2020-2021学年育才教育集团九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年育才教育集团九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）

1.2021年3月20日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中,

既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

2.已知三角形的三条边为a,b,c,且满足a?-10a+匕2-16b+89=0,则这个三角形的最大

边c的取值范围是（）

A.c>8B.5<c<8C.8<c<13D.5<c<13

3.四张完全相同的卡片上，分别画有：线段、等边三角形、平行四边形、圆，现从中随机抽取一

张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是（）

A.；B.；C.iD.1

424

4.下列函数中，能表示y是％的二次函数的是（）

A.y=专B.y2=2%+1

C.y=yD.y=2（%+3）2-2x2

5.某厂一月份生产产品100台，计划一、二、三月份共生产500台，设二、三月份平均每月增长率

为X,根据题意列出方程是（）

A.100（1+x）2=500

B.100（1+久）+100（1+x）2=500

C.100（1+x）2=500-100

D.100+100（1+x）+100（1+x）2=500

6.已知扇形的圆心角为120。，面积为3007rcm2,求扇形的弧长（）cm.

A.20B.20TTC.10D.10TT

7.如图，四边形4BCD是。。的内接正方形，点P是劣弧脑上任意一点（与点8

不重合），则4BPC的度数为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

8.若关于x的一元二次方程a（x+m）2=3两个实根为/=-1,x2=3,则抛物线y=a（x+TH-

2产一3与x轴的交点横坐标分别是（）

A.%1=—1,x2=3B.=—3,x2—1

C.Xi=1.%2=5D.不能确定

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.王芳和李华做抛2枚普通硬币的实验，她们记录了实验的次数和出现两个正面向上的频数，整理

数据时发现，随着实验次数的增加，出现两个正面向上的频率逐新稳定在0.25左右，据此估计：

如果她们共做了1200次实验，那么出现两个正面向上的次数大约为.

10.菱形4BCD的边长为5,两条对角线交于。点，且40,BO的长分别是关于%的方程/+（2m—

l）x+m2+3=0的根，则m的值为.

11.如图，圆锥的母线长2为5cm,侧面积为107icm2,则圆锥的底面圆半径A

r=cm./!\

12.如图，在矩形4BCC中，AB=2cm,BC=3cm,现有一根长为2cmA

E

的棒EF紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时

针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所经过的路径长u

度为cm.B

13.如图，已知点C是以4B为直径的半圆的中点，D为弧4C上任意一点，过

点C作CE于点E,连接4E,若4B=4,则4E的最小值为

14.如图，在。4BCC中，AC1CD,E为4。中点，若CE=5,AC=8,则

CD=______

三、计算题(本大题共1小题，共6.0分)

15.解方程:

①(x-6)2=2(x-6)

@2x2-3x+1=0.

四、解答题(本大题共8小题，共64.0分)

16.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点48、C在小正方形的顶点上

(1)在图中画出与△4BC关于直线1成轴对称的4B1G；

(2)44声传1的面积是

(3)利用网格线在直线上求作一点P,使得24+PC最小，请在直线，上标出点P位置.

17.有两个可以自由转动的均匀转盘4、B,分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如

图所示，丁洋和王倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘4和B；②两

个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加(如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次,

直到指针指向某一份为止)；③如果和为0,丁洋获胜，否则，王倩获胜.

⑴用列表法(或树状图)求丁洋获胜的概率；

(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.

18.设函数y=a/+.+1,其中a可取的值是-1,0,1；b可取的值是一1,1,2；

（1）当a、b分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；

（2）如果a在-1,0,1三个数中随机抽取一个，b在-1,1,2中随机抽取一个，共可得到多少个不同

的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x>0时y随X增大而减小的函数的概率.

19.已知一个两位数，个位上的数字比十位数上的数字少4,这两个数H立与个位交换位置后新两位

数与原两位数的积为1612,求这个两位数.

20.如图，48是。。的直径，AE交。。于点尸，且与。。的切线互

相垂直，垂足为D.

（1）求证：Z.EAC=/.CAB；

（2）若CD=4,AD=8,求4B的长和tan/BZE的值.

