2020届高三数学三诊模拟考试试题文含解析

四川省泸县第二中学2020届高三数学三诊模拟考试试题文(含解析)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷选择题(60分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={x|lnx<l},B=则AD8=()

A.(O,e)B.(-1,2)C.(—l,e)D.(0,2)

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式lnx<l,化简集合A，根据交集定义即可求解.

【详解】因为A={x|lnx<l}={x|0<x<e},所以Ac8={x[0<x<2}.

故选:D

【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.

2_

2.已知复数2=万;，则复数z的共轨复数z=()

A81•R16「6J.n

A.-------1B.--------1C.-----1—iD.

222222

Lg

22

【答案】A

【解析】

【分析】

复数Z实数化，即可求解.

【详解】因为2=71—=-—=且上，所以之=且一_1

V3-z(V3-Z)(V3+0222

故选:A

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共规复数定义，属于基础题.

3.记等差数列但“｝的前〃项和为S"，若S"=272,则%+%+45=()

A.64B.48C.36D.24

【答案】B

【解析】

【分析】

由等差数列求和公式得，7=17。9=272,求得出=16,再利用等差数列性质即可求解

【详解】由等差数列性质可知,，7=17为=272,解得佝=16,故％+%+%=3%=48.

故选B

【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式,考查推理论证能力以及化归与转化思想.，是

基础题

)

【解析】

【分析】

根据函数奇偶性和特定值依次排除即可得解.

【详解】函数y=xcosx为奇函数，故排除反当X取很小的正实数时，函数值大于零,

故选A.

【点睛】本题考查了函数的图象、奇偶性，属于基础题.

5.设P为双曲线三一二=1上一点，耳，工分别为左、右焦点，若|刊"=7,则|尸乙|=()

412

C.3或11D.1或15

【答案】C

【解析】

•.•俨用尸周|=2。=4,且归周=7,.周=3或11，符合|P闾Nc-a=4—2=2,故

伊6|=3或11,故选C.

6.已知tana=3,则cos?a+sin2a=()

【答案】B

【解析】

分析】

利用“1”的变换，所求式子化为关于sina,cosa的齐次分式，化弦为切，即可求解.

故选:B

【点睛】本题考查同角间三角函关系，弦切互化是解题的关键，属于基础题.

7.已知向量石满足24+5=(1,2/〃),5=(1,M，且［在另方向上的投影是亭，则实数"?=

()

A.±2B.2C.±75D.75

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出a=(0,5)=>a-b=^-,再根据£在坂方向上的投影是年列方程求解即可・

【详解】因为向量点B满足2£+B=(l,2优),B=(l,加),

2a=2a+b—b=(0,m)

所以a=[o,5）,a•b=—,

若向量£,5的夹角为氏

则|B|（|4|COS0）-Jl+H?.~~=4，B=，

所以5〃/—16〃，—16=0，即（5"+4）（*—4）=0,解得、=±2,故选A.

【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式

有两种形式，一是£/=WWCOS6,二是£石=%马+,%，主要应用以下几个方面：⑴求

向量的夹角，COS6=HE（此时£石往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a在石上的

m

a-b__

投影是圆；（3）向量垂直则a%=0；⑷求向量/也+总的模（平方后需求”力）.

8.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A.264B.270C.274I）.282

【答案】A

【解析】

【分析】

本题首先可以通过三视图画出该几何体的直观图，然后通过三视图中各边的长得出该几何体

中的各边的长，最后通过表面积计算公式即可得出结果.

【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，

延长8E交。/于A点，其中A8=AO=r>A=6,AE=3,AF=4,

3x4

所以表面积S=(36x5+3x6)+芋*2+4x6+30=264,故选A.

