《现代信号处理》课程教案第08章 M通道滤波器组

第8章M通道滤波器组

8.通道滤波器组的基本关系

图8.1.1是一个标准的M通道滤波器组。

图8.1.1M通道滤波器组

由第五章~第七章的讨论，我们不难得到图中各处信号之间的如下相互关系：

Xk(z)=X(z)H《z)(8.1.1)

1M-lJ_

匕(Z)=77ZX式%,)

"/=0

1M-lJ_J_

=77ZX(%Z")凡(吗/z")(8.1.2)

MM

iM-l

及U&(z)=K(z")=77Ax(z%')凡(z%,)(8.1.3)

MM

滤波器组的最后输出

M-l

文(z)=ZG(z)q(z)

%=0

1M-lM-l

=..X(z%%」(z%)G(z)(8.1.4)

令4(Z)=77£%(Z%')GC)(8.1.5)

MM

M-\

则文(z)=£a(2)X(z/')(8.1.6)

/=0

这样，最后的输出戈(z)是X(z%’)的加权和。由于

X(z%')Li=…M))(8.1.7)

在/h0时是X(/°)的移位，因此，戈(〃。)是X(/e)及其移位的加权和。由上一章的讨

论可知，在/#0时，X(/s-2»〃"))是混迭分量，应想办法去除。显然，若保证

A(z)=O/=1(8.1.8)

则可以去除图8.1.1所示滤波器组中的混迭失真.

再定义

1M—1

T(z)*A0(Z)=—^Hk(Z)Gk(Z)(8.1.9)

MS

显然，T(z)是在去除混迭失真后整个系统的转移函数。这时，戈(z)是否对X(z)产生幅

度失真和相位失真就取决于丁⑶的性能。若T(z)是全通的，也即，(/3)|=常数归n，

那么滤波器组可避免幅度失真，若T(z)再具有T(z)=cz-*的形式，那么滤波器组又将消

除相位失真。因此，(8.1.9)式的T(z)和(7.2.4)式的T(z)一样，都称为“失真函数”。

由(8.1.5)式，A(z)~4_i(z)能否为零取决于4(z),&(z),左=0~M—1的性

质。将该式写成矩阵形式，有

一一G(z)'

-A(z)H0(z)Hi(z)0

A(z)”o(zW)W(zW)G(z)

M=(8.1.10)

M1

H0(zW-)“1(ZW"T)G“T(Z)_

«z)=[M4(z),0,,0匕g(2)=[G0(z),,GM_1⑶了(8.1.11)

并令(8.1.10)式右边的矩阵为H(z),则在去除混迭失真的情况下，有

f(z)=H(z)g(z)(8.1.12)

式中H(z)的第一行是“0(2),-，HMT(Z)，第二至第M-1行分别是由这M个滤波器的依

次移位所构成。因此，7/(z)又称“混迭分量(AliasComponent,AC)矩阵”。它等效于

两通道情况下由(7.2.8a)式给出的矩阵

由(8.1.12)式，我们有

g(z)=HT(z"(z)(8.1.13)

为保证去除混迭失真，可选«z)=[M4(z),0,,0]r=[c'z-\0,.,0]。这样，若〃(z)已

知，即可求出综合滤波器组g(z)。且整个的M通道滤波器组还具有PR性质。但(8.1.13)

式在实际应用中有一系列的问题，这是因为：

g(z)=(8.1.14)

式中adjH(z)是H(z)的伴随矩阵。

(1)若7/(z)是FIR的，显然det〃(2)也是FIR的，这时g(z)将变成IIR的；

(2)若选择det"(z)=cz-*(z),这时g(z)可保证是FIR的，但由于

g(z)=adjH(z),因此g(z)的阶次将远大于H(z)；

(3)若H(z)有零点在单位圆上，g(z)的幅度将会产生较大的失真。

此外，由(8.1.13)式或(8.1.14)式并不容易找出E(z)、g(z)的关系以及H(z)自

身应具有的特点，因此，我们需要采用多相结构的方法来研究如何去除混迭失真及探讨实

现PR的途径。

8.2M通道滤波器的多相结构

仿照(7.6.9)和(7.6.10)式，在多通道情况下的分析滤波器组可表为:

“/(z)=Xz"/,/(z/)(8.2.1)

