工程流体力学：第六章 粘性流体绕物体流动

第六章粘性流体绕物体流动§6-1边界层概念§6-2边界层微分方程§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算§6-4边界层的流动分离§6-5绕流物体的阻力§6-6低雷诺数流动第六章粘性流体绕物体流动

重点：边界层、边界层厚度、特征，边界层结构，离前缘距离的雷诺数、边界层动量损失厚度、边界层排挤厚度，平板层流边界层的近似计算，边界层分离、边界层分离的原因、逆压梯度、边界层分离点、卡门涡街、摩擦阻力、压差阻力、减阻方法、低雷诺数流动

难点：边界层厚度、平板层流边界层的近似计算、边界层分离

在自然界和工程实际中，存在着大量的流体绕物体的流动问题。如河流流过桥墩、煤粉颗粒在空气中的扩散等等。第六章粘性流体绕物体流动

空气和水是我们最常接触到的两种流体，它们的粘性系数都比较小，如20℃时，空气：,水：,

如果取特征长度和速度分别为1cm与1cm/s,对空气和水的Re数分别为6.67与100，试验时即使去模型的特征长度和速度仅为10cm与100cm/s，而空气和水的Re数分别达到6.67×103与105，已相当大了。对于船舶工程问题，Re数量级很大，在106～109的范围。空气运动粘度设汽车水运动粘度设船：第六章粘性流体绕物体流动

对于低Re数问题，如大气中的烟尘的沉降、云雾的水滴、胶体溶液中的胶体大分子、河流中的泥沙、水洗选矿中的矿尘粉末、原生物的泳动、血液中红细胞的运动等等，将N-S方程简化求解。一个直径为10μm的毛细血管，当血流速度为1mm/s时，Re数约为10-3量级。本章简单介绍了处理大Re数流动的边界层理论，主要以流体流过平板为例，介绍物体粘性阻力的问题。最后一节介绍低雷诺数的流动问题。

第六章粘性流体绕物体流动

在实际流体绕流固体时，固体边界上的流速为0（固体静止），在固体边界的外法线方向上的流体速度从0迅速增大，在边界附近的流区存在相当大的速度梯度，在这个流区内粘性作用不能忽略，边界附近的流区称为边界层（或附面层），边界层外流区，粘性作用可以忽略，当作理想流体来处理。（举例：平板）§6-1

边界层概念一、边界层的定义

边界层定义：绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流动具有很大法向速度梯度的流动区域。第六章粘性流体绕物体流动§6-1边界层概念二、边界层的厚度

边界层的外边界：实用上，将流速达到外流速度的99%的点连接起来组成边界层的外边界。

边界层的厚度δ：离开壁面（内边界）到外边界的距离，称之为边界层的厚度δ（名义厚度）。注意：边界层的外边界线与流线不重合，外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘进入边界层内。第六章粘性流体绕物体流动§6-1边界层概念当当

边界层具有如下基本特征：

1.边界层很薄，即边界层厚度δ相对于物体的尺度L是一小量，远小于L。

2.在边界层内，由于流速的急剧变化，粘性切应力τ不能忽略；而边界层外的流动可当作理想流体处理。

3.边界层的厚度δ，流速越大，厚度越薄；在物体前缘为0，愈往下愈厚。

4.边界层中各截面上的压力等于同一截面上外边界上的压力。第六章粘性流体绕物体流动§6-1边界层概念三、边界层的构成

在平板前部是层流边界层，往后一定距离，将会由过度区转变为湍流边界层，在湍流边界层的底部，仍然存在层流底层。第六章粘性流体绕物体流动§6-1边界层概念

实验测量表明：平板边界层层流态向湍流态转捩的雷诺数为:四、边界层的流态

判别边界层内流动状态转变的准则为：离前缘距离的Re数：

，x为离前缘的距离。据此确定转变点的位置。

从而可以确定层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标：当平板边界层为层流边界层；当平板边界层为湍流边界层；当平板边界层为混合边界层；设板长为L，第六章粘性流体绕物体流动§6-1边界层概念§6-2

边界层微分方程假定流体流过物面的流动为不可压缩平面定常流动，物体曲面可近似看成平面，忽略质量力。在大Re数情况下的边界层流动有下面两个主要性质：

1.

边界层厚度较物体特征长度小得多，即

2.

