2021-2022学年吉林省四平市铁西区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2021-2022学年吉林省四平市铁西区九年级第一学期期末数学试

卷

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.V3tan600的值等于（）

A.—B.返C.3D.«

22

2.下列事件为必然事件的是（）

A.购买二张彩票，一定中奖

B.打开电视，正在播放极限挑战

C.抛掷一枚硬币，正面向上

D.一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球

3.如图，△ABC与△OEF是位似图形，点。为位似中心，已知B。：0£=2：1,贝IZVIBC

4.如图，A3是。。的直径，点C,D为。。上的点.若乙0=120。，则/CAB的度数为

5.如图，平面直角坐标系中，点3在第一象限，点A在x轴的正半轴上，NAOB=/B=

30°,OA=2.将AAOB绕点。逆时针旋转90°,点8的对应点⑶的坐标是（）

y

A.（-3）B.（-3,C.（-2+J§）D.（-1,2+J§）

6.如图，A是反比例函数>=上■的图象上一点，过点A作A5J_y轴于点5,点。在工轴上,

x

且1ABC=2,则％的值为（）

B.-4C.-2

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.点尸（-3,-4）关于原点对称的点的坐标是.

8.如图，已知AC〃石尸〃8D.如果AE：EB=2：3,CF=6.那么C。的长等于

9.关于X的一元二次方程尤2+2X-（777-2）=0有两个相等的实数根，则m的值为.

10.在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同.每次搅

拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发

现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为.

11.如图，若反比例函数V]§与一次函数交于A、8两点,当yi<y2时，则无

的取值范围是

BA

12.如图，小红把梯子AB斜靠在墙壁上，梯脚8距墙2米，小红上了两节梯子到。点,

此时D点距墙1.8米，BD长0.6米，则梯子的长为米.

BC

13.如图,^.AABC中,是边上的高,cosC=；4B=10MC=6,则BC的长为

一12

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-5（x-3）2+m与>=不（］+2）的一个

乙o

交点为A.已知点A的横坐标为1,过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点8、

AR

C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则要的值为.

三、解答题（每小题5分，共20分）

15.解方程：x2+10x+16=0.

16.已知反比例函数的图象位于第一、三象限.

x

（1）求左的取值范围;

（2）当反比例函数过点A（2,4）,求人的值.

17.已知在△ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=E

(1)求8C；

(2)求sinZA.

18.医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地

的防汛救灾工作.求：恰好选中医生甲和护士A的概率.

四、解答题（每小题7分，共28分）

19.如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,点O,E分别是边AB,AC上的点，且AO=4,

ZBDE+ZC=180°,求AE的长.

20.钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公

布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分

辨率海岛地形数据.如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点3是岛上最东端”东

钓角”，AB长约3641米，点。是岛上的小黄鱼岛，且A、B、。三点共线.某日中国海

监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛并测得NACD=70°,

/8CD=45°.根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛。的距离CQ的值.（参

考数据：tan70°^2.75,sin70°20.94,cos70°—0.34,结果精确到1米.）

DP7B

21.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA8C为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半

轴上，点。为AB的中点.一次函数丫=-3x+6的图象经过点C、D,反比例函数y=K(x

x

>0)的图象经过点8,求人的值.

22.图①、图②、图③均是3X3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段A2

的端点和点P均在格点上.请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹.

(1)在图①中画一条以P为端点的射线PC,使其平分线段A2,点C在线段AB上；

(2)在图②中画一条以P为端点的射线PD,使其分线段A3为1：3两部分，点。在线

段AB上；

(3)在图③中画一条以P为端点的射线PE,使tan/PEB=l,点E在线段A8上.

五、解答题(每小题8分，共16分)

23.如图，48为O。的直径，COJ_A8于点E,交于点。，OPLAC于点RMOF=1.

(1)求的长；

(2)当/。=30°时，求圆中介的长和阴影部分的面积.

