90题突破高中数学圆锥曲线

90题突破高中数学圆锥曲线

1.如图，已知直线L：x=叩+l过椭圆C：「+5=l(a〉b>0)的右焦点F,且交椭圆

a-b

C于A、B两点，点A、B在直线G:x="上的射影依次为点D、E»

(1)若抛物线/=4岛的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;

(2)(理)连接AE、BD,试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定

点N,请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

/+1------

(文)若N(-y-,0)为x轴上一点，求证：4V=XNE

2.如图所示，已知圆C:(x+1)2+/=&定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上,

XF

点N在CM上，AM=2AP,NP-AM=Q,点N的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程；

(2)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满

足河=力而，求/I的取值范围。

X2V2

3.设椭圆C：=+彳=1(q>6>0)的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直

线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q,且

⑴求椭圆C的离心率；

⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线

1-x+JJy—5=0相切，求椭圆C的方程.

r22历

4.设椭圆.va=1(。>b>0)的离心率为e=^

(1)椭圆的左、右焦点分别为R、Fz、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和

为4,求椭圆的方程.

(2)求b为何值时，过圆x?+y2=t2上一点M(2,R)处的切线交椭圆于6、Qz两点，而

且0Qi_L0Qz.

5.已知曲线c上任意一点P到两个定点R(-代，0)和Fz(石，0)的距离之和为4.

(1)求曲线c的方程；

(2)设过(0,-2)的直线/与曲线c交于C、D两点，且而•丽=0(0为坐标原点)，求直

线/的方程.

2

6.已知椭圆X2+y=1(0<6<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A、C,上顶点为B.过F、

B、C作。P,其中圆心P的坐标为(m,n).

(I)当m+n>0时，求椭圆离心率的范围;

(II)直线AB与。P能否相切？证明你的结论.

7.有如下结论：“圆/+/=尸2上一点。(%,为)处的切线方程为与卜+九夕=/”,类比

也有结论："椭圆士+《=1(。>6>0)上一点P(//0)处的切线方程为

ab

W+*=l"，过椭圆c：二+_/=1的右准线/上任意一点M引椭圆C的两条切线，

a2b24

切点为A、B.

(1)求证：直线AB恒过一定点；(2)当点M在的纵坐标为1时，求aABM的面积

r2V2

8.已知点P(4,4),圆C：+_/=5(机<3)与椭圆E：f々=1(a>6>0)有一个公

a"b

共点A(3,1),Fi、&分别是椭圆的左、右焦点，直线PA与圆端切.

(I)求m的值与椭圆E的方程；

(II)设Q为椭圆E上的一个动点，求万•福的取值范围.

9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为4(0,2),右焦点/与点8(夜,夜)的距离

为2。

(1)求椭圆的方程；

(2)是否存在斜率左#0的直线/：y=kx-2,使直线/与椭圆相交于不同的两点N,N

满足=若存在，求直线/的倾斜角a；若不存在，说明理由。

10.椭圆方程为三+%=1(a>6>0)的一个顶点为N(0,2),离心率e=半。

(1)求椭圆的方程；

(2)直线/：丁=任-2(人70)与椭圆相交于不同的两点加，"满足

MP=PN,AP-MN=0,求左。

2

11.已知椭圆W=1(0<6<1)的左焦点为F,左右顶点分别为A,C上顶点为B,过F,B,C

三点作P,其中圆心P的坐标为(肛;7).

(1)若椭圆的离心率e=@,求P的方程；

2

(2)若P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程.

12.已知直线/:y=x+l与曲线C:2T+彳=1(。>0,6>0)交于不同的两点48,。为

坐标原点.

(I)若|。4|=|。8|,求证：曲线C是一个圆；

(H)若当a>6且ae［当，萼］时，求曲线。的离心率e的取值范围.

x2v2

13.设椭圆C:++匕=1(。〉0)的左、右焦点分别为大、F2,A是椭圆C上的一点，且

a2

，.1

”2书6=0,坐标原点0到直线AFX的距离为一|。片|.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线/交x轴于点P(-l,0),较y轴于点M,若

MQ^2QP,求直线/的方程.

14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点尸(X。,汽)(/#0)的

切线方程为歹一为=2℃0(》一/)(。为常数).

