期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权作为最根底的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。蒙特卡洛方法的理论根底是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。§1.预备知识◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：设为独立同分布的随机变量序列，假设那么有显然，假设是由同一总体中得到的抽样，那么由此大数定律可知样本均值当n很大时以概率1收敛于总体均值。中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。设为独立同分布的随机变量序列，假设那么有其等价形式为。◆Black-Scholes期权定价模型模型的假设条件：1、标的证券的价格遵循几何布朗运动其中，标的资产的价格是时间的函数，为标的资产的瞬时期望收益率，为标的资产的波动率，是维纳过程。2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。3、不考虑交易费用或税收等交易本钱。4、在衍生证券的存续期内不支付红利。5、市场上不存在无风险的套利时机。6、无风险利率为一个固定的常数。下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，假设随机过程满足如下的随机微分方程那么有根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值的微分形式为现在构造无风险资产组合，即有，经整理后得到这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。欧式看涨期权的终边值条件分别为，通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：其中，，，，为期权的执行日期，为期权的执行价格。欧式看跌期权的终边值条件分别为，此外，美式看涨期权的终值条件为，美式看跌期权的终值条件为。然而，美式期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法〔蒙特卡洛模拟、有限差分法等〕求得其近似解。◆风险中性期权定价模型如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动即标的资产的瞬时期望收益率取为无风险利率。同理，根据伊藤公式可以得到对数正态分布的概率密度函数：设，，那么的密度函数为根据上述公式，得到标的资产的密度函数如下在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换和，可以得到再对等式的右边的第二个无穷积分，令，可求得将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：其中，，。可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。§2.蒙特卡洛模拟方法及其效率假设所求量是随机变量的数学期望，那么近似确定的蒙特卡洛方法是对进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列，并计算样本均值。那么根据Kolmogorov强大数定律有。因此，当n充分大时，可用作为所求量的估计值。由中心极限定理可得到估计的误差。设随机变量的方差，对于标准正态分布的上分位数，有这说明，置信水平对应的渐近置信区间是。实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率化误差边界，其误差为，误差收敛速度是。不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由和决定的。在对同一个进行抽样的前提下，假设想将精度提高一位数字，要么固定，将n增大100倍；要么固定n将减小10倍。假设两个随机变量的数学期望，，那么无论从或中抽样均可得到的蒙特卡洛估计值。比拟其误差，设获得的一个抽样所需的机时为，那么在时间T内生成的抽样数，假设使，那么需使。因而，假设要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n或是减小方差，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所消耗的机时，使方差与机时t的乘积尽量的小。§3.蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即，其中的表示风险中性期望，r为无风险利率，T为期权的到期执行时刻，是关于标的资产价格路径的预期收益。由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步〔以欧式看涨期权为例〕:(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径将时间区间分成n个子区间，标的资产价格过程的离散形式是，(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本(4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。由于，m条路径的收益均值为，m条路径的方差为，那么可得95%的置信区间为。