人教版八年级数学下册讲义（中等班）第十八章平行四边形

第十八章平行四边形

18.2特殊的平行四边形

K蔻识

1.矩形的定义：

(1)有一个角是直角的平行四边形叫做,也称为长方形.

(2)矩形的定义有两个要素：①四边形是:②有一个角是,二者缺一不可.

【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形.

2.矩形的性质：

(1)矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等,

对角线互相平分.

(2)矩形的性质可综述为：①矩形的对边;

②矩形的对角相等且四个角都是;

③矩形的对角线;学-科网

④矩形是,对边中点所确定的直线是它的,矩形有对称轴.

(3)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三

角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等.

3.直角三角形斜边上的中线的性质：

直角三角形斜边上的中线等于.

【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线.

4.矩形的判定：

(1)有一个角是直角的是矩形；

(2)有三个角是的四边形是矩形；

(3)对角线的四边形是矩形.

【注意】(1)判定矩形的常见思路

(有三个角是直角一矩形

四边形平行四哪角„形

(2)用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形.也就

是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形.

(3)用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形.也就是

说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形.

5.菱形的定义：

(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做.

菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形：二是邻边相等.不要错误地认为有一组邻边相

等的四边形是菱形.

(2)菱形是除矩形外的又--种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形.菱形的定义既是

菱形的性质，也是菱形的判定方法.

6.菱形的性质：

(1)菱形具有平行四边形的所有性质.

(2)菱形的四条边都.学-科网

(3)菱形的两条对角线,并且每一条对角线一组对角.

(4)菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴.

【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴.因为对称轴是直线，对角

线是线段.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等.

(5)菱形的面积等于乘积的一半.

7.菱形的判定：

(1)一组邻边的平行四边形是菱形.

(2)对角线的平行四边形是菱形.

(3)四条边的四边形是菱形.

(4)对角线的四边形是菱形.

【注意】上述菱形的判定方法中，(1)和(2)是以平行四边形为基础的，(3)和(4)是以四边形为基

础的.

8.正方形的定义：

(1)有一组邻边并且有一个角是的平行四边形叫做正方形.

(2)正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思:

①有一组邻边相等的平行四边形(即菱形);

②并且有一个角是直角的平行四边形(即矩形).

(3)正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形.

9.正方形的性质：

(1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：

①正方形的四个角都是,四条边都；

②正方形的两条对角线并且互相,每条对角线■-组对角.

(2)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45。；正方形

的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.

10.正方形的判定：

(1)根据正方形的定义；

(2)有一组邻边相等的是正方形；

(3)有一个角是直角的是正方形；

(4)既是矩形又是菱形的四边形是正方形.

K知识参考答案：

1.(1)矩形；(2)平行四边形；直角2.(2)①平行且相等；②直角；③互相平分且相等；④轴对称

图形；对称轴；两条3.斜边的一半4.(1)平行四边形；(2)直角；(3)相等5.(1)菱形

6.(2)相等；(3)互相垂直；平分；(5)两条对角线的7.(1)相等；(2)互相垂直；(3)都相等；(4)

互相垂直平分8.(1)相等；直角9.(1)①直角；相等；②相等；垂直平分；平分

10.(2)矩形；(3)菱形

'K重点

K一重点矩形的性质与判定；菱形的性质与判定；正方形呃性质与判定

利用矩形的性质进行证明和计算；矩形判定定理的证明及运用；正方形的性质、

K—难点

判定的应用方法

K—易错对矩形的判定方法的理解

一、矩形的性质

1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形=平行四边形十一个内角是直角.

2.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等,

对角线互相平分.

【例1】如图，在矩形ABCD中，ZBOC=120°,=5,则BD的长为

B

A.5B.10C.12D.13

【答案】B

【解析】：四边形A8C。是矩形，N8OC=120。，：.AO=BO,NAOB=60。，.;△AOB是等边三角形,

：.BO=AB=5,：.BD=2BO=\0.故选B.

二、矩形的判定

1.定义法；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.对角线平分且相等的四边形是矩形；

4.有三个角是直角的三角形是矩形.

【例2】下列说法正确的是

A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形

B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形

C.对角线互相平分的四边形是矩形

D.对角互补的平行四边形是矩形

【答案】D

【解析】..•有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，...选项A不正确;

•••有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，二选项B不正确；

•••对角线互相平分的四边形是平行四边形，选项C不正确；

•.•对角互补的平行四边形一定是矩形，.♦.选项D正确；故选D.

