人教A版高中数学选修2-1全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-1全册

同步测控知能训练题集

目录

第1章1.1.1知能优化训练

第1章1.1.3知能优化训练

第1章1.2知能优化训练

第1章L3知能优化训练

第1章L4知能优化训练

第2章2.L1知能优化训练

第2章2.1.2知能优化训练

第2章2.2.1知能优化训练

第2章2.2.2第一课时知能优化训练

第2章2.2.2第二课时知能优化训练

第2章2.3.1知能优化训练

第2章2.3.2知能优化训练

第2章2.4.1知能优化训练

第2章2.4.2知能优化训练

第3章3.1.1知能优化训练

第3章3.1.2知能优化训练

第3章3.1.3知能优化训练

第3章3.1.4知能优化训练

第3章3.1.5知能优化训练

第3章3.2.1知能优化训练

第3章3.2.2知能优化训练

高中数学选修2-1知能训练（人教A版）

知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.下列语句是命题的是（）

A.梯形是四边形B.作直线45

C.*是整数D.今天会下雪吗

答案：A

2.下列命题是真命题的为（）

A.武=:，贝（Jx=y

B.若*2=1,贝!]尤=1

C.若*=了，则血=4

D.若则/勺2

解析：选A.由：=：,得x=j,A正确，B、C、D错误.

xy

3.判断下列命题的真假：

①3,3：；

②100或50是10的倍数：.

答案：①真命题②真命题

4.写出命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件p和结

论q.

解：条件p：一个函数的图象是一条直线；

结论.这个函数为一次函数.

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.下列语句不是命题的有（）

①2<1；②xvl；③若x<2,则xvl；

④函数./（x）=x2是R上的偶函数.

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.

2.下列命题是真命题的是（）

A.{0}是空集

B.{xGN||x-l|<3}是无限集

cn是有理数

D./-5*=0的根是自然数

解析：选DJ?—5X=0的根为Xi=0,X2=5,均为自然数.

3.（2010年高考山东卷）在空间，下列命题正确的是（）

A.平行直线的平行投影重合

B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行

答案：D

4.下列命题中真命题的个数为（）

①面积相等的两个三角形是全等三角形；

②若孙=0,则|x|+[y]=0；

③若a>b,贝！Ja+c>b+c；

④矩形的对角线互相垂直.

A.1B.2

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C.3D.4

解析：选A.①错；②错，若xy=O,则x,y至少有一个为0,而未必国+b|=0；③对，不

等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错.

5.已知N、5是两个集合，则下列命题中为真命题的是（）

A.如果/Q8,那么

B.如果405=4,那么（屋/）门3=0

C.如果/U8,那么/U3=Z

D.如果NU8=N,那么NU5

解析：选A.由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题.

6.下列命题中，是真命题的为（）

A.若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形

B.若集合”=任¥+*<0},N={MX>0},则MUN

C.若/+白2。0,则“，b不全为零

D.若f+x+l<0,则xGR

解析：选C.A也可为菱形；B中的集合〃={x|-M'：LN；D中的不等式无解，x

e0.

二、填空题

7.命题：一元二次方程x2+fev—l=03eR）有两个不相等的实数根.则条件p：,

结论夕：,是（填“真”或“假”）命题.

答案：一元二次方程为/+依一1=0322有两个不相等的实数根真

8.下列语句中是命题的有，其中是假命题的有.（只填序号）

①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

②一个数不是正数就是负数；

③大角所对的边大于小角所对的边.

解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假.

①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；

②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；

③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况.

答案：②③②③

9.给出下列几个命题：

①若x,y互为相反数，贝（Jx+y=0；

②若a>b,则a2>b2；

③若x>-3,则x2+x—6^0；

④若“，》是无理数，则J也是无理数.

其中的真命题有个.

解析：①是真命题.②设a=l>b=-2,但a2<b2,假命题.③设x=4>—3,但x2+x—6

=41>0,假命题.④设”=（a）d，b=y/2,则J=（啦y=2是有理数，假命题.

答案：1

三、解答题

10.指出下列命题的条件p与结论夕，并判断命题的真假：

（1）若整数a是偶数，则a能被2整除；

（2）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

（3）相等的两个角的正切值相等.