例1：假设无红利的股票A，初始价格为￥6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年25%，时间步长为0.01年〔1年为100时间步〕，给定数据，，以及＝100，用蒙特卡洛方法模拟资产的价格路径如下：〔1〕〔2〕图〔1〕蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图〔2〕蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。假设无红利的股票B、C、D，其价格均为￥6，股票B的期望收益率为0.1，波动率为0.6；股票C的期望收益率为0.5，波动率为0.25；股票D的期望收益率为0.5，波动率为0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：〔3〕〔4〕图〔3〕蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径，图〔4〕蒙特卡洛方法模拟股票D价格路径。从图中可以看出，股票C和股票D的价格上升速度较快，而股票B和股票D的价格波动比拟大。这是与股票C和股票D价格的期望收益率较高，股票B和股票D价格的波动率较高相对应的。欧式看涨期权，通过Black-Scholes公式计算得的精确值为，蒙特卡洛模拟的价格为，其蒙特卡洛模拟图如下：〔5〕上述同样的条件，路径由100逐渐增加到1000000条，对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间N模拟值置信区间1004.3146[4.0112,4.6180]5004.2262[4.0962,4.3563]10004.2213[4.1287,4.3139]20004.1633[4.0984,4.2281]50004.1695[4.1280,4.2111]100004.1787[4.1490,4.2083]500004.1960[4.1826,4.2094]1000004.1886[4.1791,4.1980]10000004.1914[4.1884,4.1944]§4.蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。权证主要具有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和资源配置工具。现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊利CWB1为例，以2006年的价格作为样本区间模拟认股权证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind数据库给出的理论值进行比拟。本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。现实中用等时间间隔观测股票价格序列，股票投资的连续复利收益率，〔〕，那么的样本标准差。如果用日数据计算波动率，那么年度波动率按下式计算：年度波动率＝日波动率*〔每年的交易日数〕1/2将时间区间取为2006年12月1日－2006年12月29日，那么由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比拟的结果如下：蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的模拟〔〕日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-110.16410.0669.82112-1812.10013.52413.35112-410.12010.35710.12112-1912.08013.57413.40112-59.88010.63010.40112-2012.21013.77113.60112-69.39510.38610.15112-2111.90013.37613.20112-79.1479.9989.75112-2211.42012.68712.50112-89.0509.7859.53112-2512.03813.74213.57112-119.8509.2258.95112-2611.97813.40613.23112-129.82510.60010.37112-2713.00114.36414.20112-139.76610.26010.02112-2813.05014.61214.45112-1410.58911.33211.12112-2914.50016.19816.05112-1510.84912.02811.831－－－－蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟〔〕日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-11.1431.2440.56912-181.7751.7091.05212-41.2091.1880.51712-191.8031.7091.05212-51.2411.2230.54912-201.7301.7561.10312-61.3491.2230.54912-211.6411.7091.05212-71.6331.4160.74312-221.7001.5420.77812-81.7501.6180.95212-251.7071.4530.84812-111.9191.4160.74312-261.8351.5201.05212-121.8741.6180.95212-271.7761.7091.05212-131.7941.