2020-2021学年潍坊市诸城市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年潍坊市诸城市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={0,123,4},B={2,4,8},那么ACB子集的个数是()

A.4B.5C.7D.8

2.已知函数/1(%)=10。3(尤2-ax+3),若函数/Q)的值域为R,则a的取值范围是()

A.(—8,—2^/3)U(2V3,+8)B.(—8,—2V3]U[2^/3,+8)

C.[-2V3,2A/3]D.(-2V3,2A/3)

x

3.已知函数/(%)=(|)-log3x,若实数与是方程f。)=0的解，且0＜打＜x0,贝行(久1)的值的

值（）

A.不小于0B.恒为正数C.恒为负数D.不大于0

4.下列函数中，在各自定义域内为增函数的是（）

O_____

A.y=x2—2B.y=-C.y=1—y/2—xD.y=—（x+2）2

5.函数y=2x+3在区间［1,5］上的最大值是（）

A.5B.10C.13D.16

6.累函数网，其中国，且在回上是减函数，又回，则区=（）

A.0B.1C.2D.3

7.下列说法正确的是（）

A.若直线a//直线b,则a平行于经过b的任何一个平面

B.若直线a〃平面a,则a平行于平面a内的任意一条直线

C.若直线a〃平面a,直线b〃平面a,则a〃匕

D.若直线a〃直线b,a〃平面a,则b〃平面a或bu平面a

8.若/外:Vl（a>0,且aAl）,则实数a的取值范围是（）

A.(0及B.6+8)

c.《,1)D.(0,》u(l,+8)

9.已知直线/过点(0,—1),且与直线y=-久+2垂直，则直线I的方程为()

A.y=x—1B.y=%+1C.y=-x—1D.y=—x+1

10.已知棱长为旧的正方体28CD内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线4Q为轴，则该圆

柱侧面积的最大值为（）

C.2倔rD.3a兀

11.三棱锥P—48C中，AB1BC,AB=BC=y/2,PA=PC=2,AC中点为M,<(>sZPJ/Z?—

则此三棱锥的外接球的表面积为（）

B.27rC.67rD.v京7T

已知函数/'（%）==(

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.圆C的圆心为（4,4）,若该圆上存在点M,使|K4|=2|MO|,其中4（—3,0）,0（0,0）,则该圆半径

r的取值范围为.

14.已知函数/"（%）=4%5+3x3+2x+1,则f。。出？）+吗3）=.

15.如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜

边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体

的体积为—

主GE抽图左（侧海图

16,已知XCR,［制表示不超过x的最大整数，若函数,防&磁」里-碱标，赚:有且仅有3个零点，则实

数碱的取值范围是

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知〃%)=*.

(1)用“函数单调性定义”证明：/(%)在(-1,+8)上为增函数；

(2)若{={x|0WxW2},B={y\y=f(x),xeA],求(CRB)CI4.

18.已知直线l经过点P(3,l),且被两平行直线x+y+l=0»Z2：x+y+6=0截得的线段之长

为5,求直线/的方程.

19.如图，直三棱柱ABC-4遇1&的底面为直角三角形，两直角边4B和4C的

长分别为4和3,侧棱A4i的长为5.

(1)求三棱柱4BC-的体积；

(2)设M是8c中点,求直线4M与平面48C所成角的大小.

20.经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)均为时间t(单位:

天)的函数，且销售量近似地满足g(t)=-|t+36(0<t<100,teN),前50天价格为/(x)=

-1-1

-t+21(1<t<50,t6N),后50天价格为/'(£)=--t+52(51<t<100,teN).

42

(1)求该商品的日销售额s与时间t的函数关系式；

(2)当t为何值时，日销售额S取得最大值.

21.如图，在棱长为a的正方体4BCD—4B1C15中，P、Q分别是4劣、BD

的中点.

(1)求证：PQ〃平面DCCiA.

(2)求证：平面4PQ〃平面&GA

22.已知函数/(x)=a/-4x+2,函数g(x)=(》*")

(1)若f(2-x)=f(2+x),求f(%)的解析式;

(2)若g(x)有最大值9,求a的值，并求出g(x)的值域.