三、直角三角形斜边中线的性质

1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

2.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等；

3.在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质.

【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则此直角三角形斜边上的中线长为

5

A.—B.6

13

【答案】D

【解析】已知直角三角形的两直角边长分别为$和12,根据勾股定理求得斜边长为13,根据直角三角

13

形斜边上的中线等于斜边的一半，得此直角三角形斜边上的中线长为了，故选D.

四、矩形中的折叠问题

矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解.

【例4】如图，长方形纸片A8CO中，A3=4，AD=3,折叠纸片使AO边与对角线8。重合，折痕

为DG,则AG的长为

【答案】B

【解析】如图，设点A落在8。上.的点4处，连接G4,

VADAG.：.DA!=DA=3,AG=AG.ZDA'G=90°，

在中，；ZA=90°，DA=3，AB=4，，£>B=5,

/.AB=5-DA'=2,设AG=x,

在Rt^BAG中，：A'G=x,，AG=x,

3

AGB=4-x,GB2=A'G2+A'B2>(4-x)2=x2+22,解得：x=-,

3

*•AG—A'G=一.故选B.

2

五、菱形的性质及应用

1.菱形具有平行四边形的一切性质.

2.菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

【例5】在菱形48C。中，M,N分别是边BC,C。上的点，且AM=AN=MN=A8,则NC的度数为

A.120°

C.80°D.60°

【答案】B

【解析】•.,四边形.45CD是菱形，..上30D,仁口.•上5d-4A=ZUMV是等边

三角形，ZD=ZAXD,ZA£4_V=6(r,设ZBr,贝±WS=x,ZD-L\=1800-2x,

.,式-1800-匕-60'-130,-"1801解得：产80',「./5=80°,.•.NC=180°-80°=100n,

故选B.

六、菱形的面积

菱形的面积=底、高=对角线乘积的一半.

【例6】已知一个菱形的周长是20cm,两条对角线的比是4：3,则这个菱形的面积是

A.12cm2B.24cm2

C.48cm2D.96cm2

【答案】B

【解析】：菱形四边相等，，边长为20+4=5901).；两边对角线的比是4：3,

1,

根据勾股定理，得对角线长为6和8.S=5x6x8=24(cm2).故选B.

七、菱形的判定

菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的.

【例7】如图，在四边形ABCQ中，AB=A2CB=CDE是CQ上一点，BE交AC于F,连接。尸.

(1)求证：ZBAC=ZDAC,NAFD=NCFE；

(2)若AB〃CD,试证明四边形ABC。是菱形.

【解析】(1)在△A8C和△AOC中，\'AB=AD,CB=CD,AC=AC,

：./\ABC^/\ADC,

：.NBAC=NDAC,

在△A8F和/中，'."AB^AD,ZBAC=ZDAC,AF=AF,

：.AABF^AADF,：.NAFB=NAFD.

,/ZCFE=ZAFB,；.ZAFD=ZCFE；

(2)'JAB//CD,：.ZBAC=ZACD,

VZBAC=ZDAC,：.ZACD=ZCAD,：.AD=CD,

•：AB=AD,CB=CD,：.AB=CB=CD=AD,四边形ABC。是菱形.

八'正方形的性质

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的

两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

【例8】如图，正方形ABC。满足/AEB=90。，AE=12,BE=16,则阴影部分的面积是

A.400

C.208D.304

【答案】D

【解析】在Rt^A£8中，ZAEB=90°,AE=\2,BE=16,由勾股定理得：AB=^122+162=20,则正方形

ABCO的边长为20,所以阴影部分的面积为20x20-^x12x16=304,故选D.

2

九、正方形的判定

1.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

2.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

3.对角线互相垂直的矩形是正方形；

4.对角线相等的菱形是正方形.

【例9】如图，在△ABC中，ZACB=90°,8c垂直平分线分别交BC,AB于。、E,过C作CF〃A8,

交BC的垂直平分线于F,连接BF.

（1）判定四边形BECF的形状，并证明；

（2）当NA满足什么条件时，四边形BEC尸是正方形？证明你的结论.