24.已知△ABC是等腰三角形，AB^AC,将△ABC绕点8逆时针旋转得到△ABC,点4、

点C的对应点分别是点M、点C，.

感知：如图①，当2C落在边上时，NA'AB与NC'CB之间的数量关系是(不

需要证明)；

探究：如图②，当BC不落在AB边上时，NA'AB与CB是否相等？如果相等,

请证明；如果不相等，请说明理由；

应用：如图③，若NB4C=90°,AA\CC交于点E,则NA'EC=度.

六、解答题(每小题10分，共20分)

25.如图，平面直角坐标系中，抛物线>=。/+区+2与无轴分别交于点A(-1,0)、8(3,

0),与y轴交于点C,连接BC•点P是BC上方抛物线上一点，过点尸作y轴的平行

线，交8C于点N,分别过P、N两点作无轴的平行线，交抛物线的对称轴于点。、M,

设尸点的横坐标为机.

(1)求抛物线所对应的函数关系式.

(2)当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN周长的最大值.

(3)当四边形尸QWN为正方形时，求小的值.

26.如图，在△ABC中，AB=1Q,AC=8,8c=6,点〃是A8中点，连接CO,动点P从

点C出发沿折线CD-DB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点尸作PE

±AC,垂足为点E,以PE,PD为邻边作平行四边形PDFE.设点P的运动时间为f(秒).

(1)CD=；

(2)当点P在8。上时，求PE的长度；(用含，的代数式表示)

(3)当平行四边形POPE与△ACD重合部分图形的面积为S时，求S与t之间的函数关

系式；

(4)当点尸落在△ABC的某个内角平分线上时请直接写出f的值.

参考答案

一、单项选择题（每小题2分，共12分）

1.V3tan60°的值等于（）

A.—B.返C.3D.«

22

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案.

解：V3tan60°=愿义«

=3.

故选：C.

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.

2.下列事件为必然事件的是（）

A.购买二张彩票，一定中奖

B.打开电视，正在播放极限挑战

C.抛掷一枚硬币，正面向上

D.一个盒子中只装有7个红球，从中摸出一个球是红球

【分析】根据必然事件、随机事件，不可能事件的意义结合具体的问题情境进行判断即

可.

解：A.购买二张彩票，不一定中奖，是随机事件，因此选项A不符合题意；

8.打开电视，可能播放极限挑战，也可能播放其它节目，是随机事件，因此选项3不符

合题意；

C.抛掷一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，是随机事件，因此选项C不符合

题意；

D.一个盒子中只装有7个红球，没有其它颜色的球，从中摸出一个球一定是红球，是必

然事件，因此选项。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的意义是正确判断

的前提.

3.如图，△ABC与△■0斯是位似图形，点。为位似中心，已知2。：0E=2：1,贝必ABC

与△£)£/的面积比是()

A.2：B.3：C.4：D.5：

【分析】根据位似图形的概念得到AB//DE,根据相似三角形的性质计

算，得到答案.

解：:△ABC与△/)£1〃位似，

:.△ABCSAFED,AB//ED,

:.△OABs^ODE,

.AB=OB=2

,"DE_OE-，

■也些=(胆)2=4

FDEFDE)

即△ABC与△。跖的面积比是：4：1.

故选：C.

【点评】本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形

的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

4.如图，AB是。。的直径，点C,。为OO上的点.若/。=120。，则NCAB的度数为

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】利用圆内接四边形的性质求出/2=60°,再求出/CA8即可.

解：VZD+ZB=180°,ZD=120°,

.•.ZB=60°,

：A2是直径，

/.ZACB=90°,

/.CAB=90°-ZB=30°,

故选：A.

【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

5.如图，平面直角坐标系中，点8在第一象限，点A在x轴的正半轴上，ZAOB=ZB=

30°,04=2.将△AOB绕点。逆时针旋转90°,点2的对应点3的坐标是（）

A.（-代，3）B.（-3,弧）C.（-«,2+«）D.（-1,2+日）

【分析】如图，过点2'作"反上》轴于解直角三角形求出。H,B'H即可.