参考答案及解析

L答案：A

解析：解：•••集合4={0,123,4},B={2,4,8),

AC\B={2,4},

•••AnB有2个元素，

故Ac8子集的个数是22=4个，

故选A

由集合a={0,1,2,3,4},8={2,4,8},求出2CB,进而可得4nB子集的个数.

本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集及其运算，难度不大，属于基础题.

2.答案：B

解析：解：•.・函数/(x)的值域为R,

x2-ax+3>0有解，

即4=a2—12>0,

解得：a>2百或a<—2V3

故选：B.

函数/(%)的值域为R,则--ax+320有解，进而利用判别式求解；

考查符合函数的定义域，值域，二次不等式，判别式；

3.答案：B

解析:解:,实数均是方程/(x)=0的解，.・・/Qo)=0.

・.・函数y=g)x,y=log3%在(0,+8)上分别具有单调递减、单调递增，

二函数/(%)是减函数.

又0<%!<Xo,

•••/(%i)>/(%0)=0.

故选8.

利用指数函数和对数函数y=©尸，y=10g3X在(0,+8)上的单调性，可得函数/(%)的单调性.再利

用函数零点的意义即可得出.

本题考查函数的单调性和函数的零点的意义，属于基础题.

4.答案:C

解析：解：4中，y=/—2在(-8,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数，不满足条件；

B中，y=:在（一8,o）上是减函数，（0,+8）上是减函数，不满足条件；

C中，y=1-万V在定义域（—02］是增函数，.•.满足条件；

。中，y=-（％+2）2在（一8,-2）上是增函数，在［一2,+8）上是减函数，.•.不满足条件；

故选：C.

根据基本初等函数在定义域内的单调性情况，判定各选项中的函数是否满足条件即可.

本题考查了基本初等函数在定义域内的单调性问题，是基础题.

5.答案：C

解析：解：・函数y=2%+3在区间［1,5］上为增函数，

.•.当x=5时，函数y=2x+3取得最大值为2X5+3=13.

故选：C.

直接利用所给函数在区间［1,5］上单调递增得答案.

本题考查利用一次函数的单调性求函数最值，是基础的计算题.

6.答案：B

解析：试题分析：由题意知国，解得国，由国知函数□为偶函数，又因国，所以国，

故选B.

考点：1.累函数的解析式样2.累函数的单调性与奇偶性.

7.答案：D

解析：解：A,若直线a〃直线b,则a可能在经过b的一个平面内，故错；

B,若直线a〃平面a,贝b与平面a内的直线可能平行或异面，故错；

C,若直线a〃平面a,直线b〃平面a,贝i］a与b可能平行、异面、相交，故错.

D,若直线a〃直线b,a〃平面a,则b〃平面a或bu平面a,正确.

故选：D.

A,根据线面平行的判定定理即可判断；

B,根据线面平行的性质判断即可；

C,若直线a〃平面a,直线b〃平面a,贝与b位置关系不定.

。，根据线面平行的判定定理即可判断.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解

能力，是中档题.

8.答案：D

解析：解：loga^<1=logaa.

当0<a<1时，得0<a<：,二0<a</

当a>1时，得a>g,二a>1.

综上，a的取值范围是(0,》U(l,+8).

故选：D.

由loga[<l=loga。，然后对a分类讨论，结合对数函数的单调性求解.

本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的性质，是基础题.

9答案:A

解析：解：设与直线y=-％+2垂直的直线方程为x-y+m=0,

把点(0,—1)代入可得0—(―1)+m=0,

■-m=-1,故所求的直线的方程为x—y-1=0,

故选A.

设与直线y=-x+2垂直的直线方程为x-y+a=0,把点(0,—1)代入可得加值，从而得到所求的

直线方程.

本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线垂直，斜率之积等于-1,设出与直线y=-x+2垂直

的直线方程x-y+m=0是解题的关键.