21.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.

若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量双件）的函数关系式为y=-焉x+150,成本为20元/

件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w妁（元）（利润=销售额-成本-广

告费）.

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10<a<

40）,当月销量为久（件）时，每月还需缴纳高♦元的附加费，设月利润为w%（元）（利润=销售额-

成本-附加费）.

(1)当％=1000时，y=元/件，w内=元；

(2)分别求出w的，w%与4间的函数关系式(不必写》的取值范围)；

(3)当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的

最大值相同，求a的值；

(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才

能使所获月利润较大？

参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a*0)的顶点坐标是(_/,史萨).

22.如图，点8、C、。都在。0上，过点C作4C〃BD交OB延长线于点4,

连接CD,且4CDB=NOBD=30。，BD=6y/3cm.

⑴求证：4C是0。的切线.

(2)求。。的半径长.

(3)求由弦C。、BD与弧8c所围成的阴影部分的面积(结果保留兀).

23.已知抛物线y=-/一2x+a(a。0)与y轴相交于4点，顶点为M,直线y=gx-a分别与％轴、

y轴相交于B,C两点，并且与直线MA相交于N点.

(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M,4的坐标；

(2)将AM4c沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，4P与抛物线的对称轴相交于点

连接CD,求a的值及△PCD的面积；

(3)在抛物线y=-/—2x+a(a>0)上是否存在点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行

四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案及解析

1.答案：D

解析：解：4、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

8、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；

。、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.答案：C

解析：解：a2-10a+b2-16b+89=0,

(a2-10a+25)+(h2-16b+64)=0,

•••(a-5)2+(b—8)2=0,

•••(a-5)2>0,(b-8)2>0,

—5=0,b—8=0,

a=5,b=8.

・・,三角形的三条边为Q,b,c,

­-b—a<c<b+af

A3<c<13.

又・・•这个三角形的最大边为c,

A8<c<13.

故选：C.

先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据

三角形的三边关系可得答案.

本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三

边关系是解题的关键.

3.答案：A

解析：解：•••四张卡片中中心对称图形有线段、平行四边形、圆共3个，

••・卡片上所画的图形恰好是中心对称图形的概率为:，

4

故选A.

先找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数，再除以总数即可.

此题考查概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现巾种结

果，那么事件4的概率PG4)=》关键是找出卡片上所画的图形是中心对称图形的个数.

4.答案：C

解析：解：⑷妥不是整式，故A不是二次函数，

(B)2x+1没有二次项，故B不是二次函数

O)y=2(/+6x+9)-2x2=i2x+18,没有二次项，故。不是二次函数，

故选(C)

形如y=ax2+bx+c(aH0)的是二次函数，

本题考查二次函数的定义，解题的关键是正确理解二次函数的定义，本题属于基础题型

5.答案：D

解析：解：设二、三月份平均每月增长率为X,由题意得：

100+100(1+x)+100(1+%)2=500,

故选：D.

根据题意可的等量关系:一月份生产量+二月份生产量+三月份生产量=500台,然后列出方程即可.

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，

列出方程.

6.答案：B

解析：解：令扇形的半径和弧长分别为R和，，则

・•・R—30cm,

1207T/?

=207r(cm).

180

・•・扇形的弧长为207r厘米,

故选：B.

根据扇形面积公式S=嘤和弧长公式/=粤进行计算.

本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算.解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式.

7.答案：B

解析：

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半是解答此题的关键.连接OB,0C,根据四边形4BCD是正方形可知NBOC=90。，

再由圆周角定理即可得出结论.

解：连接。B,0C,

•••四边形4BCD是正方形，

Z.BOC=90°,

1

・・・Z,BPC=-2Z-BOC=45°.

故选B.

8.答案：C

2

解析:试题分析：利用待定系数法求得M、Q的值,然后将其代入抛物线y=a(x+m-2)-3.令y=0,

则-37一3=0,据此可以求得抛物线y=a(x+m-2)2-3与X轴的交点的横坐标.

