2022届广东省名校高考模拟卷 数学试题（一） 解析

2022年高考仿真模拟卷一（广东）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},8={3,4,5},则⑹4）02等于（）

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{4,5}

2.已知函数/（x）=2-2,则函数y=|/（尤）|的图象可能是（）

3.已知正数为y,Z满足/+2+z2=],则5=^1-^1—-7的最小值为

2xyz

71

4.T^/（x）=«sin2j;+Z?cos2x,其中。，beR,abwO,若/（无）4/对一切xeR恒成立，则以上结

论正确的是（）

•JT2冗

C.“X）的单调递增区间是kn+-,kn+=-（丘Z）

o5

D.存在经过点（。,6）的直线与函数〃x）的图象不相交

2121

5.若（l+x+/）=a0+a1x+a2xH--Fal2x,则生+/+牝"---^%2等于（）

A.284B.356C.364D.378

6.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党

委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推

动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相

邻，则不同的安排方案共有（）

A.12种B.28种C.20种D.16种

22

7.已知片，鸟是椭圆+}=1（。>6>0）的左右焦点，点M是过原点。且倾斜角为60°的直线/与椭圆C

的一个交点，且|西+祈可=|祈耳-祈耳，则椭圆C的离心率为（）

A.；B.2—A/3

C.73-1D.B

2

8.已知四面体ABCD的每个顶点都在球。（。为球心）的球面上，AABC为等边三角形，AB=BD=2,

ADf，J.AC1BD,则二面角A-CD—O的正切值为（）

A.立B.逅C.在D.叵

3636

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

2

9.已知复数2=三，其中i为虚数单位，则（）

1-1

2

A.忖=2B.z=2i

C.z的共轨复数为「iD.z的虚部为1

10.如图，正方体ABC。-A耳G2的棱长为。，线段8a上有两个动点E,F,且EF=4,以下结论

2

正确的有（）

A.ACYBE

B.点A到平面3跖的距离为定值

C.三棱锥A-的体积是正方体ABC。-A耳GR体积的，

D.异面直线AE,3尸所成的角为定值

11.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山,

南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，则（）

A.恰有2人选一个地方的方法总数为20

B.恰有2人选一个地方的方法总数为60

C.恰有1人选泰山的概率是言

D.恰有1人选泰山的概率是：

12.设函数〃对=詈320）,0=2.71828…,则（）

A./（同在（0,|^上单调递增

B.的最大值为了、），最小值为/

C.方程〃x）=［（尤＞0）有无数个解

D.若/"（X）4"恒成立，则。=1

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

|lg(x-l)|,x>l

13.设定义域为R的函数/。）=若关于X的方程2［〃x）了+2妙（x）+1=0有8个不同的实

—%2+1,xW1

根，到实数b的取值范围是.

14.已知定义域为R的奇函数的周期为2,且一。,1］时，小）=叫广若函数尸⑺=/四7吟、在

区间［-3,m\（加eZ且加＞-3）上至少有5个零点，则m的最小值为,

15.设函数的定义域为A,“X）为偶函数，〃x+l）为奇函数，当xe［l,2］时，f［x｝=a-T+b,若

/（0）+/（1）=^,则.

16.在边长为1的等边三角形4BC中，。为线段BC上的动点，DEL钻且交A8于点E.O尸〃AB且交AC

于点F,则e荏+而।的值为；（友+而）（诙+而）的最小值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知数列｛4｝的首项为2,且-+山田=2（此一2〃+2）.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

(2)求数列的前n项和S”.

18.(12分)已知=f—卜一4,g(x)=cos2x+26zsinx+24i-2.

(1)若a=l时，求函数〃%)的值域.

TTSjT

(2)若g(x)+2W0对xe恒成立，求实数。的取值范围.

_4o

57r77r

(3)若对任意的为eR,xe—,都有，(占)幺伍)，求实数。的取值范围.

2o4

19.(12分)如图，C是以为直径的圆。上异于A3的点，平面PACL平面ABC,PA=PC=AC=2,

8c=4,E,尸分别是PC,PB的中点，记平面AEV与平面ABC的交线为直线/.