【点睛】本题考查三视图的相关性质以及棱柱的表面积的求法，主要考查根据三视图画出几

何体的直观图以及通过三视图来确定几何体的边长，考查空间想象能力和运算求解能力，棱

柱的表面积是每一个面的面积之和，是中档题.

x-y-l<0

9.若实数满足,x+2y+2M0,则？=上口的取值范围是()

--x-2

【答案】C

【解析】

【详解】分析：画出不等式组表示的平面区域，z==的几何意义是点P(2,3)与区域内的

x—2

、,3-03

点〃(x,y)连线的斜率.由图观察斜率的最值，用斜率公式求出斜率，kPA=

2—(—2)4

kPB=^^-=2,即可得所求的取值范围.

详解：不等式组表示的平面区域如图，AABC的边界及其内部.

z=匕0表示点P(2,3)与区域内的点用(x,y)连线的斜率.

x-2

,3-03-1-3

点8(0,2,0)，所以Z%=7^7^=]，kPB=^-=2.

Z—40—2

3

由图可知一<z<2.

4

故选：C.

点睛：(1)解决线性规划有关的问题，应准确画出不等式组表示的平面区域；

(2)目标函数为z=ox+刀时，应平移直线，求其最值；

(3)目标函数为z=&二&形式时，转化为两点连线的斜率来求；

%2一%

(4)目标函数为Z=%)2+(%—X)2形式时,转化为两点间距离来求.

10.已知/(X)是定义在R上的偶函数，且/(x+5)=/(x-3),如果当xe[0,4)时，

/(x)=log2(x+2),则/(766)=()

A.3B.-3C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据/(x+5)=/(x-3)得〃x+8)=/(x)即f(x)的周期为8,再根据XG[0,4)时,

f(x)=log2(x+2)及f(X)为R上的偶函数即可求出f(766)=f(2)=2.

【详解】由f(i+5)=/(i—3),得/(x+8)=/(x),所以/(x)是周期为8的周期函数,

当％«0,4)时,/(x)=log2(x+2),所以/(766)=〃96x8-2)=”-2),又“力是

定义在R上的偶函数所以/(-2)=/(2)=log24=2.

【点睛】本题考查函数的周期性，奇偶性与求值，考查运算求解能力.

口.设机二心8。？。上,n=^-log20.6,则()

A.m—n>m+n>nmB.m—n>mn>m+n

C.m+n>m—n>mnD.mn>m—n>m+n

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数的单调性可得机>0,〃<0,根据不等式的性质可知加一〃>，"+〃；通过比较

—+-与1的大小关系，即可判断加+〃>加，从而可选出正确答案.

mn

【详解】解：，〃=log(>.30.6>log031=0,〃=；log20.6<；log21=0,则加"<0

•：(m—n)一(/〃+")=—2n>0,:.m—n>m+n

=log060.3+log0$4=log()61.2<log060.6=1：.m+n>rruz

mn

故选:A.

【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性.在比较对数的大小时，常常结合对

数函数的单调性比较大小.对于/(x)=log〃x,若0<。<1,则⑴当0<x<l时，/(x)>0；

(2)当尤=1时，/(x)=0；(3)当x>l时，/(x)<0；若。>1,贝！］(1)当0<x<l

时，/(EKO；(2)当x=l时，/(x)=0；(3)当x>l时，/(x)>0.

12.函数〃x)+eH—2x—2的零点个数是

A.0B.1C.21).与a有关

【答案】A

【解析】

分析】

利用导数求得函数/(x)的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数/(x)没有零点.

/\

11

【详解】依题意/(%)=ea+—ex-2x-2,令

<ea>

1+4〉2

2.f(^x)=tex-2x-2,f\x)=tex-2,令/(x)=。，解得

e°

x=,故函数/(x)在■)上递减，在9n:,+oo)上递增，函数在x=ln1■处取

得极小值也即是最小值，/IInyl=rx--21ny-2=-21ny,由于f>2,故-Zin?〉0,

也即是函数/(x)的最小值为正数，故函数/(x)没有零点.故选A.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的单调区间、

极值和最值，综合性较强，属于中档题.