解：（1）条件p：整数。是偶数，结论/a能被2整除，真命题.

（2）命题”对角线相等且互相平分的四边形是矩形"，即“若一个四边形的对角线相等且互

相平分，则该四边形是矩形”.条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论分该

四边形是矩形，真命题.

（3）命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相

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等”.条件P：两个角相等，结论.这两个角的正切值相等，假命题.

11.将下列命题改写成“若p,则〃的形式，并判断命题的真假：

(1)6是12和18的公约数；

(2)当心一1时，方程。f+2x-1=0有两个不等实根；

(3)已知x、y为非零自然数，当j—x=2时，y=4,x=2.

解：(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数，是真命题.

(2)若心一1,则方程0?+左一1=0有两个不等实根，是假命题.因为当”=0时，方程变

为2xT=0,此时只有一个实根x=g.

(3)已知x、y为非零自然数，若y—x=2,则y=4,x=2,是假命题.

12.已知p：/+”吹+1=0有两个不等的负短，q：方程4f+4("L2)x+l=0Q"GR)无实

根，求使p正确且夕正确的，〃的取值范围.

A=m1-4>0,

解：若p为真，贝IJ如解得心2.

_m>0,

若夕为真，则A=16(〃?一2另一16<0,解得

故，”的取值范围是(2,3).

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知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.命题“若演4则后5”的否命题是（）

A.若“住4贝必助B.若贝Ijb至5

C.若bGB,贝!|a&ND.若的B,贝!I“GN

答案：B

2.命题“若〃>0,贝喏4'的逆命题为（）

A.若“W0,则源4B.若券号贝Ua>0

C.若含号贝！J忘0D.若瑞=1，贝U«>0

解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调.

3.命题“若NU5=5,则NQ5”的否命题是,

答案：若NU5W5,则力。5

4.已知命题p：“若ac》O,则二次方程依2+以+0=（）没有实根”.

（1）写出命题p的否命题；

（2）判断命题p的否命题的真假.

解：⑴命题p的否命题为：“若ac<0,

则二次方程ax2+bx+c=0有实根”

（2）命题p的否命题是真命题.

证明如下：

:.一讹>00A=62-4ac>00二次方程aY+〃x+c=0有实根.

该命题是真命题.

♦♦谭时训缘♦♦

一、选择题

1.若“x>y,则的逆否命题是（）

A.若贝!Jfw/B.若x>y,则fv/

C.若贝iJxWyD.若了<J，贝!Jx%?

解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论

的否定作为条件即可得逆否命题.

2.命题“若△Z5C有一内角为小则△N5C的三内角成等差数列”的逆命题（）

A.与原命题同为假命题

B.与原命题的否命题同为假命题

C.与原命题的逆否命题同为假命题

D.与原命题同为真命题

解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ZBC的三内角成等差数列，则△45C

有一内角为：'，它是真命题.故选D.

3.已知原命题”菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断

正确的是（）

A.逆命题、否命题、逆否命题都为真

B.逆命题为真，否命题、逆否命题为假

C.逆命题为假，否命题、逆否命题为真

D.逆命题、否命题为假，逆否命题为真

解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其

逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假

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命题.

4.若命题p的逆命题是g,命题g的否命题是r,则p是『的（）

A.逆命题B.逆否命题

C.否命题D.以上判断都不对

解析：选B.命题p：若x,则y,其逆命题/若y,则x,那么命题”的否命题r：若

则解x,所以p是r的逆否命题.所以选B.

5.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是（）

A.能被3整除的整数，一定能被6整除

B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除

C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除

D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除

解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命

题.

6.存在下列三个命题：

①“等边三角形的三个内角都是60。”的逆命题；

②“若Q0,则一元二次方程x2+2x—A=0有实根”的逆否命题；

③“全等三角形的面积相等”的否命题.

其中真命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选C.①②正确.

二、填空题

7.命题“若心1,则心0”的逆命题是,逆否命题是.

答案：若。>0,贝!I。>1若aWO,贝!]“W1

8.有下列几个命题：

①“若a>b,则a2>b2n的否命题；

②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题；

③“若f<4,则一2y〈2”的逆否命题.

其中真命题的序号是.

答案：②③

9.在空间中，

①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；

②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.