(1)证明：3CL平面PAC；

(2)直线/是否存在点Q,使直线尸。分别与平面码、直线所所成的角互余？若存在，求出AQ的值;

若不存在，请说明理由.

丫22

20.(12分)己知C：=+多=1的上顶点到右顶点的距离为近，离心率为：，过椭圆左焦点片作不与x

轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线加的方程为：x=-2a,过点M作ME垂直于直线”2交直

线加于点E.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)①求证线段EN必过定点尸，并求定点P的坐标.

②点。为坐标原点，求AOEN面积的最大值.

21.(12分)已知函数/■(x)=4(x-l)-xlnx(aeR).

(1)求函数F3的单调区间;

(2)当0<x4l时，/(尤)40恒成立，求实数。的取值范围;

IniIn2Innn(n-l)

(3)设〃eN*,求证:-------1--------F…H----------«

23n+14

22.(12分)某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为

每件8元.当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖

5元.每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃,则销售量为5000件；若气温

在［25,30）内，则销售量为3500件；若气温低于25℃,则销售量为2000件.为制定今年9月份的生产计

划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表：

气温/℃[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天数414362115

以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率.

（1）求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值；

（2）设今年9月份一天销售这种食品的利润为¥（单位：元），这种食品一天的生产量为w（单位：件），

若3500W“45000,求V的均值的最大值及对应的”的值.

2022年高考数学仿真模拟卷一（广东）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5,6},4={2,3,4},3={3,4,5},则⑹A）A3等于（）

A.{3,4}B.{5}C.{3,5}D.{4,5}

答案：B

根据补集、交集的知识求得正确选项.

【详解】

楙={1,5,6},（^m8={5}.

故选：B

2.己知函数/（尤）=2,-2,则函数y=|/（刈的图象可能是（）

答案：B

先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.

【详解】

9X_2Y>1

'一易知函数y=，（x）|的图象的分段点是x=l,且过点（1,0）,（0,1）,又|〃x）上。,

H2—2,x<1

故选:B.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来

判别，本题属于基础题.

1-1-7

3.已知正数羽y，z满足Y+y+z2=i,则5=^^_的最小值为

2xyz

A.3B.M百+1）C,4D,2（A/2+1）

答案：C

【详解】

由题意可得，0<z<l,0<l-z<l

•••z（l-z）„=%当且仅当z=l—Z即Z=g时取等号）

x2+y2+Z2=1

.\l-z2=x2+y2>2xy（当且仅当％=V时取等号）

即匕辿±1.1

2xy2xy

1+z1

*.*1—z>0——•••■：----

2xy1—z

，惠心54（当且仅当个呼,z=；时取等号）

1+z

则5=^—的最小值4

2xyz

4.设〃x）=asin2x+bcos2x,其中“，bcR,ab^O,若/（尤）V对一切xeR恒成立，则以上结

论正确的是（）

C.的单调递增区间是赤+：题+?（左eZ）

D.存在经过点(。,6)的直线与函数“X)的图象不相交

答案：A

由辅助角公式得出解析式，由正弦函数的性质得出°=扬，再由解析式以及正弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】

/(%)=asin2x+Z?cos2x,其中a,6eR,ab^O

71

若〃力47对一切则X£R恒成立

所以=g+方=,整理得42+3〃_26仍=0,故°=血

16J22

所以〃x)=2bsin12x+j

对于A：/［詈］=2加m］2*(+e］=2金山2兀=0,故A正确；

对于3••.二-寻=5，£-£=京，，号和g与对称轴的距离相等，寒］=/(』，故B不正确;

103305o30105"(JJ

对于C：当b>0时，<2x+—<2fai+—(Z:GZ),解得E—工<X<E+&(%£Z),故C错误；

26236

对于。：由于函数八％)的最大值为2网，所以经过点(〃力)的直线与函数"%)的图象相交，故。错误.

故选：A

212

5.若(l+x+%2)=a^+a^x+^x-\-----Fai2x,则%+Q4+Q6"*-----等于()

A.284B.356C.364D.378

答案：C

利用赋值法列出关于系数的方程组即可求解.

