2019年四川省乐山市中考数学试卷（解析版）

2019年四川省乐山市中考数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.

1.（3分）（2019•乐山）-3的绝对值是（）

A.3B.-3C.—D.-X

33

【考点】15：绝对值.

【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出.

【解答】解：|-3|=-（-3）=3.

故选：A.

【点评】考查绝对值的概念和求法.绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一

个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

2.（3分）（2019•乐山）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（

【考点】Q5：利用平移设计图案.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据平移的性质解答即可.

【解答】解：.••只有。的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到;

故选：D.

【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题

的关键.

3.（3分）（2019•乐山）小强同学从-1,0,1,2,3,4这六个数中任选一个数，满足不等

式x+l<2的概率是（）

A.1B.1C.1D.工

5432

【考点】C6：解一元一次不等式；X4：概率公式.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】找到满足不等式x+l<2的结果数，再根据概率公式计算可得.

【解答】解：在-1,0,1,2,3,4这六个数中，满足不等式尤+1<2的有-1、。这两

个，

所以满足不等式x+l<2的概率是2=工，

63

故选：C.

【点评】本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之

比.

4.（3分）（2019•乐山）-a一定是（）

A.正数B.负数

C.0D.以上选项都不正确

【考点】11：正数和负数.

【专题】511：实数.

【分析】利用正数与负数定义分析得出答案.

【解答】解：-a中。的符号无法确定，故-a的符号无法确定.

故选：D.

【点评】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的定义是解题关键.

5.（3分）（2019•乐山）如图，直线点B在a上，S.AB1BC.若Nl=35°,那么

N2等于（）

Ba

A.45°B.50°C.55°D.60°

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】先根据/1=35°,求出NBAC的度数，再由AB,8c即可得出答案.

【解答】解：Zl=35°,

.•.ZBAC=Z1=35°.

'：AB±BC,

：.Z2=ZBCA=90a-ZBAC=55°.

故选：c.

【点评】本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性

质是解决问题的关键.

‘2x-6〈3x

6.（3分）（2019•乐山）不等式组，x+2x-1、的解集在数轴上表示正确的是（）

-----

C.-6013D.-6013

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案.

"2x-6<3x①

解①得：x>-6,

解②得：后13,

故不等式组的解集为：-6<xW13,

在数轴上表示为：-6013.

故选：B.

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，正确解不等式是解题关键.

7.（3分）（2019•乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈

三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，

会多3钱；每人出7钱，又差4钱.问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人

数、物价分别是（）

A.1,11B.7,53C.7,61D.6,50

【考点】8A：一元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】设有无人，物价为y,根据该物品价格不变，即可得出关于尤、y的二元一次方

程组，此题得解.

【解答】解：设有X人，物价为》可得：!k8X-3,

[y=7x+4

解得：卜=7,

1尸53

故选：B.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元

一次方程组是解题的关键.

8.（3分）（2019•乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影

【考点】LE：正方形的性质.

【专题】552：三角形；556：矩形菱形正方形；55E：解直角三角形及其应用.

【分析】如图，易证△ABCs△五EC,可设BC=x,只需求出8C即可.

【解答】解：

如图，设BC=%，则CE=1-尤

易证△ABCs△尸

.AB_BC_1_x

"EFCE1

解得x=—

3

，阴影部分面积为：SAABC=^XJ_XI=1

236

故选：A.

【点评】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性

质.利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答

9.（3分）（2019•乐山）如图，在边长为«的菱形ABC。中，ZB=30°,过点A作AE_L

BC于点E,现将△ABE沿直线AE翻折至△APE的位置，AF与CD交于点G.则CG等

A.V3-1B.1C.LD.返

22

【考点】L8：菱形的性质；PB：翻折变换（折叠问题）.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】先利用30。直角三角形的性质，求出3E,再根据折叠性质求得BR从而得到

长，最后根据△ADGs/XFCG得出与CG有关的比例式，即可求解CG长.

【解答】解：在中，NB=30°,

2

根据折叠性质可得BF=2BE=3.

:.CF=3-眄.

'：AD//CF,

：.AADGs^FCG.

.ADDG

"CF=CG-__

设CG=x,则,

3^3x

解得X=M-1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，解题的

关键是找到与CG相关的三角形，利用相似知识求解.