1=0

写成矩阵形式，有

"o(Z)号MTQM)ri

乜(z)W")z-1

(8.2.2)

—z")Jz”

HMT(Z)

记A(z)=[Ho(z),Hi(z),，4Uz)r,e(z)=[l,z，(8.2.3)

并记(8.2.2)式右边的矩阵为E(z”),则

/r(z)=E(z相)e(z)(8.2.4)

E(z")称为多相矩阵，而林z)是由上一节的AC矩阵〃(z)的第一列构成的。同理，对综

合滤波器组G*(z)按第二类多相结构展开，有

Gk(z)=Ez--)"zM)(8.2.5)

1=0

写成矩阵形式：

(M1)(M2)

[GO(2)，G(Z),.,GM_1(z)]=[z--,z--,,1].

-%o(z")•—一

R")用MT(Z")

(8.2.6)

记该式右边的多相矩阵为R(z”),则(8.2.6)式可写为如下更简洁的形式：

gT(z)=zYMT)e(z/(z“)(8.2.7)

式中g(z)已在(8.1.11)式中定义，e(z)=[e(z-1)]ro利用(8.2.2)和(8.2.6)式，图8.1.1

的M通道滤波器组可改为图8.2.1(a)的形式。再利用恒等变换，又可改成图(b)和(c)

的形式。

在图(c)中，

尸(z)=R(z)E(z)

该图的得到过程与图7.6.1和图762的导出过程相类似。因此，对整个滤波器组的分析可

集中到矩阵E(z)和R(z)的分析，或简单的尸(z)的分析。若尸(z)为单位阵，我们可以想

象，那么该滤波器组一定可以实现准确重建。

至此，我们已讨论了M通道滤波器组的两种表示形式，一是用(8.1.10)式的AC矩

阵表示的形式，二是用(8.2.2)式表示的多相形式。在深入讨论E(z)、R(z)的性能对整

个系统PR性能的影响之前，我们先讨论一下，AC矩阵H(z)和多相矩阵E(z)的关系。

由(8.2.3)式对由z)的定义及(8.1.10)式对E(z)的定义,我们有

HT(z)^[h(z),h(zW),(8.2.8)

由(8.2.2)式，H7(z)又可表为

HT(z)=[E(ZM)e(z),E(z")e(zW),,E(zM"(zW*)]

=E(z")[e(z),e(zW)〃.,e(zW"T)]

X(z)

X(z)%(〃)%(〃)

图8.2.1M通道滤波器组的多相结构；（a）直接表示;

（b）利用恒等变换后的表示；（c）进一步的简化表示

111

1W

记(8.2.9)

1

Z>(z)=dhg[l,z一〔..,zY"T](8.2.10)

则HT(Z)=E(Z")Z>(Z)W*(8.2.11a)

或H(Z)=WHD(Z)E\ZM)(8.2.11b)

(8.2.11)式即是混迭分量矩阵7/(z)和多相矩阵E(z^)的关系。

8.3混迭抵消和PR条件的多相表示

我们在8.1节已指出，若A⑶，41T(z)全为零，则可实现混迭抵消。进一步，若T(z)

为全通函数，或T(z)=cz-3则M通道滤波器组可以实现准确重建。现在我们讨论这些

条件的多相表示。

定理8.1一个M通道最大抽取滤波器组混迭抵消的充要条件是多相矩阵

尸(z)=R(z)E(z)

为伪循环矩阵。

所谓的伪循环矩阵，它是由一个循环矩阵

-

A(z)6(z)鸟(z)PM-1(Z)

&T(Z)庶(z)《(z)PM.-2(Z)

PM-2(Z)—)虫Z)PM-3(Z)

_EG)2(2)l(z)片⑶

将其主对角线以下的元素都乘以z「i所得到的矩阵，即

4(z)4(z)6(z)PM—I(z)「

z-1

与T(Z)B(z)4(z)PM一2(z)

z-1z-)

k(z)6(z)PM-3(z)

z-*(z)zM(z)z—£(z)

该伪循环矩阵所对应的时域关系是：

-

Pl(")n

Po⑺p2()

Po(n)Pl(")PM.ZS)

PM.2(〃T)Po(")PM-35)

Pi(n-l)P2(〃T)“3(〃T)Po5)

现证明定理8.1。

由图8.2.1(c),有

iM-lJ_J_

匕(z)=——>(z"W，TX(zMW，Z=O,1,-,M-1(8.3.1)