(I)求抛物线方程；

(II)斜率为匕的直线PA与抛物线的另一交点为A,斜率为0的直线PB超物缴蜉

一交点为B(A、B两点不同)，且满足抬+=0(/1H0,4N-1),若诙=AMA,

求证线段PM的中点在y轴上；

(III)在(II)的条件下，当之=1£<0时，若P的坐标为(1,-1),求NPAB为钝

角时点A的纵坐标的取值范围.

15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2,点P在线段AB上，且

9=/而”是不为零的常数).设点P的轨迹方程为Co

(1)求点P的轨迹方程C；

(2)若t=2,点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上)，点Q

3

坐标为(5,3),求4(11\/^的面积S的最大值。

16.设4(国,必),5(%2，歹2)是椭圆「+三=l(a>b>0)上的两点，

ab

已知沅=(2,为)，历=(',］！)，若用.方=0且椭圆的离心率e=@，短轴长为2,O

baba2

为坐标原点.

(I)求椭圆的方程；

(II)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值；

(ID)试问：AAOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

17.如图，F是椭圆KFl/a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的

两个顶点，椭圆的离心率为点KEx轴上，BCLBF,B,C,F

2

三点确定的圆M恰好与直线A：X+岛+3=0相切.

(I)求椭圆的方程：

(II)过点A的直线b与圆M交于PQ两点，且赤•荻=-2,

求直线%的方程.第22题图

18.如图，椭圆长轴端点为46,。为椭圆中心，尸为椭圆的右

焦点，且万•丽=1|福卜1.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)记椭圆的上顶点为M,直线/交椭圆于尸，。两点，问：是否存在直线/,使点尸

恰为APQM的垂心？若存在，求出直线/的方程;若不存在，请说明理由.

19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为、5

/:y=x+〃?交椭圆于4,8两不同的点.

(1)求椭圆的方程；

(2)求加的取值范围；

(3)若直线/不过点M,求证：直线朋4与x轴围成一个等腰三角形.

20.设/(1,0),点/在x轴上，点P在歹轴上，旦MN=2MP,PMLPF

(1)当点P在歹轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；

(2)设次匹，必),8(乙,%)，。。3，为)是曲线。上的点，且I万MBF|,|而|成等差数

列，当/。的垂直平分线与x轴交于点E(3,0)时，求8点坐标.

21.已知点8(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点，且满足|卮|•|瑟|=丽.赤

(1)求点尸的轨迹C对应的方程；

(2)已知点4见2)在曲线。上，过点N作曲线C的两条弦/。和NE,且

判断：直线。E是否过定点？试证明你的结论.

22.已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过/(-2,0)、8(2,0)、CH,|

三点.

(1)求椭圆E的方程：

(2)若点。为椭圆E上不同于/、8的任意一点，F(-l,0),77(l,0),当DFH内

切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；

(3)若直线/:卜=左"一1)(左。0)与椭圆£交于加、N两点，证明直线4W与直线

BN的交点在直线x=4上.

23.过直角坐标平面xOy中的抛物线/=2Px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为7的直线

与抛物线相交于A,B两点。y»乙一

(1)用P表示A,B之间的距离；

(2)证明：N/06的大小是与P无关的定值，-0

并求出这个值。

24.设片，鸟分别是椭圆C：「+4=1(。>6>0)的左右焦点

ah

⑴设椭圆C上的点电与到片,F2两点距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标

(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段K4的中点B的轨迹方程

(3)设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点，当直线PM,

PN的斜率都存在，并记为kpM,KPN试探究kPM-KPN的值是否与点P及直线L有关，

并证明你的结论。

25.已知椭圆。|：^+}=1伍>6>0)的离心率为且，直线/：y=x+2与以原点为圆

心、以椭圆G的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆G的方程；

(ID设椭圆q的左焦点为耳，右焦点鸟，直线(过点片且垂直于椭圆的长轴，动直

线，2垂直4于点P,线段尸耳垂直平分线交(于点加，求点〃的轨迹G的方程;

(川)设G与x轴交于点。，不同的两点凡s在G上，且满足四•丽=0,求|不|的

取值范围.