7481.09412-281.6441.8111.16312-141.7941.6330.96912-291.7081.7481.09412-151.8301.6330.969－－－－蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟〔〕日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值日期实际值蒙特卡洛模拟值理论值12-113.32413.53312.62912-1814.76014.81813.98812-413.25013.94713.06912-1915.47915.54114.74812-513.29613.95713.07912-2015.48716.63015.88812-612.91113.95713.07912-2115.59416.44915.69812-712.85313.28812.36912-2215.16816.57315.82812-812.73412.76311.80912-2516.61615.81715.03812-1112.92012.57611.60912-2616.61917.75417.05812-1214.05912.94111.99912-2717.67317.87917.18812-1313.52814.10813.23912-2817.67319.72619.09812-1414.28113.81512.92912-2917.67319.72619.09812-1514.34914.61913.778－－－－从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比拟，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比拟的结果如下列图。其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，BS代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。五粮YGC1价格模拟比拟图马钢CWB1价格模拟比拟图伊利CWB1价格模拟比拟图从图中明显看出，五粮YGC1和伊利CWB1的模拟结果比拟好，蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均与实际值吻合；而马钢CWB1的实证结果不理想，但是三种结果的走势图有共同的趋势。从比拟分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes模型更接近实际价格。对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与选取的波动率和中国权证市场的开展特点有关等等。◆隐含波动率及其数值计算方法隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black-Scholes期权定价公式计算出来的波动率。由于我们无法给出它的解析解，因此，只能借助于数值计算给出近似解。下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。步骤1.将函数在点附近展开成泰勒级数步骤2.取泰勒级数的前两项作为假设，求解方程，并令其解为，得，这样得到迭代公式，经过n次迭代后，可以求出的近似解。根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下：1.假设其他变量保持不变，认为函数是隐含波动率的一元函数，其中的是市场上观察到的期权价格。2.求函数的导数3.由迭代公式计算波动率，直至〔是期望到达的精度〕。此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。如Brenner和Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分别提出计算隐含波动率的公式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确，但是根底资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值，其准确性就会丧失。1996年，Corrado和Miller在前人研究的根底上建立了如下公式，大大提高了隐含波动率的计算的准确性：§5.服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题及其蒙特卡洛模拟分析◆服从跳扩散过程的期权定价方法正常的波动用几何布朗运动(Brown)来描述—由供需不平衡、利率变动或整个经济的波动等因素引起的。不正常的波动用泊松过程(Poisson)来描述—由未预料到的重要信息的出现引起的。这些信息在不连续的时间点出现，而且出现的时间点不确定，是否会出现也不确定。带跳跃项的伊藤Ito公式：设，是二元可微函数，假设随机过程服从随机微分方程其中，是标准维纳过程，表示不可预测的跳跃，且。那么带跳跃项的伊藤Ito公式为其中，。上式是对跳跃项作如下假定得出的：1、在两个跳跃之间保持不变，而在跳跃时间是离散和随机的；2、有种跳跃类型，跳跃尺度为，跳跃尺度为的概率为，跳跃的发生强度依赖于的最终观测值，跳跃类型和尺度都是独立随机的。那么在时间区间内，增量为这里表示的是至时间发生的跳跃大小的总和，表示跳跃发生的概率，为跳跃的期望值，那么是不可预测的。漂移参数可看作两个漂移的和这里表示中连续运动的维纳过程局部，第二项为纯跳跃局部。