MM

M-l

a(z)=£R/(z)h(z)(8.3.2)

1=0

于是最后的输出

M-l

文(z)=£z-(MTr)q(zM)

s=0

M-lM-l

f2--空月,武)叱)

5=0/=0

1M-lM-lM-l

=—2z-EE2匕(z“)£(z铲尸X(zk)(8.3.3)

"s=0/=0k=0

该式是〃通道滤波器组中输入、输出关系的多相表示。交换求和顺序，有

1M-lM-lM-1

文(Z)=—AX(zM)£W「Mzz-'z-MiT?j(z")(8.3.4)

Mk=oi=os=o

因为X(zW*),左=1,2,1为混迭分量，为使混迭抵消，我们应设法令其等于零。

也就是说，使混迭抵消的充要条件是使左20时的

M-lM-1

£旷"£z"z-(M(Z“)三0(8.3.5)

/=05=0

M-1

记j>TzYM4%(z")=0(z)(8.3.6)

5=0

则(8.3.5)式可表为：

M-1cz一的k=Q

Zw「%(z)=<(8.3.7)

1=00k=1,.—1

式中c为不等于零的常数。

为便于观察矩阵尸(z)中元素4」的规律，现对(8.3.6)式作进一步的展开。假定M=4,

有

然(z)=Z34o+z2/+z"o+月,0(8.3.8a)

Ql(z)=zPQi+Z耳J+zP2i+zP3X(8.3.8b)

2(Z)=Z54,2+z_4：2+z3P22+Z2P3?(8.3.8c)

Qi(z)=z"稣,3+z5片,3++Z3鸟,3(8.3.8d)

注意式中省去了EJ(Z4)的(z4)。同时，(8.3.7)式可表为

-2(z)

a（z）0

WH=

0

由于所以上式又变为

-Go(z)一czf一

QI(z)0

=w(8.3.9)

2T(z)_0

常数C'包含了常数C和由于W是DFT矩阵，其第一行和第一列全为1。因此，（8.3.9）

式意味着

2(Z)=QI(Z)=...=QM_](Z)=C'ZT。(8.3.10)

由（8.3.8）和（8.3.10）式可知，矩阵尸（z）中各元素己,应有如下规律（以M=4为例）

①同为*3的系数应该相等，即

%0=6.1=旦,2=6,3

②同为Z-2的系数应该相等，即

4.0=^2,1=^3,2

③同为z-i的系数应相等，即P20=P3l

④由于Qo（z）=Qi（z）,因此，在（8.3.8）的前两个式子中，必应有

6,0=Z-4%]

⑤同理，由（8.3.8b）和（8.3.8c）式，应有

Z1片,1=Z5稣,2

由(8.3.8c)和(8.3.8d)式，应有

Z2鸟,2=Z”％

因此矩阵尸的各元素之间应有

£),()%4,24,3

4,26,3

靠6』

P=W,』=

^2,0^2,1^2,26,3

W，0^3,1A,3

A,2

4,3

此,04』%

Z234,06,16,2

222Z飞3%,(

“0,2zlF

*』z3,3%o_

注意式中由滔5改成Z-是因为矩阵P实际上是尸(Z，。由此我们可以看出，尸(Z)确实是

一伪循环矩阵。

本定理的证明可参看文献［23］,另一种证明方法可参看文献［15］。

在两通道的情况下，若尸(z)=R(z)E(z)=/,则该系统可以实现准确重建。同样，

由图8.2.1c,在M通道的情况下若P(z)为单位阵，那么该系统也必然会实现PR。其实,

在"通道情况下，我们不一定要求尸(z)为单位阵，条件可适当放宽。下面的定理给出了

M通道滤波器组实现PR的充要条件。

定理8.2一个〃通道最大抽取滤波器组实现准确重建的充要条件是

P(z)=R(z)E(z)=cz-"11jI](8.3.11)

式中人/为整数，1,c为不等于零的常数。

证明：PR条件意味着混迭抵消条件成立。由(8.3.4)式，在公0时，有

1M-1M-1

戈(2)=7Tx(2)2£2-£("»叱QM)(8.3.⑵

MMM

由(8.3.6)式的定义，则

1M-l1

X(z)=—X(z)^Q,(z)=—X(Z)[2O(Z)+Qx(z)++QMT(Z)]

