机械制图-基本体及其截断体的投影

单元四根本体及其截断体的投影工程描述：任何机体，不管其形状多么复杂，都可以看成是由圆柱、圆锥、圆球、棱柱、棱锥等单一几何形体(根本体)按一定方式组合而成，它们是构成形体的根本单元。本工程中通过介绍各种根本几何体及截断体的投影特征，学习根本几何体的画法及外表取点方法；学习根本几何体及截断体尺寸标注方法。工程目标：1、掌握平面立体和曲面立体的种类及其三视图画法。2、掌握平面立体和圆柱体外表取点、取线的作图方法。3、能正确、完整的标注根本及其切口穿孔的尺寸。4、掌握截切根本体交线的画法。能力目标：1、学会运用投影原理分析根本体及其三视图。2、培养运用投影原理绘制根本体三视图的能力。3、掌握根本几何体外表求点方法。任务一平面立体根据外表性质的不同，根本体分为平面立体和曲面立体两类。立体外表全部由平面所围成的立体，称为平面立体。如棱柱和棱锥等。图4-1根本体组成的机体一、六棱柱三视图及斜截六棱柱的三视图画法棱柱由两个底面和棱面组成，棱面与棱面的交线称为棱线，棱线互相平行。棱线与底面垂直的棱柱称为正棱柱。图4-2a所示为一正六棱柱。由上、下两个底面〔正六边形〕和六个棱面〔长方形〕组成。(a)(b)立体图(c)投影图图4-2正六棱柱投影及外表上的点的三视图六棱柱的三视图分析上、下两底面均为水平面，它们的水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。六个棱面中的前、后两个为正平面，它们的正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。(1)俯视图六棱柱的俯视图是正六边形，是六棱柱顶面和底面的重合投影，反映顶、底面的实形。正六边形的六条边是六个侧面垂直于顶、底面的积聚性投影。(2)主视图六棱柱的主视图由三个矩形线框组成。中间的矩形线框为前、后侧面的重合投影，反映实形。左、右两个窄的矩形线框分别为六棱柱其余四个侧面的投影，由于它们不与正面平行，因此不反映实形，是类似形。主视图上、下两条图线是顶面和底面的具有积聚性的投影。(3)左视图六棱柱的左视图由两个大小相等的矩形线框组成。两个矩形线框分别是棱柱左、右两边四个侧面的重合投影，为缩小的类似形。左视图上下两条图线是棱柱顶、底面积聚性的投影，左右两条边直线为前、后侧面积聚性的投影。正棱柱的投影特征：当棱柱的底面平行某一个投影面时，那么棱柱在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影那么由假设干个相邻的矩形线框所组成。六棱柱的三视图作图步骤(a)画俯视图(b)根据六棱柱高，按投影(c)根据主、俯视图，按投影关系画出关系画出主视图左视图图4-3正六棱柱三视图的作图步骤3.棱柱外表的点的投影方法：利用点所在的面的积聚性法。〔因为正棱柱的各个面均为特殊位置面，均具有积聚性。〕平面立体外表上取点实际就是在平面上取点。首先应确定点位于立体的哪个平面上，并分析该平面的投影特性，然后再根据点的投影规律求得。［例4-1］如图4－2〔c〕所示，棱柱外表上点M的正面投影m′，求作它的其他两面投影m、m″。因为m′可见，所以点M必在面ABCD上。此棱面是铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，故点M的水平投影m必在此直线上，再根据m、m′可求出m″。由于ABCD的侧面投影为可见，故m″也为可见。注意：点与积聚成直线的平面重影时，不加括号。4.斜截六棱柱的三视图［例4-2］如图4-4所示，画出正垂面斜切六棱柱的三视图(b)图4-4截切六棱柱三视图分析：六棱柱被正垂面斜切，截交线是六边形，其六个顶点是六条侧棱与截平面的交点。六边形的正面投影与截平面的正面投影重合；水平投影那么重合于棱柱的俯视图上。由六边形各顶点的水平投影及正面投影求得其侧面投影，依次连接各点的侧面投影即得截交线的侧面投影。二、三棱锥三视图及截切圆锥体交线的画法1．三棱锥的三视图分析棱柱的底面为多边形，各侧面为假设干个具有公共顶点的三角形。从棱柱顶点到底面的距离叫做棱锥的高。当棱的底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。。如图4－5〔a〕所示为一正三棱锥，它的外表由一个底面〔正三边形〕和三个侧棱面〔等腰三角形〕围成，设将其放置成底面与水平投影面平行，并有一个棱面垂直于侧投影面。(a)(b)立体图(c)投影图图4-5三棱柱投影及外表上的点的三视图(1)俯视图三棱锥的底面△ABC是水平面，其水平投影反映实形。