《微积分Ⅲ》期末考试试卷

《微积分in》课程期末考试试卷

一、填空题(每小题5分，将答案填在横线上)

(1)设/为椭圆4/+丁=1的一周，其全长为“，则平面第一型(即对弧长的)曲线积分

^(2x-y}2ds-.

C

(2)已知(ye*-er)dx+(xer'为某二元函数“(x,y)的全微分，且“(0,0)=1.则

«(x,y)=.

(3)设〃=〃(x,y,z)具有二阶连续偏导数，且满足

S为球面x2+y2+z2+q23>0)的外侧，则第二类曲面积分

rcdu,,du,,du,,

jj—dyaz+—azax+—axdy=.

(4)设My)具有连续的-阶导数，夕(1)=1,/为自点(0,0)沿曲线y=3f—2x到点(1,1)的

有向弧，则平面第二型曲线积分J(2x0(y)-y)dx+(x2(p'(y)-y)dy=.

I

二、选择题(每小题5分，每小题所给4个选项中只有1个是符合要求的，请将所选代码填入【】中).

(5)设Z)={(x,y)lx2+y2>0},/是。内的任意一条逐段光滑的封闭曲线，则必有

-y)dx+(x+y)dy才0

(A)(B)

-)dx)=小)，(吁-产)*0

(D)

x+y4?X+y

(6)设S为上半球面x2+y2+z2+a2,z>Q,(a〉0),下列第一型曲面积分或第二型曲面

积分不为0的是

(A)JJxdydz.(B)jjy2dydz.

s上记s上间

(C)JjydS.(D)JjxjdS.[1

(7)设P(x,y)与Q(x,y)在平面区域D上连续且有连续的一阶偏导数，则“四=变当

dxdy

(x,y)e。"是“对于D内的任意一条逐段光滑的闭曲线/,"(x,y)dx+Q(x,y)dy=0”的

/

(A)充分条件而非必要条件.(B)必要条件而非充分条件.

(C)充分必要条件.(D)既非充分有非必要条件.【】

(8)设空间区域。={(x,y,z)lx2+)，2+z249,xN0,yN0,zN0}，函数/(x)为正值的

fffTTw+27709+37/0)^,

连续函数，则收/7际E反T二

(A)等.(B)9兀.(C)与万.(D)27万.

三、解答题(以下各小题每题10分，解题时应写出必要的解题过程).

(9)设。是由曲面Z=4(x2+y2)与z=8所围成的空间有界闭区域，求。](一+),2)dv.

C

(10)设S是锥面z=Jx?+y2(0WzK1)的上侧,求JJxdydz+2ydzdx+3zdxdy.

s

(11)设L为空间曲线=,自z轴正向往负向看，L是逆时针的，求

[x2+y2=2x

^y2dr+x2d>+z2dz.

L

(12)设/为自点A(-1,0)沿圆周(XT)?+丁=4的上半个到点8(3,0)的有向弧段，求

exdy-ydx

J4/+4•

(13)设S为曲面z=4(x2+y2),(O〈zVl),求第一型曲面积分JJ(2z+l)dS.

s

(14)设/(〃)具有连续的阶导数，点4(1,1),点8(3,3),/为以Q为直径的左上半个

圆弧，自A到B,求1,(—f(—-)+y)dx—(—f(—)+x)dy.

ixyyy

参考解答:

(1)a；(2)yex-xe~y+\,(3)-7ra5；(4)

52

二.CABB

1024

(9)解1：原式=,f2”(16>ff4r-3drf8f,dz=——

JoJoJ?3

2J

一,「8Anr41zR1024

解2：原式==fdzfd0|rdr=----

JoJoJo3

(10)解1：高斯公式.

S]：z=l,x2+y2<1,下侧，V：yjx2+y2<z<1,:x2+y2<1

原式二可一[J=-Jjj6dV-J/-3db=—6JJdofrd〃fdz+3"

S+S]Sic%

解2：化第一类曲面积分.

2222

5：Z-X-/=0,Dxy-.x+y<\,n°^-^-[-x,-y,z}

原式=||(xcosa+2ycos/3+3zcos/)dS

s

,J_-2y2+3z2)dS=古jj1(2x2+y2)dS

一正

*22

db=4rd0fr(1+cos0)dr=兀

*o

(11)解1：Stokes公式

22

S：Z=J/+y2,(x,y)G£)v>,:X+y<2x上侧

dydzdzdxdxdy

原式=JJddd=JJ(2x-2y)dxdy=JJ(2x-2y)dxdy

sdx办dzs

y2x2z2

>2cos6

2Jjxdxdy=4/der2cosdr=2万

Jo0

%J

解2：直接法.L:x=1+cosf,y=sinz=2cos^-,f:0->2〃

原式二…二f(2cos2t+cos3t)dr=2^

*0

(12)解：也=上^^="，(x,y)*(0,0),积分与路径无关.

dx(4x2+y2)2dy

2

设LAC:4x+/=4(),>0),A(—l,0)tC(l,0)

x=cosf,y=2sinf,广乃―0

原式=J+j=[jxdy-ydx+0=(J(2cos2t+2sin、)dr=-5

LACCBLAC

(13)解：dS=Jl+x，+y2do,S:z=；(/+/)，£)^：x2+y