以上两个命题中，逆命题为真命题的是.

解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面.

我们用正方体4G做模型来观察：上底面44GQ中任意三点都不共线，但4,Bi，G，

"四点共面，所以①中的逆命题不是真命题.

②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点.

由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点.

所以②中的逆命题是真命题.

答案：②

三、解答题

10.写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假.

（1）在中，若a>b,贝IJNN>N5；

（2）正偶数不是素数.

解：（1）逆命题：在△Z5C中，若N4>NB,则真命题；

否命题：在△ZSC中，若aWb,则NZWN5,真命题；

逆否命题：在△45C中，若N4WNB,则“这儿真命题.

（2）逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；

否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；

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逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题.

11.判断下列命题的真假：

(1)“若XGZU5,则的逆命题与逆否命题；

(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题.

解：(1)逆命题：若x&B,则xe/U艮根据集合“并”的定义，逆命题为真.逆否命题：

若遇8,则应1U5.逆否命题为假.如24{1,5}=8,A={2,3},但2GNU5.

(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除.逆命题为假.反例：2,4,14,22等

都不能被6整除.

12.判断命题“若，〃>0,则方程X2+2X—3/M=0有实数根”的逆否命题的真假.

解：：20,

A12/H>0,A12/M+4>0.

二方程f+2x-3,"=0的判别式

A=12/M+4>0.

・••原命题“若心0,贝历程/十八一3,〃=0有实数根”为真命题.

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若则方程x2+2x—3,”=0有实数根”的逆

否命题也为真命题.

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知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.（2010年高考陕西卷）%＞0”是“同＞0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.若＞0,则同＞0,所以“心0”是“同＞0”的充分条件；若同＞0贝!I。＞0或"0,所以

“心0”不是“同＞0”的必要条件.

2.“0=0"是"sin〃=0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.由于“，=0”时，一定有“sin，=0”成立，反之不成立，所以“，=0”是“sin。

=0”的充分不必要条件.

3用符号“台”或“冷”填空：

⑴整数a能被4整除a的个位数为偶数；

（2）a＞bac2＞bc2.

答案：（1）今（2）将

4.“a=2”是“直线ax+2j=0平行于直线x+y=l”的什么条件？

解：当”=2时，直线ax+2j=0,即2x+2j=0与直线x+j=l平行，

因为直线ax+2j=0平行于直线x+y=l,

所以：=1,a=2,

综上，，=2”是“直线如+2）=0平行于直线x+y=l”的充要条件.

♦♦谭时训练♦♦

一、选择题

1.设集合M={x|0＜xW3},N={x|0＜rW2},那么是“aCN”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选B.M={x|0cW3},N={x|0＜xW2},所以NM,故“CM是“GN的必要不充分

条件.

2.（2010年高考福建卷）若向量a=（x,3）（xGR）,贝lj“x=4是同=5”的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件^__________

解析：选A.由x=4知|a|=W^?=5；反之，由同=52+32=5,得*=4或x=-4.故"x

=4”是“同=5”的充分而不必要条件，故选A.

3.'7=c=0"是“二次函数尸=依2+加+c（“wo）经过原点”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

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解析：选A.6=C=0=J，=OX2,二次函数一定经过原点；二次函数y=or2+〃x+c经过原点

=c=0,b不一定等于0,故选A.

4.已知p,q,r是三个命题，若p是夕的充要条件且夕是r的必要条件，那么夕是p的()

A.充分条彳牛

B.必要条件

C.充要条件

D.既不加分也不必要条件

解析：选B.p是r的充要条件且夕是r的必要条件，故有即p=>g,g0/p,所以

g是P的必要条件.

5.已知条件：p：j=lg(x2+2x—3)的定义域，条件夕：Sr—6>x2,则夕是0的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.p：x2+2x—3>0,则x>l或x<—3；

q：5x_6>x2,即x2—5x+6<0,

由小集合今大集合，

:・q=p，但广匚”.故选A.

6.下列所给的P、4中，P是夕的充分条件的个数是()

①p：x>l,q：—3x<—3；②p：x>l>q：2-2x<2；③p：x=3,q：sinx>cosx；④p：直线

a,6不相交，q：a//h.