10.（3分）（2019•乐山）如图，抛物线-4与尤轴交于A、B两点，P是以点C（0,

-4

3）为圆心，2为半径的圆上的动点，。是线段必的中点，连结O。.则线段。。的最大

值是（）

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；IC：线段的性质：两点之间线段最短；KX：三角

形中位线定理；M8：点与圆的位置关系.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】连接BP,如图，先解方程y-4=0得A(-4,0),B(4,0),再判断OQ

为的中位线得到利用点与圆的位置关系，过圆心C时，PB最大,

2

如图，点尸运动到P'位置时，BP最大,然后计算出8P'即可得到线段。。的最大值.

【解答】解：连接BP,如图，

当y=0时，为2-4=0,解得xi=4,X2=-4,则A(-4,0),B(4,0),

是线段B4的中点，

为AAS尸的中位线，

：.OQ=^-BP,

当BP最大时，。。最大，

而8P过圆心C时，PB最大,如图，点尸运动到尸'位置时，BP最大,

VBC=^22+42=5,

:.BP'=5+2=7,

.,.线段。。的最大值是孑.

故选：C.

【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关

系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了三

角形中位线.

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分.

11.（3分）（2019•乐山）的相反数是—.

2一2一

【考点】14：相反数.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

【解答】解：J_的相反数是

22

故答案为：1.

2

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

12.（3分）（2019•乐山）某地某天早晨的气温是-2℃,到中午升高了6℃,晚上又降低了

7℃.那么晚上的温度是-3℃.

【考点】1B：有理数的加减混合运算.

【专题】511：实数.

【分析】由题意列出算式进行计算求解即可.

【解答】解：-2+6-7=-3,

故答案为：-3

【点评】本题主要考查有理数的加减法，正确列出算式是解题的关键.

13.（3分）（2019•乐山）若3加=9"=2.则3*2"=4.

【考点】46：同底数塞的乘法；47：幕的乘方与积的乘方.

【专题】512：整式.

【分析】根据事的乘方与积的乘方进行解答即可.

【解答】解：：3'"=32"=2,

...yn+2n=3，”.32n=2X2=4,

故答案为：4

【点评】此题考查幕的乘方与积的乘方，关键是根据幕的乘方与积的乘方解答.

14.（3分）（2019•乐山）如图，在△ABC中，NB=30°，AC=2,cosC=£.则A8边的

5

长为此.

—5—

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】如图，作A”,8c于H.解直角三角形求出AH,再根据AB=2A”即可解决问

题.

【解答】解：如图，作于巴

•.•CH一.3,^―,

AC5

5

,'-A//=VAC^CH2=-J2M|）2=|->

在RtaABX中，VZAHB=90°,NB=30°,

：.AB=2AH^^~,

5

故答案为迈.

5

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形

解决问题，属于中考常考题型.

15.（3分）（2019•乐山）如图，点尸是双曲线C：（x>0）上的一点，过点尸作x轴

X

的垂线交直线AB：y=Lr-2于点。，连结。尸，OQ.当点P在曲线C上运动，且点尸

2

在。的上方时，△尸。。面积的最大值是3.

【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数

图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】设尸q），则Q（无，L-2）,得至！J2。=且-工什2,根据三角形面积公式

x2x2

得到S^POQ=-L（尤-2）2+3,根据二次函数的性质即可求得最大值.

4

【解答】解：：尸。”轴，

...设尸（x,-1）,则。（X,马-2）,

x2

：.PQ=L-LX+2,

x2

,2

•'.SAPOQ=—（―-—Y+2）X=-—（x-2）+3,

2x24

:-A.<o,

4

.•.△PO。面积有最大值，最大值是3,

故答案为3.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数y=K

X

（左W0）系数&的几何意义：从反比例函数y=K（人力0）图象上任意一点向X轴和y轴

x

作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为因.

16.（3分）（2019•乐山）如图1,在四边形ABCD中，ZB=30°,直线/_LAB.当

直线/沿射线BC方向，从点2开始向右平移时，直线/与四边形ABC。的边分别相交于

点E、F.设直线/向右平移的距离为尤，线段E尸的长为y,且y与x的函数关系如图2

所示，则四边形ABCD的周长是—10+25—•

【专题】53：函数及其图象.

【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到AB、BC、的长，再根据平行线的

性质和图形中的数据可以得到CD的长，从而可以求得四边形ABC。的周长.