第II卷非选择题(90分)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量机=(2,4),〃=(-3,%)(4e及)，若根J,〃，贝!J丸=—.

3

【答案】一

2

【解析】

【分析】

由向量垂直得X的方程求解即可

___3

【详解】依题意，mn-0<即-6+44=0,解得力=一.

2

3

故答案为-

2

【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力以及化归与转化思想.

14.函数/(x)=xlnx在x=e处的切线方程的纵截距为____.

【答案】—e

【解析】

【分析】

求/‘(X),求出切线的斜率f(e)和/(e),点斜式写出切线方程，即得切线方程的纵截距.

【详解】•."(x)=xlnx,;j'(x)=lnx+l,

f(e)=lne+1=2,又/(e)=e,

二函数在尤=6处的切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e.

，切线方程的纵截距为-e.

故答案为：-e.

【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式方程，属于基础题.

15.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。—A4G2中，。是底面A3CO的中心，E、F

分别是CG、AD的中点，那么异面直线OE和所成角的余弦值等于.

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，写出2，£。,后的坐标，写出向量尸Z）；,诙的坐标，用两向量的夹角

公式求出余弦值.

则£),(0,0,2),F(l,0,0),0(1,1,0),E(0,2,1),

•••西=(-1,0,2),砺=(-1,1,1),两=后函=6,

福西_3_屈

cos〈OE,FD)

|布|西|73x755

所以异面直线0E和FD,所成角的余弦值等于叵.

故答案为：叵.

5

【点睛】本题考查异面直线所成的角，属于基础题.

16.数列｛4｝满足q=3,且对于任意的“eN*都有=4+4+〃-1，则

+-----F•••H---------=

【解析】

【分析】

由题意可得。/1=%+〃+2,再由累加法求得a“，结合等差数列的求和公式，以及裂项相消求

和，计算可得所求和.

【详解】由题。“+1=%+加2,Aan+]-an=n+2,所以。2-4=3,a3-a2^4,

%-%=5,…，为一a“T=〃+l("22),上式〃—1个式子左右两边分别相加得

〃+1)("+2),当时，满足题意，所以

即久

〃+1〃+2

故答案为前

【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查

数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题.

三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.如图，已知AAbC的内角A，B,C的对边分别是。，》，c,且

asinA+(c-a)sinC=8sinB,点。是AC的中点，£)£；_LAC，交AB于点£，且3C=2,

DE=^-.

2

A

(2)求AABC的面积.

【答案】(1)8=60°⑵过二叵

2

【解析】

【分析】

(1)通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出3.

(2)根据已知条件可以确定A£=CE,并求出它们的表达式，在ABCE中，运用外角与内

角的关系、正弦定理，可求出A，BE的大小，最后求出面积.

【详解】解(1),.,tzsinA+(c-«)sinC=bsinB,由一^―=—^―=—^-得/+02一ac=〃，

sinAsinBsinC

〃2r2_右21

由余弦定理得cosB="上——=

lac2

'：0<B<TT,：.B=60：

(2)连接CE,如下图：。是AC的中点，DE1.AC,:.AE^CE,

DE_R

CE=AE=

sirt42sia4

CEBCBC

在ABCE中，由正弦定理得

sinBsinNBECsin2A

遥_2V2

cosA

2sinAsin602sirt4cosA2

'：Q<A<TT,A=45°>

ZAC5=75，ZBCE=ZACB-ZACE=30，NBEC=9U>

:.CE=AE=BAB=AE+BE=6+I,

■.SMBC=^AB-CE=^-，

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式.

18.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措

施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整

理得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为

“短潜伏者”，潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”.

cO3L

diO2L

O—

o.O

246n101214A

（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计

算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；

（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上

述500名患者中抽取300人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是

否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；

短潜伏者长潜伏者合计

60岁及以上90

60岁以下140

合计300

(3)研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的300人中分层选取7位

60岁以下的患者做I期临床试验，再从选取的7人中随机抽取两人做II期临床试验，求两人

中恰有1人为“长潜伏者”的概率.