A.1B.2

C.3D.4

解析：选C.①由于p：x>l=q：-3x<—3,所以p是q的充分条件；

②由于p：x>l今g：2—2x<2(即x>0),所以p是0的充分条件；

③由于p：x=30夕：sinx>co&r,所以p是q的充分条件；

④由于p：直线”，〃不相交二>4：”〃6,所以p不是q的充分条件.

二、填空题

7.不等式f—3x+2<0成立的充要条件是.

解析：x2-3x+2<0«=>(x-1)(x-2)<0<41<x<2.

答案：ly<2

8.在△48C中，“siiv4=sin8”是“a=b”的条件.

解析；在△Z5C中，由正弦定理及siiv4=sin8可得2Ksiivl=2Ksinfi,即。=b；反之也成

立.

答案：充要

9.下列不等式：①x<l；②③一l<r<0；④-其中，可以是的一个充分

条件的所有序号为.

解析：由于fy即一17<1,①显然不能使一1代<1一定成立，②③④满足题意.

答案：②③④

三、解答题

10.下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：

(i)p：M=M»q：x=y；

(2)p：△NBC是直角三角形，体△NbC是等腰三角形；

(3)p：四边形的对角线互相平分，夕：四边形是矩形.

解：(1)；|M=『|=r>x=y,

但x=y=>|x|=|1yI，

：.p是q的必要条件，但不是充分条件.

(2)A/(fiC是直角三角形台AABC是等腰三角形.

AABC是等腰三角形A/IBC是直角三角形.

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，p既不是4的充分条件，也不是4的必要条件.

(3)四边形的对角线互相平分分四边形是矩形.

四边形是矩形。四边形的对角线互相平分.

：.p是q的必要条件，但不是充分条件.

11.命题p：x>0,j<0,命题夕：x>y,%：,则p是夕的什么条件？

xy

解：p：x>0,尸0,贝！J夕：x>y,成立；

xy

反之，由';>0，

人y人j

因y—x<0,得灯v0,即x、p异号，

又x>y,得x>0,y<0.

所以“Q0,六0"是"x>y,的充要条件.

12.已知条件p：—lWx<10,q：4x+4-加2&0(加>0)不变，若是^夕的必要而不

充分条件，如何求实数利的取值范围？

解：p：—1WXW10.

q：x2-4x+4-力/WO

<=>[x-(2-m)][x-(2+m)]W0(/H>0)

02—MWXW2+/HQ〃>0).

因为解p是解夕的必要而不充分条件，

所以p是夕的充分不必要条件，

即{x|-110}{x\l-mWxW2+rn},

[2-MW-12-m<-1

故有[2+,”>10或2+,"210'

解得WI28.

所以实数，〃的范围为{词，"，8}.

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知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.若命题pA夕为假，且为假，贝（1（）

A.pVq为假B.q为假

C.g为真D.不能判断

答案:B

2.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是（）

A.简单命题

B."p或g”形式的复合命题

C.“p且g”形式的复合命题

D.“非p”形式的复合命题

答案：C

3.判断下列命题的形式（从“p7q”、“p/\q”中选填一种）：

（1）6^8：；

（2）集合中的元素是确定的且是无序的：.

答案：pVqpAg

4.已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，试写出由它们构成的“p/\q”、“P

Vg"、“梆p”形式的命题.

解：“pAg”：6既是12的约数又是24的约数.

“pVg”：6是12或24的约数.

“群p”：6不是12的约数.

♦♦课时训练♦♦

一、选择题

1.如果命题“pVq”与命题“解p”都是真命题，那么（）

A.命题p不一定是假命题

B.命题夕一定为真命题

C.命题夕不一定是真命题

D.命题p与命题夕的真假相同

解析：选B.“pVq”为真，则八g至少有一个为真.解p为真，则"为假，•••”是真命题.

2.若命题p：0是偶数，命题夕：2是3的约数，则下列命题中为真的是（）

A.p/\qB.p\Jq

C.睇pD.僻p）八佛g）

解析：选是真命题，夕是假命题，，“pVg”是真命题.

3.命题p：a2+b2<0（a,6GR）；命题/a2+b2^0（a,方GR）,则下列结论中正确的是（）

A.“pYq”为真B.“pAq”为真

C.“i^p”为假D.“睇夕”为真

解析：选A.；p为假命题，夕为真命题，：.“pV〃为真命题.