【详解】

令%=],则佝+q+%H----F%2=3‘①,

令x=-1,则〃0_〃1+〃2------F%2=1②,

①②两式左、右分别相加，得2(4+4+…+&)=36+1=730,

aQ+a2-\----F%2=365,再令％=0,贝lj4=l,

%+%+…+%2=364.

故选：C.

6.为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党

委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推

动党史学习教育工作的进行.若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相

邻，则不同的安排方案共有（）

A.12种B.28种C.20种D.16种

答案：C

分中心组学习在第1阶段和第2阶段分别求解，再利用分类加法计数原理求解即可.

【详解】

若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有12（种）；若中心组学习安排在第2

阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3,4阶段或者第4,5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排

在剩下的2个阶段，不同的安排方法有2MM=8（种）.故共有12+8=20种不同的安排方案，

故选：C.

22

7.已知久，鸟是椭圆0:'+方=1（。>6>0）的左右焦点，点“是过原点。且倾斜角为60°的直线/与椭圆C

的一个交点，且|西+祈可=|祈耳-祈耳，则椭圆C的离心率为（）

A.yB.2—5/3

C.V3-1D.也

2

答案：C

由|而+址同=|而-说］分析可得出AMEK为直角三角形，再结合条件及椭圆定义得到c+&=2a,即

得.

【详解】

不妨设“在第一象限，由|砒+说西-近］,两边平方后化简得:

MF{MF\=Q,所以丽_1_丽.

在中,

ZMOF2=60,\OM\=C,\OF2\=C,

；.ZMF2Fl=60°,\MF^=c,\MF\=y[31.

由椭圆定义可知：附图+|班卜c+Gc=2a,

所以离心率e=（=d^=^T.

故选：C.

8.已知四面体A3CD的每个顶点都在球。（。为球心）的球面上，AABC为等边三角形，AB=BD=2,

AD=V2，且AC_L8£>,则二面角A-CD—。的正切值为（）

A.如B.逅C.&D.巫

3636

答案：A

若E为AC中点，连接BE,DE,利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面ADC_L面A3C,

结合已知条件有AADC为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，若厂为DC中点，连接

EF,OF,易知/EFO即为二面角A-CD-O的平面角，即可求其正切值.

【详解】

若E为AC中点,连接由AABC为等边三角形，则BE_LAC,XAC1BD,且BEcBD=B,

：.AClffiBDE,又DEu面BDE,即AC_LDE,

由题设，BE=6,AE=DE—CE-1,而3£）=2,

DE2+BE2=BD2，即上,班，又ACcBE=E,AC,BEu面ABC,

/.D£±®ABC,而£>“<=面ADC,则面"）。_1_面ABC,

由上可得：DC=y/2,则。C?+AD?=AC?,故△ADC为等腰直角三角形，

综上，四面体ABC。的球心。为AABC的中心，即BE靠近E的三等分点，

若歹为DC中点，连接所,。/，易知：NER9即为二面角A—CD-O的平面角，

由上BE_LAC、DE_L6E■且ACnOE=E,AC,DEu面ADC,可得8E1面ADC,

又EFu面ADC,则BEJ_EF,即OE_L£F,

/.tanZEFO=—,而0E=阻力,EF=^,

EF332

/.tanZEFO=—.

3

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：根据线线垂直、勾股定理，结合线面、面面垂直的判定证面ADCL面ABC且AADC为等腰

直角三角形，即可确定四面体球心的位置，再由二面角的定义找到其平面角，最后由已知条件求其正切值

即可.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

2

9.已知复数2=三，其中i为虚数单位，则（）

1-1

2

A.忖=2B.z=2i

C.z的共朝复数为1—iD.z的虚部为1

答案：BCD

由复数的除法运算求得z,然后求其模，平方后判断AB,根据共物复数定义判断C,由复数定义判断D.

【详解】

2_2(l+i)

由题意可知,

口一(l-i)(l+i)

对于选项A,|z|=A/12+12=A/2»故选项A错误;

22

对于选项B,z=（l+i）=l+2i-l=2i,故选项B正确；

对于选项C,z的共轨复数为1—i,故选项C正确；

对于选项D,z的虚部为1,故选项D正确；

故选：BCD.

