向量组的线性组合

关于向量组的线性组合(一)、向量组的线性组合1。向量组：2。向量组的线性组合与线性表示定义1

对于向量组a1，a2，

，am

，如果有一组数k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，则称向量b是向量组a1，a2，

，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，

，am线性表示。定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为向量组．第2页,共29页，2024年2月25日，星期天例1．设a1=(1,0,0)，a2=(0,1,0)，a3=(0,0,1)，则∴b=(2,-1,1)是向量组a1，a2，a3的一个线性组合，也就是b可由a1，a2，a3线性表示。∵b=2a1-a2+a3=2(1,0,0)-(0,1,0)

(0,0,1)=(2,-1,1)，定义1对于向量组a1，a2，

，am

，如果有一组数k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，则称向量b是向量组a1，a2，

，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，

，am线性表示。。下页注意：（1）向量组a1，a2，a3的线性组合有无穷多个（2）一个向量b有可能可由向量组a1，a2，a3的线性表示；也有可能不能由向量组a1，a2，a3的线性表示。第3页,共29页，2024年2月25日，星期天

例2．任何一个n维向量a=(a1,a2,

,an)T都是n维向量组e1=(1,0,

,0)T，e2=(0,1,

,0)T，

，en=(0,0,

,1)T的线性组合。这是因为a=a1e1

a2e2

an

en。向量组e1，e2，

，en称为n维单位向量组或n维基本向量组下页定义1对于向量组a1，a2，

，am

，如果有一组数k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，则称向量b是向量组a1，a2，

，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，

，am线性表示。结论：任何一个n维向量a=(a1,a2,

,an)都可由n维单位向量组或n维基本向量组线性表示第4页,共29页，2024年2月25日，星期天5例：设那么线性组合的系数e1,e2,e3的线性组合一般地，对于任意的n维向量b

，必有第5页,共29页，2024年2月25日，星期天6n

阶单位矩阵En

的列向量叫做n

维单位坐标向量．第6页,共29页，2024年2月25日，星期天例3．零向量是任何一组向量的线性组合。下页定义1对于向量组a1，a2，

，am

，如果有一组数k1，k2，

，km，使

b

k1a1

k2a2

kmam，则称向量b是向量组a1，a2，

，am的一个线性组合，或称b可由向量组a1，a2，

，am线性表示。例4．向量组a1，a2，

，am中的任一向量i(1

i

m)都是此向量组的线性组合。注意：对k1，k2，

，km未加任何限制；特别是未限制k1，k2，

，km不全为零。这是因为o=0

a1

0

a2

0

am这是因为ai=0

a1

+1

ai

0

am

。第7页,共29页，2024年2月25日，星期天

定理

n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，

，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，

，xm为未知量的线性方程组

x1a1

x2a2

xm

am

b有解。

讨论：上述线性方程组在什么情况下有解？提示：线性方程组

x1a1

x2a2

xm

am

b有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即矩阵(a1

a2

am)与矩阵(a1

a2

am

b)的秩相等。下页3。b可由a1，a2，

，am线性表示的判定方法：a11x1+

a12x2+

+

a1mxm

=b1a21x1+

a22x2+

+

a2mxm

=b2an1x1+

an2x2+

+

anmxm

=bn

x1a1

x2a2

xm

am

b

第8页,共29页，2024年2月25日，星期天定理

n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，

，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，

，xm为未知量的线性方程组

x1a1

x2a2

xm

am

b有解。

推论：下页3。b可由a1，a2，

，am线性表示的判定方法：（1）

n维列向量b可由n维列向量组a1，a2，

，am线性表示秩(a1

a2

am)=秩(a1

a2

am

b)定理′

n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，

，am线性表示的充分必要条件是：以x1，x2，

，xm为未知量的线性方程组

x1a1T

x2a2T

xm

amT

bT有解。

（2）

n维行向量b可由n维行向量组a1，a2，

，am线性表示秩(a1T

a2T

amT)=秩(a1T

a2T

amT

bT)第9页,共29页，2024年2月25日，星期天例5设判断向量b是否为向量组a1

，a2，

a３

的线性组合。若是，写出表示式。解：设x1a1

x2a2

x３a３

b由此可得线性方程组解此线性方程组第10页,共29页，2024年2月25日，星期天∵增广矩阵（a1a2a３b）因为线性方程组有解，所以b

可由a1，a2，a３线性表示又因解为x1

７，

x2

５，x３

０所以b

７a1

５a2

０a３第11页,共29页，2024年2月25日，星期天

例6．判断向量b1=(4,3,-1,11)T与b2=(4,3,0,11)T是否各为向量组a1=(1,2,-1,5)T，a2=(2,-1,1,1)T的线性组合。若是，写出表示式。

