2024年中考数学模拟试题二次函数

2024年中考数学模拟试题二次函数一.选择题1.（2024河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，则下列判断中正确的是（）A．此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2B．当x＞0时，y随着x的增大而增大C．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于5，这样的点共有三个D．此抛物线与直线y=﹣只有一个交点【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先确定A、B点的坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式，于是可对A选项进行判断；根据二次函数的性质对B选项进行判断；设M（t，t2﹣t﹣2），根据三角形面积公式得到×3×|t2﹣t﹣2|=5，再把方程化为t2﹣t﹣2=或t2﹣t﹣2=﹣，然后通过解两个方程确定t的值，从而可对C选项进行判断；通过解方程x2﹣x﹣2=﹣可对D选项进行判断．【解答】解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，∴OA=1，OB=2，∴A（﹣1.0），B（2，0），∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2，所以A选项错误；∵抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随着x的增大而增大，所以B选项错误；设M（t，t2﹣t﹣2），当△MAB的面积等于5，则×3×|t2﹣t﹣2|=5，∴t2﹣t﹣2=或t2﹣t﹣2=﹣，∵方程t2﹣t﹣2=有两个不等实数解，而方程或t2﹣t﹣2=﹣没有实数解，∴满足条件的M点有2个，所以C选项错误；当y=﹣时，x2﹣x﹣2=﹣，解得x1=x2=∴抛物线与直线y=﹣只有一个交点，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式和根与系数的关系．对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2.（2024河大附中·一模）如图．等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为()第2题答案：A3.．（2024黑龙江大庆·一模）已知二次函数与x轴交于A、B两点，则线段AB的最小值为()A． B．2 C． D．无法确定答案：C第4题4.（2024黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，对于二次函数(a≠0)的图象，得出了第4题下面五条信息：①c＞0；②b=6a；③＞0；④a+b+c＜0；⑤对于图象上的两点(-6,m)、(1,n)，有m＜n.其中正确信息的个数有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个答案：C5.（2024湖北襄阳·一模）函数与（）的图像可能是：（）答案：C第5题6.．(2024上海普陀区·一模)如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的图象．【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点情况分析判断即可得解．【解答】解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，D选项符合．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．7．(2024山东枣庄·模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键8．(2024上海浦东·模拟)下列函数的图像在每一个象限内，随着的增大而增大的是（A）（A）； （B）；（C）； （D）第9题图9.(2024陕西师大附中·模拟)已知二次函数的图象如图所示，顶点为（－1，0），下列结论：第9题图①；②；③；④.其中正确结论的个数是（）1B.2C.3D.410.（2024江苏常熟·一模）抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据判别式的值得到△=﹣3＜0，根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，所以抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．【解答】解：∵△=12﹣4×（﹣1）×（﹣1）=﹣3＜0，∴抛物线与x轴没有交点，而抛物线y=﹣x2+x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），∴抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.（2024江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下说法不正确的是（）A．根据图象可得该函数y有最小值B．当x=﹣2时，函数y的值小于0C．根据图象可得a＞0，b＜0D．当x＜﹣1时，函数值y随着x的增大而减小答案：C12.（2024辽宁丹东七中·一模）二次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.2a+b＜0B.a+b+c＜0C.若-1＜m＜n＜1,则m+n＜-D.3+＞2答案：C13．（2024辽宁丹东七中·一模）函数y=ax2－2与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）答案：D14.（2024广东·一模）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（）A.①B.②C.③D.④答案：C15.（2024广东深圳·一模）已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】首先根据二次函数图象得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．【解答】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据﹣c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y=ax+c的大致图象经过一、二、三象限，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的值是解题关键．16.（2024广东深圳·联考）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是A．抛物线开口方向向下B．当x=3时，函数有最大值-2C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由经过平移得到答案：D4.（2024广东深圳·联考）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1，3，则下列结论正确的个数有①ac＜0②2a+b=0③4a+2b+c＞0④对于任意x均有ax2+bx≥a+bA．1 B．2C．3 D．4答案：C二.填空题1.（2024河大附中·一模）如图，一段抛物线：y=x(x-2)(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A，；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C2016．若P(4031，a)在第2016段抛物线C2016上，则a=.第1题答案：12.（2024湖北襄阳·一模）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为+3，由此可知铅球推出的距离为.答案：103.(2024陕西师大附中·模拟)请给出一元二次方程＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根.【答案】任何一个小于16的数4．(2024山东枣庄·模拟)二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1=3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】先把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得a+b的值，然后利用整体代入的方法计算a+b+1的值．【解答】解：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1得a+b﹣1=1，所以a+b=2，所以a+b+1=2+1=3．