解：如图，过点夕作夕轴于H.

小-…山

在RtZvl'B'X中，VA,B'=2,ZB'A'H=60°,

.*.A'H=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=«,

.•.08=2+1=3,

：.B'（-遮，3）,

故选：A.

【点评】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

_.k

6.如图，A是反比例函数y=—的图象上一点，过点A作轴于点8,点。在x轴上,

x

且S^ABC=2,则k的值为（)

y

A.4B.-4C.-2D.2

【分析】先设A点坐标，再根据点A在第二象限，则x<0,y>0,然后由三角形面积公

式求出孙即可.

解：设点A的坐标为（x,y），

•.•点A在第二象限，

.*.x<0,y>0,

**•SAABC—OB=-^\x\•\y\=--^xy=2,

••xy--4,

'-'A是反比例函数y=K的图象上一点，

x

.'.k—xy--4,

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数系k的几何意义，关键是根据三角形的面积求出孙的值.

二、填空题（每小题3分，共24分）

7.点尸（-3,-4）关于原点对称的点的坐标是（3,4）.

【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案.

解：点尸（-3,-4）关于原点对称的点的坐标是（3,4）,

故答案为：（3,4）.

【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们

的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点。的对称点是P'（-无，-y）.

8.如图，己知AC〃£1/〃80.如果AE：£8=2：3,CF=6.那么CD的长等于15.

【分析】根据平行线分线段成比例定理得A到F黑C=F黑=】?，这样可求出FD的长，然后

tbrDo

计算CF+FD即可.

解：\'AC//EF//BD,

.AE=CF=2_

••瓦―而一百，

33

：.FD==CF=W乂6=9,

22

：.CD=CF+FD=6+9=15.

故答案为15.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成

比例.

9.关于x的一元二次方程X2+2X-(m-2)=0有两个相等的实数根，则m的值为1.

【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程无2+2X-(机-2)=0有两个相等的

实数根，则有A=0,得到关于相的方程，解方程即可.

解：••・关于x的一元二次方程N+女-(777-2)=0有两个相等的实数根，

/.A=0,BP22-4X1X[-(/TV-2)]=0,

解得m=l.

故答案为：L

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根的判别式△=按-4ac：当

A>0,方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方

程没有实数根.

10.在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共20个，这些球除颜色外都相同.每次搅

拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发

现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则估计袋子中的红球的个数为12.

【分析】根据口袋中两种颜色的球20个，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应

该相等求出即可.

解：•..通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，

•••从袋子中任意摸出1个球，是白球的概率约为04,

设袋子中的红球有x个，

根据题意，得：券;=04，

解得x=12,

估计袋子中的红球有12个，

故答案为：12.

【点评】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出白球在总数中所

占比例与试验比例应该相等是解决问题的关键.

11.如图，若反比例函数y1上与一次函数yi^ax+b交于A、B两点，当yiV”时，则尤

1x

的取值范围是或无＞2.

【分析】写出反比例函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可.

解：观察图象可知，当时，则x的取值范围是-1＜尤＜0或x＞2.

故答案为：-1＜尤＜0或天＞2.

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解

决问题，属于中考常考题型.

12.如图，小红把梯子斜靠在墙壁上，梯脚2距墙2米，小红上了两节梯子到。点，

此时。点距墙1.8米，8。长0.6米，则梯子的长为6米.

BC

【分析】根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点。三者构成的

直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可.

解：因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，

即则理=黑

BCAB

设梯子长为x米，则王生旦Wg,

x2

解得，x=6.

即梯子的长为6米，

故答案为：6.

【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形,

然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

13.如图，在△ABC中，是边上的高，cosC=/,AB=10,AC=6,则BC的长为

密京—•

【分析】在Rt^ACZ)中，利用cosC=，可求。，利用勾股定理求得AD,在

中，利用勾股定理求得8。，贝U8C=CO+5D,结论可得.