【解析】（1）四边形8ECF是菱形，

是BC垂直平分线，：.FB=FC,EB=EC,:.NEBC=NECB,

'：CF//AB,:.NFCB=NEBC,:./FCB=NECB,

NFCD=NECD

在△FCD和4ECD中，＜CD=CD,

ZCDF=NCDE

.♦.△FC恒△EC。，CF=CE,:.FB=FC=CE=BE,

四边形8ECF是菱形.

(2)当NA=45。时，四边形BECF是正方形，

VZACB=90°,EF是BC垂直平分线，：.EF//AC,:.NFEB=NA=45°,

•四边形BECF是菱形，:.NFEB=NFEC=45。,:.NBEC=90°,

二四边形8ECF是正方形.

K好题

i.下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是

A.对角线互相平分的四边形B.对角线互相垂直且平分的四边形

C.对角线相等的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形

2.菱形的对角线长分别为3和4,则该菱形的面积是

A.6B.8C.12D.24

3.在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是

A.对角线相等，对边平行且相等

B.一组对边平行，一组对角相等

C.对角线互相平分且相等，对角线互相垂直

D.一组邻边相等，对角线互相平分

4.如图，矩形488的对角线AC与8。相交于点O,ZADB=30°,AB=4,则0C=

5.如图，已知在矩形ABC。中，对角线AC,8。相交于点O,AELBD于点E,若ND4E：N8AE=3：1,

则/£AC的度数是

A.18°B.36°

C.45°D.72°

6.在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm,8cm,则下列结论不正确的是

A.斜边长为10cmB.周长为25cm

C.面积为24cm2D.斜边上的中线长为5cm

7.在四边形ABC。中，对角线AC,8。互相平分，若添加一个条件使得四边形A8C。是矩形，则这个条

件可以是

A.ZABC=90°B.ACLBDC.AB=CDD.AB//CD

8.如图，在长方形ABC。中，AB=3,BC=4,若沿折痕EF折叠,使点C与点A重合，则折痕EF的长为

1515

A.—B.—D.15

84

9.如图，菱形4BCO的对角线交于点。，AC=8cm,BD=6cm,则菱形的高为

48

A.—cmD.■~-cm

55

10.如图，在菱形A8CO中，P、。分别是A。、4c的中点，如果「。=3,那么菱形ABCO的周长是

B

A.30B.24C.18D.6

11.在菱形A8CQ中，AE_LBC于点,AnLCD于点尸，且E、尸分别为BC、CO的中点，则NE4尸等于

A.60°B.55°D.30°

12.如图，四边形48C。是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则NAMQ的

度数是

A.75°B.D.67.5°

13.如图，平行四边形A8CD中,4>5,45=3,若4E平分N8AO交边6C于点£,则线段EC的长度为

14.如图是一个平行四边形，当Na的度数为度时，两条对角线长度相等.

15.如图，在矩形ABCO中，对角线AC、3。相交于点。，点E、F分别是AO、AO的中点，若A3=6cm,

8c=8cm,则△AEF的周长为cm.

AD

16.如图，在菱形ABC。中，AB=4f线段AO的垂直平分线交AC于点N,△CND的周长是10,则AC的

长为.

D

17.如图，菱形A8CD的边长为2,ZABC=45°,则点D的坐标为__________.

A_________D

pl

18.如图，等边三角形在正方形ABC。内连接OE，则NA£>E=-----------------

AD

19.已知菱形A8CD中，对角线AC=16cm,BD=\2cm,BELDC于点E,求菱形ABC£>的面积和BE的长.

月

B

20.如图，已知四边形A3CQ是正方形,延长5c到E,在CQ上截取CF=C£BF交DE于G,求证：BG

IDE.

21.已知：如图，在四边形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,点E是AC的中点.

(1)求证：△BE。是等腰三角形：学-科网

(2)当NBCD=。时，△BED是等边三角形.

22.如图，四边形ABC。中，NA=NABC=90°,AD=1，BC=3,E是边CQ的中点，连接6E延

长与AQ的延长线相交于点尸，连接CF.

(1)求证：四边形8OFC是平行四边形.

(2)已知CB=C。，求四边形8DFC的面积.

23.如图，在矩形A8CZ）中，AD=12,AB=7,OF平分/ACC,AFLEF.

(1)求证：AF-EF-,

(2)求EF长.

24.如图，在矩形48CZ)中，M,N分别是边AO,的中点，E,F分别是线段BM,CM的中点.