10.如图，正方体ABC。-A片GD的棱长为“，线段BQ上有两个动点E,F,&EF=£,以下结论

2

正确的有（）

Q

b-------------%

A.AC±BE

B.点A到平面3EF的距离为定值

C.三棱锥A-麻户的体积是正方体ABC。-2体积的，

D.异面直线AE,3尸所成的角为定值

答案：ABC

由线面垂直推出异面直线垂直可判断A；由点到平面的距离可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；

根据异面直线所成角的定义判断D.

【详解】

解：对于A,根据题意，AC±BD,AClDDt,且所以AC,平面2£>2瓦，而3Eu平面

BDD{B{,所以所以A正确；

对于3,A到平面CDDG的距离是定值，所以点A到ABEF的距离为定值，所以B正确；

对于C,三棱锥4-3所的体积为匕.BEF="EA-s加45。='xL也^xaxax,三棱

32322212

锥4-3EF的体积是正方体ABCD-AqG。体积的］,所以C正确；

对于。，当点£在2处，尸为。耳的中点时，异面直线AE,所成的角是/EBG，当E在。耳的中点

时，F在Bj的位置，异面直线AE,BF所成的角是/EA4,显然两个角不相等，命题。错误；

故选：ABC.

11.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，西岳华山，

南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一个地方，则（）

A.恰有2人选一个地方的方法总数为20

B.恰有2人选一个地方的方法总数为60

C.恰有1人选泰山的概率是精

D.恰有1人选泰山的概率是：2

答案:BC

根据排列、组合的公式，求得恰有2人选一个地方的方法总数为60,得到A错误，8正确；再由3个人随

机选5个地方总数为53种，进而求得恰有1人选泰山含基本事件数，利用古典概型的概率计算公式，即可求

解.

【详解】

由题意，恰有2人选一个地方的方法总数为C；M=60,故A错误，B正确；

又由3个人随机选5个地方，基本事件的总数为53=125种不同方式，

其中恰有1人选泰山含基本事件数C（A：+&）=48中旅游方式,

所以恰有1人选泰山的概率尸=芮，所以C正确，D错误.

故选：BC.

12.设函数/（无）=警（彳20）,6=2.71828-，则（）

A.在上单调递增

B.的最大值为了（?）最小值为了（?）

C.方程/（x）=：（尤＞0）有无数个解

D.若/'（X）4区恒成立，贝^3=1

答案：BD

求导判断函数单调性确定AB正误，函数放缩判断C,构造函数最值判断D

【详解】

..尸⑴_cosx-sinx_及8,卜+4J.7（尤）在^2k;r+^-,2^+eN单调递减

exex

2k7l+—,2k7l+—\kGN单调递增，

当X越大，分母产越来越大，sinx具有周期性故只可能在［0,2句取到最大值A错，5正确

xxr

C.当x>0时，y=e-ex,y'=e-e.-.x>l,y>0;x<l,y'<0,ymin=0即/..ex,又sint,1,,则

—从而〃x)=L(无>0)无解，：.C错.

exxx

D.令g(%)=/(%)-Ax=--——kx,

要使/(x)„kx总成立，只需0,

先考虑xe［O,勺时，对蚣)求导，可得，("Osin、),

2e”

人一、cosx-sinxmi、-2cosx〜「八冗、、

令h(x)=-----——，贝！I”(x)=——<0(xe［0,-］)

ee2

所以/?(%)在［0,自上为减函数，而〃(。)=1,〃(多二-二，所以力⑺£［-二，I］；

对化分类讨论：

①当匕，->时，g'(x>・。恒成立，所以g(无)在［0，马上为增函数，

所以8@)小=g(10=/5一与，即g(x),,g(10=>T，

n兀

由e林-3,0,解得：上…叱，故—轴3-无解；

27171

②当(左<1时，g'3=°在上有实根一,

因为心)在［0,勺上为减函数，所以当无e5,$时，g'(x)<0,

所以g(/)>g(0)=0,不符合题意；

③当后.」时，g'(x),,。恒成立，所以g(无)在［0,上为减函数，

则g(x),,g(0)=0,故成立；综上，可得实数%的取值范围是［1,+8).

