考研数学二(解答题)模拟试卷9(题后含答案及解析)

考研数学二（解答题）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：涉及知识点：高等数学2．设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A-1；(2)二次型g(x)=xTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．正确答案：(1)f(X)=(x1，x2，…，xn)因秩(A)=n，故A可逆，且A-1=A*，从而(A-1)T=(AT)-1=A-1，故A-1也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为(2)因为(A-1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，所以A与A-1合同，于是g(X)与f(x)有相同的规范形．涉及知识点：二次型3．设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f’(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)．正确答案：由f’(x)=ef(x)两边求导数得f”(x)=ef(x)．f’(x)=e2f(x)，两边再求导数得f”‘(x)=e2f(x)2f’(x)=2e3f(x)，两边再求导数得f(4)(x)=2e3f(x)3f’(x)=3!e4f(x)，由以上规律可得n阶导数f(n)(x)=(n一1)!enf(x)，所以f(n)(2)=(n—1)!en．涉及知识点：一元函数微分学4．求下列不定积分：(Ⅰ)∫secχdχ；正确答案：涉及知识点：一元函数积分概念、计算及应用5．设f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)＞0，f’-(b)＞0，f(a)≥f(b)，求证：f’(x)在(a，b)至少有两个零点．正确答案：f(x)在[a，b]的连续性，保证在[a，b]上f(x)至少达到最大值和最小值各一次．由f(a)≥f(b)得，若f(x)的最大值在区间端点达到，则必在x=a达到．由f(x)的可导性，必有f’+(a)≤0，条件f’+(a)＞0表明f(x)的最大值不能在端点达到．同理可证f(x)的最小值也不能在端点x=a或x=b达到．因此，f(x)在[a，b]的最大值与最小值必在开区间(a，b)达到，于是最大值点与最小值点均为极值点．又f(x)在[a，b]可导，在极值点处f’(x)=0，所以f’(x)在(a，b)至少有两个零点．涉及知识点：微分中值定理及其应用6．求｜z｜在约束条件下的最大值与最小值．正确答案：｜z｜的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2x2)+μ(x+3y+3z一5)．令涉及知识点：多元函数微积分学7．设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．正确答案：(1)因为α1，α2，β1，β2线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，或k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2．令γ=k1α1+k2α2=-l1β1-l2β2，因为α1，α2与β1，β2都线性无关，所以k1，k2及l1，l2都不全为零，所以γ≠0．(2)令k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0，A=(α1，α2，β1，β2)=所以γ=kα1-3kα2=-kβ1+0β2．涉及知识点：线性代数8．求正常数a、b，使正确答案：a=2，b=1涉及知识点：高等数学9．求y”一y=e|x|的通解．正确答案：自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一∞，0)∪[0，+∞)分成两个方程，分别求解．由于y”=y+e|x|在x=0处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在x=0处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解．当x≥0时，方程为y”一y=ex，求得通解y=C1ex+C2e一x+xex．当x＜0时，方程为y”一y=e一x，求得通解y=C3ex+C4e一x一xe一x．因为原方程的解y(x)在x=0处连续且y’(x)也连续，据此，有其中C1，C1为任意常数．此y在x=0处连续且y’连续．又因y”=y+e|x|，所以在x=0处y”亦连续，即是通解．涉及知识点：微分方程10．设X1，X2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量．证明：X1+X2不是A的特征向量．正确答案：反证法不妨设X1+X2是A的属于特征值λ的特征向量，则有A(X1+X2)=λ(X1+X2)，因为AX1=λ1X1，AX2=λ1X2，所以(λ1-λ)X1+(λ2-λ)X2=0，而X1，X2线性无关，于是λ1=λ2=λ矛盾，故X1+X2不是A的特征向量．涉及知识点：线性代数部分11．设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中φ(x)=试求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)，(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．正确答案：涉及知识点：高等数学12．An×n(α1，α2，…，αn)，Bn×n＝(α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1)，当r(A)＝n时，方程组BX＝0是否有非零解?正确答案：B＝(α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1)＝(α1，α2，…，αn)由r(A)＝n可知｜A｜≠0，而｜B｜＝｜A｜＝｜A｜[1＋(－1)n+1]，当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX＝0只有零解；当n为偶数时，｜B｜＝0，方程组BX＝0有非零解．涉及知识点：线性方程组13．已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．正确答案：由α1=2α2一α3及α2，α3，α4线性无关知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，且对应齐次方程AX=0有通解k[1，一2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4]故非齐次方程有特解η=[1，1，1，1]T，故方程组的通解为k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1]T．涉及知识点：线性代数14．已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．(1)求a．(2)求作正交变换X=QY，把f(x1，x2，x3)化为标准形．(3)求方程f(x1，x2，x3)=0的解．正确答案：(1)此二次型的矩阵为则r(A)=2，｜A｜=0．求得｜A｜=-8a，得a=0．(2)｜λE-A｜==λ(λ-2)2，得A的特征值为2，2，0．对特征值2求两个正交的单位特征向量：得(A-2E)X=0的同解方程组x1-x2=0，求出基础解系η1=(0，0，1)v，η2=(1，1，0)T．它们正交，单位化：α1=η1，α2=方程x1-x2=0的系数向量(1，-1，0)T和η1，η2都正交，是属于特征值0的一个特征向量，单位化得α3=作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则QTAQ=作正交变换X=QY，则f化为Y的二次型f=2y12+2y22．(3)f(X)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32．于是f(x1，x2，x3)=0求得通解为：，c任意．涉及知识点：二次型15．设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)≠0，求正确答案：由涉及知识点：函数、极限、连续16．求下列不定积分：正确答案：(1)令则x=1一t2，dx=一2tdt，于是(2)涉及知识点：一元函数积分学设X～b(25，p1)，Y～b