4

・,•关于％的一元二次方程3的两个实数根%=-1,%2=3,

1a(—1+m)2=3

(a(3+m)2=3，

fm=-1

解得，a二，

则抛物线y=a(x+m-2)2-3=:(%-3)2-3,

令y=0,则1工一3尸一3=0,

解得，x=5或x=1,

也可用图像平移得出结论

，抛物线y=a(x+m-27-3与％轴的交点坐标是(5,0)和(1,0).即抛物线与工轴交点的横坐标分别是

5,1.

故选C.

9.答案：300

解析：解：根据题意得：

1200x0.25=300,

答：出现两个正面向上的次数大约为300次；

故答案为：300.

根据概率公式直接求解即可.

本题考查了利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

10.答案：-3

解析：

本题考查了菱形的性质，勾股定理，以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数

的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

由题意可知：菱形4BCD的边长是5,则4。2+3。2=25,再根据根与系数的关系可得：AO+BO=

-2m+l,AO-BO=m2+3；代入4〃+B。?中，得到关于m的方程后，求得m的值.注意检验，

根据判别式进行取舍.

解：♦.・四边形ABCC为菱形，贝必。1.B。，

由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25,

又由根与系数的关系可得：AO+BO=-2m+1,AOBO=m2+3,

•••AO2+BO2={AO+BO)2-2AO-BO

=(-2m4-1)2-2(zn2+3)=25,

整理得：m2-2m-15=0,

解得：m--3或5.

:关于%的方程/+(2m-l)x+m2+3=0有两个根，420,

(2m-l)2-4(m2+3)>0,解得

・•・m=-3.

故答案为：-3.

11.答案：2

解析：解：•・・圆锥的母线长是5cm,侧面积是lOTTcm2,

二圆锥的侧面展开扇形的弧长为：/=g=等=4兀，

•••锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，

I47r。

v=—=——=2cm,

27r2n

故答案为：2.

根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底

面周长求得圆锥的底面半径即可.

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化.

12.答案：（2兀+2）

解析：解：连接BP,如图所示:

•••P是EF的中点,

•・•妙=朝尸="2=1,

907TX1+

如图所示，点P的运动轨迹是4段弧长+2段线段的长度，B|J4x

180

2x1=2兀+2.

故答案为：2兀+2.

根据题意可以判断出点P的运动轨迹是4段弧长和2段线段的长度.

本题考查了轨迹、矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及弧长的计算.判

断出点的P运动的轨迹是解题的关键.

13.答案：V10—V2

解析：解：连接。C、BC,P点为BC的中点，作于H,如图,

•・•点C是以4B为直径的半圆的中点，

•••OC1OB,

.•.△BOC、△BPH为等腰直角三角形，

•••BC=\[2OB=2V2.BP=a,PH=1,

vCE1BD,

•••ABEC=90°,

•••点E在OP上，

连接4P交。P于E',此时4E'的长为ZE的最小值,

在RtUP“中，AH=3,PH=1,

AP=Vl2+32=V10>

AE'=VTU-V2,

•••4E的最小值为m-V2.

故答案为同-VL

连接OC、BC,P点为BC的中点,作PHIAB于H,如图，利用点C是以4B为直径的半圆的中点得到

OC1OB,则可判断△BOC、ZkBPH为等腰直角三角形，再利用/BEC=90。判断点E在。P上，连接

4P交。P于E',此时4E'的长为AE的最小值，然后利用勾股定理计算出力P,计算4P-PE'即可得到AE

的最小值.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆

心角的一半；半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.也考查了勾股定理.

14.答案：6

解析：解：•••ACJLCD,E是4。的中点，

：.AD=2CE=10,

"AC=8,

CD=y)AD2-AC2=V102-82=6.

故答案为：6.

由直角三角形的性质可求得4D的长，再利用勾股定理可求得C。的长.

本题主要考查平行四边形的性质及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质求得4。=2CE是解题

的关键.