当尤《仁,+8),g(x)=/(x)-依■-依故%n=1

故选：BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设定义域为H的函数于。)=［恒卜-1)1,若关于x的方程2［〃尤)丁+2&⑺+1=0有8个不同的实

根，到实数6的取值范围是.

答案:

由/(X)解析式画出函数图象，若，=/(%)且加、W为2r+24+1=0的两根，结合图像可知：m、«e(0,l),

再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求6的取值范围.

【详解】

由题设，〃x)的图象如下图示：

令，=/（尤），则21/（尤）］+2勿7（x）+1=0化为2f2+24■+1=0,

，要使原方程有8个不同实根，贝1」2产+26+1=0有2个不同的实根且两根机、«e（0,l）,

b<-y/2

A=4Z?2-8>0

m+（=-b，又>=m+5：在（g,乎）上递减，在（g,l）上递增，且

m+n=—b可得

1

nm=一1,

—<m<1

212

,,3一更=a,即一be诋当

y\i=yL=i=z

。222

综上，be（-T，-&）

故答案为:

已知定义域为E的奇函数9的周期为2,且-。,1］时，小）=1。y若函数收）:小…呜”在

区间［-3,m|（meZ且加>-3）上至少有5个零点，则加的最小值为

答案：2

先根据条件分析函数〃x）的性质，然后将问题转化为函数y=〃x）和y=sin］x的图象交点问题，再根

据图象求解出机的最小值.

【详解】

因为丁=/（尤）是奇函数，所以"0）=0,又因为函数〃尤）的周期为2,

所以〃-2）=〃0）=〃2）=0,

在同一坐标系中作出函数y="力和〉=而'工的图象（如图），

观察图象可知y=/（x"Dy=sin：x的图象在［-3,2］上有五个交点，

而函数尸（x）=〃x）-sin5x在区间［-3,m］（aeZ且〃z>-3）上有至少有5个零点,

所以加22,所以加的最小值为2.

故答案为：2.

15.设函数〃x）的定义域为A,〃x）为偶函数，〃x+l）为奇函数，当xe［l,2］时，f（x）=a-T+b,若

/（o）+/（i）=^,贝V弓］=.

答案：4-4A/2

根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出“和6,即可求解.

【详解】

根据题意，由〃x+l）为奇函数，得〃尤）关于。,0）对称,

故/(1)=0,即2a+Z?=0,

•••”0)+/⑵=0,〃0)=—f(2)=-(4a+6),

又•••〃0)+/(l)=Y,

/./(0)=-4,即4。+6=4,

2a+b=0

由4»=4'解得0=2''=4

7

0,

2

3A

2x22-4=4-4A/2.

7

故答案为：4-472.

16.在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段8C上的动点，/加，筋且交42于点£.1方〃45且交4。

于点R贝中族+而|的值为；（瓦+而）•（丽+皮）的最小值为.

71

答案：1

160

设3E=x,由（2而+砺了=4而?+4丽・丽+而2可求出；将（£>E+£）F）（D4+£）q化为关于x的关系式

即可求出最值.

【详解】

设BE-x,如图，

•「△ABC为边长为1的等边三角形，DELAB,

NBDE=30°,BD=2x,DE=\/3x,DC=1—2x,

DF//AB,

.♦.△DM?为边长为1-2%的等边三角形，DELDF,

(2BE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2%)xcos0。+(1-2x)2=1，

:\2BE+DF\=\,

■.■(DE+DFyiDA+DCy^fDE+DFYCDE+EA+DC^DE2+DFEA+DE-DC+DF-DC

=(V3x)2+(1-2x)x(l-x)+73x(1-2X)COS150°+(1-2X)2COS60°

所以当尤=吴时，（无+而）•（丽+而）的最小值为2.

40\/\/160

71

故答案为：1；——.

160

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知数列｛%｝的首项为2,且（"+1）”用=2（的_2"+2）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列卜勺前〃项和S".

答案:

T

(1)数列｛%｝的通项公式为4=

("1)2+]，

(2)S“=2-空.

no〃一1

1+1)%

⑴由=2(1-2〃+2)可得("+1)*=2[(“-1)2+1口，结合等比数列的概念和通项公式可得

[(»-l)2+lK=2\由此求出数列｛4｝的通项公式；(2)由(1)可得5-利用错位相减法求其前几

22

项和S〃.