【解答】解：：/8=30°，直线/

:・BE=2EF,

由图可得，

AB=4cos30°=4义喙=2«,

BC=5,

AO=7-4=3,

当成平移到点尸与点。重合时，如右图所示，

'：ZEFB=60°,

：.ZDEC=60°,

•：DE=CE=2,

•••△OEC为等边三角形，

：.CD=2.

：.四边形ABCD的周长是：A3+8C+AO+CD=2«+5+3+2=10+273,

故答案为：10+2«.

【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

三、本大题共3个小题，每小题9分，共27分.

17.（9分）（2019•乐山）计算：（上）一（2019-TT）°+2sin30°.

2

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数塞；6F：负整数指数幕；T5：特殊角的三角函数

值.

【专题】511：实数.

【分析】根据实数的混合计算解答即可.

【解答】解:原式=2-1+2X5，

—2-1+1,

=2.

【点评】此题考查实数的运算，关键是根据实数的混合计算解答.

18.（9分）（2019•乐山）如图，点A、8在数轴上，它们对应的数分别为-2,且点

x+1

A、8到原点的距离相等.求尤的值.

AB

------1-------------1----A

-20

【考点】13：数轴；B3：解分式方程.

【专题】522：分式方程及应用.

【分析】根据题意得出分式方程解答即可.

【解答】解：根据题意得：上=2，

x+1

去分母，得x=2（x+1）,

去括号，得x=2x+2,

解得尤=-2

经检验，x=-2是原方程的解.

【点评】此题考查解分式方程，关键是根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式

方程的解；③检验；④得出结论解答.

19.（9分）（2019•乐山）如图，线段AC、2。相交于点E,AE=DE,BE=CE.求证：ZB

ZC.

D

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】553：图形的全等.

【分析】根据AE=OE,NAEB=/DEC,BE=CE,证出△AEBgZkOEC,即可得出

=ZC.

【解答】证明：在班和△OEC中,

'AE=DE

ZAEB=ZDEC

tBE=CE

AA£B^ADEC,

/.ZB=ZC.

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题

难度不大，要求学生应熟练掌握.

四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分.

22

20.（10分）（2019•乐山）化简：x-2x+l_.x-x.

x2-lx+1

【考点】6A：分式的乘除法.

【专题】513：分式.

【分析】首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案.

【解答】解:

原式=品mr铲'

(x-1)*x+1

(x+1)X(x-l)

1

【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键.

21.（10分）（2019•乐山）如图，已知过点8（1,0）的直线/1与直线/2：y=2x+4相交于

点P（-1,a）.

（1）求直线/1的解析式;

（2）求四边形E40C的面积.

hS小

【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；FF：两条直线相交或平行问题.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）由点P（-1,a）在直线/2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可

求出。值，再利用点尸的坐标和点B的坐标可求直线/1的解析式；

（2）根据面积差可得结论.

【解答】解：（1）:点尸（-1,a）在直线/2：y=2x+4上，

A2X（-1）+4=a,即a=2,

则尸的坐标为（-b2）,

设直线/1的解析式为：y^kx+b（左WO）,

那么（k+b=O,

l-k+b=2

解得：4二T.

lb=l

.,Ji的解析式为：y=-x+l.

（2）•.•直线/i与y轴相交于点C,

，C的坐标为（0,1）,

又,直线/2与X轴相交于点A,

二4点的坐标为（-2,0）,则48=3,

而S四边形fttOCuSzvBlB-S&BOC,

11R

四边形E4OC=£X3X2-yX1X1=-^--

【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形

的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式.并利用数形结合的思想解决问

题.

22.（10分）（2019•乐山）某校组织学生参加“安全知识竞赛”，测试结束后，张老师从七

年级720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示.试根据统

计图提供的信息，回答下列问题:

（3）若将不低于27分的成绩定为优秀，请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生

人数大约是多少.

【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；W5：众数.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】（1）男生：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人）女生：1+1+2+3+11++13+7+1+1=

40（人）；

（2）女生成绩27的人数最多，所以众数为27；

（3）720X*+143+2=720X第396（人）•

oUoU

【解答】解：（1）男生：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人）

女生：1+1+2+3+11++13+7+1+1=40（人）

故答案为40,40；

（2）女生成绩27的人数最多，所以众数为27,

故答案为27；

（3）720X-+1/3+2=720X第396（人），

oUoU

七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是396人.