解：(1)考虑线性方程组x1a1

x2a2

b1。因为2-13-11-15111124(a1

a2

b1)=

0-5-50330-9-9124

011000000124秩(a1

a2

b1)=秩(a1

a2)，所以b1可由a1，a2线性表示。因为线性方程组的解为x1

2，

x2

1，所以使2a1

a2

b。

011000000102，下页第12页,共29页，2024年2月25日，星期天

例6．判断向量b1=(4,3,-1,11)T与b2=(4,3,0,11)T是否各为向量组a1=(1,2,-1,5)T，a2=(2,-1,1,1)T的线性组合。若是，写出表示式。

解：(2)考虑线性方程组x1a1

x2a2

b2。因为2-13-1105111124(a1

a2

b2)=

0-5-50340-9-9124

011034000124秩(a1

a2

b2)

秩(a1

a2)，所以b2不能由a1，a2线性表示。

011001000124，下页第13页,共29页，2024年2月25日，星期天

例7．设向量a1=(1,2,3)，a2=(0,1,4)，a3=(2,3,6)b=(-1,1,5)，证明b由向量组a1，a2，a3线性表示并写出具体的表示式。解：考虑线性方程组x1a1T

x2a2T

x3a3T

bT。因为(a1T

a2Ta3T

bT)秩(a1T

a2Ta3T

bT)=秩(a1T

a2Ta3T)，所以b可由a1，a2，a3线性表示。因为线性方程组的解为x1

1，

x2

2，x3

-1，所以b

a12a2-a3

第14页,共29页，2024年2月25日，星期天15例：设证明向量b能由向量组a1,a2,a3

线性表示，并求出表示式．解：向量b能由a1,a2,a3

线性表示当且仅当R(A)=R(A,b)．因为R(A)=R(A,b)=2，所以向量b能由a1,a2,a3

线性表示．第15页,共29页，2024年2月25日，星期天16行最简形矩阵对应的方程组为通解为所以b=(－3c+2)a1+(2c－1)a2+ca3

．第16页,共29页，2024年2月25日，星期天17结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．向量b能由向量组

A线性表示线性方程组Ax=b

有解P.83定理1的结论：第17页,共29页，2024年2月25日，星期天18定义：设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

中的每个向量都能由向量组

A

线性表示，则称向量组

B

能由向量组

A

线性表示．若向量组A

与向量组B

能互相线性表示，则称这两个向量组等价．4。向量组的等价．第18页,共29页，2024年2月25日，星期天例1．向量组a1=(1,2)T

，a2=(1,1)T

，a3=(2,3)T可以由基本向量组e1=(1,0)T，e2=(0,1)T

线性表示；同时因为向量组e1=(1,0)T=-a1T+2a2T，e2=(0,1)T=a1T-a2T，即向量组e1，e2可由向量组a1，a2，线性表示；所以向量组a1，a2与向量组e1，e2等价第19页,共29页，2024年2月25日，星期天20设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即线性表示的系数矩阵第20页,共29页，2024年2月25日，星期天21设有向量组

A：a1,a2,…,am及

B：b1,b2,…,bl，若向量组

B

能由向量组

A

线性表示，即对于b1，存在一组实数k11,k21,…,km1

，使得b1=k11a1+k21

a2+…+km1

am；对于b2，存在一组实数k12,k22,…,km2

，使得b2=k12a1+k22

a2+…+km2

am；……对于bl，存在一组实数k1l,k2l,…,kml

，使得bl=k1la1+k2la2+…+kmlam第21页,共29页，2024年2月25日，星期天22若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，

B

为这一线性表示的系数矩阵．第22页,共29页，2024年2月25日，星期天23若Cm×n=Am×l

Bl×n

，即则结论：矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，

A

为这一线性表示的系数矩阵．第23页,共29页，2024年2月25日，星期天24口诀：左行右列定理：设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在

A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在

A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.结论：若C=AB，那么矩阵C

的行向量组能由矩阵B

的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵．（A

在左边）矩阵C

的列向量组能由矩阵A

的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵．（B

在右边）第24页,共29页，2024年2月25日，星期天25A经过有限次初等列变换变成B存在有限个初等矩阵P1,P2,…,Pl，使AP1

P2…,Pl=B存在m

阶可逆矩阵

P，使得AP=B矩阵B

的列向量组与矩阵A

的列向量组等价矩阵B

的行向量组与矩阵A

的行向量组等价同理可得口诀：左行右列.把

P

看成是线性表示的系数矩阵第25页,共29页，2024年2月25日，星期天26向量组

B：b1,b2,…,bl能由向量组A：a1,a2,…,am线性表示 存在矩阵K，使得AK=B

矩阵方程AX=B

有解

R(A)=R(A,B)（P.84定理2）

R(B)≤

R(A)（P.85定理3）

推论：向