江西省抚州市2023-2024学年高一上学期学生学业质量监测数学试题卷

抚州市2023—2024学年度上学期学生学业质量监测高一数学试题卷说明：（1）本试题卷共4页，22个小题，满分150分，考试时间120分钟；（2）答案须写在答题卡相应的位置上，不得在本试题卷上作答，否则不给分；（3）所有考试结束3天后，考生可凭准考证考试成绩，密码与准考证号相同一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，仅有一项符合题目要求．1.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合的关系和运算对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，因为，所以A错误；对于B，因为，所以B错误，对于C，因为，所以集合不是集合的子集，所以C错误；对于D，因为，所以，所以D正确.故选：D.2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质、必要不充分条件的定义判断可得答案.【详解】，当时，，但不成立.故选：B.3.设则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得答案.【详解】.故选：A.4.已知函数的图象为折线，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】由待定系数法求出，的解析式，再代入求解即可.【详解】因为在函数的图象上，当时，设解析式为，即，当时，设解析式为，，即，，即.故选：B.5.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论错误的是（）A.2个球都是红球的概率为B.2个球中恰有1个红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球不都是红球的概率为【答案】D【解析】【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率可判断A；根据独立事件乘法公式、互斥事件加法公式计算可判断B；根据对立事件的概率计算可判断CD.【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为，从乙袋中摸出一个红球的事件为，且，，相互独立，对于A选项，2个球都是红球的事件为，则有，故A正确；对于B选项，2个球中恰有1个红球的事件为，则，故B正确；对于C选项，至少有1个红球的事件的对立事件是，则，所以至少有1个红球的概率为，故C正确；对于D选项，2个球不都是红球的事件是事件的对立事件，其概率为，故D不正确．故选：D.6.若函数的定义域是，则函数的定义域是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据抽象函数中复合函数之间的关系先求出的定义域,再结合解析式求出的定义域即可【详解】由于函数的定义域为,所以,即,所以函数的定义域是.又,即,所以函数的定义域为.故选B【点睛】本题考查抽象函数的定义域求法与应用问题,考查解不等式,属于基础题7.若函数且在区间上最大值比最小值多2，则（）A.4或 B.4或C.2或 D.2或【答案】A【解析】【分析】对参数取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值.【详解】由题意解得或（舍去），①当时，函数在定义域内为增函数，则由题意得，所以即，解得或（舍去）；②当时，函数在定义域内为减函数，则由题意得，所以即，解得；综上可得：或．故选：A.8.已知定义在区间上的函数，若存在时，成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由的单调性及，得到在区间有解，分离出参数即可求解.【详解】由题意知．设．则．因为在上单调递增，故在上单调递增．设．若，则可得在区间有解．在区间上有解，且在区间上有解，且在区间恒成立．．故选：D.二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9.下列选项中说法正确的是（）A.若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8，12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为1B.一组数据的分位数是6，则实数的取值范围是C.一组数据的平均数为，将这组数据中的每一个数都加2，所得的一组新数据的平均数为D.一组数据的方差为，将这组数据中的每一个数都乘2，所得的一组新数据的方差为【答案】AC【解析】【分析】利用分层随机抽样设两组数据的权重为，得且，即可对A判断；根据百分位数知识可对B判断；利用平均数及方差知识可对C、D判断.【详解】A选项：设两组数据的权重为，由，又，可解得，所以这两组数据的权重比值为1，故A正确；B选项：因为，所以这组数据的分位数是从小到大第5项数据6，则，故B错误；C选项：将一组数据中的每一个数都加2，则新数据的平均数为原来数据平均数加2，故C正确；D选项：将一组数据中的每一个数都乘2，则新数据的方差为原来数据方差的倍，故D错误；故选：AC10.若方程在区间上有实数根，则实数的取值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】转化为在上有解，利用配方法求出的值域可得答案.【详解】由题意上有解，.故选：BCD．11.下列结论正确的是（）A.函数且的图象过定点B.是方程有两个实数根的充分不必要条件C.的反函数是，则D.定义在上的奇函数，当时，，则【答案】AC【解析】【分析】求出指数型函数恒过的定点可判断A；由充分条件和必要条件的定义可判断B；由反函数的性质可判断C；由奇函数的定义域关于原点对称求出，再由奇函数的性质代入求解可判断D.【详解】函数，令，可得，故函数的图象过定点，故A正确；根据方程有两个实数根，可得，即，故是方程有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；的反函数是，故C正确；在上是奇函数，，解得，又时，，，故D错误．故选：AC.12.若正实数满足，则下列结论中正确的有（）A.的最小值为8．B.的最小值为C.的最大值为．D.的最小值为．【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解最值判断A，B，C，利用消元法结合二次函数求得最值判断D.【详解】A选项，因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，故A正确；B选项，因为，当且仅当，即时取等号，故B项正确；C选项，，当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为，故C项正确；D选项，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误．故选：ABC.【点睛】思路点睛：四个选项均要对所求式子进行变形，A，B，C选项利用“1”代换以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，D选项由条件消元转换成二次函数求最值.