【点评】此题同时考查了条形统计图，考查了利用统计图获取信息的能力.利用统计图

获取信息时，必须认真观察、认真分析、认真研究统计图，只有这样才能作出正确的判

断，准确地解决问题.

五、本大题共2个小题，每小题10分，共20分.

23.（10分）（2019•乐山）已知关于x的一元二次方程尤2-（4+4）x+44=0.

(1)求证：无论上为任何实数，此方程总有两个实数根；

(2)若方程的两个实数根为XI、XL,满足上—+」_=上，求左的值；

X]X24

(3)若RtaABC的斜边为5,另外两条边的长恰好是方程的两个根xi、尤2,求RtaABC

的内切圆半径.

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】153：代数几何综合题.

【分析】(1)根据根的判别式4=(左+4)2-I6k=lc-8A:+16=(%-4)2^0,即可得到

结论；

(2)由题意得至hi+x2=k+4,尤rx2=4k,代入」_+工=立，解方程即可得到结论；

町x24

(3)解方程/-1+4)x+4左=0得至ljxi=4,x2=k,根据题意根据勾股定理列方程得到

k=3,设直角三角形ABC的内切圆半径为r,根据切线长定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：：△=(左+4)2-16左=/-8左+16=(%-4)220,

无论k为任何实数时，此方程总有两个实数根；

(2)解：由题意得：％1+%2=k+4,XI・X2=4Z,

.•.--1--1---二—3，

X|x24

x+x

•.•---l----2二-3-,

Xj•x24

即k+4=3,

4k-4

解得：k=2：

(3)解：解方程7-(无+4)%+4%=0得：xi=4,xi=k,

根据题意得：4W=52,即％=3,

设直角三角形ABC的内切圆半径为片如图，

由切线长定理可得：(3-r)+(4-r)=5,

...直角三角形ABC的内切圆半径r=3+4-5=].

A

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，一元二次方程根的判别式,

一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握切线长定理是解题的关键.

24.（10分）（2019•乐山）如图，直线/与。O相离，于点A,与。。相交于点P,

04=5.C是直线/上一点，连结CP并延长交。。于另一点2,且AB=AC.

（1）求证：A8是。。的切线；

（2）若。。的半径为3,求线段的长.

【考点】MB：直线与圆的位置关系；ME：切线的判定与性质.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）连接。8,由48=AC得由OP=OB得/OPB=NOBP,

由得/。AC=90°,贝!!/AC8+NAPC=90°,而/APC=NOPB=NOBP,所以

ZOBP+ZABC=90°,即/084=90°,于是根据切线的判定定理得到直线AB是。。

的切线；

（2）根据勾股定理求得A8=4,PC=2代，过。作于。，则通过

证得△OOPs/XCAP,得到坨，求得尸。，即可求得P8.

PACP

【解答】（1）证明：如图，连结则OP=OB,

，ZOBP=ZOPB=ZCPA,

AB^AC,

：.NACB=/ABC,

而。4_U,即/O4C=90°,

ZACB+ZCPA=90°,

gpZABP+ZOBP=90°,

/.ZABO=90°,

OB±AB,

故AB是。。的切线；

(2)解：由(1)知：ZABO=90°,

而OA=5,OB=OP=3,

由勾股定理，得：AB=4,

过。作OD1.PB于D,则PD=DB,

；/OPD=/CPA,/ODP=/CAP=90°,

：./\ODP^/\CAP,

.PDOP

，，PA^CP，

又：AC=AB=4,AP^OA-OP=2,

二式国小+虹＞2=2泥，

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，

熟练掌握性质定理是解题的关键.

六、本大题共2个小题，第25题12分，第26题13分，共25分.

25.（12分）（2019•乐山）在△4BC中，已知。是8C边的中点，G是△ABC的重心，过G

点的直线分别交AB、AC于点E、F.

（1）如图1,当E尸〃BC时，求证：巫+d=1；

AEAF

（2）如图2,当EP和BC不平行，且点E、尸分别在线段A3、AC上时，（1）中的结论

是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

（3）如图3,当点E在的延长线上或点尸在AC的延长线上时，（1）中的结论是否

成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.

图1图2

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题；552：三角形；55D：图形的相似.