由于是正三棱锥，所以锥顶S的水平投影s位于底面三角形的中心上。三条侧棱线把△abc分成三个等腰三角形，分别是棱锥△SAC、△SBC、△SAB三个棱面的投影，水平投影是类似形，都不反映实形。(2)主视图棱锥的底面的正面投影积聚成水平方向的直线，其水平投影反映实形。由于棱锥的三个棱面△SAB、△SBC、△SAC都是侧垂面，因此正面投影是类似形，都不反映实形。(3)左视图棱锥的底面的侧面投影仍积聚成水平方向的直线，棱面△SAC的侧面投影积聚成直线。另两个棱面△SAB、△SBC对称，其侧面投影是重合的，但不反映实形。棱线SB的投影反映实长。注意：正三棱锥的左视图不是一个等腰三角形正棱锥的投影特征：当棱锥的底面平行某一个投影面时，那么棱锥在该投影面上投影的外轮廓为与其底面全等的正多边形，而另外两个投影那么由假设干个相邻的三角形线框所组成。三棱锥的三视图作图步骤(a)画俯视图(b)根据六棱柱高，按投影(c)根据主、俯视图，按投影关系画出关系画出主视图左视图图4-6三棱锥三视图的作图步骤3.棱锥外表上点的投影方法：1〕利用点所在的面的积聚性法。2〕辅助线法。首先确定点位于棱锥的哪个平面上，再分析该平面的投影特性。假设该平面为特殊位置平面，可利用投影的积聚性直接求得点的投影；假设该平面为一般位置平面，可通过辅助线法求得。［例4-3］如图4－5〔c〕所示，正三棱锥外表上点M的正面投影m′和点N的水平面投影n，求作M、N两点的其余投影。因为m′可见，因此点M必定在△SAB上。△SAB是一般位置平面，采用辅助线法，过点M及锥顶点S作一条直线SK，与底边AB交于点K。图4－5中即过m′作s′k′，再作出其水平投影sk。由于点M属于直线SK，根据点在直线上的附属性质可知m必在sk上，求出水平投影m，再根据m、m′可求出m″。因为点N不可见，故点N必定在棱面△SAC上。棱面△SAC为侧垂面，它的侧面投影积聚为直线段s″a″〔c″〕，因此n″必在s″a″〔c″〕上，由n、n″即可求出n′。4.斜截四棱台的三视图［例4-4］如图4－7〔a〕所示，求作正垂面P斜切正四棱台的截交线。(a)(b)图4-7截切四棱台三视图分析：截平面与棱锥的四条棱线相交，可判定截交线是四边形，其四个顶点分别是四条棱线与截平面的交点。因此，只要求出截交线的四个顶点在各投影面上的投影，然后依次连接顶点的同名投影，即得截交线得投影。当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽或穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间得交线，就可作出这些平面立体的投影。［例4-5］如图4－8〔a〕所示，求作切槽四棱台的截交线。(a)(b)(c)图4-8切槽四棱台的视图画法分析：四棱台上部中间的通槽，是被两个左右对称的侧平面和一个水平面切割而成。两侧平面在V和H面上的投影都具有积聚性；一水平面在V面和W面上具有积聚性。这样，该槽在V面上的投影具有积聚性，其侧面投影不可见，水平投影可见。在正面投影积聚为三条直线，为通槽的形状特征。因此，先画槽的正面投影，根据求出和b,过b作ef、df的平行线，并相应画出其后半局部的对称局部，它们分别与通槽两侧面具有积聚性的水平投影相交，画出俯视图；再根据点和直线的投影规律完成左视图。知识问答：１、根本体有哪几类？常见的根本体有哪些？２、正三棱锥和正六棱柱各有什么特点？知识扩展：1、截交线的概念平面与立体外表相交，可以认为是立体被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体外表的交线称为截交线。图4－9为平面与立体外表相交例如。图4—9平面与立体外表相交2、截交线的性质〔1〕截交线一定是一个封闭的平面图形。〔2〕截交线既在截平面上，又在立体外表上，截交线是截平面和立体外表的共有线。截交线上的点都是截平面与立体外表上的共有点。 因为截交线是截平面与立体外表的共有线，所以求作截交线的实质，就是求出截平面与立体外表的共有点。3.平面与平面立体相交平面立体的外表是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体外表的交线。任务二回转体由一条母线(直线或曲线)围绕轴线回转而形成的外表，称为回转面；由回转面或回转面与平面所围成的立体，称为回转体。常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球、圆环等。