三、填空题：共4小题，每题5分，共20分．13.幂函数在区间上单调递增，则实数的值为________．【答案】【解析】【分析】利用幂函数的定义求解参数，再利用单调性取舍即可.【详解】为幂函数，或又在区间上单调递增，故答案：14.在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是________．【答案】7【解析】【分析】利用二分法的定义列出不等式求解即可.【详解】设至少需要计算次，则满足，即，由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次.故答案为：715.若，且，则称是“伙伴关系集合”在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为________．【答案】【解析】【分析】根据题意先求出集合的的所有非空子集的个数为，再求出具有“伙伴关系集合”的个数为，利用古典概率从而可求解.【详解】，集合的所有非空子集的个数为，若，则；若，则；若，则与成对出现；若，则与成对出现，集合的所有非空子集中，“伙伴关系集合”共有（个）．在集合的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为．故答案为：．16.已知函数，函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，令，等价于，分别求出或，要使有5个零点，即方程有四个不同的实数根，结合图形从而可求解.【详解】当时，，当单调递增，当单调递减，当时，当单调递减，当单调递增，令，即或，如图可知，要使有个零点，则方程有四个不同的实数根结合函数的图象可得.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．17.已知函数为定义域上的奇函数．（1）求实数的值；（2）若，试用表示．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据，求得参数值，检验即可；（2）根据（1）中所求求得，再结合对数运算即可表示.【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，；经检验，满足题意，故.【小问2详解】由（1）可知，根据，可得则，故，又，.18.2023年9月23日，中国农历象征收获的秋分时节，第19届亚洲运动会在浙江杭州隆重开幕．杭州基础设施全面升级、城市面貌焕然一新、民生服务格局大变．为了解杭州老百姓对城市基础设施升级工作满意度，从该地的A，B两地区分别随机调查了40户居民，根据大家对城市基础设施升级工作的满意度评分（单位：分），得到地区的居民满意度评分的频率分布直方图（如图）和地区的居民满意度评分的频数分布表（如表1）．满意度评分频数2814106表2满意度评分低于70分满意度等级不满意满意非常满意（1）根据居民满意度评分，将居民的满意度分为三个等级（如表2），估计哪个地区的居民满意度等级为不满意的可能性大，说明理由.（2）将频率看作概率，从A，B两地区居民中各随机抽查1户居民进行调查，求至少有一户居民评分满意度等级为“非常满意”的概率【答案】（1）A地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大，理由见解析（2）0.1925【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算得到，分别计算两个地区的不满意频率，比较得到答案.（2）确定，，得到，计算得到答案.【小问1详解】，，地区的居民满意度等级为不满意的频率为，由表1可知地区的居民满意度等级为不满意的频率为，故地区居民的满意度等级为不满意的可能性更大．【小问2详解】记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，则．记事件表示“从地区随机抽取一户居民满意度评级为非常满意”，则．事件和事件相互独立，则事件和事件相互独立，，记事件表示“至少有一户居民评分满意度等级为非常满意”，则.19.已知函数（1）是否存在实数使得关于的不等式的解集为，若存在．求实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由；（2）若关于的不等式的解集是，集合，若，求实数的取值范围.【答案】（1）存在（2）【解析】【分析】（1）设在恒成立，可得时不满足，当时，结合二次函数的开口方向、判别式可得答案；（2）由题意可设在上恒成立，分、、讨论，结合一元二次不等式恒成立可得答案．【小问1详解】设在恒成立，显然当，即时不满足在上恒成立；当时，，综上，存在使得的解集为；【小问2详解】由题意可设在上恒成立，当，即时，，满足在上恒成立；当，即时，在上恒成立；，；当，即时，可得，，综上．20.临川菜梗是江西临川的传统民间特产，以“不怕辣”而著称，相传宋神宗熙宁年间王安石出任平章事（宰相），平时爱以家乡菜梗招待同僚进餐，美誉传至宋神宗，于是命（再想）家乡进贡来，尝后大悦御批为“天下一绝”．近日，临川一家食品店的店员对每天的莱梗销售情况盘点后发现：该商品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表所示：1015202530170175180175170（1）给出以下四种函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该店临川菜梗的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】20.选择函数模型②，21.1681元【解析】【分析】（1）由表中的数据知，当时间变化时先增后减，所以选择函数模型②，根据表格数据解得，从而求出；（2）求出，当时，利用基本不等式求出最小值，当时，根据的单调性求出最小值，再比较大小可得答案.【小问1详解】由表中的数据知，当时间变化时，先增后减，而函数模型①；③；④都是单调函数，所以选择函数模型②，根据表格数据可知，解得，所以；【小问2详解】，即，当时，，当且仅当时等号成立，当时，单调递减，最小值为，，所以的最小值为1681元.21.已知定义域为的函数满足对任意，都有（1）求证：是奇函数；（2）设，且当时，，求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析；（2）或【解析】【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可；（2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可.【小问1详解】证明：因为的定义域为，关于原点对称，又对任意，都有，令，得，令，得，令，得，是奇函数.【小问2详解】，，，设，则，所以，在上是减函数，因为的定义域为，又，所以是偶函数，因为，，则，解得，不等式的解集为或.22.对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．（1）求函数的所有“保值”区间．（2）函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的单调区间，利用“保值”区间的定义分类讨论求解即得.（2）分析函数的单调性，利用“保值”区间的定义建立