《机械工程控制基础》课件

第三章控制系统的数学模型第一节概述第二节物理系统的微分方程第三节传递函数第一节概述一、数学模型定义它是描述系统〔或环节〕内部、外部物理量之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。为什么要建立数学模型？控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从定性的认识上升到定量的精确认识的关键！〔这一点非常重要，数学的意义就在于此〕

第一节概述二、建立数学模型的方法建立系统数学模型的方法很多，主要有两类：1)机理建模

通过系统本身的物理特性来建立。

力学定律：电学定律：流体力学定律：热力学定律：

2)实验建模〔数据建模〕系统辨识第一节概述三、数学模型特点1.不同的控制系统可以具有相同的数学模型。即可以用同一数学模型去描述不同的控制系统。相似系统：具有相同数学模型的系统。模拟：两个相似系统，通过分析一个系统而到达对另外一个系统的分析研究，称为模拟。

2.同一控制系统可以具有不相同的数学模型。第一节概述四、数学模型的种类微分方程传递函数频率特性差分方程状态方程其中最根本的数学模型是微分方程。本章主要介绍微分方程和传递函数。第一节概述五、线性系统与非线性系统1、线性系统假设系统的数学模型表达式是线性的，那么这种系统就是线性系统。线性系统的特性是可以运用叠加定理。叠加原理是系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用的响应之和。第一节概述线性系统分为:

线形定常系统

用线形常微分方程描述的系统.

线形时变系统

描述系统的线形微分方程的系数为时间的函数.第一节概述2、非线性系统

用非线性方程描述的系统称非线性系统。

对非线性问题的处理途径：

线性化

忽略非线性因素

应用非线性系统的分析方法处理第二节物理系统的微分方程工程上的控制系统多为物理系统，列写物理系统微分方程的根底是物理定律。本节举例说明列写物理系统微分方程的根本方法和步骤。一、机械系统达朗贝尔原理：作用在每一个质点上的合力，同质点惯性力平衡。即机械平移系统机械旋转系统机械平移系统机械旋转系统根据牛顿第二定律可列出其微分方程写成标准形式二、电气系统基尔霍夫电流定律基尔霍夫电压定律基尔霍夫电流定律基尔霍夫电流定律对节点1有：其中：节点1的动态方程为：基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律不同系统微分方程有如下的共同之处：(1)常参数线性元件和线性控制系统均可用常系数线性微分方程描述。(2)微分方程取决于系统的结构和元件的参数，它描述系统的固有特性。(3)微分方程的系数由系统结构和组成系统的元件参数决定，因而均为实数。(4)对同一个系统或元件，如选取不同的物理量为输入量和输出量，那么微分方程的形式不同。(5)所有单输入、单输出常系数线性控制系统的微分方程可用下面通式表示。系统微分方程列写微分方程的一般步骤如下：(1)分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输出量和输入量。(2)从系统的输入端开始，根据物理定律，依次列写各变量间或各环节的数学方程，并作必要的简化，如进行线性化处理或忽略一些次要因素等。(3)由各数学方程式消去中间变量，最后得到只包含输入量、输出量和系统元件参数的微分方程式。第三节传递函数微分方程是控制系统的一种数学模型。但是，一般说来，求解微分方程不仅计算复杂，而且难以找出改进系统的途径。利用传递函数那么可以直观、形象地描述一个系统的特性和各参数之间的关系。第三节传递函数一、传递函数的根本概念二、典型环节及其传递函数三、控制系统的方框图及其等效变换四、反响控制系统的传递函数传递函数的定义传递函数的求取方法传递函数的主要特点