15.答案：解：①方程整理得：。-6)(%-6-2)=0,

可得刀一6=0或％-8=0,

解得：%i=6,g=8；

②分解因式得：(2x-l)(x-l)=0,

可得2x—1=0或x—1=0,

解得：Xj=j,Xj=1.

解析：①方程整理后，利用因式分解法求出解即可；

②方程利用因式分解法求出解即可.

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键.

16.答案：5

解析：解：(1)如图，△41当的；即为所求.

(2)△①8停1的面积=3x3-|x2x2-2x|xlx2=5.

故答案为：5.

(3)如图，点P即为所求.

(1)根据轴对称变换的性质分别作出4,B,C的对应点G即可.

(2)利用分割法把三角形面积转化为矩形面积减去周围三个三角形面积即可.

(3)连接ACi交直线I于点P.连接PC,此时P4+PC最小.

本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,

属于中考常考题型.

17.答案：解：(1)每次游戏可能出现的所有结果列表如下：

A\B0-1-2

00-1-2

110-1

2210

3321

根据表格，共有12种可能的结果，

其中和为0的有三种：(0,0),(1,-1),(2,-2)

••・丁洋获胜的概率为P=亮=；

124

(2)这个游戏不公平.

•••丁洋获胜的概率为:，王倩获胜的概率为J

44

••・游戏对双方不公平.

解析：此题考查概率的含义及概率的求法.先找出所有机会均等的结果，再找出我们要关注的结果，

后者与前者的比值就是所要求的概率，求出后比较即可.

本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公

平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

18.答案：解：(l)y=%2—%+1,最小值：；

3

y=x2+x+i,最小值下

y=%2+2%+1,最小值0；

(2)根据题意画出树状图如下：

a-101

/1\/N/1\

b-112-11?-11?.

可得到9个不同的函数解析式，

••,当x>0时y随x增大而减小的函数是y=-x2-x+1,y=-x+1,

二概率为g.

解析：(1)根据二次函数的性质，a>0时，二次函数有最小值，所以，确定a为1,然后根据b的值的

不同分别写出解析式，再根据二次函数的最值问题解答即可；

(2)画出树状图，再根据函数的增减性以及概率公式列式计算即可得解.

19.答案：解：令个位为y,十位为x,则数为10久+丫，且x-4=y,交换位置后，数字为10y+x,

则

(10%+y)X(10y+x)=1612,即(11%-4)x(llx-40)=1612,

解得x=6,

10x+y=60+(6-4)=62.

故这个两位数是62.

解析：令个位为y,十位为x,则数为10x+y,且x-4=y,交换位置后，数字为10y+x,根据等

量关系：新两位数与原两位数的积为1612,列出方程求解即可.

此题考查了组成数的数字的特点，也考查了用数字如何表示几位数.

20.答案：解：(1)证明：连接OC.

•・・co是。。的切线,

ACD1OC,

又•・•CDLAE,

・・・OC//AE,

:.zl=z3,

vOC=OA,

:.z.2=z3,

:.z.1=z2,

艮IJ4fiTlC=乙CAB；

(2)连接8c.

•・・/8是00的直径，CD14E于点D,

・・・Z,ACB=乙ADC=90°,

vzl=z2,

•••△4C0~ZkABC,

AD_AC

•t•-=----，

ACAB

■：AC2=AD2+CD2=42+82=80,

:・AB=—=10.

AD

连接CF与

・・•四边形4BC尸是O。的内接四边形，

/.Z.ABC+Z-AFC=180°,

•・・NDFC+zL4FC=180。，

・•・Z.DFC=Z.ABC,

VZ2+Z-ABC=90°,"FC+乙DCF=90°,

・•・z2=乙DCF,

•・•z.1=z.2,

・•・z.1=cDCF,

v乙CDF=乙CDF,

•••△DCF~XDAC9

CDDF

・••一=—，

ADCD

PILCM

・•・DF=—=2,

AD

・・・4尸=AD-DF=8-2=6,

••・48是。。的直径，

:.(BFA=90°,

.・・BF=y/AB2-AF2=8，

calBF84

・••tanZ-BAE=—=-=

AF63

解析：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及勾

股定理等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

(1)首先连接。C,由CO是。。的切线，CO1OC,又由CD14E,即可判定0C//4E,根据平行线的

性质与等腰三角形的性质，即可证得NE4C=NC4B；

(2)连接BC,易证得△ACDsAABC,根据相似三角形的对应边成比例，即可求得48的长：连接CF与

BF.由四边形4BCF是。。的内接四边形，易证得然后根据相似三角形的对应边成比

例，求得力F的长，又由4B是。。的直径，即可得凡4是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求

得tan/B4E的值.