(1)

1+l)a“+i

=2(ra2-2n+2)

%

22

n^l)an+i=2[(n-l)+l]an,

又。]=2w0,

・・・数列｛[("-1)2+1]〃“｝为首项为2,公比为2的等比数歹U，

**•[(〃—1)2+=2",

T

n2—2〃+2

(2)

n21n2/一2〃+2n-1

由⑴

X~2n2〃_2"一1，

123n-1

・•・S,_——I-———|—...—|----------

2122232'1'

n-112n-2

-S,

2，丁丁丁…2,

1n-1111

-S,一下一~"梦+/+-一+尹,

21

〃一1111〜r1n-1n+1

•-S"=l_^=r+L齐+…+^^=2(1-产x)=,

18.(12分)已知/(力=%2—,一同，g(x)=cos2%+2asinx+2o-2.

(1)若4=1时，求函数/(X)的值域.

TTS冗

(2)若g(x)+2W0对xe恒成立，求实数。的取值范围.

4o

(3)若对任意的占eR,xe-,都有/(占)*伍)，求实数。的取值范围.

2o4

答案：

(1),+°0;

(2)(一双一：

⑶二;］

L42J

(1)根据题意，分x'l和尤＜1两种情况讨论求解；

(2)令f=sinx,进而将问题转化为»—2R—(2。+1)、0对此恒成立，进而分和。＞-1两种

情况讨论求解即可；

(3)由题知有了(彳人》g(x)max，令，=SinX,则有g⑺=一产+2帚+2。-1,t€-1,—,

f(^)=j2'＞进而分当时，当-lVa＜-g时，当-1时，当0＜a4!时，当。时,

［尤+无一a,x＜。2222

四种情况讨论求解即可.

(1)

解：若0=1时，/(x)=x2-|x-l|,

当xNl时，-x+1,对称轴为x=g,

所以〃尤)在区间［1,E)上单调递增，在X=1处取得最小值"1)=1,

当x＜l时，f(x)=x2+x-l,对称轴为X=-；,

所以f(x)在区间上单调递增，在上单调递减，

故在X=_；处取得最小值,

所以有

综上所述，“X)的值域为

(2)

解：若g(x)+2W。，即cos2%+2asinx+2aW0,

令t=sinx,有+2at+2cl+1W0,

「»51Pl

即，2—2m—(2々+1)三0,当—7T时，tG—,1,

根据题意有「-2m-（2a+l）\0对te恒成立,

由上一（2a+1）］（f+1）N。，令帖）=［一（2。+1）］«+1）,

当2a+l4T,即时，有/z⑺20对te恒成立，

当2a+l>—1,即a>-1时,有耳d>0,即——（2a+l）+l^j2：;0解得后一：.

综上所述，实数。的取值范围是，应-：.

（3）

57

解：若对任意的*eR,xG7。兀，都有/（玉）*（三），故有了（“神Ng"）3,

2A/\\/IIUI1\/IllaX

令，=sinx,贝（J有g«）=-r+2a/+2a-1,te—1,—,

根据题意有/（%）=

当a<T时，可知〃x）在尤=3处取得最小值-;+a,g⑺在f=J处取得最大值-2,故由-;+a»-2解

得即〃的取值范围为

4L4）

111

当-1工〃<-2时，可知/（%）在％=/处取得最小值-^+〃，g（。在处取得最大值：a2+2a-l,

故由-彳+。2/+2〃-1,可知。的取值范围为T—不］.

4L

111

当-2工。（0时，可知/（%）在x=5处取得最小值-1+〃，g⑺在处取得最大值Q2+2Q—1,故由

-aNa?+2〃-1得〃的取值范围为-5,。.

当0<〃弓时，可知/（%）在％=-；处取得最小值-；-〃，g（。在处取得最大值々2+2〃—1,

故由+2〃—1可知。的取值范围为卜,；.