4.若命题p：2mTQ”eZ）是奇数，命题q：2〃+l（〃eZ）是偶数，则下列说法正确的是（）

A.pV夕为真B.pNq为真

C.解p为真D.解夕为假

解析：选A.命题p：“2,”一1（耀仁均是奇数”是真命题，而命题,“2〃+l（〃GZ）是偶数”

是假命题，所以pV夕为真.

5.已知命题p：所有有理数都是实数，命题夕：正数的对数都是负数，则下列命题为真命

题的是（）

A.（解p）VqB.p/\q

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C.(解P)八彼g)D.僚p）V彼g）

解析：选D.p为真，夕为假，所以解夕为真，(解p)V(i®1)为真.

6.给出两个命题：p：函数y=f—x—1有两个不同的零点；%若《<1，则x>l,那么在下

列四个命题中，真命题是()

A.（睇p）VgB.p/\q

C（律p）八侈g）D.（睇p）V避g）

解析：选D.对于p,函数对应的方程/一n一1=0的判别式A=(-1)2—4X(—1)=5>0.

可知函数有两个不同的零点，故p为真.

当x〈0时，不等式恒成立；

当x>0时，不等式的解为x>l.

故不等式;<1的解为x〈0或41.

故命题q为假命题.

所以只有(踊p)V(解4)为真.故选D.

二、填空题

7.用“或”、“且"、“非”填空，使命题成为真命题：

(1)若xGNUS,贝xGB；

(2)若xG/in-贝IJxG/xG5；

(3)若必=0,贝ljo=0。=0；

(4)«,AWR,若a>06>0,贝!)必>0.

答案：(1)或(2)且(3)或(4)且

8.设命题p：2x+y=3；4：x—y=6.若pAq为真命题，贝!Jx=,y=.

解析：若p八q为真命题,则0,夕均为真命题，

案：3--3

9.命题“若“幼，则2"<2""的否命题为,命题的否定为.

解析：命题“若a<h,则2a<2bn的否命题为“若a》b,贝lj

2,源”，命题的否定为“若a<b,则2。*”.

答案:若则案/2"若"b,则2"22"

三、解答题

10.指出下列命题的形式及构成它们的简单命题：

(1)方程f—3=0没有有理根；

(2)不等式Y—x—2>0的解集是{x|x>2或x<—1}.

解：(1)这个命题是“解p”的形式，其中p：方程*2—3=0有有理根.

(2)这个命题是“/或夕”的形式，其中p：不等式x2—x-2>0的解集是{x|x>2},q：不等式

2

X-X-2>0的解集是{X|X〈一1}.

11.判断由下列命题构成的pV/pA</,形式的命题的真假：

(l)p：负数的平方是正数，.有理数是实数；

(2)p：2W3,q：3<2；

(3)p：35是5的倍数，/41是7的倍数.

解：(l)p真，夕真，・・.pV夕为真命题，p/\夕为真命题，解p为假命题；

(2)〃真，夕假，.,.pV夕为真命题，pA夕为假命题，解p为假命题；

(3)夕真，夕假，：卬\/夕为真命题，pA夕为假命题，解p为假命题.

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,,[x2—X-6^0,

12.设命题p：实数x满足x2-4«x+3a2<0,其中”>0,命题/实数x满足？,„

[x+2x—8>0.

(1)若。=1,且p八q为真,求实数x的取值范围；

(2)解p是的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

解：(1)由f-4ax+3a2<0得

(x—3〃)(x—〃)<0.

又a>0,所以a<x<3a,

当a=l时，lq；v3,即p为真命题时，

实数x的取值范围是1a<3.

x2-X-6W0,

由《

Ix2+2x-8>0.

-2小比《3,

解得即2<rW3.

x<-4或*>2.

所以q为真时实数x的取值范围是2«W3.

{\<x<3

若pA夕为真，贝唯一一O2<r<3,

所以实数x的取值范围是(2,3).

(2)睇〃是睇q的充分不必要条件，

即解p=«ep且解夕分建4.

设/={x|xKa或x23a},5={x|xW2或x>3},

则才7B.

所以0<“<2且3a>3,即l<a42.

所以实数〃的取值范围是(1,2].