故答案为3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决此题的关键是把抛物线上点的坐标代入抛物线解析式得到a、b的等量关系．5．(2024上海普陀区·一模)在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是④．（填写序号）【考点】二次函数的定义．【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．【解答】解：①a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，②y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数；③y=5x2﹣不是整式，不是二次函数；④y=﹣x2+2是二次函数，故答案为：④．【点评】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零．6．(2024上海普陀区·一模)二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．（填：“高”或“低”）【考点】二次函数的最值．【分析】直接利用二次函数的性质结合其开口方向得出答案．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3，a=1＞0，∴二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．故答案为：低．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，得出二次函数的开口方向是解题关键．7．(2024上海浦东·模拟)已知函数，那么38．(2024上海普陀区·一模)如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于1．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），可知，从而可以得到m、n的值，进而可以得到m+n的值．【解答】解：∵抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），∴，解得m=﹣4，n=5，∴m+n=﹣4+5=1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的顶点坐标公式9.（2024吉林东北师范大学附属中学·一模）如．若是以为底边的等腰三角形，则的面积是．答案：10.（2024江苏常熟·一模）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．【考点】二次函数的应用．【分析】以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）设抛物线的解析式为y=ax2+k，抛物线过点M和点B，则k=5，a=﹣．∴抛物线解析式为：y=﹣x2+5；∴当x=1时，y=；当x=时，y=．∴P（1，），Q（，）在抛物线上；设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得，≤m≤，解得：7≤m≤12；∵m为整数，∴m的最小整数值为：8，∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．故答案为：8．【点评】研究抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．11.（2024江苏丹阳市丹北片·一模）抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线答案：；12.（2024江苏丹阳市丹北片·一模）如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为．答案：,（0，-1）13.（2024江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．答案：（2，﹣7）14.（2024江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）若函数y=mx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则m=．答案：0或115.（2024上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）二次函数的对称轴是直线x=▲．16,（2016·河南三门峡·一模）二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线__________．答案：17．（2024河南三门峡·二模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为__________（面积单位）．答案：918.（2024河南洛阳·一模）对于二次函数y=-x2+2x.有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1;②设y1=-x12+2x1，y2=-x22+2x2，则当x2>x1时，有y2>y1;③它的图象与x轴的两个交点是(0.0)和(2，0);④当0<x<2时，y>0．其中正确的结论的个数为个．答案：319．（2024吉林长春朝阳区·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：令x=0，则y=x2﹣2x﹣1=﹣1，∴A（0，﹣1），把y=﹣1代入y=x2﹣2x﹣1得﹣1=x2﹣2x﹣1，解得x1=0，x2=2，∴B（2，﹣1），∴AB=2，∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，∴△PAB边AB上的高为2，∴S=×2×2=2．故答案为2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键．20．（2024湖南省岳阳市十二校联考·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y1），B（﹣100，y2）在该抛物线上，则y1＞y2．其中正确的结论有①②④⑤．（写出所有正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确），∵|100+1|＞|﹣100+1|，且开口向上，∴y1＞y2．（故⑤正确）．故答案为：①②④⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21.三.解答题1.（2024河北石家庄·一模）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1，∴A（0，1），当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，∴B（3，2.5），设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+1；（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，解得t1=1，t2=2，∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．2．（2024河大附中·一模）（本题满分11分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+l+交与A,B两点，其中A在y轴上，点B的横坐标为4，P为抛物线上一动点。过点.P作PC垂直于AB，垂足为C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB上方的抛物线上，设P的横坐标为m，用m的代数式表示线段PC的长，并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；(3)若点P是抛物线上任意一点，且满足0°<∠PAB≤45°．请直接写出①点P的横坐标的取值范围；②纵坐标为整数的点P为“巧点”，“巧点”的个数.答案：第2题3.（2024黑龙江大庆·一模）（本题7分）东风商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3000件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2000件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？