m\=4（舍去），m2=1

•••一62+2/九+3=—--F5+3=4

57

•*.D（一，一）

24

②若ACFDsAEOC,则Nb£>C=NOCE

・DF3同

••COSz_r£）C==­]0

・・・\0DF2=9CD2

-m2+3m

A10（——尸一）20=9[加02+（-m20+2加）02]

72

解得：如=0（舍去），加2=]

-渥+2加+3=-W+3+3=竽

57315

・,•点。的坐标为（一，一）或（一，一）.

2424

y个

4.如图，A8是。。的直径，点C是。。上一点（与点A,8不重合），过点C作直线P。,

使得NACQ=NA8C.

（1）求证：直线尸。是。。的切线.

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1

(2)过点A作A"PQ于点£),交。。于点E,若00的半径为2,sin/D4C=与求

图中阴影部分的面积.

解：(1)证明：如图，连接0C,

是。。的直径,

AZACB=90°,

'：OA=OC,

.'.ZCAB^ZACO.

直线PQ是。。的切线.

(2)连接0E,

VsinZDAC=1,ADA.PQ,

：.ZDAC^30°,ZACD=60°.

：.ZABC=ZACD=60°,

/.ZCAB=90°-60°=30°,

NEAO=ZDAC+ZCAB=6^,

5L'：OA=OE,

...△AEO为等边三角形，

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AZAOE=60°.

二・S阴影=S扇形-SAAEO

=S扇形—^0/4•OE*sin600

=HUX22-IX2X2XT

=胃一遮,

...图中阴影部分的面积为早-V3.

5.如图，在AABC中，NACB=90°,将△ABC沿直线A3翻折得到△ABD,连接C£)交

AB于点M.E是线段CM上的点，连接BE.b是△B£>E的外接圆与4。的另一个交点，

连接EF,BF.

(1)求证：ABEF是直角三角形；

(2)求证：△BEFsaBCA；

(3)当A8=6,8C=m时，在线段CM上存在点E,使得EF和A8互相平分，求m的

值.

备用图

(1)证明：•.•/ACBngO。，将AABC沿直线AB翻折得到△AB。,

.•./ADB=NACB=90°,

NEFB=ZEDB,NEBF=ZEDF,

：.NEFB+NEBF=ZEDB+ZEDF=ZADB=90a,

AZB£F=90°,

...△BEF是直角三角形.

(2)证明：:BC=BD,

/BDC=ZBCD,

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•:/EFB=NEDB,

：.ZEFB=ZBCD9

*：AC=AD,BC=BD,

C.ABVCD,

：.ZAMC=90°,

VZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90Q,

・・・NBCD=NCAB,

工NBFE=NCAB,

VZACB=ZFEB=90°,

:.ABEFsABCA.

(3)解：设所交A8于，.连接AE.

YE/与A8互相平分，

・・・四边形AFBE是平行四边形，

；・NEFA=NFEB=90°,B|JEF1AD,

：.EF//BD,

;AJ=JB,

：.AF=DFf

：.FJ=1BD=y,

:・EF=)n,

・.,AABCs/XCBM,

：.BC：MB=AB：BC,

巾2

：.BM=*,

6

♦:丛BEJsABME,

:.BE：BM=BJ：BE,

■喷

■:△BEFsXBCA,

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ACBC

EF—BE'

„V36-m2m

即--------=-m>

解得，"=28（负根已经舍弃）.

6.如图1,已知四边形A8CO是菱形，G是线段CC上的任意一点时，连接BG交AC于凡

FHFG

过尸作";〃CO交8C于"‘可以证明结论方=茄成立.（考生不必证明）

（1）探究：如图2,上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是

否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

（2）计算：若菱形ABCD中AB=6,/AOC=60°,G在直线CD上，且CG=16,连

接BG交AC所在的直线于F,过尸作/〃C。交8C所在的直线于H,求8G与尸G的

长.

FG、

=—还成立吗？

BG

【解答】解:⑴结喘喘成立

证明：由己知易得产〃〃4B,

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.FHHC

AB-BC

HCFG

\*FH//GC,

BC~BG

.FHFG

9AB-BG

(2)YG在直线CQ上，

，分两种情况讨论如下：

①G在CD的延长线上时，0G=10,

如图1,过8作伙于。，

由于四边形ABCZ)是菱形，ZADC=60°,

:・BC=AB=6,NBCQ=60°,

:,BQ=35CQ=3,

：.BG=J192+(3V3)2=2V97.

「.iJHBH

又由FH//GC,可得一=—,

GCBC

而4。可是等边三角形，

：.BH=BC-HC=BC-FH=6一FH,

.FH6-FH

…16—6

48

：.FH=

Tl,

FHFG

由(1)知一=

AB茄'

FHBG

：.FG=

AB善Q质=持防

②G在。C的延长线上时，CG=16,

如图2,过8作8Q_LCG于。，

；四边形A8C£＞是菱形，NAOC=60°,

：.BC=AB=6,/BCQ=60°.

:.BQ=3用,CQ=3.

：.BG=132+(3>/3)2=14.

FHBH

又由FH//CG,可得—=—，

GCBC

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•FHB__H

••—.

166

♦：BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

U：FH//CG,

BFFH

BGCG

4842

・・・8产=14乂即+16=左

・”_i心42112

..FG_14+_=_

FH488

⑶G在。C的延长线上时，-=T-6=?

结合上述过程，发现G在直线C£＞上时，结论一=k'还成立.

7.如图，在平面直角坐标系中，OB_LOA,且08=