22

26.如图所示，已知椭圆C：・+彳=1(。>6>0),耳、B为

其左、右焦点，N为右顶点，/为左准线，过片的直线

x=/w_y-c与椭圆相交于尸、

。两点，且有：AP-AQ^-(a+cy(c为椭圆的半焦距)

(1)求椭圆。的离心率e的最小值；

12

(2)若ew(5,5),求实数〃?的取值范围；

(3)若/pn/=A/,/0n/=N,

求证：M,N两点的纵坐标之积为定值；

27.已知椭圆/+《=1仅€(0,1))的左焦点为左右顶点分别为4C,上顶点为8,

b

过£8,C三点作圆尸，其中圆心尸的坐标为(加,〃)

(1)当初+”>0时，椭圆的离心率的取值范围

(2)直线能否和圆尸相切？证明你的结论

28.已知点A(—1,0),B(1,-1)和抛物线.C：/=4x,。为坐标原点，过点A的动

直线/交抛物线C于M、P,直线MB交抛物线C于另一点Q,如图.

(I)证明：两•而为定值；

5----—-

(II)若△POM的面积为一，求向量OA7与。。的夹角；

2

(III)证明直线PQ恒过一个定点.

22

29.已知椭圆C：?+5=1上动点P到定点用(机,0),其中

Q<m<2的距离的最小值为1.

(1)请确定M点的坐标

(2)试问是否存在经过M点的直线/，使/与椭圆C的两个交点A、B满足条件

|力+砺卜|前|(O为原点)，若存在,求出/的方程，若不存在请说是理由。

30.已知椭圆*2+3炉=5,直线/号=左(8+1)与椭圆相交于48两点.

(I)若线段N8中点的横坐标是-,，求直线N8的方程；

2

(II)在X轴上是否存在点/(机,0),使加•砺的值与左无关？若存在，求出〃7的

值；若不存在，请说明理由.

31.直线AB过抛物线=2py(p>0)的焦点F,并与其相交于A、B两点。Q是线段AB

的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点.0是坐标原点.

(I)求而•标的取值范围；

(II)过A、B两点分别作此撒物线的切线,两切线相交于N点.求证：MNOF^O,NQ

//OF;

（ID）若P是不为1的正整数，当MA-MB=4P2,AABN的面积的取值范围为

［575,2075］时，求该抛物线的方程.

32.如图，设抛物线％：俨=4尔（w>0）的准线与x轴交于耳，焦点为工；以百、工为

焦点，离心率e=；的椭圆生与抛物线J在x轴上方的一个交点为P.

（I）当m=l时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

（II）在（I）的条件下，直线/经过椭圆的右焦点鸟，与抛物线q交于4、A2,

如果以线段44为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

<m）是否存在实数机，使得些工的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实

数相；若不存在，请说明理由.

33.已知点4（-1,0）,6（1,0）和动点P满足：4P6=26,且存在正常数加，使得

\P^-\PB\COS-e=ma

（1）求动点P的轨迹C的方程。

（2）设直线/：y=x+l与曲线C相交于两点E,F,且与y轴的交点为D»若

方=（2+6）而，求的值。

22

34.已知椭圆*+==1（。〉6>0）的右准线/1:x=2与X轴相交于点0,右焦点厂到上

顶点的距离为四，点。（肛0）是线段。尸上的一个动点.

（I）求椭圆的方程;

（n）是否存在过点/且与x轴不垂直的直线/与椭圆交于Z、8两点，使得（CA+CB）1BA,

并说明理由.

22

35.已知椭圆C：5+5=1>6>0).

ab

（1）若椭圆的长轴长为4,离心率为立，求椭圆的标准方程;

2

（2）在（1）的条件下，设过定点“（0,2）的直线/与椭圆C交于不同

的两点/、B,且N/OB为锐角（其中。为坐标原点），求直线/的斜率k的取值范围；

r22

（3）如图，过原点。任意作两条互相垂直的直线与椭圆］+=v=1（。>6>0）相交于

P,S,H,。四点，设原点。到四边形PQSR一边的距离为d,试求d=1时满足的条件.

36.已知7=（1,0）,"=（0,啦），若过定点2（0,正）、以7-丸）（/IwR）为法向量的直线4与

过点8（0,-亚）以"+/1；为法向量的直线相交于动点P.

(1)求直线4和，2的方程；

(2)求直线/,和12的斜率之积左上的值，并证明必存在两个定点E,F,使得|Aq+1A同恒为

定值；

⑶在(2)的条件下，若V,N是/:x=20上的两个动点，且丽・丽=0,试问当|肱V|

取最小值时，向量面+丽与丽是否平行，并说明理由。

37.已知点8(0,/),点C(0,54)(其中0〈/＜4),直线P8、PC都是圆

知:(x-l)2+V=1的切线.