MM

由(8.3.10)式，并定义

QO(2)=QI(Z)D..=QMT(2)Q(Z)(8.3.13)

则文(z)=X(z)Q(z)(8.3.14)

我们希望戈(z)=ex(〃一%),则Q(z)=cz-徇。由(8.3.8a)式，由于

以(z)=Q(z)=Z-S或。(z)+z"/⑶++z-i-o(z)+-)

因此，要求Q(z)=czf，则等效要求&(z)中只能包含一项。不失一般性，设Qo(z)中下

标为(7,0)的元素不为零，该项是zYMT-y)[,o(z)。由于尸(z)又是伪循环矩阵，也即从第

一行开始，以下各行元素都是第0行元素循环移位的结果，因此，尸(z)必然具有如下形

式：

一00Z-(—%o(Z)00

000z-(…A°(z)0

0000

尸(Z)=

Z-叱“Z—匕⑶00

0Z-(…)/(z)0

-0I_；

即P(z)=M(8.3.15)

z-'l„0

于是定理得证。

8.4M通道滤波器组的设计

定理8.1和定理8.2指出，对M通道最大抽取滤波器组，若去除混迭失真，则

尸(z)=R(z)E(z)应为一伪循环矩阵。若再做到准确重建，则P(z)的每一行(或列)只

能有一个元素不为零，整个的尸(z)如(8.3.11)式所示。这样，实现PR的〃通道滤波

器组的P(z)结构已确定，其余的任务即是寻求"Kz'GKz),左=0』,…,M-1来满足

尸(z)。直接求出”,(z)，G(z)是比较困难的。由于尸(z)=R(z)E(z),因此，由给定形

式后的尸(z)来寻求E(z)相对比较容易。又由于一旦求出E(z)后为求R(z)需要求逆运

算，而求逆往往会带来数值上的不稳定或是使R(z)为IIR的。因此，为避免求逆运算，

我们往往假定E(z)是仿酉的。这样

R(Z)=CZ-"°E(Z)(8.4.1)

是一个极简单的计算。同时

P(z)=R(z)E(z)=cz』E⑶E(z)=cz-"°I(8.4.2)

保证了系统的PR性质。反之，若系统满足PR,由(8.4.2)和(8.4.1)式，E(z)必定是

仿酉的。现在的问题是如何设计出E(z)使之满足(8.4.2)式，一旦E(z)求出，由

4(z)=Xz"E&j(z")(8.4.3a)

1=0

M-l

M

Gk(z)=£z-(M-i)Rhk(z)(8.4.3b)

1=0

即可求出4(z)和G/z),左=0,1,…,M—l。

由第七章两通道滤波器组的分析可知，若要设计出一个满足要求的仿酉矩阵E(z),可

行的方法是将EQ)分解成一系列简单矩阵的积，如(7.7.9)式。在该式中，我们将E(z)

分解成旋转矩阵纭和对角矩阵。(z)的级联。线中仅包含一个参数应。通过最优的方法

求出％,从而得到E(z),也即得到H0(z)和乜(z)。对多通道情况下的E(z),我们也

可仿照(7.7.9)式将其分解为旋转矩阵和对角矩阵的级联。但这时的旋转矩阵线将会有

较多的正弦和余弦，因此，/中包含的参数将远不只一个，这将给后边的优化工作带来

困难。文献［15］提出了一个对E(z)分解的“diadic”方法。现给以简要介绍。

给定一个范数等于1的向量匕，其维数为Afxl,那么匕,匕/是MxM的矩阵，定

义

HH1

cm^=i-vnym+vnymz~(8.4.4)

则C”(z)是仿酉矩阵，即

Cm(z)Cm(z)=Z(8.4.5)

此式的证明见文献［23］。这样，每一个G“(z),机=0』,1,都是一个一阶的仿酉

系统，该系统可由图8.4.1来实现。

H

VT7v

mym

*■---------------------->-r........>

图8.4.1一阶仿酉系统C,“(z)的实现

可以证明，一个J阶的仿酉矩阵E(z)可由一阶的简单仿酉矩阵C,"(z)的级联来构成,

即

E(z)=G(z)G_1(z)G(2)U(8.4.5)

式中。为常数酉矩阵，即=那么，E(z)可由图8.4.2来实现。

沙一G(z)—C2(z)-一--^g(z)