(1)求证：ZVIBM也△OCM；

(2)当A8：A£>=时，四边形MENF是正方形，并说明理由.

25.如图，矩形ABCD沿着AE折叠，使。点落在BC边上的F点处，如果/84/=60。，则ND4E等于

A.15°B.30°

C.45°D.60°

26.如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AD是BC边上的高，E、尸分别是AB、AC边的中点，若A8=8,AC=6,

则AOE尸的周长为

BDC

A.12B.13

C.14D.15

27.如图，四边形ABC。是菱形，对角线AC,8。相交于点O,0HL48于"连接O”,NDHO=20。,则

的度数是

A.20°B.25°C.30°D.40°

28.如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM,AN交于B,C两点，连接3C再分

别以B,C为圆心，以相同长（大于z5C）为半径作弧，两弧相交于点，连接A。，BD,CD.则下

2

列结论错误的是

A.AO平分NM4NB.垂直平分BC

C./MBD=NNCDD.四边形4CDB一定是菱形

29.如图，正方形ABC。的边长为9,将正方形折叠，使顶点。落在BC边上的点E处，折痕为GH,若

BE:EC=2：1,则线段CH的长是

AD

A.3B.4C.5D.6

30.如图，正方形ABC。的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFG/7的周长为

A.V2

C.72+1D.272+1

31.如图，在矩形ABC。中，E是4B边上的中点，将ABCE沿CE翻折得到△/CE,连接AF.若NEAF=75。,

那么NBCF的度数为.

32.如图，在正方形A8C。中，对角线AC与8。相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为OE的中点.若

△CEF的周长为18,则OF的长为

33.如图，点P是正方形ABC。的对角线上一点，PE_LBC于点、E,PFLCC于点凡连接EF.给出下

列五个结论：®AP=EF；®AP±EF；③一定是等腰三角形；④NPFE=NBAP；⑤PD=^EC.其

中正确结论的序号是

34.如图，正方形A8CZ)中，AB=6,点、E、尸分别在BC、C。上，且N8AE=30。，ZDAF=\5°.

(1)求证：DF+BE=EF；

(2)求/EPC的度数；

(3)求△AEF的面积.

35.如图1,四边形ABC。是平行四边形，8力是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AMLBO,CNLBD,

M,N为垂足.

(1)求证：AM=CN；

(2)如图2,在对角线的延长线及反向延长线上分别取点E,F,使BE=DF,连接AE、CF,试探

究：当EF满足什么条件时，四边形4EC/是矩形？并加以证明.

36.（2018•浙江台州）下列命题正确的是

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

37.（2018•江苏淮安）如图，菱形ABC。的对角线4C、8。的长分别为6和8,则这个菱形的周长是

A.20B.24C.40D.48

38.（2018•山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形A8CD如图所示,点。为对角线的交点，过点。折

叠菱形，使B，夕两点重合，是折痕.若则CN的长为

A.7B.6D.4

39.（2018•四川内江）如图，将矩形A8CD沿对角线8。折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F,己

知ZBDC=620,则NDFE的度数为

£

40.（2018•湖北宜昌）如图，正方形4BC。的边长为1,点E,尸分别是对角线AC上的两点，EG±AB.EI

LAD,FHLAB,FJLAD,垂足分别为G,/,H,J.则图中阴影部分的面枳等于

41.（2018•黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABC。的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在

ED上的点尸处，若BE=l,BC=3,则CD的长为

42.（2018•广西贵港）如图，在菱形ABC力中，AC=6五,BD=6,E是8C边的中点，P,M分别是4C,

AB上的动点，连接PM,则PE+PM的最小值是

43.（2018•湖南湘潭）如图，已知点E、F、G.〃分别是菱形ABC。各边的中点，则四边形EFGH是

A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形

44.（2018•浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABC。，下列作法中错误的是

。血

BC

45.（2018•四川甘孜州）如图，在菱形ABCD中,对角线AC与相交于点O，AC=8，8。=6,

。£_14。于点石，交BC于点F，则EF的长为

46.（2018•辽宁锦州）如图，菱形A8C。的对角线AC,8。相交于点O,过点A作A4J_BC于点”，连

接。”.若OB=4,S娜ABCO=24,则的长为__________.