(I)若AP8C面积等于6,求过点尸的抛物线『=2*(夕＞0)的方程；

(II)若点尸在丁轴右边，求AP8c面积的最小值.

38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭

圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。

(1)设Fi、Fz是椭圆A/:二+2=1的两个焦点，点Fi、F2到直线L：6x-y+4i=0

259”

的距离分别为山、d2,试求心•d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

(2)设Fi、Fz是椭圆河：—+彳=1(。〉6〉0)的两个焦点，点Fi、F2到直线

L:mx+ny+p-0(m＞。不同时为0)的距离分别为山、d2＞且直线L与椭圆M相切，试

求5•dz的值。

(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论(不必证

明)。

39.已知点尸为抛物线C:j?=4x的焦点，点P是准线/上的动点，直

线尸产交抛物线C于48两点，若点尸的纵坐标为他(由R0),点。为

准线/与x轴的交点.XZ

(I)求直线尸口的方程；(II)求ATM8的面积S范围；一—

(in)设万=2万，万=〃而，求证〃为定值.r\\

40.已知椭圆£：「+，=1(。〉6〉0)的离心率为暗,直线门

/:夕=x+2与以原点为圆心、以椭圆£的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆G的方程；

(II)设椭圆G的左焦点为耳，右焦点鸟，直线4过点”且垂直于椭圆的长轴，动直

线4垂直4于点尸，线段阴垂直平分线交4于点/，求点用的轨迹G的方程;

(川)设G与x轴交于点。，不同的两点凡s在G上，且满足函示=o,求您|的

取值范围.

4L已知以向量八弓)为方向向量的直线/过点(。9,抛物线C：/=2川8。)的

顶点关于直线/的对称点在该抛物线的准线上.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设4、8是抛物线C上的两个动点，过Z作平行于x轴的直线加，直线08与直线机

交于点N,若为•瓦+?2=。(。为坐标原点，A,8异于点O),试求点N的轨迹

方程。

42.如图，设抛物线q：y2=4mx(切＞0)的准线与x轴交于不焦点为月；以片、工为

焦点，离心率e=；的椭圆q与抛物线q在x轴上方的一个交点为P.

(I)当机=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；

(II)在(I)的条件下，直线/经过椭圆的右焦点乙，

与抛物线q交于4、A2,如果以线段44为直径作圆，

试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；

(IH)是否存在实数山，使得好月月的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数，〃;

若不存在，请说明理由.

22

43.设椭圆C:j+勺=1(。〉6〉0)的一个顶点与抛物线C:r=4后的焦点重合，

ab~

耳，尸2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=；•且过椭圆右焦点月的直线/与椭圆C交

于"、N两点.

(I)求椭圆C的方程；__

(II)是否存在直线/,使得而•丽=-2.若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理

由.

(IH)若四是椭圆C经过原点。的弦，MNHAB,求证：四上为定值.

\MN\

44.设厂是抛物线产=4"优(加＞0)的焦点，过点M(—1,0)且以3=(/1,1)为方向向量的直

线顺次交抛物线于48两点。

(I)当2=2时，若成与丽的夹角为弓，求抛物线的方程；

(H)若点48满足的=；(两+而)，证明加尤为定值，并求此时△4尸6的面积

45.已知点尺(-3,0),点尸在j，轴上，点。在x轴的正半轴上，点A/在直线尸。上，且满

足2PM++MQ=O,/?PPM=O.

(I)当点P在y轴上移动时，求点阳的轨迹。的方程;

(II)设Z(x”乂)、8(乙,%)为轨迹。上两点，且芭>1,乂>0,N(l,0),求实数2,

—-—"—-16

使=且AB=—.

3

X2v2

46.已知椭圆+J=l(a〉6〉0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点，MN

ab~

2

是圆C2,x+(歹-3>=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-V2的直线/恰

好与圆G相切。

(1)已知椭圆£的离心率；

(2)若丽•丽的最大值为49,求椭圆C1的方程.