解：是8C边上的高，

/.ZADC=90°.

cosC=-1",

2

,CD1

,.而T

.•.CD=-1-AC=-X6=3.

22

•■-A£>=VAB2-AD2=V62-32=373-

在RtZXAOB中，

BD^AB2-AD2=V100-27=V73-

BC=CZ)+B£>=3+773.

故答案为：3+,773-

【点评】本题主要考查了解直角三角形.选择合适的直角三角形利用边角关系和勾股定

理求出线段的长度是解题的关键.

一12

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-不(x-3)2+机与丁=石(x+2)的一个

/o

交点为A.已知点A的横坐标为1,过点A作无轴的平行线，分别交两条抛物线于点8、

C(点B在点A左侧，点C在点A右侧)，则黑的值为提.

AC~2-

【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线对称轴，利用对称性确定出8与C的横坐

标，进而求出A8与AC的长，代入原式计算即可求出值.

19

解：抛物线y=~—(x-3)2+m与y=—(x+2)2+n的对称轴分别为直线1=3与直线x

=_2,

・・,点A的横坐标为1,

・••点。的横坐标为5,点8横坐标为-5,

：.AC=4,AB=6,

则延=包=3,

AC42

故答案为：!

【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解本题

的关键.

三、解答题(每小题5分，共20分)

15.解方程：N+IOX+16=O.

【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

解：x2+10x+16=0,

(x+2)(x+8)=0,

x+2=0,x+8=0,

xi=-2,X2=-8.

【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题

的关键.

k-4

16.已知反比例函数y的图象位于第一、三象限.

x

(1)求人的取值范围；

(2)当反比例函数过点A(2,4),求左的值.

【分析】(1)反比例函数图象在一、三象限，可得上-4>0,解得即可.

(2)把点A代入y上查得关于左的方程，解方程即可.

X

解：(1)由题意，得％-4>0,

解得％>4；

(2)把点A(2,4)代入y汽鱼得，42sl生，

解得左=12.

【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当％>0时，双曲线的两个分支在一，三象限,

在每一分支上y随x的增大而减小；当％<0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每

一分支上y随x的增大而增大；也考查了反比例函数图象上点的坐标特征.

17.已知在△ABC中，NC=90°,AB=4,AC=E

(1)求BC；

(2)求sinZA.

【分析】(1)根据勾股定理，可以计算出的长；

(2)根据NA=90°,48=4和(1)中求得的BC的长，即可计算出sinA的值.

解：⑴VZC=90°,AB=4,AC=J7，

：.BC=yjAB2-AC2=742-(V7)2=3,

即BC=3；

(2)由(1)知：BC=3,

VZA=90°,A2=4,

AB4

3

即sinA=一

4

【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是求出的值.

18.医院准备从甲、乙、丙三位医生和43两名护士中选取一位医生和一名护士支援某地

的防汛救灾工作.求：恰好选中医生甲和护士A的概率.

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1种,

再由概率公式求解即可.

解：画树状图如图:

开始

医生甲乙丙

八八八

护士ABABAB

共有6种等可能的结果，恰好选中医生甲和护士A的结果有1种,

...恰好选中医生甲和护士A的概率为3.

6

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果”,

再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率.

四、解答题（每小题7分，共28分）

19.如图，在△ABC中，48=10,AC=8,点。，E分别是边48,AC上的点，且A£>=4,

ZBDE+ZC=180°,求AE的长.

【分析】先由NBOE+NC=180°得到/ADE=NC,然后得证进而利

用相似三角形的性质得到AE的长.

解：VZBDE+ZC=180°,ZBDE+ZADE^1SO0,

：.ZC=ZADE,

•；/DAE=/CAB,

：.AADEsAACB,

.AE二AD

'*AB'AC"

VAB=10,AC=8,AD=4,

.AE

.\AE=5.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过已知条件/8OE+/C

=180°得证△ADEs/viCB.

