河南省南阳市2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试题

2018年春期高中二年级期中质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数=（）A．B．C．D．2.年劳动生产率（千元）和工人工资（元）之间的回归方程为，这意味着年劳动生产率每年提高1千元时，工人工资平均（）A．增加80元B．减少80元C．增加70元D．减少70元3.有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确4.如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（）①②③④A．①②B．②③C.①④D．③④5.若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（）A．B．C.D．6.已知结论：“在三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体中，若的中心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于（）A．1B．2C.3D．47.下列有关线性回归分析的四个命题（）①线性回归直线必过样本数据的中心点；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③当相关性系数时，两个变量正相关；④如果两个变量的相关性越强，则相关性系数越接近于1.A．1个B．2个C.3个D．4个8.下图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学著名《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入、、的值分别为8、10、0，则输出和的值分别为（）A．2,5B．2,4C.0,5D．0,49.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程（）有有理根，那么，，中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是（）A．假设，，都是偶数B．假设，，都不是偶数C．假设，，至多有一个是偶数D．假设，，至多有两个是偶数10.已知具有线性相关关系的两个变量，之间的一组数据如下：012342.24.34.86.7且回归方程是，则（）A．2.5B．3.5C.4.5D．5.511.在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“.”其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C.3D．412.将自然数按如下规律排数对：，，，，，，，，，，，，，，…，则第60个数对是（）A．B．C.D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.复数的共轭复数是．14.已知函数，则．15.执行如下图的程序框图，输出的值是．16.已知集合，且下列三个关系：①；②；③，有且只有一个正确，则．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知复数.（1）求复数的模；（2）若复数是方程的一个根，求实数，的值.18.设、、均为正数，且，证明：（1）；（2）.19.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成列联表：青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：0.0100.0016.63510.828.20.已知函数是上的增函数，.（1）若，求证：；（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论.21.关于某设备的使用年限和所支出从维修费用（万元），有如下的统计资料：234562.23.85.56.57.0（1）由资料可知对呈线性相关关系.试求线性回归方程；（，）（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？22.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.（1）求出，，，并猜测的表达式；（2）求证：.（1）（2）（3）（4）试卷答案一、选择题15:DCADA610:CBABC11、12：CB二、填空题13.14.15.16.201三、解答题17.解析：（1）∴]（2）∵复数是方程的一个根∴由复数相等的定义，得：解得：∴实数m,n的值分别是4,10.18.解析：证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3).(2)因为eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.所以eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1.19.解析：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，经常使用微信的有人，其中青年人有人，使用微信的人中青年人有人．所以列联表为：青年人中年人合计经常使用微信不经常使用微信合计(2)将列联表中数据代入公式可得：，由于，所以有的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．(3)从“经常使用微信”的人中抽取人，其中，青年人有人，中年人有人，记名青年人的编号分别为，，，，记名中年人的编号分别为，，则从这人中任选人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共个，其中选出的人均是青年人的基本事件有，，，，，，共个，故所求事件的概率为．20.解析：证明：(1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵f(x)在R上单调递增，∴f(a)≥f(－b)．同理，a＋b≥0⇒b≥－a⇒f(b)≥f(－a)．两式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．(2)逆命题：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)⇒a＋b≥0.下面用反证法证之．假设a＋b<0，那么：由a+b<0,得a<b,∴f(a)<f(b)由a+b<0,得b<a,∴f(b)<f(a)两式相加即得：f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知矛盾，故有a＋b≥0.逆命题得证．21.解析：（1）于是.所以线性回归方程为：（2）当时，，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.22.解析：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，……f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4×[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，又n＝1时，f(1)也适合f(n)．∴f(n)＝2n2－2n＋1(2)当n≥2时，＝eq\f(1,2n2－2n＋1－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a