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知能优化训练

♦♦同步测控♦♦

1.下列是全称命题且是真命题的是（）

A.VxFR,x2>0B.VxGQ,x2GQ

22

C.3x0SZ,xj>lD.Vx,yGR,x+j>0

答案：B

2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是（）

A.一次函数都不是单调函数

B.非一次函数都不是单调函数

C.有些一次函数是单调函数

D.有些一次函数不是单调函数

解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”.

3.（2010年高考安徽卷）命题“对任何xGR,|x-2|+|x-4|>3"的否定是.

答案：存在xCR,使得|x—2|+|x—4|W3

4.（1）用符号“V”表示命题“不论m取什么实数，方程x2+x—,〃=0必有实根”；

（2）用符号“三”表示命题“存在实数x,使siaxXanx”.

解：（1）V，〃GR,/+*—，”=0有实根.

（2）3xo^R,sinx0>tanx0.

♦♦谭时训练♦♦

一、选择题

1,下列语句不是特称命题的是（）

A.有的无理数的平方是有理数

B.有的无理数的平方不是有理数

C.对于任意xG乙2x+l是奇数

D.存在XoGR,2xo+l是奇数

答案：C

2.（2010年高考湖南卷）下列命题中的假命题是（）

A.lgx=0B.R,tanx=l

C.VxSR,x3>0D.VxGR,2v>0

解析：选C.对于A,当x=l时，lgx=0,正确；对于B,当x=£时，tanx=l,正确；对

于C,当x<0时，x3<0,错误；对于D,VxGR,2v>0,正确.

3.下列命题中，是正确的全称命题的是（）

A.对任意的a,b®R,都有《2+62-24—2/>+2<0

B.菱形的两条对角线相等

C♦三X。WR,~XQ

D.对数函数在定义域上是单调函数

解析：选D.A中含有全称量词“任意”，a1+b1-2a-2b+2=（a-i）2+（b-l）1^0,是假命

题.B、D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”.菱形的对角线不一定相等；C

是特称命题.所以选D.

4.将+£》均”改写成全称命题，下列说法正确的是（）

A.Vx,yWR,都有f+Jeixy

e

B.3x0>joR>使

C.Vx>0,j>0,都有*2+丁》加

D.3x0<0,jo<O,使1ro

解析：选A.ik是一个全称而■题，且x,jGR,故选A.

5.下列命题的否定是假命题的是（）

A.p：能被3整除的整数是奇数；解/存在一个能被3整除的整数不是奇数

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B.p：每一个四边形的四个顶点共圆；睇p：存在一个四边形的四个顶点不共圆

C.p-.有的三角形为正三角形；密p：所有的三角形不都是正三角形

D.p-.3x0GR,x：+2x()+2W0；解p：Vx£R,都有x2+2x+2X)

解析：选C.p为真命题，则为假命题.

6.下列命题中，假命题的个数是()

①VxWR,x2+l^l；

②mx()eR,2xo+l=3；

③Xo能被2和3整除；

④xj+2xo+3=O.

A.0B.1

C.2D.3

解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题.

二、填空题

7.写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：.

解析：命题的量词是“每个"，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有

的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.

答案：有些函数没有奇偶性

8.命题“存在实数x,y,使得*+户1”，用符号表示为；此命题的否定是

(用符号表示)，是命题(填“真”或"假”).

解析：原命题为真，所以它的否定为假.也可以用线性规划的知识判断.

答案：3x0,yo6R,xo+w>lV*,yGR,x+yWl假

9.下列命题：①存在Xo<O,使|xo|>xo；

②对于一切x<0,都有|x|>x；

③已知%=2”,b„=3n,对于任意“GN+,都有%WB”；

④已知N={a|a=2"},5=倒6=3〃},对于任意〃2N+,都有4口5=0.

其中，所有正确命题的序号为.

解析：命题①②显然为真命题；③由于a,—b„=2n—3n=—n<0,对于任意"GN+,都有

a„<h„,即%二九,故为真命题；④已知N={a|a=2〃},B={b\b=3n},例如“=1,2,3时，4D5

={6},故缶假监题.