47.（2018•四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P满足S也

K.ABCD,则点P到A、8两点的距离之和PA+P8的最小值为

D

48.（2018•辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点8在x轴上，点A的标为（2,3）,则点C的坐标

为

49.（2018•四川广安）如图，四边形ABC。是正方形，M为BC上一点，连接AM,延长至点E,使

得AE=4M,过点E作垂足为

50.（2018•湖南郴州）如图，在ABCO中，作对角线8力的垂直平分线EF,垂足为O,分别交相＞,BC

于E,F,连接BE,DF.求证：四边形BF£»E是菱形.

51.（2018•辽宁沈阳）如图，在菱形ABC。中，对角线AC与BQ交于点O.过点C作8。的平行线，过

点。作AC的平行线，两直线相交于点E.

（1）求证：四边形OCED是矩形；

（2）若CE=1,DE=2,ABC。的面积是.

匕K好题参考笞豕

1.【答案】B

【解析】A选项中，根据“对角线互相平分”只能判定该四边形是平行四边形；

B选项中，根据“对角线互相垂直平分”能判定该四边形是菱形；

C选项中，根据“对角线相等”不能判定该四边形是菱形；

D选项中，根据“对角线相等且互相垂直”不能判定该四边形是菱形.故选B.

2.【答案】A

【解析】•.•菱形的两条对角线长分别为3和4,.•.Skgx3x4=6.故选A.

3.【答案】C

【解析】A选项中，根据“对边平行且相等和对角线相等”只能判定该四边形是矩形；

B选项中，根据“一蛆对边平行，一组时角相等”只能判定该四边形是平行四边形；

C选项中，根据“对角线互相平分且相等，对角线互相垂直”可判定该四边形是正方形；

D选项中，根据“一组邻边相等，对角线互相平分”只能判定该四边形是菱形.故选C.

4.【答案】B

【解析,四边形A8CC是矩形，.•.AC=8D,04=0C,N54£)=90。，：ZXDB=30°,：.AC^BD=2AB=S,

；.OC=LC=4.故选B.

2

5.【答案】C

【解析】：四边形ABCZ)是矩形，/.Z5-40=90°,OA=-AC,OB=-BD,AC=BD,

22

1

：.OA=OB,：.ZOAB=ZOBA,VZDAE：ZBAE=3：1,/.ZBAE=-x90°=22.5°,

4

'：AELBD,，NAE8=9()°,，NOA8=/O84=90°-22.5°=67.5°,

/./后心67.5。-22.5。=45°.故选C.

6.【答案】B

【解析】•.•在一个直角三角形中，己知两直角边分别为6cm,8cm,.♦.直角三角形的面积=!'6乂8=24

(cm2),故选项C不符合题意；

*,•斜边=+8~-10(cm)，故选项A不符合题意；

二斜边上的中线长为5cm,故选项D不符合题意；

*.,三边长分别为6cm,8cm,10cm,；.三角形的周长=24cm,故选项B符合题意，故选B.

7.【答案】A

【解析】•..在四边形/BCD中，对角线/C、3D互相平分，..•四边形巨5CD是平行四边形.

/.<1)当添加乙LBC=90对，能使平行四边形XBCD是矩形；

(2)当添加.4C15D时，不能使平行四边形."CD是矩形；

(3)当添加时，不能使平行四边形/月”是矩形；

(4)当添加时，不能使平行四边形」BCD是矩形.故选A.

8.【答案】B

【解析】如图，连接4片根据折叠的性质，得EF垂直平分4C,则加0.设"=X,则8/=4—X,

25

在RtA4B尸中，根据勾股定理，得f=9+(4-x)2,解得

在RtAABC中，根据勾股定理，得AC=5,贝i」AO=2.5.

在Rt^AO/中，根据勾股定理，得OF=称，

O

根据全等三角形的性质，可以证明OE=QR则EF=".故选B.

9.【答案】B

【解析】：菱形A8CD的对角线AC=8cm,B£)=6cm,：.ACVBD,OA=-AC=4cm,OB=-BD=

22

3cm,根据勾股定理，AB=yl0l+0B2="+32=5(cm).设菱形的高为h,则菱形的面积

112424

^ABh^-ACBD,即5/z=—x8x6,解得〃=——，即菱形的高为一cm.故选B.

2255

10.【答案】B

【解析】Q分别是A。、AC的中点，是△AOC的中位线，.♦.£>C=2PQ=6.