一、传递函数的根本概念传递函数的定义在线性定常系统〔或环节〕中，初始条件为零时，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为系统〔或环节〕的传递函数。举例求取传递函数的方法有以下几种：(1)直接计算法。(2)利用方框图求系统的传递函数。〔以后介绍〕(3)利用实验方法求系统的传递函数。〔以后介绍〕直接计算法所谓直接计算法，是指对于一般的环节或简单的系统，可以列出它们的微分方程再进行拉氏变换求得传递函数。直接计算法〔续1〕线性定常系统的运动微分方程式一般可表达为下式的形式，即直接计算法〔续2〕在初始条件为零时，对上式两边进行拉氏变换那么系统的传递函数为传递函数的主要特点(1)传递函数是复变量s的有理分式(n>m)。(2)传递函数的分母只取决于系统的结构和元件的参数等与外界无关的固有因素，因而它描述了系统的固有特性。而分子取决于系统与外界的关系，因而它描述了系统与外界的联系。传递函数的主要特点〔续〕〔3〕一定的传递函数与其零、极点分布图相对应。因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。分子多项式B(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0=0的根称为传递函数的零点。分母多项式A(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0的根称为传递函数的极点。A(s)=0叫系统的特征方程。〔4〕物理结构不同的系统，可以具有相同形式的传递函数。二、典型环节及其传递函数1．环节的分类

2．典型环节的传递函数1．环节的分类(1)控制系统是由假设干元件组合而成的。从物理结构及作用原理来看，有各种各样不同的元件，但从动态特性或数学模型来看，却可分为几种根本环节，即典型环节。1．环节的分类(2)1．环节的分类(3)2.典型环节的传递函数比例环节惯性环节〔一阶惯性环节〕积分环节微分环节(理想微分环节、实际微分环节〕二阶环节〔含振荡环节〕比例环节比例环节又称放大环节。其微分方程为在零初始条件下，对上式两边进行拉氏变换得例2-9.[机例](忽略啮合间隙)例2-10.[电例]式中,ic—集电极电流，ib—基极电流，β—共发射极电流增益。例2-11[液例]忽略液压缸的泄漏，缸筒和油液的弹性v(t)—液压缸活塞的运动速度,q(t)—油流量,A—液压缸活塞的工作面积。惯性环节〔一阶惯性环节〕惯性环节也叫非周期环节。在这类环节中包含有储能元件，以致输出量不能立即复现突变形式的输入量。微分方程式为在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得例2-12.[机例]图2-16所示的机械惯性—阻尼系统就是一个惯性环节,求它的传递函数。v(t)—质量块的运动速度,f(t)—作用力,m—质量块的质量,B—阻尼器的阻尼系数。

例2-13.[电例]求图2-17所示的RC电路的传递函数。以上两式经过拉氏变换，再联立消去I(S)得例2-14．[液例]图2-18所示的液压缸，带有弹性系数为k(牛顿／厘米)的弹性负载和阻尼系数为B(牛顿·秒／厘米)的阻尼负载。设质量很小，可以忽略。求以压力p为输入量，以活塞位移x为输出量的传递函数。惯性环节〔一阶惯性环节〕从上面这些例子可以看出，惯性环节的性质取决于两个参数—

时间常数T和传递系数K。应该指出，输出量和输入量可能是不同的物理量，故传递系数K是有量纲的。积分环节传递函数为

积分环节〔续〕积分环节的特性只有一个参数—

传递系数K。输出量的变化速度与输入量成正比，当输入突然去掉时，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能。例2-15.[机例]图2-20所示的齿轮齿条传动，就是一个积分环节。齿条位移x与齿轮转速n的关系为：例2-16.[电例]图2-21所示电容器充电电流I

和电容电压e。的关系为：例2-17[液例]〔不考虑缸体变形及油液弹性、内外漏损〕x—输出位移,q—输入流量,A—液压缸活塞的工作面积。微分环节(理想微分环节、实际微分环节〕(1)理想微分环节K—传递系数，也是有量纲的。理想微分环节的输出量正比于输入量的变化速度。微分环节(理想微分环节、实际微分环节〕〔续〕(2)实际微分环节理想微分环节在实际中是不存在的，所有用来执行微分作用的环节大多数都是近似的。T越小，微分作用越强。当T→0时，上式就成为理想微分环节的传递函数了。例2-18.[电例]图2-23所示的电路为常用的电气微分环节。