22

47.已知直线/与曲线C：乙+工=1交于48两点，Z8的中点为M,若直线18和

mn

Yl

OM(O为坐标原点)的斜率都存在，则心屋自屈=一己.

m

这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

(I)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”；

(II)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题：

2v2

①过点作直线/与椭圆4x+乙=1交于48两点，求48的中点M的轨迹少

的方程；

②过点P(1,1)作直线/'与有心圆锥曲线。'：62+>?=]/工0)交于£、F两点，是

否存在这样的直线/'使点P为线段E尸的中点？若存在，求直线/'的方程；若不存

在，说明理由.

48.椭圆的中心为原点O,焦点在)，轴上，离心率e=弓，过mi)的直线/与椭圆交于A、

B两点,且羽=2户豆，求A408面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.

49.椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在y轴上，离心率e=半，椭圆上的点到焦点的最短距

离为1-e,直线1与y轴交于点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A、B,且AP=APB.

(1)求椭圆方程；(2)若布+4而=40P,求胆的取值范围.

50.已知点A是抛物线yZ=2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，准线/与x轴交于点K,已知I

AK|=V2|AFI,三角形AFK的面积等于8.

(1)求P的值；

(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线12,与抛物线相交得两条弦，两条弦

的中点分别为G,H.求IGHI的最小值.

51.已知点R(-3,0),点尸在y轴上，点0在x轴的正半轴上，点〃在直线上，且满

足2而++远=0,而・丽=0.

(I)当点尸在y轴上移动时，求点"的轨迹。的方程；

(II)设/(匹,必)、8(乙,%)为轨迹。上两点，且芭＞1，乃＞0，改(1,0)，求实数4，

使AB=AAN,且A8=—.

3

52.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长

轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于0M

的直线L在y轴上的截距为m(mWO),L交椭圆于A、

B两个不同点。

(1)求椭圆的方程；

(2)求m的取值范围；

(3)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三

角形。

53.已知椭圆「+「=1(。＞力＞0)上的点到右焦点

a~b

F的最小距离是正-1,F到上顶点的距离为及，点。(加,0)是线段。尸上的一个动点.

(I)求椭圆的方程；

(II)是否存在过点尸且与x轴不垂直的直线/与椭圆交于/、B两点,

使得(B+在)_1或，并说明理由.

x22

54.已知椭圆一+v乙=1的上、下焦点分别为〃、N,点尸为坐标平面内的动点，满足

1216

\MN\-\MP\+MN-NP=O

(1)求动点尸的轨迹。的方程；

(2)过点/(3,-2)作曲线G的两条切线，切点分别为“、I，求直线”/的方程：

(3)在直线/:x-歹=0上否存在点。，过该点作曲线C的两条切线，切点分别为

B、C,使得|7+*|=|丽-若存在，求出该点的坐标；若不存在，试说明理由。

55.已知抛物线X2=8y的焦点为F,4B是抛物线上的两动点，且万=＞0),过

48两点分别作抛物线的切线，设其交点为M_

(1)证明线段被x轴平分(2)计算丽•港的值

(3)求证

22

56.已知4,4,8是椭圆£+£=1(。>6>0)的顶点(如图)，直线/与椭圆交于异于顶点

的P,。两点，且〃/4乩若椭圆的离心率

是e-，且140=后.

(1)求此椭圆的方程;

(2)设直线4尸和直线8。的倾斜角分别为的£.试判断&+，是否为定磺，若是,

求出此定值；若不是，说明理由.

57.已知椭圆E中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过/(-2,0)、8(2,0)、C

点.

过椭圆的右焦点F任做一与坐标轴不平行的直线/与椭圆E交于〃、N两点,AM与BN

所在的直线交于点Q.

(1)求椭圆E的方程:

(2)是否存在这样直线机，使得点Q恒在直线机上移动？

若存在,求出直线m方程,若不存在,请说明理由.

2

58.已知方向向量为/=(1,百)的直线/过点(0,—2百)和椭圆C:2+乌=1(。〉人〉0)

ab

的右焦点，且椭圆的离心率为逅

3

(I)求椭圆C的方程;

(H)若已知点。(3,0),点",N是椭圆C上不重合的两点，且两=2而，求实数2

的取值范围.

22

59.已知Fi,Fz是椭圆C:0+方=1(a>b>0)的左、右焦点,点P(-0,1)在椭圆上,线

段PF2与y轴的交点M满足PA/+F\M=0。

(1)求椭圆C的方程。

(2)椭圆C上任一动点M(x。,%)关于直线y=2x的对称点为此(x“%)，求3x「4%的取值

范围。

v-2

60.已知48,C均在椭圆〃：二+/=ig〉i)上，直线ZB、zc分别过椭圆的左右焦

.....2

点修、F2,当ZC•耳马=0时，有9/4/用=/月.