20.钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公

布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分

辨率海岛地形数据.如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点8是岛上最东端“东

钓角”，长约3641米，点。是岛上的小黄鱼岛，且A、B、。三点共线.某日中国海

监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛。，并测得/ACD=70°,

NBCD=45；根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值.（参

考数据：tan70°~2.75,sin70°—0.94,cos70°七0.34,结果精确到1米.）

【分析】设8=尤米，根据正切的定义分别求出A。、BD,再根据A8的长列出方程，

解方程可得答案.

解：设C£>=尤米，

i.n

RtZiACD中，tan/AC£）=黑，

CD

.*.AO=2.75x米，

RtZvBCD中，ZBCD=45°,

：.BD=CD=x^z,

；.2.75x+x=3641,

解得x-971,

答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐

角三角函数的定义是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA8C为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半

轴上，点。为AB的中点.一次函数y=-3x+6的图象经过点C、D,反比例函数y=K(x

x

>0)的图象经过点8,求人的值.

【分析】先求得C的坐标，然后根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征得出

B(2,争，进而表示出。的坐标，代入尸-3无+6即可求得左的值.

解：在y=-3x+6中，令y=0,贝!J-3x+6=0,

解得x=2,

：.C(2,0),

k

：.B(2,年)，

k

•,'A(0,—),

2

:点。为AB的中点，

点。(1,.),

二•点D在直线y=-3x+6上，

吟=-3X1+6,

:・k=6.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，

矩形的性质，表示出。的坐标是解题的关键.

22.图①、图②、图③均是3X3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段48

的端点和点尸均在格点上.请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹.

(1)在图①中画一条以P为端点的射线PC,使其平分线段AB,点C在线段A8上；

(2)在图②中画一条以P为端点的射线PZ),使其分线段AB为1：3两部分，点D在线

段AB上；

(3)在图③中画一条以P为端点的射线PE,使tan/PEB=l,点E在线段A8上.

【分析】（1）取格点T,连接PT交线段于点C,射线尸C即为所求；

（2）取格点。，连接尸。，交线段A2于点。，射线尸。即为所求；

（3）取格点W,R,连接BW,AW,PR,PR交A8于点E,射线PE即为所求.

解：（1）如图①中，射线PC即为所求；

（2）如图②中，射线尸。即为所求；

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

五、解答题（每小题8分，共16分）

23.如图，A8为的直径，于点E,交O。于点。，OFLAC于点E且。尸=1.

（1）求8。的长；

（2）当/。=30°时，求圆中能的长和阴影部分的面积.

【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得BC=20尸=2,再利用垂径定理可得前=就,

推出BZ）=BC,即可解决问题.

（2）连接。C,利用弧长公式求出弧AC,再求出弓形的面积即可.

解:（1）-：OF±AC,

：.AF=FC,*：OA=OB,

:・BC=2OF=2,

,CABLCD,

-'-BC=BD>

：.BD=BC=2.

(2)连接OC.

'：ZCAB=ZD=30°,OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA=30°,

AZAOC=120°,

在RtZXABC中，VZACB=90°,BC=2,ZCAB=30°,

.,.AB=2BC=4,AC=4^PC=20

阴影部分的面积=120•兀"2_2x2j§x1=萼-V3.

【点评】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形30度角性质、

扇形的面积公式、弓形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用

辅助线，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型.

24.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,将△ABC绕点8逆时针旋转得到△ABC,点A、

点C的对应点分别是点M、点C，.

感知:如图①，当落在AB边上时，N4A8与/C'CB之间的数量关系是相等（不

需要证明）；

探究：如图②，当BC不落在AB边上时，NA'AB与NOCB是否相等？如果相等，

请证明；如果不相等，请说明理由；

应用：如图③，若NBAC=90°,CC交于点E,则NA'EC=135度.