例2-19.[液例]图2-24为液压阻尼器，弹簧刚度为k，阻尼系数为B，忽略惯性力，列出输入位移x和输出位移y之间的传递函数。

解列写系统的微分方程二阶环节〔含振荡环节〕在零初始条件下，对上式两边进行拉氏变换例2-20.[机例]图2-25所示的质量—弹簧—阻尼系统是一个机械二阶环节。例2-21.[电例]图2-26所示的R-L-C电路构成一个电气二阶环节。它的微分方程为三、控制系统的方框图及其等效变换1．方框图2、函数方框图变换法那么3、信号流图和梅森公式4、系统方框图举例1、方框图1〕职能方框图和函数方框图2〕比较点3〕引出点1〕职能方框图和函数方框图u1nΔu执行电机电压功率放大减速器调压器恒温箱热电偶u2•ub

ru1t+-+G1(s)G2(s)H(s)Xo(s)Xi(s)-E(s)Xb(s)G(s)Xi(s)Xo(s)2〕比较点比较点又称加减点。它代表两个或两个以上的信号进行加减比较。X1(s)X2(s)X3(s)=X1(s)+X2(s)++X1(s)X2(s)X3(s)=X1(s)-X2(s)+-X1(s)X2(s)X4(s)=X1(s)+X2(s)+X3(s)++X3(s)+3)引出点X1(s)X1(s)•X1(s)•引出点又叫测量点。它表示信号引出和测量的位置。2.函数方框图变换法那么1〕串联法那么2〕并联法那么3〕反响法那么4)比较点、引出点等效移动5〕非单位反响变换成单位反响1〕串联法那么G1G1G2G3••••••GnXi(s)Xo(s)X1(s)X2(s)2〕并联法那么3〕反响法那么+G(s)H(s)Xo(s)Xi(s)-E(s)Xb(s)4〕比较点、引出点等效移动法那么XoGXiXiXoGXiXoXoGXiGX0XoGXi1/GXiXiXbGXo++GXiGXoXb++XbG++XiXoXbG++XiXo1/G4〕比较点、引出点等效移动法那么5〕非单位反响变换成单位反响GH+-XiXo1/HG+-XoHXi函数方框图变换法那么注意：〔1〕两个相邻的比较点可互换位置，两个相邻的引出点也可互换位置。〔2〕一个比较点和一个引出点即使相邻也不能简单地互换位置!!!函数方框图变换法那么(举例〕

〔图2-34a〕G1G2G3G4H3H2H1Xi+-+--+Xo函数方框图变换法那么举例G1G2G3G4H1H2H3-XiXo--G2函数方框图变换法那么举例G1G2G4H1H3-Xo-Xi函数方框图变换法那么举例G1G2H1-XoXi函数方框图变换法那么举例H1-XoXi函数方框图变换法那么举例XoXi函数方框图变换法那么举例G1G2G3G4H3H2H1Xi+-+--+函数方框图等效变换步骤〔1〕首先确定系统的输入量和输出量，从而确定前向通路。〔2〕通过比较点或引出点的移动，使得方框图中各回路不互相交错。如把图2-34(a)变换为(b)。〔3〕由内到外求出各局部的传递函数，直至求得整个系统的传递函数。如图2-34的(c)、(d)、(e)、(f)各步。3信号流图和梅森公式当系统框图比较复杂时，可将其转化为信号流图。信号流图是由一些定向线段把一些节点连接起来组成的网络。节点表示信号，定向线段称为支路，表示传递函数和信号流向。图2-33的框图可转化为图2-35的信号流图。图2-33的框图转化为图2-35的信号流图节点表示信号定向线段称为支路，表示传递函数和信号流向梅森公式△k(s)为第k条前向通路特征式的余因子。(即从△(s)中舍去与第K条前向通道接触的回路传递函数后的余项)例2-23利用梅森公式求图2-36所示系统的传递函数。例2-23利用梅森公式求图2-36所示系统的传递函数。〔续〕上述这五个反响回路均互相接触，所以没有互不接触的反响回路，于是系

统

方

框

图

举

例

梅森公式举例〔例2〕一个前向通道；三个反响回路；一组互不接触的2个回路；各回路均与前向通道接触；G1-Xi（s)Xo（s）