10.答案：A

解析：

本题考查圆柱侧面积的最大值，考查旋转体，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，画出图示，求得底面圆的半径是解题的

关键，利用基本不等式即可得出结论.

解：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，

由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过4点的三个面相切，

且切点分别在线段a4,AC,上，设线段4B1上的切点为E,471。面4/。=。2,

圆柱上底面的圆心为。>F为与的交点，

由于三角形&BD是边长为旄的等边三角形，易得。2为三角形的中心，

半径即为。速记为r,

则。2尸=-DF=-X—xV6=—,人。2==1，

=33223

由。送〃。2尸知萱=华=”。1=企。汪，则此时圆柱的高为3—2aoi=3—2&r,

2

SM=277T(3-2V2r)=4&口(券-r)<4让兀•("厂产=等・

当且仅当r=这时等号成立.

8

故选：A.

11.答案：C

解析:

本题考查棱锥外接球的表面积，解题关键是确定棱锥的结构，找到其外接球的位置，补形法在其中

起到决定性的作用.

解析：

解：由AB1BC,AB=BC=V2.得AC=2,又PA=PC=2,PM=V3,又BM=1,

在21PMB中，PB2=PM2+BM2-2PM-BMcos乙PMB=3+1-2XV3X1Xy=2,

即PB=a,.•.BP,BC,BA两两垂直，以它们为邻边，把三棱锥P—ABC补成一个长方体，

则长方体的外接就是三棱锥P-28C的外接球，球的直径为d=J(V2)2+(V2)2+(V2)2=V6.

半径为R=渔，

2

2

球的表面积为S=4TIR2=47rx(')=6TT,

故选C.

12.答案：C

(\1—x(x0)

解析：解：•.・函数/(%)=，1.

((X--4)(久>0)

/(-1)=AFei)=1-

«(T))=〃1)=(1-=已

故选：C.

由已知先求出f(—l)=1,从而/'(7(-I))=f(l),由此能求出结果.

本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.

13.答案:[3,7]

解析：解：设MQo.yo)，

•••\MA\=2\MO\,71(-3,0),0(0,0),

(沏+3)2+据=4片+%),

即瞪+)/Q-2x0—3=0,

则M在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上，

又点M在圆C上，

则圆诏+yo-2%0-3=0与圆(％-4)2+(y-4)2="有交点，

即圆心之间的距禺d满足：\r—2\<d<r+2,

即为|r—2|<A/32+42<r+2>

解得3<"7.

故答案为：[3,7].

设MQo，yo)，运用两点的距离公式，化简整理可得M在以(L0)为圆心，2为半径的圆上，则由两圆有

公共点的条件可得圆心距离介于半径之和与半径之差的绝对值之间，解不等式即可得到r的范围.

本题考查圆的方程的求法，考查圆与圆的位置关系的判断，考查不等式的解法，属于中档题.

14.答案：2

解析：

本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力.属于中档题.

判断函数g(x)=4x5+3%3+2x是奇函数，利用对数运算法则化简所求表达式，即可得到结果.

解：函数/'(x)=4%5+3/+2%+1,

令函数g(x)=4%5+3x3+2.x,贝，(%)=g(x)+1,

又易得函数g(x)=4x5+3x3+2x是奇函数,

则g(log23)+g(-log23)=0

则/"。。923）+f。。羽3）

2

=9（晦3）+1+g（.log13）+1

2

=5（log23）+5（-log23）+2

=2.

故答案为：2.

