《微积分二》广义积分与G函数

0xyy=f(x)ab前情回顾1.旋转体的体积(实心)绕x轴旋转的旋转体绕y轴旋转的旋转体前情回顾旋转体的体积〔空心〕绕x轴旋转的空心旋转体绕y轴旋转的空心旋转体前情回顾2.积分在经济上的应用〔1〕总量的变化率求总量的改变量〔2〕边际函数求总量函数▲已知边际成本

，求总成本C(x):▲

已知边际收益

，求总收益R(x):一、广义积分二、

函数§6.8广义积分与

函数破坏这两个条件中的一条，就称为广义积分.引入定积分概念时，有两个根本要求：1、积分区间[a,b]是有限的；2、被积函数f(x)在[a,b]上是有界的.这种通常意义下的积分称为常义积分.对应上面的两个条件，若[a,b]变为无限区间，则称

为无穷限积分；

若

f(x)为无界函数，则称

为瑕积分.一、广义积分〔一〕问题的提出解：由定积分的几何意义0xyy=11+x2AbB在(0,+∞)内任取一点b，过b作x轴的垂线x=b，那么曲边梯形A0bB的面积当b→+∞时，

即〔二〕无穷限的广义积分求由曲线与坐标轴所“围成”的开口曲边梯形的面积.1、引例0xyy=11+x2A定义6

2(无穷限广义积分)

设函数f(x)在区间[a,

)上连续

如果极限存在那么称此极限值为f(x)在[a,)上的广义积分记作2、概念定义6

2(无穷限广义积分)2、概念

设函数f(x)在区间(

,b]上连续

如果极限存在那么称此极限值为f(x)在(,b]上的广义积分记作定义6

2(无穷限广义积分)2、概念设函数f(x)在区间(,)上连续那么f(x)在(,)上的广义积分定义为

解

(1)计算步骤:先求定积分,再取极限.3、计算(2)约定记号:若

，则(1)计算步骤:先求定积分,再取极限.3、计算书写太繁

解

例2

思考：？所以发散，从而也发散.思考：注:

“偶倍奇零”只有当广义积分收敛时适用！练习：判别下列广义积分的敛散性.例4.讨论

的敛散性.解:当

时，

当时，故

在

时收敛；在时发散.〔三〕无界函数的反常积分瑕积分如果

f(x)在区间[a,b]上某点无穷间断，则称该点为f(x)的瑕点，并称积分

为瑕积分.注：一个积分是不是瑕积分，就是看在积分区间上有没有无穷间断点.C例5.下列积分属于瑕积分的是_____

设函数f(x)在(a,b]上连续

当x

a

时

f(x)

无穷限广义积分的处理手法：无界函数的广义积分如何处理？

定义6

3(无界函数的广义积分)

设函数f(x)在(a,b]上连续

当x

a

时

f(x)

如果存在那么称此极限为无界函数f(x)在[a,b]上的广义积分记作

如果上述极限不存在

就说广义积分不存在或发散

定义6

3(无界函数的广义积分)

设函数f(x)在[a,b)上连续

当x

b

时

f(x)

如果存在那么称此极限为无界函数f(x)在[a,b]上的广义积分记作

如果上述极限不存在

就说广义积分不存在或发散

定义6

3(无界函数的广义积分)设函数f(x)在区间[a,b]上除点c(acb)外连续而当xc时f(x)那么f(x)在[a,b]上的广义积分定义为(2)约定记号:若

，则(1)计算步骤:先求定积分,再取极限.瑕积分的计算

解

显然x=0为瑕点提示

例6.

解

显然x=0为三个广义积分的瑕点.收敛发散发散综上：当p<1时，原积分收敛；当

时，原积分发散.在p<1时收敛；在

时发散.

在

时收敛；在时发散.注：被积函数假设不满足可积条件,那么不能使用牛顿-莱布尼兹公式.例9.二、

函数

解：此题分部积分两次，假设被积函数中x的指数为一百，那么需分部积分一百次！定义6

4(

函数)递推公式

(r

1)

积分是参变量r的函数

称为

函数

r

(r)(r>0)

(n

1)

n!(n为正整数)

概率论中常用

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n为正整数)

例9

2

4

1

4

0

4

(0

4)

(3

4)

(2

4

1)

2

4

(2

4)

2

4

(1

4

1)

2

4

1

4

(1

4)

2

4

1

4

(0

4

1)例10.