将Poisson过程引入到期权定价模型中，得到标的资产价格价格的跳扩散方程如下其中，，标的资产价格的变化比率为，，且与相互独立。令，根据带跳跃项的伊藤公式可得其微分形式为整理上式，得到标的资产价格公式为在标的资产价格遵循跳扩散过程的假设下，根据上述带跳伊藤公式可得期权价值的微分形式如下构造期权与标的资产的无套利资产组合，其微分形式为那么该无套利资产组合微分形式的期望如下式由于资产组合为无风险组合，因此有如下等式成立两式联立并化简得到标的资产价格遵从跳扩散过程的定价公式如下：假设没有发生跳跃事件，那么，将其代入上式所得结果与Black-Scholes微分方程完全一致。当期权分别为欧式看涨、欧式看跌、美式看涨和美式看跌期权时，其边界条件和终值条件与本章第一节的终边值条件相同。Merton假设标的资产价格跳跃高度服从，从而推导出欧式看涨期权的定价公式为：其中，，。另外，Harworth假设跳跃高度服从对数正态分布，那么欧式看涨期权的解析解为其中，，，。例2.标的资产价格遵从跳扩散过程如下用蒙特卡洛模拟的资产价格路径如下列图所示：◆无形资产——专利池的期权定价模问题专利池的市场价值V依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S和本钱C及时间t，这三个变量均可用跳扩散模型：通过构造由V和它所依赖的两个变量S、C组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V与S、C所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V的求解公式。构造无风险资产组合一方面的微分的期望为：另一方面，新产品创造专利池的市场价值V所遵循的方程为期权的价格公式：20世纪90年代初,由高分子工程材料的某高校、研究所、设计院和高新技术企业等经过两年的开发研究，研制出新型建材——铝塑复合管全套生产工艺，该技术已获多项国家创造专利，且己具备成套设备生产供给能力。当时，该技术在国内只此一项，属新产品创造专利池技术。且其专利技术使用寿命长达50年以上，受专利保护20年。但该技术在国外存在多家供方，不同供方在核心技术内容、原理、流程上根本一致，同时也不排除在一段时间后出现其他更好技术的可能性，一方面时间越长，这种可能性越大。另一方面该技术使用寿命越长，这种可能性越小(l=l(t))。并且,其他同类技术的出现使该专利池技术的收益下降,下降幅度为LnY。因为设备的经济使用寿命是20年,根据市场需求,方案建成一条年生产100吨的生产线,其20年的本钱,包括设备的直接制造本钱和运营期间的管理费、工资等。假设在期初方案投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产本钱按每年的通货胀率10%递增。假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。新产品创造专利池的市场价值V=8050●在一次付清许可费用情况下的价格模型：新产品创造专利池的价格P所遵循的方程为：在一次付清许可费用情况下的新产品创造专利池的价格为：在一次付清许可费用情况下新产品创造专利池的价格P=5450。●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型新产品创造专利池技术产生的收益S遵循模型引进新产品创造专利池技术后的本钱C遵循模型构造无风险资产组合一方面的微分的期望为新产品创造专利池的价格P所遵循的方程为：另一方面，的微分及其期望为:新产品创造专利池的价格P所遵循的方程为：期权的价格公式：在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品创造专利池的价格P=855。§6.最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的根本原理与蒙特卡洛模拟方法根本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值确实定和各样本路径的最优停时确实定。其根本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比拟，假设后者较大，那么应该立即执行期权，否那么，就应继续持有期权。最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的根本实现步骤：首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比拟期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：第一步：随机生成标的资产价格过程的多条样本路径现设一单个标的资产美式看跌期权的持有到期日为，期权的执行时刻为，，标的资产价格为，期权的执行价格为。在风险中性条件下，该期权的初始时刻价值为：其中，为标的资产价格的路径，是在最优执行时刻的期权价值。上式定义的便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。将期权的存续区间均分为个子区间，那么每个子区间的长度为，标的资产价格过程的离散形式：其中，，随机变量服从标准正态分布。因此，利用生成随机数模拟得到标的资产价格的一条样本路径，重复执行次模拟，我们可得到资产价格的总样本。第二步：计算各个样本的最优停时及各时刻的期权价值对于美式看跌期权，在期权的有效时刻，样本路径上的内在价值为，持有价值为。由于美式期权在有效期的任何时候都可行权，所以必须比拟该时刻期权的内在价值与持有价值的大小，以确定该时刻的期权价值以及是否执行期权，即由期权的持有价值表达式可知它依赖于下一步期权决策的价值，需通过逆向求解这个期望价值，这正是普通的蒙特卡洛模拟法为美式期权定价的难点所在。