插值法模拟空缺实验点

关于插值法模拟空缺实验点线性插值(一次插值)(1/2)两点插值函数p1(x):分段插值法先判断x落在哪个区间[x0,x1],[x1,x2],…,[xn-1,xn]如落在[xi-1,xi]区间，则利用两点线性插值计算公式计算外推：如果落在x0左边或xn右边，则使用[x0,x1]或[xn-1,xn]作为插值空间。y=p1(x)y=f(x)x1x0y0y1y=p1(x)y=f(x)x1x0y0y1xnxn-1…ynyn-1…第2页,共24页，2024年2月25日，星期天线性插值(一次插值)(2/2)例1:在进行统计检验时，已知计算出的值为4.28，欲求其在自由度f=9时的概率值，查分布表发现没有4.28对应的概率值。已知试用线性分段插值求其概率值。第3页,共24页，2024年2月25日，星期天拉格朗日(Lagrange)插值多项式Lagrange插值原理一元三点Lagrange插值(分段抛物线插值)Matlab实现一元三点Lagrange插值第4页,共24页，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(1/4)对于两个结点:基函数：性质：第5页,共24页，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(2/4)对于三个结点:基函数：性质：第6页,共24页，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(3/4)对于n+1个结点:基函数：性质：一元n+1点Lagrange)插值多项式：第7页,共24页，2024年2月25日，星期天Lagrange插值原理(4/4)例2:已知某种难溶物质在不同温度的酸中溶解度，试求30℃时的溶解度。第8页,共24页，2024年2月25日，星期天分段抛物线插值对于n个插值结点x1<x2<…<xn，选择最靠近插值点x的相邻三个点，得到一元三点插值函数判断插值点x位置和选点方式xixi+1xxi-1xi+2第9页,共24页，2024年2月25日，星期天Matlab实现一元三点Lagrange插值输入数据Xi(i=1…n)的值从小到大排列。开始输入数据Xi,Yi(i=1…n)判断插值点位置No=1根据一元三点Lagrange插值公式计算y0输出结果结束X0<=X2输入插值点X0No=n-2X0>Xn-1Xi<X0<=Xi+1X0–

Xi-1>Xi+2-X0falseNo=i-1trueNo=i第10页,共24页，2024年2月25日，星期天埃尔米特(Hermite)插值(1/3)已知函数y=f(x)在n个点处:对应的函数值为对应的导数值为次数不超过2n-1次多项式P2n-1(x)满足这样的插值多项式称为Hermite插值多项式几何意义:p(x)与f(x)都经过共同点，且在这些点的切线处切线相等第11页,共24页，2024年2月25日，星期天埃尔米特(Hermite)插值(2/3)经推导，Hermite插值多项式为:第12页,共24页，2024年2月25日，星期天埃尔米特(Hermite)插值(3/3)实际应用中使用分段插值法，对于区间[x1,x2],插值结点为n=2，由前式得三次的hermite插值Matlab函数：y=pchip(x,y,xi)第13页,共24页，2024年2月25日，星期天三次样条函数插值对于给定的插值序列(xi,yi)(i=0,1,…,n)，有n+1个插值点:对应的函数值为,则在区间[x0,xn]上插值函数S(x)满足一下三个条件:(1)插值条件，即(2)连续条件，即在整个区间[x0,xn](i=1,…,n-1)上，结点xi处有一阶和二阶连续导数：(3)在每个子区间[xi-1,xi](i=1,…,n)上S(x)都是三次多项式。称S(x)为三次样条函数或三次样条多项式。第14页,共24页，2024年2月25日，星期天三次样条函数插值三次样条与分段Hermite插值的区别:自身光滑，不需要知道f的导数值Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。三次样条多项式的求解较复杂Matlab函数y=spline(x,y,xi)第15页,共24页，2024年2月25日，星期天Matlab插值函数(1/3)对于Lagrange插值，由于lagrange插值可能不收敛，Matlab没有提供此函数。Matlab编程实现的Lagrange插值函数yi=interp1(x,y,xi,'method')其中x,y为已知数据值,xi为插值点,yi为xi的插值结果值)‘method’表示采用的插值方法，缺省时表示线性插值'nearest'最邻近插值;'linear'线性插值;'spline'三次样条插值;'pchip'分段三次埃尔米特.第16页,共24页，2024年2月25日，星期天Matlab插值函数(2/3)三次样条插值yi=interp1(x,y,xi,‘spline’)yi=spline(x,y,xi)例子分段三次埃尔米特插值yi=interp1(x,y,xi,'pchip')yi=pchip(x,y,xi)例子第17页,共24页，2024年2月25日，星期天三次样条插值例子x=0:12;y=tan(pi*x/25);xi=linspace(0,12,25);yi=spline(x,y,xi);plot(x,y,'-',xi,yi,'>');第18页,共24页，2024年2月25日，星期天分段三次埃尔米特插值例子x=-3:3;y=[-1-1-10111];t=-3:.01:3;p=pchip(x,y,t);s=spline(x,y,t);plot(x,y,'o',t,p,'-',t,s,'-.')legend('data','pchip','spline')第19页,共24页，2024年2月25日，星期天Matlab插值函数(3/3)例3:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度为(摄氏度):12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推测在每一分钟的温度.并利用不同的插值方法描绘温度曲线。第20页,共24页，2024年2月25日，星期天应用：双液系相图的绘制双液系相图的绘制是化学,化工等专业物理化学实验课程的一个必做实验,该实验采用完全互溶二元液态混合物,在恒定压力(外压)下,采用回流冷凝方法得到气液平衡时的气相和液相部分以及沸点,分别测定气相和液相折光率,再由折光率查,最后绘制沸点—组成关系图第21页,共24页，2024年2月25日，星期天应用：双液系相图的绘制环己烷-乙醇沸点组成相图数据如下：由实验数据得到的沸点组成数据做出环己烷-乙醇双液系相图第22页,共24页，2024年2月25日，星期天双液系相图的绘制t=[78.6277.51 72.87 69.23 66.89 66.00 65.48 65.3281.12 80.37 78.8 76.02 70.73 66.94 65.13 65.02];c1=[00.060.31 0.424 0.492 0.515 0.525 0.5341 0.993 0.960 0.757 0.634 0.571 0.546 0.539];c2=[00.0140.0760.1370.206 0.294 0.381 0.4511 0.995 0.977 0.941 0.873 0.816 0.681 0.54];c1i=linspace(0,1,200);c2i=linspace(0,1,200);t1i=spline(c1,t,c1i);t2i=spline(c2,t,c2i);plot(c1i,t1i,'-r',c1,t,'b