图&4.2E(z)的实现

文献［15］进一步证明了常数酉矩阵U可进一步作如下分解：

U=&UUM_XD(8.4.6)

式中。是对角阵，其元素而矩阵q可表为

Uj=I—2叫11：(8.4.7)

式中对也是范数为1的向量，因此称为“Householder”阵。这样矩阵U

可由图8.4.3a来实现，而矩阵U,可由图8.4.3b来实现。无论E(z)的系数是实的还是复

的，上述分解都成立。如果E(z)的系数是实的，那么向量匕"和"，的元素都是实的。

将E(z)按(8.4.5)式分解，。力小)由(8.4.4)式的匕，表示，而将U可按(8.4.6)

式分解后，G又由(8.4.7)式的％表示。因此，决定E(z)的主要是向量匕“和火,现在

的工作是选定一目标函数，然后对匕和％求最优，从而得到所需要的“好的”分析滤波

器“Hz)。目标函数可选区(z)«=0,l,,，M-1这〃个滤波器阻带能量的和，即

M-10

'二Zjdco(8.4.9)

后=o阻带

令。将对乙和%最小可得到Hk(z)，再由G*(z)=cz-(NT后*(z)即可得到综合滤波器组。

—

2i/(

(b)

图8.4.3(a)矩阵U的实现(b)矩阵q的实现

文献［15］利用此方程设计了一个三通道的滤波器组，其幅频响应如图8.4.4所示,

%(〃),％(〃)和似〃)的数值如表8.4.1所示。

表&4.1三通道滤波器组各滤波器的系数

/z(n)

n45)45)2

0-0.0429753-0.09277040.0429888

10.00001390.0000008-0.0000139

20.14891040.0087654-0.1489217

30.29719540.00002260.2972354

40.35375390.1864025-0.3537496

50.2672266-0.00000200.2672007

60.0870758-0.3543303-0.0870508

7-0.0521155-0.0000363-0.0520909

8-0.08759730.35645940.0875786

9-0.0427096-0.0000049-0.0427067

100.0474530-0.1931082-0.0474452

110.04296180.00002300.0429677

120.00.00.0

13-0.0232765-0.0000026-0.0232749

140.00000220.00.0000022

图8.4.4三通道滤波器组的幅频响应

8.5余弦调制滤波器组

8.5.1余弦调制滤波器组的基本概念及伪QMFB

我们在6.2节介绍了DFT滤波器组。其思路是给定一个原型滤波器组h(n),令

j—kn

M

hk(n)=5(n)e(8.5.la)

则/=或/”)),左=0/，(8.5.1b)

j—kn

即/个分析滤波器组是由以“)作调制所得到的，调制因子是e",相应的频谱是

”(标0)做均匀移位所得到的。移位距离是21/"。这样，为防止之间有混迭，

”的截止频率在万/M。，带宽为21/河。如图6.1.2所示。

DFT滤波器组只需设计一个原型的低通滤波器力(")，整个分析滤波器组可由(8.5.1a)

式得到，且其实现可用FFT来完成，如图622所示，这是它的突出优点。然而DFT滤波

器是一种复数调制滤波器组，即使丸(“)是实的，为("),左=1~"-1也是复的，这样，对

实信号x(a),经分析滤波器组的分析后，M个子带信号也都变成复信号。这是DFT滤波

器组的缺点。

为了克服DFT滤波器组的这一缺点，人们又提出了“余弦调制”滤波器组的概念。假

定我们给定两个原型滤波器h(n)和g("),令

D71

hk(n)=2/z(〃)cos[(左+0.5)(〃一万)瓦+4](8.5.2a)

D兀

g式")=2^(n)cos[(^+0.5)(n-y)--(8.5.2b)

左=0,1,,M-1

则可得到加个分析滤波器和M个综合滤波器，但它们都是实系数的滤波器。式中

4=(—1)&万/4(8.5.3)

。是整个滤波器组输出相对输入的延迟。由于％(〃)，gK〃)是原型的/2("),g(")乘以余弦

函数所得到的，因此称它们为“余弦调制”滤波器组。现就(8.5.2)及(8.5.3)式的给

出做一些说明。

对给定的原型低通滤波器h®，我们首先由它得到一个2河大的DFT分析滤波器组,

即令

b，

pk(71)=h(n)W2M^(8.5.4a)

k

Pk(z)=H(zW2M)左=0,1,,2M-1(8.5.4b)