【分析】感知：由旋转知，△BCC,54A是顶角相等的等腰三角形，从而得出答案；

探究：由旋转知黑品一，可证明从而结论不变；

BABA

应用：设与AE相交于点。，由CB=C8,得NCCB=/CCB,则/衣4幺=/。。2,

再利用三角形内角和解决问题.

解：感知：•.,将△ABC绕点8逆时针旋转得到△A8C,

，ZA'BC+ZCBA=ZABC+ZCBA,

即NA8A=NCBC,

又；A，B=AB,CB=BC,

.1800-NA'BA180°-ZCyBC

••~——,

22

即/AAB=NCC8,

故答案为：相等；

探究：ZA'AB^ZCCB,证明如下：

:将AABC绕点B逆时针旋转得到△ABC,

:.BC=BC,BA^BA',ZCBC^ZABA',

.BC_BCy

,•笳

/.AABA'^ACBC,

：.ZA,AB^ZCCB；

应用：:C'B=CB,

；./C'CB=/CCB,

：.ZBA'A=ZCC'B,

设UB与AE相交于点O,

ZA'OB=ZCOE,

：.NCEO=NOBA=ZACB,

'：AB=AC,ZBAC=90°,

AZACB=45°=NCEO,

：.ZA'EC=180°-ZC'£O=135°.

【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三

角形的判定与性质等知识，证明△ABA's△CBC是解题的关键.

六、解答题(每小题10分，共20分)

25.如图，平面直角坐标系中，抛物线>=城+/»+2与x轴分别交于点A(-1,0)、2(3,

0),与y轴交于点C,连接8c.点P是8C上方抛物线上一点，过点尸作y轴的平行

线，交BC于点M分别过尸、N两点作无轴的平行线，交抛物线的对称轴于点Q、M,

设尸点的横坐标为根.

(1)求抛物线所对应的函数关系式.

(2)当点P在抛物线对称轴左侧时，求四边形尸周长的最大值.

(3)当四边形尸0MN为正方形时，求机的值.

【分析】(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),然后把C点坐标代入求出a即可得到抛

物线的解析式；

(2)先利用对称轴确定抛物线的对称轴方程，再利用待定系数法求出直线BC的解析式,

接着利用〃2表示出PN和尸。，从而得到四边形PQMN周长与机的二次函数关系，然后

利用二次函数的性质求四边形PQWN周长的最大值；

2

(3)分类讨论：当OVMVI时，利用尸。=PN得到-可M2+2加=1-徵；当1＜相＜3时，

o

9

利用PQ=PN得至!J-多层+2机=机-1,然后分别解一元二次方程得到满足条件的m的值.

O

解：(1)当％=0时，y=ax2+bx+2=2,贝!jC(0,2),

设抛物线解析式为(x+1)(x-3),

9

把C(0,2)代入得a*l9(-3)=2,解得a=-―,

O

所以抛物线的解析式为尸-母(x+l)(X-3),即尸-尹母+2；

(2)•.•抛物线与x轴分别交于点A(-1,0)、8(3,0),

...抛物线的对称轴为直线x=1,

设直线BC的解析式为y=px+q,

把C(0,2),B(3,0)代入得I。“，解得，P-万，

13p+q=0|q=2

所以直线BC的解析式为尸-fx+2,

O

242

设尸(zn,m2+—m+2),则N(zn,--m+2),

ooo

2422

PN=m2+-m+2-(m+2)=-----m2+2m,

3333

而PQ=1-m,

244311

四边形PQMN周长=2(-—m2+2m+l-m)=--m2+2m+2=-—(m--)2+--(0

oo53a

211

当初=3■时，四边形PQMN周长有最大值，最大值为己;；

44

(3)当0＜相＜1时，PQ=1-m,

2

若PQ=PN时，四边形PQMN为正方形，即-与疗+2〃1=1-m,

O

整理得2M2-9m+3=0,解得如=9s而(舍去),m2=2_在乙

44

当1VntV3时，PQ=m-1,

9

若尸。=PN时，四边形尸QMN为正方形，即-个层+2根=m-1,

O

整理得2加2