边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级。3.边界层内速度v与u相比较是一阶小量第六章粘性流体绕物体流动§6-2边界层微分方程

依此应用数量级比较方法，忽略一些高阶小量，对N-S方程、连续性方程进行简化。得到p238的(6-5)、(6-5)式的Prandtl边界层方程。

平板层流边界层伯拉休斯精确解，得到平板边界层厚度和平板摩擦阻力系数：第六章粘性流体绕物体流动§6-2边界层微分方程§6-3

平板边界层动量积分方程及近似计算

二维定常沿平板流动，边界层积分方程或卡门动量积分方程为：

对于平板边界层，外流速度U=const，其动量积分方程为：——壁面切应力一、平板边界层动量积分方程第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算其中：——排挤厚度；——动量损失厚度。

排挤厚度代表理想流体的流向在边界层外部边界上由于粘性的作用向外偏移的距离。动量损失厚度：由于粘性边界层内流体的动量比相等厚度理想流体的动量会产生一个动量损失。该损失动量用厚度为的流体动量来代替，称其为~。边界层的名义厚度、排挤厚度、动量损失厚度具有相同的量级。层流边界层：湍流边界层：还有：第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算二、平板层流边界层的近似计算当平板边界层为层流边界层。应用动量积分方程求解平板绕流：其中、、3个未知量，补充2个方程，一是边界层内流速分布的关系式，二是切应力与边界层厚度的关系式。后者根据流速分布的关系式求解得到。

应用平板边界层动量积分方程，推导平板切应力分布，沿面积积分得到平板所受的摩擦阻力，进一步给出摩擦阻力系数

的表达式。第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算假设平板层流边界层内速度分布为：可见，速度分布满足条件：动量损失厚度：

牛顿内摩擦定律（层流）：上式中平板壁面切应力是边界层厚度的函数，所以必须首先求出。排挤厚度：第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算下面计算边界层的厚度δ：将和代入有：积分，最终得到：所以，可见，

随ｘ增加而减小，。因ｘ增加时

增加，使壁面速度梯度减小，所以减小。

第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算下面计算边界层的摩擦阻力及摩擦阻力系数。假设板长为L，板宽为b，计算平板的单面摩擦力：摩擦阻力系数为:式中:

问题：摩擦阻力系数随着Re数的增加而减小，摩擦阻力随来流速度U的增加如何变化？——平板末端的雷诺数。

第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算三、平板湍流边界层的近似计算当时，平板边界层为湍流边界层。应用动量积分方程求解平板绕流：其中、、3个未知量，补充2个方程，一是边界层内流速分布的关系式，二是切应力与边界层厚度的关系式。

应用平板边界层动量积分方程，推导平板切应力分布，沿面积积分得到平板所受的摩擦阻力，进一步给出摩擦阻力系数

的表达式。第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算采用指数分布函数来表示平板湍流边界层内的速度分布，即：（边界层实验结果）以为例，解得：壁面摩擦切应力：（边界层实验结果）边界层厚度：壁面摩擦切应力：第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算平板的摩擦阻力系数为：将0.072修正为0.074，则计算结果将与实测数据符合得更好：适用范围：。第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算例1一平板宽为2m，长5m，在空气中运动的速度为2.42m/s。试分别求沿宽度方向及沿长度方向运动时的摩擦阻力。解:先判别边界层的流动状态

可见，沿宽度方向流动时为层流边界层，沿长度方向流动时为混合边界层。沿宽度方向流动时的摩擦阻力：沿长度方向流动时的摩擦阻力：第六章粘性流体绕物体流动§6-3平板边界层动量积分方程及近似计算§6-4

边界层的流动分离

流体绕过非线型钝头物体时，较早脱离物体表面，在物体后部形成较宽阔的尾流区。如：房屋

在边界层内，流体质点在某些情况下向边界层外流动的现象称为边界层从固体分离。再如：桥墩分离的原因——粘性分离的条件——逆压梯度第六章粘性流体绕物体流动§6-4边界层的流动分离一、顺压梯度和逆压梯度

以流动绕过曲壁面为例。顺压梯度区：BC

流体加速，由伯努利方程知，压强减小，因此：逆压梯度区：CE减速，压强增加。所以第六章粘性流体绕物体流动§6-4边界层的流动分离二、流动分离顺压梯度区——BC流动不会分离

由于压能减小部分还能够补偿动能增加和由于克服流动阻力而消耗的能量损失，因此此时边界层内流体质点速度不会为0，流动不会分离。第六章粘性流体绕物体流动§6-4边界层的流动分离

过C点之后，流线逐渐疏散，边界层内流体处于减速增压的情况，动能转化成压能，同时也用以克服流动阻力而消耗的能量。在S点处边界层内流体质点速度下降为0。流体质点在S点停滞下来，继续流来的流体质点将脱离原来的流线，沿另一流线SS’流去，从而使边界层脱离了曲面，这样就形成了边界层的分离现象，S点为分离点。SE段流体倒流，形成旋涡。逆压梯度区——CE流动会发生分离第六章粘性流体绕物体流动§6-4边界层的流动分离

分离点的位置与绕流物的形状、粗糙程度、流动的Re数和来流与物体的相对方向有关。在分离点处：（确定分离点的位置）分离实例：第六章粘性流体绕物体流动§6-4边界层的流动分离三、卡门涡街