当时，可知〃力在x=J处取得最小值：g⑺在”;处取得最大值：3〃-：，故由

~~~~a>3〃一二可知无解.

44

-71"

综上所述，实数。的取值范围是-.

19.（12分）如图，C是以为直径的圆。上异于A3的点，平面PAC_L平面ABC,PA=PC=AC=2,

BC=4,E,尸分别是PC,总的中点，记平面AE尸与平面ABC的交线为直线/.

(1)证明：BC_L平面PAC；

(2)直线/是否存在点Q,使直线尸。分别与平面心、直线所所成的角互余？若存在，求出A。的值;

若不存在，请说明理由.

答案：

(1)证明见解析

(2)存在，］AQ\=1

(1)由面面垂直推出线面垂直；

(2)建立直角坐标系，求出面AEF的法向量加，继而求出cos<Pg,而S,利用

Icos<PQ,EF>1=1cos<PQ,m>\,故可知直线/上存在点。，使直线加分别与平面AEF、直线E户所成的角互

余，进而求解.

(1)

证明：・・•£,尸分别是PB,PC的中点，

:.BC//EF,又印u平面EE4,3c不包含于面EE4,

,3。//面£/“，又BCu面ABC,面石㈤4c面ABC=/

BCHI,

又3C_LAC,面PACCl面ASC=AC,面PAC_L面ABC,

.•.3C，面PAC,面PAC

(2)

以C为坐标原点，C4为x轴，CB为>轴，过C垂直于面A5C的直线为z轴，建立空间直角坐标系，4(2,0。，

8(0,4,0),尸。,0,百)，E(；,0与,F(；,2,与,

_.3A/3—■

AAE=(--,0,—),所=(0,2,0),

22,

._3g

设。(2,y,0),面AE尸的法向量为机=(x,y,z),贝Ip"玩2^+22°,得玩=(1,0,g),

EF-m=2y=0

且迎=（1,%-百）,

—~.2yIy|»1-31

Icos<PQ,EF>|=||二尸二,|cos<PQ,m>|=|.|=.——-,

2也+y2也+/2y/4+y2y/4+y2

依题意，#Icos<PQ,EF>|=|cos<PQ9m>\,即丁=±1.

「•直线/上存在点。，使直线尸。分别与平面AE尸、直线石尸所成的角互余，|AQ|=1.

22

20.（12分）已知C：「+多=1的上顶点到右顶点的距离为近，离心率为9,过椭圆左焦点写作不与x

ab/

轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线加的方程为：x=-2a,过点M作ME垂直于直线”2交直

线加于点E.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）①求证线段EN必过定点尸，并求定点P的坐标.

②点。为坐标原点，求AOEN面积的最大值.

答案：⑴二+工=1；⑵①证明见解析，定点小轲；②?

43V2J4

（1）根据椭圆的几何性质和离心率，列出方程组，即可求出。涉，从而得出椭圆C的标准方程；

（2）①根据椭圆的对称性可知尸必在x轴上，F（-l,0）,可设直线建V方程：尤=〃7〉-1,联立直线和椭圆

的方程组并写出韦达定理，从而得出-2町%=3（%+%），求出直线硒的方程，令y=0,即可求出线段EW

所过的定点尸的坐标；

②由①可知民-%|=当”?，根据三角形的面积得出Sa。.=Jop恒一%|=熟牛，利用换元法，

c15r15

令，=向工，得出"0HV=，7T=H，最后利用基本不等式求和的最小值，从而得出AOEN面

积的最大值.

【详解】

y/a2+b2=y/l

解：（1）由题可知：［-=-,所以。=2,b=6,

a2

“2=/+（：2

22

故椭圆的标准方程为土+匕=1;

43

（2）①由题意知，由对称性知，P必在x轴上，F（-1,O）,

设直线MN方程：x=my-1,

设N(x2,y2),E(-4,yJ,

x=my-1

联立方程得龙22,得(3m2+4)y2-6my-9=0,

——+—=1

143

6m-9

所以％+%=

3m2+4

所以-2myxy1=3（必+%）,又心=干房，

所以直线EN方程为：，-％=三二?（尤+4）,

令尸0,则辿jE+3M

,,、%一为y2f

3/、

不（%一%）35

=-4-/------=-4+-=--»

%-％22

所以直线EN过定点.

②由①中A=144（疗+i）＞o,所以机eR,又易知"丫［=竺箜里