(1)求椭圆河的方程；

(II)设尸是椭圆M上的任一点，所为圆乂：/+。一2)2=1的任一条直径，求而•即

的最大值.

4

61.已知离心率为《的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短

轴为虚轴，且焦距为2后。

(I)求椭圆及双曲线的方程；

(II)设椭圆的左、右顶点分别为4B,在第二象限内取双曲线上一点尸，连结交椭

圆于点/，连结P4并延长交椭圆于点N,若两=声。求四边形/N8V的面积。

62.已知椭圆C：X2+—=\,过点M(0,3)的直线/与椭圆C相交于不同的两点A、B.

4

(I)若/与X轴相交于点N,且A是/WN的中点，求直线/的方程；

(II)设P为椭圆上一点，且9+方=/1万(。为坐标原点).求当|Z8|<g时，实

数义的取值范围.

63.已知椭圆C：/+匕=1,过点/W(O,1)的直线/与椭圆C相交于两点A、B.

4

(I)若/与X轴相交于点P,且P为A/W的中点，求直线/的方程；

(II)设点N(0,；),求|直+福|的最大值.

64.已知K,乙分别为椭圆[+?=1的左、右焦点，直线/1过点与且垂直于椭圆的长轴,

动直线/2垂直于直线/厂垂足为D,线段。己的垂直平分线交4于点

(I)求动点/W的轨迹C的方程；

(II)过点/作直线交曲线C于两个不同的点P和Q,设品=2品，若2G[2,3],求加

•品的取值范围。

3

65.已知椭圆。中心在原点，焦点在坐标轴上，直线”=与椭圆C在第一象限内的交点

2

是点M在x轴上的射影恰好是椭圆。的右焦点与，另一个焦点是打，且

(1)求椭圆。的方程；

(2)直线/过点(-1,0),且与椭圆。交于P,。两点，求小尸。的内切圆面积的最大值

66.椭圆=\(a>b>0)的长轴为短轴的百倍，直线y=x与椭圆交于A、B两点,

ab~

—*—*3

C为椭圆的右项点，OAOC=~.

2

(I)求椭圆的方程；

(II)若椭圆上两点E、F使瓦+赤=/15^/16(0,2),求公0后产面积的最大值

r2v2

67.已知椭圆E：■+4=l(a>b>0),以Fi(-c,0)为圆心，以a-c为半径作圆R,过点82(0,6)

a2b2

作圆Fi的两条切线，设切点为/W、N.

⑴若过两个切点M、N的直线恰好经过点81。4时，求此椭圆的离心率；

(2)若直线MN的斜率为-1,且原点到直线MN的距离为4(右-1)，求此时的椭圆方程；

(3)是否存在椭圆E,使得直线/WN的斜率k在区间(-孚，-乎)内取值？若存在，求出

椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由.

68.已知A,B是抛物线/=2py(p>0)上的两个动点，O为坐标原点，

非零向量满足|风+砺卜|况-砺|.

(I)求证：直线48经过一定点；

(II)当N8的中点到直线y-2x=0的距离的最小值为半时，求夕的值

69.如图，已知直线/：丁=米—2与抛物线C：f=—2勿(p〉0)交于A,B两点，。为坐

标原点，OA4-OB—(_-4,—12)oy

(I)求直线/和抛物线C的方程；

(II)抛物线上一动点P从A到B运动时，求AABP面积最大值.------►

70.已知椭圆r的中心在原点，焦点在X轴上，它的一个顶点B恰好是抛///\\

物线片;X?的焦点，离心率等于孝.直线/与椭圆「交于”,N两点./\

(I)求椭圆r的方程；

(II)椭圆「的右焦点尸是否可以为的垂心？若可以，求出直线/的方程；若不可

以,请说明理由.

71.记平面内动点M到两条相交于原点。的直线4,4的距离分别为4,4,研究满足下列条

件下动点M的轨迹方程C.

(1)已知直线4,/2的方程为：y=土牛-

(a)若d：+d；=6,指出方程C所表示曲线的形状；

(b)若4+4=4,求方程C所表示的曲线所围成区域的面积；

(c)若=12,研究方程C所表示曲线的性质，写出3个结论.