在圆柱绕流中，涡旋从圆柱上交替脱落，在下游形成有一定规则，交叉排列的涡列。Re<5,不分离5<Re<40,一对对称漩涡40<Re<300,开始卡门涡街

涡周期性脱落，使圆柱体受到周期性变化的侧像力，使物体产生周期性的振动，破坏物体结构。（避免与应用）300<Re<3×105,湍流涡街3×105<Re<3.5×106,涡街消失第六章粘性流体绕物体流动§6-4边界层的流动分离第六章粘性流体绕物体流动§6-4边界层的流动分离§6-5

绕流物体的阻力

绕流物体的粘性阻力分成摩擦阻力和形状阻力两种：前者用边界层理论求解，后者一般依靠实验。一、摩擦阻力

是由于流体的粘性引起的，当流体绕流物体时，在表面上形成了边界层，边界层内速度梯度大，粘性的牵制作用使物体受到阻力。阻力发生在运动物体表面上。第六章粘性流体绕物体流动§6-5绕流物体的阻力摩擦阻力特点：阻力系数强烈地依赖于雷诺数；2)对相同雷诺数，层流态的阻力明显低于湍流态；4)摩擦阻力与壁面面积成正比。3)对湍流边界层，光滑壁面的阻力最小，粗糙度增加使阻力系数增大；二、压差阻力（形状阻力）物体形状→后部逆压梯度→压强分布→压强合力第六章粘性流体绕物体流动§6-5绕流物体的阻力三、阻力曲线阻力危机光滑圆球阻力曲线CD~Re

Re增大导致湍流边界层的转捩点移到分离点之前。因湍流边界层中流体动能较大，使分离点后移，尾涡区变窄，从而使阻力系数显著降低。阻力危机：阻力系数突然急剧下降。（危害、利用）阻力系数：第六章粘性流体绕物体流动§6-5绕流物体的阻力第六章粘性流体绕物体流动§6-5绕流物体的阻力

压差阻力和摩擦阻力两部分的和称为总阻力。其大小依赖于物体形状，如对于流线型物体，边界层分离点接近尾端，基本上只有摩擦阻力。压差阻力的差别很大，取决于边界层的分离。物体后部曲率越大，分离越早，分离趋于越大，尾流越粗，压差阻力越大；反之，越小。从减小阻力角度看，采用圆头尖尾的物体很有用。对摩擦阻力而言，层流边界层小于紊流边界层，防止边界层转变为紊流，达到减阻目的，同时物面光滑或润湿面小，有利于减小摩擦阻力。四、减小粘性阻力的方法第六章粘性流体绕物体流动§6-5绕流物体的阻力通常减小阻力的措施有：①采用流线型外形②控制边界层（避免尖点、加导流片、激流丝、抽吸、吹喷、降低边界层速度梯度）③采用小的物面粗糙度（高尔夫球，鲨鱼皮泳衣：粗糙的表面虽然会导致磨擦阻力的轻微增加，但是比起形狀阻力的大量降低，粗糙的表面仍是值得的；物面开槽；沙漠表面)第六章粘性流体绕物体流动§6-5绕流物体的阻力第六章粘性流体绕物体流动§6-5绕流物体的阻力§6-6

低雷诺数流动一、低雷诺数流动方程

雷诺数是粘性流动的相似准则，其物理意义表示惯性力与粘性力的比值。在雷诺数远小于1的情况，其粘性力比惯性力大得多。作为零级近似处理，忽略惯性项的作用，则有简化的流动方程。如对忽略重力作用得N-S方程便可简化为：亦称斯托克斯方程第六章粘性流体绕物体流动§6-6低雷诺数流动

低雷诺数流动也称蠕流。它在科技领域应用也很广泛，如机械工程中气固粉末运输、缝隙中的流动、空气除尘净化、液体沸腾换热、微生物游动、雾化油滴的运动，血球在血管中运动等等，由于运动微粒尺寸以及流体与微粒的相对运动速度都很小，所以都属于低雷诺数流动。二、绕小球的流动

模型：小球半径为r0，均匀来流速度为U，如果雷诺数满足：则这种低雷诺数流动可用上述方程求解。第六章粘性流体绕物体流动§6-6低雷诺数流动

由于流动的轴对称性，取图示球坐标系，所有流动参数与无关，相应边界条件为：联立不可压缩流体的连续性方程和上述的斯托克斯方程，解得：第六章粘性流体绕物体流动§6-6低雷诺数流动三、圆球的沉降问题

根据圆球表面压力分布p，可求出流体作用在圆球上的阻力D：则无因次阻力系数：

当Re<1时，根据上式计算的阻力系数与实验结果很符合。

现在研究一个圆球在静止流体中的运动情况。圆球直径为d，从静止开始在静止流体中自由下落，由于重力的作用下降速度逐渐增大，同时速度增大导致圆球所受到的流体阻力逐渐增大。第六章粘性流体绕物体流动§6-6低雷诺数流动

当圆球的重量W与作用在圆球上的浮力F、流体阻力D达到平衡时，即：则圆球