又；在菱形A8CO中，AB=BC=AD=CD,；.C或彩ABCC=6+6+6+6=24.故选B.

11-【答案】A

【解析】如图，连接AC,8c于点E,AFJ_C。于点尸，且E、尸分别为8C、CO的中点，.MB=AC,

AD=AC.又•.•在菱形A8C。中，AB=BC=CQ=AQ,AB=BC=CD=AD=AC.△46C和△AQC都是等边

三角形.AZBAC=ZDAC=60°,AZEAC=-ZBAC=30°,ZFAC=-ZDAC=30°,：.ZEAF=ZEAC+

22

/B4c=60。.故选A.

12.【答案】B

【解析】如图，连接BD,由已知条件可得；ZBCE=ZBCD+ZDCE=90°+60°=150°,BC=EC,：.

NEBC=NBEC=L(I8O0-ZBC£)=15°,VZBCM=LZ£?CD=45°,AZBMC=180°-(ZBCM+ZEBC)

22

=120。，ZAMB=180°-ZBMC=60°,1,正方形ABC。是关于AC对称的，M在AC上，：.BM=DM,：.

ZAMD=ZAMB=60°,故选B.

13.【答案】2

【解析】平分/BAD交BC边于点E,

•四边形A8C。是平行四边形，：.AD//BC,AD=BC=5,：.ZDAE=ZAEB,

/.ZBAE^ZAEB,.♦.AB=8E=3,:.EC=BC-BE=5-3=2,故答案为：2.

14.【答案】90

【解析】设Na的度数为，〃度时，该平行四边形的两条对角线长度相等.

•••对角线相等的平行四边形是矩形，，当/a的度数为，〃度时，该平行四边形应为矩形，

♦.•该平行四边形为矩形，...Na的度数应为90。，.••"『9().故答案为：90.

15.【答案】9

【解析】由勾股定理得，AC=7AB2+5C2=V62+82=10(cm),

:四边形A8CO是矩形，；.04=00=10=5(cm),

22

♦.•点E、F分别是AO,AD的中点，

15115

/.EF--OD=—cm,>4F=—x8=4(cm),z4E=—OA=—cm,

22222

.•.△4£/的周长=°+4+工=9(cm).故答案为：9.

22

16.【答案】6

【解析】：菱形ABCD中，AB=4,AO的垂直平分线交AC于点N,.•.C£»=A8=4,AN=DN,

「△CON的周长=CN+C£)+£W=10,：.CN+4+AN=\0,:.CN+AN=AC=6.故答案为：6.

17.【答案】(2+0,6)

【解析】过点。作。E_Lx轴，垂足为E.在Rt^CDE中，CD=2,：.CE=DE=叵，

：•OE=OC+CE=2+6，；,点、D坐标为(2+垃，O),故答案为：(2+无，丘).

18.【答案】15°

【解析】；△EBC是正三角形，，NEC8=60°,BC=EC-又；正方形ABC。，

•••/BCD=90°>BC=CD，：・CE=CD,ZDCE=90°-60°=30°，

•••NEr>C=(180°—30°)+2=75°，•••NADE=90°—75°=15°・故答案为：15。.

19.【解析】如图，♦・,菱形A6CD的对角线相交于点O,AC=16cm,BD=12cm,

。于点。，CO=8cm,DO=6cm,S—x16x12=96(cm2),

2

.\CD=782+62=10(cm)，

'：BELCD于点E,

：.BECD=96,即10BE=96,

48

:.BE=­(cm).

5

20.【解析】BC=CD,ZfiCF-ZDCE=90°,CF=CE,

：.ABC//XDCE,：.ZFBC=ZEDC.

又•：NBFC=NDFG,；.NDGF=/BCF=90°,

即BGLDE.

21.【解析】⑴...乙1BC=4DC=9CP,点E是XC边的中点，

,11

..BE=-^ACfDE-

：.BE=DE,「.△BED是等腰三角形；

(2),：AE=ED,：.ZDAE=ZEDA,

,:AE=BE,：.ZEAB=ZE3A,

,:ZDAE-ZEDA=ZDEC,ZEAB-ZEBA=Z3EC,：.ZDAB=-ZDEB,

•「△BED是等边三角形，.•.NDE3=6Q\:.NbXZHO。，

ZBCD=3603-905-90°-303=150s.故答案为150.