【分析】（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可;

（2）过点A作交EF的延长线于点MFE、CB的延长线相交于点得出△

BMEsAANE,丛CMFS工ANF,得出比例式解答即可;

（3）分两种情况：当歹点与C点重合时，E为A8中点，8E=AE；点厂在AC的延长线

上时，BE>AE,得出巫〉1，则巫十里〉1，同理：当点E在的延长线上时,

AEAET

黑喘〉1，即可得出结论.

【解答】（1）证明：是△ABC重心,

.DG1

••---ZZ--，

AG2

又•：EF//BC,

.BE_DG_1CF_DG_1

••瓦而可而多可

则型

AE^F2/

（2）解：（1）中结论成立，理由如下:

如图2,过点A作AN〃BC交的延长线于点N,FE、C8的延长线相交于点

则ACMFsAANF,

BE_BMCF_CM

AE^AN'AF^AN'

.BE,CFBM,CM1BM+CM

AE"AN^N"AN

又•/BM+CM=BM+CD+DM,

而。是BC的中点，即8。=。,

BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,

.BE,CF2DM

AE^FAN

又..DM_DG_1

'AN^AG^2'，

.BE,CF…1,

•--------卜二2X一二1，

AET2

故结论成立;

(3)解：(1)中结论不成立，理由如下:

当厂点与C点重合时，E为A8中点，BE=AE,

点尸在AC的延长线上时，BE>AE,

噜X贝喘喘X

同理：当点£在®勺延长线上时，H>1-

结论不成立.

【点评】此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、

平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线

分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键.

26.(13分)(2019•乐山)如图，已知抛物线y=a(x+2)(x-6)与无轴相交于A、B两点,

与y轴交于C点，且tan/CAB=>|.设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.

（1）求抛物线的解析式；

（2）尸为抛物线的对称轴上一点，Q（〃，0）为x轴上一点，且

①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求w的变化范围；

②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；

③当n取最大值时，将线段CQ向上平移/个单位长度，使得线段C。与抛物线有两个

交点，求r的取值范围.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】41：待定系数法；535：二次函数图象及其性质.

【分析】（1）由函数解析式，可以求出点A、8的坐标分别为（-2,0）,（6,0）,在Rt

△CMC中由tan/CAB=3，可以求出点C的坐标为（0,3）,进而可以求出抛物线的解

2

析式；（2）①抛物线的对称轴为：x=2,顶点M（2,4）,在Rt^PC。中，由勾股定理

得：PC2+p02=c°2,把三角形三边长用点p,Q的坐标表达出来，整理得：

2

n=1-（in-3irri-4），利用机（4,求出n的取值范围；②由SApcQ^1<：Q'h=yPC'PQ-

得：拉匹兽=2,求出点P到线段C。距离为2；③设线段C。向上平移f个单位长度

CQ

后的解析式为：y=-5-x+3+t>联立抛物线方程，可求出/-7x+4r=0,由△=49-16f

=0,得t上，

■16

当线段C。与抛物线有两个交点时，3<t<—

【解答】解:

(1)根据题意得：A(-2,0),B(6,0),

在RtaAOC中，•.•tanNCAO^^金，且04=2,得C0=3,：.C(0,3),将C点坐

A02

标代入y=。(x+2)(尤-6)得：a==，

抛物线解析式为：尸一(x+2)(x-6)；

2

整理得：J=-1X+X+3

2

故抛物线解析式为：得：y=-1X+X+3；

①由(1)知，抛物线的对称轴为：尤=2,顶点M(2,4),设尸点坐标为(2,根)(其

中0WmW4),

则PC2=22+(“Z-3)2,尸02=m2+(“-2)2,Cg2=32+n2,'：PQ±PC,.•.在RtAPCQ

中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2,

222222

即2+(m-3)+m+(〃-2)=3+H,整理得：n=?^-(m2—3m+4)=±(m上)(0

2228

WmW4),.,.当npr!■时，〃取得最小值为看；当机=4时，w取得最大值为4,

所以，卷4n44；

②

由①知：当〃取最大值4时，机=4,

：.P(2,4),Q(4,0),

贝祝=娓，PQ=2巡，CQ=5,

设点尸到线段C。距离为人，

由SapcQ*Q.h=]pC・PQ，

得：h』C；；Q=2,故点尸到线段C。距离为2；

③由②可知：当〃取最大值4时，Q(4,0),...线段C。的解析式为：尸-^*+3，

设线段CQ向上平移/个单位长度后的解析式为：尸一^x+3+t，

当线段C。向上平移，使点。恰好在抛物线上时，线段CQ与抛物线有两个交点，此时

对应的点。'的纵坐标为：.(4+2)("6)=3，

将(4,3)代入尸-^x+3+t得：—3，

当线段C。继续向上平移，线段C。与抛物线只有一个交点时，

得：-^(x+2)(x-6)=0"x+3+t，化简得：厂-7x+4f=0,

由△=49-16f=0,得t嘿，，当线段C。与抛物线有两个交点时，3<t<y1-

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要

会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题.