圆柱体三视图圆柱的三视图分析(a)(b)立体图(C投影图图4-10圆柱投影及外表上的点的三视图俯视图是一个矩形线框，矩形线框左、右两边是圆柱顶面和底面的具有积聚性的投影。矩形上、下两边是圆柱面最左边与最右边两条素线的投影。主视图亦是一个矩形线框，矩形线框的左、右两边亦分别是圆柱顶面和底面的具有积聚性的投影。矩形上、下两边是圆柱面最上边与最下边两条素线AA和BB的投影，这两条素线称为轮廊素线。它即是圆柱前半局部与后半局部的分界线，也是圆柱可见局部与不可见局部的分界线。它们的水平投影积聚成点，侧面投影与圆柱的轴线重合，因圆柱外表是光滑的曲面，所以在画图时不应画出轮廓素线在其它投影面上的投影。左视图是一圆线框。圆柱顶面和底面的投影重合，反映实形。圆周又是圆柱面具有积聚性的投影，在圆柱上任何点的投影都重合在这一圆的圆周上。圆柱的投影特征：当圆柱的轴线垂直某一个投影面时，必有一个投影为圆形，另外两个投影为全等的矩形。 圆柱的三视图作图步骤(a)画左视图(b)根据圆柱直径及圆柱的高，按投影(c)根据主、左视图，按投影关系画出关系画出主视图俯视图图4-11圆柱三视图的作图步骤3.圆柱外表上点的投影方法：利用点所在的面的积聚性法。〔因为圆柱的圆柱面和两底面均至少有一个投影具有积聚性。〕举例：如图4－10〔b〕所示，圆柱面上点M的正面投影m′，求作点M的其余两个投影。因为圆柱面的投影具有积聚性，圆柱面上点的侧面投影一定重影在圆周上。又因为m′可见，所以点M必在前半圆柱面的上边，由m′求得m″，再由m′和m″求得m。4.斜切圆柱体的三视图［例4-6］如图4-12所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。(a)六体图(b)(c)(d)图4－12圆柱的截交线表4-1截切圆柱体交线的画法轴测图投影图说明1截平面平行于轴线，那么截交线是平行于轴线的两条直线2截平面垂直于轴线，那么截交线为圆3截平面倾斜于轴线，那么截交线为椭圆。其大小与截平面的倾斜度有关。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、是特殊位置的点，A为一般位置的点二、圆锥体的三视图及截切圆锥体交线的画法1．圆锥的三视图分析(a)(b)立体图(c)投影图图4-13圆锥投影及外表上的点的三视图(1)俯视图俯视图是一圆线框，反映圆锥底面的实形，也是圆锥面的投影。(2)主视图为等腰三角形线框，底边是圆锥底面的具有积聚性的投影。左右两边、分别是圆锥面最左边素线SA和最右边素线SC的投影，它们是圆锥面在主视图上可见与不可见局部的分界线。(3)左视图亦为等腰三角形线框，底边是圆锥底面的具有积聚性的投影。左视图三角形两边、分别是圆锥面最前边素线SB和最后边素线SD的投影，它们是圆锥面在左视图上可见与不可见局部的分界线。圆锥的投影特征：当圆锥的轴线垂直某一个投影面时，那么圆锥在该投影面上投影为与其底面全等的圆形，另外两个投影为全等的等腰三角形。2.圆锥的三视图作图步骤(a)画出圆锥底圆，做俯视图，画出主(b)根据圆锥的高画出顶点(c)连轮廓线，完成全图视图、左视图底部图4-14圆锥三视图的作图步骤3.圆锥外表上点的投影［例4-7］如图4-15、4-16所示，圆锥外表上M的正面投影m′，求作点M的其余两个投影。因为m′可见，所以M必在前半个圆锥面的左边，故可判定点M的另两面投影均为可见。作图方法有两种：作法一：辅助线法如图4－15〔a〕所示，过锥顶S和M作一直线SA，与底面交于点A。点M的各个投影必在此SA的相应投影上。在图4－15〔b〕中过m′作s′a′，然后求出其水平投影sa。由于点M属于直线SA，根据点在直线上的附属性质可知m必在sa上，求出水平投影m，再根据m、m′可求出m″。〔a〕立体图〔b〕投影图图4－15用辅助线法在圆锥面上取点作法二：辅助圆法如图4－16〔a〕所示，过圆锥面上点M作一垂直于圆锥轴线的辅助圆，点M的各个投影必在此辅助圆的相应投影上。在图4－16〔b〕中过m′作水平线a′b′，此为辅助圆的正面投影积聚线。辅助圆的水平投影为一直径等于a′b′的圆，圆心为s，由m′向下引垂线与此圆相交，且根据点M的可见性，即可求出m。然后再由m′和m可求出m″。〔a〕立体图〔b〕投影图图4－16用辅助线法在圆锥面上取点4.斜切圆锥体的三视图［例4-8］如图4－17〔a〕所示，求作被正平面截切的圆锥的截交线。 分析：因截平面为正平面，与轴线平行，故截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，只需求出正面投影。