附表及公式：

P（K2>k.）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

长2_n{ad-bc)1

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)平均数为6,“长潜伏者”的人数为25()人

(2)列联表见解析,有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关

4

(3)P=-

7

【解析】

【分析】

(1)根据频率分布直方图中的数据计算即可

(2)首先将列联表补充完整，然后计算出左2的观测值即可

(3)由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为a,b,c,“长潜伏者”有4人，记为

D,E,F,G,然后列举出所有的情况，然后数出满足所求事件的基本事件的个数即可.

详解】(1)平均数

x=(0.02xl+0.08x3+0.15x5+0.18x7+0.03x9+0.03xl1+0.01x13)x2=6.

“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为0.5

所以500人中“长潜伏者”的人数为5(X)x().5=25()人

(2)由题意补充后的列联表如图：

短潜伏者长潜伏者合

60岁及以上9070160

60岁以下6080140

合计150150300

300x(90x80-60x70)275

所以42的观测值为人»5.357>5.024.

150x150x160x14014

经查表，得P俨之5.024卜0.025,所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.

(3)由分层抽样知7人中，“短潜伏者”有3人，记为a/,c,“长潜伏者”有4人，记为

D,E,F,G,

从中抽取2人,共有(a,c),(a,。)，(a,E),(a,尸),(a,G),(b,c),

伽。)，(瓦E),伍,尸),(b,G),(c,D),(c,E),(c,F),(c,G),(D,E),

(D,F),(D,G),(瓦产)，(EG),(EG),

共有21种不同的结果，两人中恰好有1人为“长潜伏者”包含了12种结果.

124

所以所求概率P=—=—.

217

【点睛】本题考查的知识点有：由频率分布直方图估计平均数、分层抽样、独立性检验和古

典概型，属于基础题.

19.如图，在多面体ABCD所中，平面平面四边形AOEb为正方形，四

边形A5C。为梯形，且45/ABC,ZBAD=90°,AB=AZ)=1,BC=3.

(1)求证：AFYCD-,

(2)求直线BE与平面COE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见详解；（2）叵

5

【解析】

【分析】

（1）由AFLA。，平面ADEF_L平面ABC。，利用面面垂直的性质定理可得AF，平面

ABCD,再利用线面垂直的性质定理即可证出.

（2）取上的点G,使得BG=1,证明GE//B/且GE=B尸，过G作GH_LCD于H,

则G”_L平面COE，连接E”，则NGE”为直线Bb与平面CDE所成角，求解三角形即可

得出答案.

【详解】（1）证明：•.•四边形AZ）所为正方形，

AFA.AD,

V平面ADEF，平面ABCD，且平面ADEFQ平面ABCD=AD，

AF，平面ABCD,则AF±CD.

（2）取3c上的点G，使得3G=1,

则6G//AD且3G=AD,

BG//EF且BG=EF,

则四边形BGE/7为平行四边形，

则GE//BF且GE=BF,

由AB=AF=1，ZBAF=90°,

可得GE=BF=6,

过G作G”J_CD于H,则G”_L平面CDE,连接E”，

则NGEH为直线BF与平面CDE所成角，

2

在心/XOGC中，求得

75

2

,.GH★回

..sinZ.GEH=-----==-----

GE垃5

二直线8尸与平面COE所成角的正弦值为亚.

5

【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理

能力，属于基础题.

20.已知椭圆E：1(。>/,>())过点Q(变,也)，椭圆上的动点P与其短轴两端点

连线的斜率乘积为一g.

(1)求桶圆E的方程；

(2)设F“&分别为E的左、右焦点，直线1过点B且与E相交于A,B两点，当可•哥=

2时，求居的面积.

x24

【答案】(1)—+/=1(2)5=—

2-3

【解析】

【分析】

(1)设点尸(x,y),由即小左叫=-2可得"二万？，又。在E上，所以五r+市=1

解得即可求得椭圆方程.