考点卡片

1.正数和负数

1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号叫做负数，一个数前面的

“+”“-”号叫做它的符号.

2、0既不是正数也不是负数.0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数.

3、用正负数表示两种具有相反意义的量.具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包

含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量.

2.数轴

(1)数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向.

(2)数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理

数.(一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数.)

(3)用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大.

3.相反数

(1)相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

(2)相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

(3)多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

(4)规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-(m+n),这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

4.绝对值

(1)概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.

①互为相反数的两个数绝对值相等；

②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.

③有理数的绝对值都是非负数.

(2)如果用字母。表示有理数，则数。绝对值要由字母。本身的取值来确定：

①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；

②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-。；

③当。是零时，。的绝对值是零.

即|a|=｛。（tz>0）0（a=0）-a（a<0）

5.有理数的加减混合运算

（1）有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法.

（2）方法指引：

①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成

省略括号的和的形式.

②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化.

6.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

7.同底数塞的乘法

（1）同底数幕的乘法法则：同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

am-an=a'n+n（m,w是正整数）

（2）推广：am'an-aP^am+n+P（m,n,p都是正整数）

在应用同底数幕的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（/.）3与（/庐）

4,（x-y）2与（尤-y）3等；②。可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数幕.

8.塞的乘方与积的乘方

（1）哥的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（/）n=amn〃是正整数）

注意：①累的乘方的底数指的是暴的底数；②性质中“指数相乘”指的是塞的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数塞的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘.

（ab）（"是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

9.分式的乘除法

（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.

（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方.

（4）分式的乘、除、乘方混合运算.运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式

的乘除运算，即“先乘方，再乘除”.

（5）规律方法总结：

①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行

因式分解，再约分.

②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的

顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序.

10.零指数塞

零指数累：a°=l（aWO）

由/+级=1,/小级=""「'"=『可推出a°=lQW0）

注意：0°#1.

11.负整数指数募

负整数指数哥：a'P=lapQWO,p为正整数）

注意：①°力0；

②计算负整数指数嘉时，一定要根据负整数指数嘉的意义计算，避免出现（-3）一2=（-

3）X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

12.一元一次方程的应用

（一）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=型3乂1。。％）；（4）工程问题（①工作量

进价

=人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=

工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度义时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,

直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含尤的式子表示相关的量，找出

之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹U、解、答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（X）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知

数.

3.歹!J：根据等量关系列出方程.

4.解:解方程，求得未知数的值.

5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.

13.二元一次方程组的应用

（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

14.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

15.在数轴上表示不等式的解集

用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：

一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意，点是实心还是空心,

若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右

【规律方法】不等式解集的验证方法

某不等式求得的解集为无＞。，其验证方法可以先将。代入原不等式，则两边相等，其

次在尤的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立.

16.解一元一次不等式

根据不等式的性质解一元一次不等式

基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项;

④合并同类项；⑤化系数为1.

以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向，其他

都不会改变不等号方向.

注意：符号“2”和“W”分别比和各多了一层相等的含义，它们是不等号与

等号合写形式.

17.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

18.动点问题的函数图象

函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中

的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力.

用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.

19.待定系数法求一次函数解析式

待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：

（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设>=丘+6；

（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的

方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式.

注意：求正比例函数，只要一对尤，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函

数>=履+匕，则需要两组x,y的值.

20.两条直线相交或平行问题

直线y=fcc+b,（ZW0,且比b为常数），当人相同，且6不相等，图象平行；当上不同，且

b相等，图象相交；当公6都相同时，两条线段重合.

（1）两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组

的解.

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即及值相同.

例如：若直线yi=hx+bl与直线,2=①¥+匕2平行，那么用=%2.

21.反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数y=k（kWO）的图象是双曲线；

x

（2）当上>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；

（3）当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.

注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.

22.反比例函数系数k的几何意义

比例系数k的几何意义

在反比例函数y=工图象中任取一点，过