15.答案：立

3

解析:解：由题意可得:几何体是一个三棱锥，如图所示，AC1平面=4。=BD=2,AC=W，

因为左（侧）视图是一个两直角边分别为遥和1的直角三角形，

所以△BCD的高为1,

所以三棱锥的体积为：ixix2xlxV3=^,故答案为立。

3232

16.答案:图U图

解析：试题分析：函数=区一有且仅有3个零点，转化为事="与^（工）=国有且仅

有3个交点，利用数形结合法做出g任）=㈣图像，〃4）=±〃5）=22）=2,〃-3）=：,

2x8543

结合图像可知两图像有3个交点时实数。的取值范围是

考点：1.函数图像；2.数形结合法；3.分情况讨论

17.答案：解：（1）根据题意，f（x）=磊=2-全，

设一1<<x2,

772(*L%2)

22

则/Qi)—/(x2)=(-777)-(-777)

十1%2十-L(%1+1)(%2+1)'

又由一1<%］<盯，

1

则/"(%1)</(X2),贝J函数/(X)在(一1,+8)上为增函数；

(2)根据题意，由⑴的结论，/(尤)在(-1,+8)上为增函数；

»={x|0<x<2}=[0,2],

/(0)=0,/(2)=%则B={y|0<y<|}=[0,1],

则(CRB)C4=G，2].

解析：(1)根据题意，分析可得/(%)===2-=，设-1<%<%2，由作差法分析可得结论;

(2)根据题意，B为函数y=f(x)在［0,2］上的值域，求出集合B,由集合交集、补集的性质分析可得答

案.

本题考查函数的单调性的判断以及应用，涉及集合的混合运算，属于基础题.

18.答案：解：解法一：若直线［的斜率不存在，则直线I的方程为x=3,

此时与小%的交点分别为％(3,—4)或9(3,—9),

截得的线段48的长|2用=|—4+9|=5,符合题意.

若直线/的斜率存在，

则设直线/的方程为y=k(x-3)+1.

解方程组得似落，一落).

解方程组｛二,IT1得8(黑，-普・

由［2用=5.

得『―世二2+(—竺二+些二)2=52

vk+1k+1J'k+1fc+1J

解之，得k=0,直线方程为y=l.

综上可知，所求1的方程为％=3或y=1.

k44（1，%）8（%2，2），1+

解法二：设直线/与、分别相交久、、则比为+1=0,x2+y2+6=0.

两式相减,得（%1-%2）+（71-丫2）=5.①

2

又Oi-/A+(71-72)=25.②

联立①、②可得1"；方—%2=0

_>2=5'

由上可知，直线Z的倾斜角分别为0。或90。.

故所求的直线方程为x=3或y=1.

解析：本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错

的地方，注意本题的两种方法，属于拔高题.

法一如图，分直线I的斜率不存在，直线/的斜率存在两种情况讨论，利用点斜式方程，分别与4、%联

立，求得两交点48的坐标（用k表示），再利用［4用=5可求出k的值，从而求得/的方程.

法二：设直线力、1与।分别相交于4（修，%），8。2，兆），

则通过求出力-及，久i-%2的值确定直线，的斜率（或倾斜角），从而求得直线/的方程.

19.答案：解：（1）三棱柱ABC—的体积为:

1

V=S^ABCx--x4x3=6.

（2）设M是BC中点,

以4为原点，为x轴，AC为y轴，441为z轴，建立空间

直角坐标系,

3

4式0,0,5),B(4,0,0),C(0,3,0),M(2,-,0),

巾=(2,|,—5),平面ABC的法向量元=(0,0,1),X

设直线41M与平面ZBC所成角为。,

.c\A^M-n\52V5

rniismy=,—>一=-；==——

则|i4M|-|n|/1255•

14

直线4M与平面48C所成角的大小为arcsin等.

解析：(1)由三棱柱4BC-的性质能求出其体积.

(2)设M是BC中点，以4为原点，4B为x轴，"为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出直线4M与平面4BC所成角的大小.

本题考查立体几何中点、线、面的位置关系，考查运算求解能力、空间想象能力、推理论证能力，

考查直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养，是中档题.

(-|t+36)(jt+21),1<t<50,teA/

20.答案:解：⑴S=g(t)"(t)=

(——t+36)(——t+52),51<t<100,teN

’-(户+2C+756,1<t<50,tEN

if2--C+1872,51<t<100,teN'

\63

(2)当lWtW50,teN时，S=-*/+2t+756=一2(-12)2+168,

・"=12时，S取得最大值为768.

当51WtW100,teN时，S=-t2-—1+