最小二乘蒙特卡洛模拟方法通过建立一个当前时刻标的资产价格与下一时刻期权价值贴现值的线性回归计量模型：上述模型以所有样本路径在时刻的价格和作为解释变量，对应的下一时刻期权价值的现值作为被解释变量。采用普通最小二乘法进行回归，求得回归系数的估计值和样本回归方程；再将各个资产价格样本代入到回归方程分别可以得到其期权的持有价值估计值，根据计量经济学的理论，这个估计值就是在标的资产价格下的期权持有价值的无偏估计值。另外，本例中选取基函数作为解释变量，根据实际情况中也可以选取其他形式的基函数：。作为解释变量。现在，我们从到期日开始倒推计算求解每条样本路径上的最优停时和每个样本点的期权价值。在到期日，执行看跌期权的价值为。接着，判断在时刻是否行权。假设期权处于实值状态，即，那么与继续持有期权的价值相比拟，假设内在价值大于持有价值，那么应立即执行期权；否那么，继续持有期权。考虑在该时刻期权处于实值的样本子集，近似期权持有价值的回归方程为：其中，，是时刻所有期权处于实值状态的标的资产价格样本集。在时刻的资产价格信息下，比拟内在价值与继续持有期权的价值就可做出是否执行期权的决策。同理，我们可倒推继续求得时刻的期权持有价值。对于每条样本路径，期权或是在最优停时执行，或是永不执行。具体设计程序时，令初值，在时刻，如果继续持有期权，那么不变；如果执行期权，那么，依此类推。每个样本上就只有一个最优停时，每次更新，最后便求得每条样本路径上的最优停时。第三步：对各条样本路径上的期权价值按无风险利率贴现并求其均值经过次模拟后，得到条标的资产价格的样本路径，以及每条样本路径上的最优停时和在该时刻的期权价值：由于每条样本路径上的最优执行时间不同，期权价值的贴现因子也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初始时刻期权价值的最小二乘蒙特卡洛模拟值：例3：股票价格为50，美式看跌期权执行价为50到期日为5个月，股票年收益率的标准差为0.4，无风险利率为10%，用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格。编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下：functionprice=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M)dt=T/N;R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M));S=cumprod([S0*ones(1,M);R]);ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S));CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);forii=N:-1:2Idx=find(S(ii,:)<K);X=S(ii,Idx)';X1=X/S0;Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);R=[ones(size(X1))(1-X1)1/2*(2-4*X1+X1.^2)];a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)%%%%%绘制标的股票价格模拟图%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期权存续期间')ylabel('股价的模拟路径')%%%%%绘制期权价值模拟图%%%%%figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';fori=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期权的最优停止时间')ylabel('期权价值的模拟路径')模拟的美式看跌期权的价格路径如下列图所示：模拟的期权价值路径及其最优停时如下列图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000)Price=4.2654§7.改良蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。在采用方差减少技术时，要具体问题具体分析，针对不同期权类型的特点应用相关的方差减少技术，从而取得效率的最大改良。◆对偶变量(Antitheticvariates)技术对偶变量技术是最简单和最常用的方差减少技术。以标准欧式看涨期权为例，其标准蒙特卡洛估计值为标的股票的股价终值抽样为由概率论的知识可知也是标准正态分布中相互独立的抽样值，那么用代替得到的也是股票价格终值的抽样，从而由的平均值也能得到期权价格的无偏估计量。因此，由对偶变量技术得到的期权价格蒙特卡洛估计值为。对偶变量技术的有效性：由于，所以；并且，令，对于标准欧式看涨期权，是单调递增函数。由不等式，可知，从而，对偶变量技术有效。显然，标准欧式看跌期权和亚式期权对应的必也是单调函数，所以对偶变量技术对这两种期权也适用，而障碍期权和回望期权那么反之。对偶变量技术置信区间的估计：由于并不独立，而才是独立同分布的抽样，故采用n个而非2n个来计算样本标准差。以上对偶变量技术采用的输入变量Z服从标准正态分布，实际上使用更广泛的输入变量是随机数。显然，与具有相同分布且两者负相关，从而只要输入变量与输出变量存在单调关系，对应的输出变量与对应的输出变量也存在负相关关系，对偶变量技术有效。