(2)利用设而不求的方法设A(x，y),3(%,%)结合韦达定理与向量的数量积解答

22

【详解】解：(1)设4(0力)，5(0,—为短轴两端点,P(%y)，贝4孑+m=1.

PB.kpB=U-W=R=一4=」

・・・储=»2.①

两段XXx2a22

13

又。在E上，，+-ry=1.②

2a274b2

解①②得/=2，/=1.

所以桶圆E的方程为三+V=1.

2

2

(2)设直线/:工="丁一1,代入,+/=1得

(nr+2)/_2my-1=0.③

设A(Xi，X)，3(x2，%)，则另+%=^^，X%=--・④

m+2m+2

可•哥=(%一1,%)=(%一1)-(々-1)+乂>2

=(相乂一2).(四2-2)+y%=(m2+1)y%-2m(乂+必)+4・⑤

把④代入⑤得

月A•a5=J—=2,解得加=±1.

"~"+2

由对称性不妨取加=1,贝U③变为3y2一2丁一1=0,解得y=—y2=i.

114

6的面积S=/x2(%_yJ=l+§=§.

【点睛】求椭圆的标准方程关键是由题求得标,/.

设而不求法的一般过程(1)设出直线方程(注意斜率是否存在)和交点坐标，

(2)将直线方程和圆锥曲线方程联立

(3)应用韦达定理

(4)结合题目计算整理

21.已知函数f(x)=e<a-b\nx+b(a>0),若曲线y=/(x)在点。，/⑴)处的切线方程为

(2e2-l)x-y+2-e2=0.

(1)求实数"、匕的值；

(2)证明：/(x)>3+ln2.

【答案】(1)a=2,b=l(2)详见解析

【解析】

【分析】

(1)由题意得/(l)=e2+l,广⑴=源一1,构造函数g(x)=(x+l)e*-非2a>0),利

用此函数的单调性可解得。，进而得〃;

⑵通过求导可得/'(力=0有唯一实根，记为/，即所以

进而得/(x^n=/(%)=/7+2X0+E2+I,进而利用基本不等式可证得.

【详解】(1)f(x)=em-b\nx+b(x>0),f\x)=ae,LX--

又由题意得/(1)=/+1,=

ea+b=e2+1(1)

所以《

aea-b=2e2-\(2)'

所以(1)+(2)可得,(a+l)e"=3e2,构造函数g(%)=(x+l)e'-非2a>0),

则g'(x)=(x+2)炉在区间(0,+w)内恒大于0,所以g(x)在区间(0,+8)内单调递增,

又g(2)=0,所以关于。的方程(a+l)e"=3e2的根为a=2,

把a=2代入e"+b=e2+l，解得b=l,所以。=2,b=l.

(2)证明：由(1)知/(x)=e2‘一lnx+1,则/(x)=2e2’—g,

因尸(x)=2e2'—!在区间(0,+ao)单调递增，/'(0.1)<0,/,(1)>0,

所以,尸(X)=O有唯一实根，记为X。，即62与=；>1,所以x()e(a5j,

由e2M=；得In/*=In；,整理得-lnx0=2x0+ln2,

因为xw(O，a)时,/,(x)<0,函数“X)单调递减,

x«Xo，+8)时，函数/(x)单调递增,

所以/(x)min=/(X。)=e2*>-ln%0+1=；+2/+ln2+123+ln2,

1c1

当且仅当丁=2%,即/=工时取等号,

2X02

因为拓€（0,3）,所以＞3+ln2,即/（x）＞3+ln2.

【点睛】本题主要考查了导数的应用，利用导数处理切线及利用导数求最值证明不等式，用

到了导数的常用方法“隐零点”，即通过设出零点代入化简运算处理问题，属于难题.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

22.在直角坐标系刀。丁中，圆