答案：①②③

三、解答题

10.判断下列语句是不是命题？如果是，说明其是全称命题还是特称命题：

⑴有一个向量“0,劭的方向不能确定；

(2)存在一个函数儿:。)，使小。)既是奇函数又是偶函数；

(3)对任何实数a,b,c,方程a?+必+’=0都有解；

(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？

解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，。)是全称命题.由于(4)是一个问句，因此

(4)不是命题.

11.用“v”“m”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线；

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；

(3)Va,bGR,方程av+Z>=0恰有一解.

解：(1)解p：{二次函数},X。的图象不是抛物线.假命题.

(2)^p：在直角坐标系中，{直线},X。不是一次函数的图象.真命题.

(3)^p：3«(),及GR,方程仇)=0无解或至少有两解.真命题.

12.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图象都开口向下；

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(3)存在一个四边形不是平行四边形.

解：(1)是全称命题且为真命题.

命题的否定：三角形的内角和不全为180。，即存在一个三角形的内角和不等于180。.

(2)是全0称命题且为假命题.

命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下.

(3)是特称命题且为真命题.

命题的否定：所有的四边形都是平行四边形.

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知能优化训练

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1.下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是（）

A.y=也与_/=xB.y=*与：=1

C./一%2=0与M=|x|D.J=lgf与y=21gx

答案：c

2.如图中方程表示图中曲线的是（）

答案：C

3.若尸（2,-3）在曲线X：一叩2=1上，则”的值为.

答案：；

4.已知方程1+。一1y=10.

（1）判断点尸（1,-2）,2（啦，3）是否在此方程表示的曲线上；

⑵若点〃考，一⑼在此方程表示的曲线上，求，”的值.

解：（1）：f+（—2—1）2=10,（V2）2+（3-l）2=6#=10,

点尸（1,一2）在方程/+0,—1）2=10表示的曲线上，

点。（啦，3）不在方程/+什一i）2=io表示的曲线上.

⑵；点一，"）在方程f+（j—1尸=10表示的曲线上，.“二半y=一，”适合上述方程,

即（奈）2+（—，〃-1）2=10，解之得tn=2或m=—^,

：.m的值为2或一号

♦♦HH训练♦♦

一、选择题

1.直线X—7=0与曲线孙=1的交点是（）

A.（1,1）B.（-1,-1）

C.（1,1）、（-1,-1）D.（0,0）

y=x,

解析：选c.由，

[xy=1,

2.方程x+[y—1|=0表示的曲线是（）

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CD

解析：选B.；x+Ly-l|=O,：.\y-l\=-x^O,

...图象在j，轴左侧.

3.”以方程於，刃=0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是加，y)

=0”的()

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析：选B.“曲线C的方程是｛X,力=0”-"以方程/(x,j)=0的解为坐标的点是曲线C

上的点”，但满足大X,刃=0不能说明'7(x,y)=0”为曲线方程.

4.方程(/—4y+/-4)2=0表示的图形是()

A.两个点B.四个点

C.两条直线D.四条直线

2

x-4=0,工x=2,,或1x=2,

解析：选B.由得

y-4=0,y=-2,

x=-2,x=-2,

或..或，故方程*-4)2+什2-4)2=0表示的图形是四个点.

U，=2,Lr=-2,

5.已知0Wav2;r,点P(cos〃，sina)在曲线(x—2尸+/=3上，则】的值为(

itc5加

AA.§B.y

瑞或苧D-M

解析:选C.由(cosa—2)2+sin%=3,得cosa=：.又0Wa〈2jr,.*.a=：或竽.

6.下列命题正确的是()

A.方程六=1表示斜率为1,在J，轴上的截距是2的直线

B.△N5C的顶点坐标分别为4(0,3),5(-2,0),C(2,0),则中线NO的方程是x=0

C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5

D.曲线lx—3j2—lr+7M=0通过原点的充要条件是/«=0

解析：选D.对照曲线和方程的概念，A中的方程需满足yW2；B中“中线NO的方程是x

=0(0/yW3)”；而C中，动点的轨迹方程为加=5,从而只有D是正确的.

二、填空题

7.已知点N(a,2)既是曲线卜="a2上的点，也是直线无一y=0上的一点，则.

,[«=2

解析：根据点N在曲线尸，版上，也在直线x—y=0上，贝!J、八,二，1.

4-2=0