22.【解析】(1)VZA=ZABC=90°,

BC//AF，NCBE=ADFE,

又，；DE=CE,NDEF=NBEC,

:./\BEC也/XFED，•••BE=EF-

又；CE=DE,四边形8。尸C是平行四边形.

（2）如图，过。作OH_LCB于”,

liH

ADr

：.NDHB=NA=NABH=90。,

四边形是矩形，3/7=AD=1，

•：CB=CD=3,：.CH=2,

在Rt^CDH中，•.♦/6。=90°,DH=d号-*=百，

S平行四边形wc=BCD"=3亚-

23.【解析】(1)•.•四边形ABC。是矩形，

/.ZB=ZC=ZADC=90°,AB=DC=7,BC=AD=\2,：.ZBAF+ZAFB=90°,

尸平分/A。。，AZADF=ZCDF=45°,，△DCF是等腰直角三角形，

：.FC=DC=1,：.AB=FC,

■：AFLEF,：.ZAFE=90°,；.NAFB+NEFC=9G。,:.NBAF=NEFC,

ZBAF=ZEFC

在△A8F和△氏?£：中，，AB=FC,

ZB=ZC

.♦.△ABF岭△FCE(ASA),：.EF=AF；

(2)BF=BC-FC=l2-7=5,在RtZ\A8尸中，由勾股定理得：

但yjAB2+BF2="+52=V74，

则EF=AF=K-

24.【解析】(I)•四边形A8C。是矩形，

：.AB=DC,/4=/拉=90。.

为A。的中点，：.AM=MD,：.

(2)1：2,理由：'：AB：AD=\：2,：.AB^-AD.

2

2

VZA=90°,ZAMB=45°.

4ABM世丛DCM,

；.BM=CM,NOMC=N4例8=45°,ZBMC^90°.

,：E,F,N分别是BM,CM,8c的中点，

J.EN//CM,FN//BM,EM=MF,

...四边形MEN尸是菱形.

*：NBMC=90。，

二菱形MENF是正方形.

25.【答案】A

【解析】因为/EAF是沿A£折叠而得，所以/EAF=/D4E.

又因为在矩形中ND48=90°,即ZEAF+ZDAE+ZBAF=90,

90°-60°

又ZBAF=60。,所以NDAE=-----------=15°.故选A.

2

26.【答案】A

【解析】在△ABC中，由勾股定理可得：BC=\lAB2+AC2=762+82=10.

AD是BC边上的高，E、尸分别是48、AC边的中点，

则：EF=-BC=5,DE=-AB=4,DF=-AC=3.

222

△。所的周长为：DE+EF+DF^4+5+3^12.故选A.

27.【答案】A

【解析】；四边形ABC。是菱形，.*.02=00,AC1BD,"JDHLAB,

：.OH=OB=-BD,•；NDHO=20°,：./OHB=90°-NDHO=7Q°,：.ZABD=ZOHB=10°,

2

AZCAD=ZCAH=90°-ZABD=20°.故选A.

28.【答案】D

【解析】A、由作法可得A。平分NMAN,所以A选项的结论正确；

B、因为A8=AC,DB=DC,所以垂直平分8C,所以B选项的结论正确：

C、因为A8=AC,DB=DC,所以NA8C=N4C8,NDBC=NDCB,则所以NMBD=NNCD,

所以C选项的结论正确；

D、54不一定等于8,所以四边形A8OC不一定是菱形，所以D选项的结论错误.故选D.

29.【答案】B

【解析】设CH=x,因为8E：EC=2：I,BC=9,所以，EC=3,由折叠知，EH=DH=9-x,在Rt/XECH

中，由勾股定理，得：(9-X)2=32+X2,解得：x=4,即CH=4.故选B.

30.【答案】B

【解析】如图，连接

•.•正方形的面积为1,...其边氏为1,.•.在RtZ\3CD中，由勾股定理得，6。=&.：点£、尸分别

为BC和。。的中点，EE=2B。=也.又•••四边形EFGH是正方形，，正方形EFGH的周长为

22

4x—=2x/2.故选B.

2

31.【答案】30。

【解析】：四边形ABCO是矩形，.•.NB=90。，为边AB的中点，.•.AE=8E,

由折叠的性质可得：NEFC=NB=90°,NFEC=NCEB,/FCE=NBCE,FE=BE