(2)若片+片=21,试用表示常数d及直线4,/2的方程，使得动点M的轨迹方程C

恰为椭圆的标准方程「+勺=1(。＞6＞0).

a2h2

的离心率为争

72.已知椭圆c：江+之=1（〃>6>0）并且直线歹=x+b是抛物线

y2=4x的一条切线。(I)求椭圆的方程；(H)过点S(0,-；)的动直线L交椭圆C于A、

B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,

求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

、、X2V2

73.已知点P（4,4）,圆C：（x—my+j?=5（加＜3）与椭圆E：—+彳=1（。〉0）＞0）的

a~b~

一个公共点为A(3,1),Fi，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线P4与圆C相切。

(1)求m的值与椭圆E的方程；

(2)设D为直线PFi与圆C的切点，在椭圆E上是否存在点Q,使APDCl是以PD为底的等腰

三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。

2V21

74.已知椭圆Gx：/+?=1(。〉b＞0)的长轴长为4,离心率为-,

焦点.一动圆过点外，且与直线x=-l相切.

(1)(i)求椭圆G的方程；(ii)求动圆圆心轨迹c的方程；

(II)在曲线。上有四个不同的点",N,P,0,满足丽与冠共线，PF2与。外共

线，且巨月•丽=0,求四边形尸面积的最小值.

X2y21

75.如图，已知椭圆/+会=1(。＞6〉0)长轴长为4,高心率为5.过点(0,-2)的直线/交

椭圆于48两点、交X轴于P点，点/关于X轴的对称点为C,

直线8C交x轴于。点。

(I)求椭圆方程；

(II)探究：|。尸|・|00|是否为常数？

22

76.设椭圆C:=1(。＞6〉0)的上顶点为工,椭圆。上两

/

（第21■）

_3

点尸，。在x轴上的射影分别为左焦点月和右焦点直线尸。的斜率为:，过点N且与

/月垂直的直线与x轴交于点8,ZU大8的外接圆为圆

(1)求椭圆的离心率；

⑵直线3》+4歹+；〃=0与圆M相交于两点，且施•赤=一求椭圆方程;

(3)设点N(0,3)在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于6出，求椭圆C

的短轴长的取值范围.

x2v2

77.已知直线/：夕=依+2(左为常数)过椭圆=+彳=1

ab

(a>b〉O)的上顶点8和左焦点直线/被圆

》2+72=4截得的弦长为".

(1)若d=2由,求左的值；

(2)若d*后,求椭圆离心率e的取值范围.

y>0

78.已知可行域(x—岛+220的外接圆C与x轴交于点A|、A?,椭圆J以线段

V3x+y-2V3<0

A/2为长轴，离心率e==

2

(I)求圆C及椭圆C1的方程；

(II)设椭圆Ci的右焦点为F,点P为圆C上异于Ai、A2的动点，过原点O作直线PF

的垂线交直线x=2近于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明.

2222r

79.若椭圆片：二+「=1和椭圆七2：「+4=1满足5=」=加(加>0),则称

a[b]a2b2a2b2

这两个椭圆相似，〃?称为其相似比。

(1)求经过点(2,、左)，且与椭圆]+；=1相似的椭圆方程。

(2)设过原点的一条射线/分别与(1)中的两个椭圆交于A、B,///七

两点(其中点A在线段OB上)，求|。4|+血的最大值和最小值.)x

80.椭圆C的中心为坐标原点0,焦点在y轴上，离心率e=Y2,

2

椭圆上的点到焦点的最短距离为l-e,直线/与y轴交于P点(0,m),与椭圆C交于相异

两点A、B,S.AP^APB.

(1)求椭圆方程；

(2)若a+/l丽=4而,求加的取值范围.

81.设x,yeH,i,/为直角坐标系中的单位向量，a^xi+(y+2)j,h^xi+(y-2)j,

内+向=8。

(1)求动点M(x,y)的轨迹C的方程；

(2)过点(0,3)作直线/与曲线C交于A、B两点，若丽=况+无，是否存在直线/使

得。NP6为矩形?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

82.如图，中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率e=1H,4、8分别是椭圆的长轴、

2

短轴的端点，原点O到直线的距离为巴

5NM

(I)求椭圆的标准方程；

(II)已知£(3,0),设点V、N是椭圆上的两个动点，

满足EMJ.E