2017学年广州市调研考试题及参考答案(理科数学)

届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学2016.12本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合，，则(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)（2）设，其中是实数，则（A）1（B）（C）（D）（3）等比数列的前项和为，若，则公比(A)(B)(C)QUOTE34a2(D)（4）已知双曲线（）的渐近线方程为,则双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)（5）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（A） （B） （C） （D）（6）GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目,分A,B,C三期播出,A期播出两间学校,B期，C期各播出1间学校,现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务,不同的选法共有（A）140种（B）420种（C）840种（D）1680种（7）已知函数，则函数的图象是(A)(B)(C)(D) （8）设，，，则的大小关系为(A)(B)(C)(D)（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A)7(B)9(C)10(D)11（10）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)（11）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是(A)(B)(C)(D)(12)若函数在上单调递增，则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共4题，每小题5分。（13）已知菱形的边长为，,则________．（14）按照国家规定,某种大米质量(单位:kg)必须服从正态分布,根据检测结果可知,某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利,若该公司有名职工,则分发到的大米质量在kg以下的职工数大约为.（15）已知满足约束条件若的最大值为4，则.（16）在数列中,,,对所有正整数均有，则.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知△的内角,,的对边分别为，，，若，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求.（18）（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为…，其中为标准，为标准.已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件;乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲,乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：且的数学期望,求的值;（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅰ）,（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注:①产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.(19)（本小题满分12分）如图,平面，平面,△是等边三角形，,是的中点.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.(20)（本小题满分12分）已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点,求△面积的最大值．(21)（本小题满分12分）设函数.若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为为参数,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;（II）设直线与曲线C相交于两点,当变化时,求的最小值.(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集是.（Ⅰ）求的值；（II）若存在实数解，求实数的取值范围.2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题（1）B（2）D（3）A（4）B（5）A（6）C（7）D（8）C（9）B（10）B（11）D（12）A二、填空题（13）（14）（15）（16）三、解答题（17）解：（Ⅰ）因为，，由余弦定理得,即.……2分所以.…………4分由于,所以.…………6分（Ⅱ）法1:由及,得,……7分即,………………8分解得或(舍去).…………9分由正弦定理得,…………10分得.………12分法2:由及正弦定理得,…………7分得.…………8分由于,则,则.…………9分由于,则.………10分所以………11分.……………12分(18)解:（Ⅰ）,即,……1分又由的概率分布列得,=2\*GB3②……2分由得…………4分（Ⅱ）由已知得，样本的频率分布表如下：………………5分用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：………………6分所以.……………7分即乙厂产品的等级系数的数学期望为.……………8分（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于,价格为元/件，所以其性价比为，………………9分因为乙厂产品的等级系数的期望等于,价格为元/件，所以其性价比为，……………10分据此，乙厂的产品更具可购买性.……………12分(19)解:（Ⅰ）因为△是等边三角形，是的中点,所以.…………………1分因为平面,平面,所以.…………………2分因为,所以平面.……3分因为平面,所以.……………4分（Ⅱ）法1:以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.因为平面,所以为直线与平面所成角.……5分由题意得,即,…………………6分从而.不妨设,又,则,.…………7分故,,,.……………8分于是,,,,设平面与平面的法向量分别为,由得令,得,所以.…………………9分由得令,得,.所以.…………………10分所以.…………………11分所以二面角的余弦值为.…………………12分法2:因为平面,所以为直线与平面所成角.…………………5分由题意得,即,…………………6分从而.不妨设,又,则,,.…………………7分由于平面,平面,则∥.取的中点,连接,则.在Rt△中,,在Rt△中,,在Rt△中,,取的中点,连接,,,则.…………………8分所以为二面角的平面角.…………………9分在Rt△中,,在Rt△中,,在Rt△中,,因为,…………………10分所以.…………………11分所以二面角的余弦值为.…………………12分(20)解：（Ⅰ）设圆的半径为,圆心的坐标为，由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切.…………………1分所以…………………2分则.…………………3分所以圆心的轨迹是以点为焦点的椭圆,且,则.所以曲线的方程为.…………………4分（Ⅱ）设，直线的方程为，由可得，则.…………………5分所以…………………6分…………………7分因为，所以△的面积等于△的面积.…8分点到直线的距离.……………9分所以△的面积.…………………10分令，则，.设，则.因为,所以所以在上单调递增.所以当时,取得最小值,其值为.…………………11分所以△的面积的最大值为.…………………12分说明:△的面积.(21)解:（Ⅰ）函数的定义域为..………………1分依题意得，即……3分所以.………………4分所以，.当时,;当时,.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.………………6分（Ⅱ）当时，.等价于，也等价于.………7分不妨设，设（）,则.…………8分当时，，所以函数在上为增函数，即，……9分故当时，（当且仅当时取等号）.令，则，…………10分