21.答案:(1)14057500

(2)w为=x(y-20)-62500=一击/+13o%―62500,

17

~-ioox+(150—a)式.

130,LCC

(3)当％=一天工=6500时，w的最大；

I1007

由题意在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，得:

1C

0(150一0)2_4X(一赤)x(-62500)-130

4X(---)4X(一~-)

I100711007

解得出=30,。2=270(不合题意，舍去).

•••a=30.

(4)当x=5000时，w妁=337500,=-5000a+500000.

若w为<w外，则a<32.5；

若w为=w外，则a=32.5；

若w为〉w外，则a>32.5.

.,.当104a<32.5时,选择在国外销售；

当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；

当32.5<aW40时，选择在国内销售.

-1

解析：解：(l)x=1000,y=1000+150=140,

w内=(140-20)x1000-62500=57500.

(2)w内=x(y-20)-62500=一击M+130X-62500,

w%=一磊，+(150-a)x.

130

(3)当*=一次工=6500时，w的最大；

I1OO7

由题意在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，得:

0-(150-a)z_4X(-高)X(-62500)-1302

4X(一击)4X(一高)’

解得的=30,£12=270(不合题意，舍去).

・•・a=30.

(4)当x=5000时，w内=337500,=-5000a4-500000.

若W的<w分，则a<32.5；

若"内="外,则a=32.5；

若w的>w外，贝ija>32.5.

.•.当10Wa<32.5时，选择在国外销售;

当a=32.5时，在国外和国内销售都一样；

当32.5<aW40时，选择在国内销售.

(1)将x=1000代入函数关系式求得y,并根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”求得w力

(2)根据等量关系“利润=销售额-成本-广告费”“利润=销售额-成本-附加费”列出两个函数关

系式；

(3)对w为函数的函数关系式求得最大值，再求出w外的最大值并令二者相等求得a值；

(4)通过对国内和国外的利润比较，又由于a值不确定，故要讨论a的取值范围.

本题是一道综合类题目，考查了同学们运用函数分析问题、解决问题的能力.

22.答案：(1)证明：连接CO.~7^'

V乙CDB=乙OBD=30°,

:.乙BOC=60°.y0)

-AC//BD,J

•••NA=乙OBD=30°.

•••4ACO=90°.

•••AC为。。切线.

解：(2)•••N4C。=90。，AC//BD,

•••乙BEO=AACO=90°.

:.DE=BE=3BD=3同

DC

在。中，

RtABEsinzO=sin60°=OB

"=晅

2OB

・・.OB=6.

即OO的半径长为6c?n.

(3)•・•乙CDB=乙OBD=30°,

又•：乙CED=(BEO,BE=ED,

*e•△CDE=^OBE.

60TTx62

••S阴=S扇OBC=360=67r(cm2)

答：阴影部分的面积为6穴加2.

解析：(1)连接C。，由角的等量关系可以证得乙4C。=90。，即能证得切线存在，

(2)由4C〃BD得至"E。=乙4co=90°,在Rt△BEOU」解得0B,

(3)首先证明4CDE三&OBE,阴影部分面积等于5版修OBC-

本题考查了切线的判定，扇形面积的计算和解直角三角形等知识点.要证某线是圆的切线，已知此

线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

y=-X2—2x+a

1,整理得2/+5x—4a=0.

{y=2x~a

:△=25+32a>0,解得a>一||.

•・•QH0,

・,・a>一段且aH0.

令％=0,得y=a,

・•・/(0,a