(a)(b)图4－17圆锥的截交线表4-2截切圆锥的各种截交线画法轴测图投影图说明1截平面垂直于轴线，那么截交线为圆2截平面倾斜于轴线，并且θ＞α(即P面不平行于任何素线)，那么截交线为椭圆3截平面倾斜于轴线，并且θ=α(即P面平行于一素线)，那么截交线为抛物线4截平面平行于轴线，(即P面平行于两素线)，那么截交线为双曲线5截平面过锥顶，，那么截交线为过锥顶的两条相交为直线三、圆球的三视图及平面截切圆球的交线画法1．圆球的三视图分析圆球的外表是球面，如图4－17(b)所示，圆球面可看作是一条圆母线绕通过其圆心的轴线回转而成。(a)(b)六体图(c)投影图图4-18圆球投影及外表上的点的三视图如图4－18〔a〕所示为圆球的立体图、如图4－18〔c〕所示为圆球的投影。圆球在三个投影面上的投影都是直径相等的圆，但这三个圆分别表示三个不同方向的圆球面轮廓素线的投影。球的三个视图都是大小相等的三个圆，圆的直径与球的直径相等。正面投影的圆是平行于V面的圆素线A〔它是前面可见半球与后面不可见半球的分界线〕的投影。与此类似，侧面投影的圆是平行于W面的圆素线C的投影；水平投影的圆是平行于H面的圆素线B的投影。这三条圆素线的其他两面投影，都与相应圆的中心线重合，不应画出。2．圆球的作图步骤先画出圆的中心线，再画出三个与球体直径相等的圆。3．.圆球面上点的投影方法：辅助圆法。圆球面的投影没有积聚性，求作其外表上点的投影需采用辅助圆法，即过该点在球面上作一个平行于任一投影面的辅助圆。［例4-9］如图4－19(a)所示，球面上点M的水平投影，求作其余两个投影。过点M作一平行于正面的辅助圆，它的水平投影为过m的直线ab，正面投影为直径等于ab长度的圆。自m向上引垂线，在正面投影上与辅助圆相交于两点。又由于m可见，故点M必在上半个圆周上，据此可确定位置偏上的点即为m′，再由m、m′可求出m″。如图4－19〔b〕所示〔a〕〔b〕图4－19圆球外表上点的投影.4。平面截切圆球截交线画法图4-20平面截切圆球交线画法分析：圆球体被任意方向平面截切，其截交线都是圆。当截平面平行于投影面时，截交线在投影面上的投影反映圆的实形，而在另外两个投影面上的投影都积聚为直线。该直线的长度等于截切圆的直径。因此，此直线的长度大小与被切平面至球心的距离有关。当截平面离球心越近，圆的直径越大，那么直线越长；反之，圆的直径越小。［例4-10］如图4－21〔a〕所示，完成开槽半圆球的截交线。分析：球外表的凹槽由两个侧平面和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。(a)(b)(c)图4-21开槽圆球的截交线知识问答：1．举例说明如何用辅助素线法和辅助纬圆法作三视图？2.常见截切圆柱交线有哪几种？3.常见截切圆锥交线有哪几种？知识扩展：组合回转体的画法实际机件常由几个回转体组合而成。求组合回转体的截交线时，首先要分析构成机件的各根本体与截平面的相对位置、截交线的形状、投影特性，然后逐个画出各根本体的截交线，再按它们之间的相互关系连接起来。［例4-11］如图4－22〔a〕所示，求作顶尖头的截交线。分析：顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。它的上部被两个相互垂直的截平面P和Q切去一局部，在它的外表上共出现三组截交线和一条P与Q的交线。截平面P平行于轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条平行直线。截平面Q与圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆弧。三组截交线的侧面投影分别积聚在截平面P和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚在P、Q两面的投影〔直线〕上，因此只需求作三组截交线的水平投影。(a)(b)(c)(d)图4－23顶尖头的截交线任务三根本体及其切口的尺寸标注一、平面立体的尺寸标注平面立体一般标注长、宽、高三个方向的尺寸，如图4－20所示。其中正方形的尺寸可采用如图4－24〔f〕所示的形式注出，即在边长尺寸数字前加注“□”符号。图4－24〔d〕、〔g〕中加“〔〕”的尺寸称为参考尺寸。〔a〕〔b〕〔c〕〔d〕〔e〕〔f〕〔g〕图4－24平面立体的尺寸注法二、曲面立体的尺寸标注圆柱和圆锥应注出底圆直径和高度尺寸，圆锥台还应加注顶圆的直径。直径尺寸应在其数字前加注符号“φ”，一般注在非圆视图上。这种标注形式用一个视图就能确定其形状和大小，其他视