◆控制变量(Controlvariates)技术一元控制变量：假设是期权到期回报贴现的n次独立模拟值，那么期权价格的蒙特卡罗估计值是。假设得到的同时能得到另一个输出变量且己知，独立同分布，那么对于确定的数b有期权价格的控制变量估计值即为所谓的“控制”是指。由下式可知控制变量估计值是无偏估计量。假设令，那么有对上式关于b求导数，解得能够使最小化的b值应为。因此，。由此可见，只要X与Y的相关性越强，那么控制变量估计的方差减少越显著，所以控制变量技术的关键是选择与Y关系密切且期望值的控制变量。另外，由于计算的两个量和未知，故实践中采用的是的估计值。多元控制变量：控制变量技术也可以推广到多元情形，假设得到的同时能得到d维向量并且，独立同分布，的协方差矩阵为是矩阵，是矩阵，且是非奇异矩阵。那么对于确定的向量b有。多元控制变量估计值为。由于经过推导可知最优控制系数向量，相应的最小化方差为，其中。下面介绍在一种特殊情形下的推导过程：假设多元控制变量之间彼此独立，即，那么有由多元函数的极值理论，可解得使最小化的向量的第i个分量应为将代入可得。关于偏差的讨论：由于未知，实践中采用的是其估计值，由与的相关性，可知控制变量估计值将是有偏的，并且也将是有偏的。解决如上问题的方法有两个：一是增加模拟的次数，当n增大时，偏差的响将会变小；另一个方法是将模拟分为两个局部，先用次模拟得到结果生成，再用次模拟的结果计算，这样得到的估计值将是无偏。不过，现实情形下，的偏差并不大，从而采用复杂的分步运算获取无偏估的作法并不吸引人。控制变量的类型：期权定价中常采用的三种控制变量有标的资产价格、定价已解决的期权以及为模拟标的资产价格所需的正态随机变量。〔1〕标的资产价格在期权定价的蒙特卡罗模拟中，标的资产价格是来源最广的一类控制变量。在风险中性测度下，假设无风险利率为常数r，资产价格的贴现为鞅，即。而待定价的期权价格是标的资产价格的函数，两者具有相关性，因此可以采用标的资产价格(或其贴现)作为控制变量。假设待定价的是标准欧式看涨期权，，那么将作为控制变量，相应的控制变量估计值为实验证明，当K=0时，控制变量与Y的相关性最强，从而方差减少效果显著，而当K很大时情况相反。假设待定价的是亚式期权，，N为一年中交易的总天数，那么可将作为控制变量，由于相应的控制变量估计值为〔2〕定价己解决的期权如果两种期权的回报函数具有相似性，并且其中一种期权的定价公式，那么可将此期权作为控制变量为另一种期权定价。最著名的例子是Kemna和Vorst使用几何平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权定价，显然这两种期权的回报具有很强的相关性，从而方差减少效果显著。再比方仍是对算术平均资产价亚式期权定价，由于与其具有相同到期日与敲定价格的标准欧式看涨期权的价格可以由B-S公式得到，故可将作为控制变量。〔3〕正态随机变量模拟标的资产价格路径要用到正态随机变量，因此可考虑将正态随机变量(或其线性组合)作为控制变量。比方为算术平均执行价亚式期权定价，模拟的过程需要独立的、均值为、方差为的正态随机变量，从而将作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为。◆矩匹配(MomentMatching)技术为了模拟标的资产样本路径需要从正态分布中抽样，考虑最简单的情形，标准欧式看涨股票期权的蒙特卡洛估计值需要m个独立且服从标准正态分布的抽样。由于的样本矩不一定与总体矩匹配，故而矩匹配技术的思想就是对这些样本进行调整，使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩与总体矩匹配，再利用调整后的样本得到蒙特卡洛估计值。定义是样本均值，通过如下调整可到达一阶矩匹配，，由生成的股票价格终值为，从而期权到期回报贴现的一次模拟值为，利用矩匹配技术得到的蒙特卡洛估计量为。和对偶变量技术一样，应用矩匹配技术会给置信区间的估计带来变化，因为并不独立，导致也不独立，所以不能直接应用中心极限定理估计误差。一个解决方案是将抽样分隔为不同批次，对每个批次分别应用矩匹配技术得到彼此独立的期权价格估计，再将批均值作为蒙特卡罗估计值，由批方差得到误差估计。例如可采用10000个相互独立的批次，每个批次对100个标准正态分布抽样应用矩匹配技术，即总共采用100万个标准正态分布抽样。如果定义为样本标准，通过如下的调整可到达前两阶矩匹配：。需注意由上式得到的不再服从标准正态分布，故相应的将是期权价格的有偏估计。这个偏差在极端情况下可能会很大，由此致的复杂性使得矩匹配技术的效率改良没有一个通用的量化标准。如果待匹配的抽样其总体均值，总体方差，作如下变换可分别到达一阶矩匹配和前两阶矩匹配：其中与的定义同上。仍以标准欧式看涨股票期权为例，假设股价服从风险中性的几何布朗运动，那么股价终值的均值与方差，故可采用上式对运用矩匹配技术。◆分层抽样(StratifiedSampling)技术分层抽样技术使样本的经验概率与理论概率相一致，其本质是为了使输入变量分布得更为均匀，这一点与对偶变量技术相同。考虑简单情形下分层样本的获取。在计算标准欧式看涨期权的价格时，需要标准正态分布中m个相互独立的抽样，其经验分布不会完全与总体分布相吻合，尤其是尾部表现可能较差。通过下述分层抽样方法可以对样本的经验分布加以改良。是在[0，1]上均匀分布的随机数，以的长度对区间进行分层，可以得到n个分层区间段，令。显然，落在第j层上，从而落在标准正态分布的上分位数与上分位数之间，故由可得标准正态分布的一个分层抽样。需要注意的是的高度相关性使得标准误差的估计复杂化，为此用批处理的方法对其进行估计，具体过程同上一节介绍。在高维情形下，