式中%“=e.*/2"。我们假定“⑺是实的，所以悭(6川)|是偶对称的，并假定是

低通的，其截止频率在21/河处，带宽为万/M,如图8.5.la所示。由于

尺=左=0,1,,2M—1(8.5.4c)

所以忸(*)|如图&5.1b所示。

由该图可以看出，忸(小)|和，小式/)3=1,.,2/—2是相对°=0为对称的。

这样，如果我们把冗(z)和EMY(Z)相结合形成一个滤波器，那么该滤波器将具有实系数，

且带宽度为21/河。现在讨论如何实现这两个滤波器的结合。

图8.5.1余弦调制滤波器组的频率响应

(a)原型低通(b)2〃个分析滤波器组

k

令Uk(z)=CkH(zW)(8.5.5a)

k

Vk(z)=C*H(zW-)(8.5.5b)

式子中G为模为1的范数。令

Hk(z)=akUk(z)+a^Vk(z),左=0,1,,M-l(8.5.6)

式中以也是模为1的范数。由于

N-1

H(z)=£h(n)zf(8.5.7)

n=0

是阶次为NT的FIR实系数低通滤波器，所以，由(8.5.6)式得到的

N-1

Hk(*=£hk(n)z-"左=0,1,.,M-1(8.5.8)

n=0

也是N-1阶的FIR滤波器，由于U/z),%,。*,。/的共辗特性，因此”(〃)也是实系数。显

然，”o(z)是低通的，〃MT(Z)是高通的，其余则是带通的。

由前述各类滤波器的讨论可知，综合滤波器组一般应和分析滤波器组具有相同的幅频

响应。因此，我们可选

Gk(z)=bkUk(z)+b；Vk(z),^=0,1,-,M-1(8.5.9)

这样，由(8.5.5)〜(8.5.9)式保留了三个常数待确定，即和,。如同所有

的滤波器组一样，需要研究如何实现混迭抵消及去除幅度失真和相位失真的问题。

80年代中期提出的余弦调制滤波器组着重研究的是所谓“伪QMF”滤波器组［132,102］,

这一类滤波器组近似实现PR,但不是真正的PR,它可以去除相位失真，混迭失真没能完全

抵消，幅度失真也没能完全去除，只是尽量做到最小。文献［95］提出了第一个可实现PR

的余弦调制滤波器组，但为(〃)和&(〃)的长度为2M。而后，人们利用仿酉矩阵的特点，

进一步把滤波器的长度扩展到任意长，并把调制矩阵由第W类DCT扩展到DCTTI和DCT-

IIIO现在先从伪QMF的情况讨论以,4和4的决定以及相应的时域、频域关系。

由(8.1.9)式，在M通道滤波器组中失真函数T(z)总有如下的形式：

1M-1

T(z)==£Hk(z)Gk(z)(8.5.10)

MW

若选择g*⑺=%(NT-")(8.5.Ila)

或等效地选择G<z)=z-("H(zT)=Z-(NT)方式z)(8.5.lib)

-(N-l)M-l

则T(z)=^-Z%(z)&(zT)(8.5.12a)

MM

M-l2

或MT(*)=(8.5.12b)

左=0

这样，如果T(z)具有线性相位，从而去掉了相位失真。若再是功率互补的，则可

去掉幅度失真。文献［15］证明了如下关系：

1.为去除混迭失真，应选择以4*=—4_也;；

2.选择0=叫/-2(口)/2,可保证U&(z),匕(z)和H(z)有着同样的相频响应；

3.选择4=以*,可使6尺2)=2一37”<2),从而使T(Z)具有线性相位，从而去除

相位失真；

4.选择4=(—1)*加1及4=殁*,保证了第1条的％，4条件，即去除混迭失真。

对外的此种制约，可选

j6k

ak=e,4=(-l)q(8.5.13)

这时，T(z)可简化为

1M-\

T(z)一标自叫②⑶+限⑶］(8.5.14)

5.总之，按(8.5.13)式选择外及使G/2)如(8.5.11b)式，我们可近似消除混迭失

真，并完全去除相位失真。在上述条件下，％(〃)和g*(〃)最后简化为(8.5.2)式，且在

该式