答案：解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，3000），（6，2000）代入得：，解得：k=-1000，b=8000，∴y与x之间的关系式为：y=﹣1000x+8000； 3分（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣1000x+8000）=﹣1000（x﹣4）（x﹣8）=﹣1000（x﹣6）2+4000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为4000元． 6分答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为4000元． 7分4.（2024黑龙江大庆·一模）（本题9分）在平面直角坐标系中，有三点A（-1，0），B（0，错误！未找到引用源。），C（3，0）．（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；（2）如图1，在线段AC上有一动点P，过P点作直线PD∥AB交BC于点D，求出△PBD面积的最大值；（3）如图2，在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点Q，使△QBD的面积与△PBD面积相等，如存在，直接写出Q点坐标，如不存在，请说明理由．第4题图1图2答案：解:（1）∵所求的函数解析式过A（-1，0），B（0，），C（3，0），∴设所求的函数解析式为：，当，时，，解得：，∴所求的函数解析式为:或． 2分（2）∵A（-1，0），B（0，），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OB⊥AC，∴在Rt△AOB和Rt△BOC中，tan∠BAO=，tan∠BCO=，∴∠BAO=60°，∠BCO=30°则∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC=2OB=；又∵AB⊥BC，PD//AB，∴PD⊥AC，∵P在线段AC上，设P（m，0），∴PC==3-m∵∠BCO=30°，PD⊥AC，∴PD=PC=；DC===，BD=BC-DC==，∴=，∴△PBD面积的最大值是； 5分（3）（，），（，），（1，），（2，）． 9分图1图25.（2024黑龙江齐齐哈尔·一模）（本题8分）如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.求抛物线解析式；求抛物线顶点D的坐标；DE若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时DP的长.DE第5题答案：解：（1）y=-x2+2x+3；（2）D（1，4）；-（3）1或7.6.（2024湖北襄阳·一模）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；第6题答案：解：（1）由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），则解得∴二次函数的关系解析式．（2）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．…4分设点P坐标为（m，n），则．PM=，，AO=3．（5分）当时，＝２．∴OC=2．＝＝＝．8分∵＝－１＜0，∴当时，函数有最大值．此时＝．∴存在点，使△ACP的面积最大．（3）存在点Q，坐标为：，．分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出．7.．(2024山东枣庄·模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．(2024上海普陀区·一模)将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用二次函数平移的性质得出平移后解析式，进而利用x=0时求出新抛物线与y轴交点的坐标．【解答】解：由题意可得：y=（x+m）2+2，代入（﹣1，4），解得：m1=3，m2=﹣1（舍去），故新抛物线的解析式为：y=（x+3）2+2，当x=0时，y=，即与y轴交点坐标为：（0，）．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确利用二次函数平移的性质得出解析式是解题关键．8．(2024上海普陀区·一模)已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．综上所述，该二次函数解析式为y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），又由点A的坐标为（0，8），所以直线AC的解析式为：y=﹣x+8，令y=0，则0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y轴于点H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴点P的坐标是（0，20）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．9.(2024陕西师大附中·模拟)(10分)如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.24.(满分10分)解：⑴AD：y＝x+1；⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM故设则FM=则C=故最大周长为⑶①若AP为对角线如图，由△PMS∽△MAR可得由点的平移可知故Q点关于直线AM的对称点T为②若AQ为对角线如图，同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为10．(2024上海闵行区·二模)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出a、c，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标；（2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然；（3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作PH⊥DM于H，表示出PH的长度，在直角三角形PAE中用勾股定理列出方程，解之即得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）如图1，∵点C关于直线l的对称点为N，∴N（2，3），∵直线y=kx+b经过C、M两点，∴，∴，∴y=x+3，∵y=x+3与x轴交于点D，∴D（﹣3，0），∴AD=2=CN又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四边形；（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，则MP=4﹣a，又∠HMP=45°，∴HP=AP=，Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：，解得：，∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．第24第24题图11．(2024上海浦东·模拟)如图，二次函数的图像与轴交于点A，且过点．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点关于二次函数对称轴的对称点为点，试求的正切值；（3）若在轴上有一点，使得点关于直线的对称点在轴上，试求点的坐标．解：(1)将点代入解析式，可得：，解之得所以二次函数解析式为．点A的坐标为（0，2）．（2）由题意，，，，．过点作于点．∴，，∴．(3)由题意，，从而点的坐标为或．①若点，设，由，有，解得:，即②若点，设，由，有，解得:，即综合知，点的坐标为或．12.（2024河南三门峡·二模）（11分）如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，-4）．（1）求实数a的值；（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）∵抛物线过点N（6，一4），∴解得：，（2）∵∴令y=0，得x1=﹣2，x2=4；令x=0，得y=2∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2）∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，∴在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，连接AC，则AC与抛物线的对称轴x=1的交点H即为所求如下图所示：设过点A（4，0），C（0，2）的直线解析式为：则解得，b=2∴令x=1代入，得∴AC与抛物线对称轴的交点H的坐标为（1，）即点H的坐标为（1，）时，使得BH+CH最小；（3）①作BF∥AC交抛物线于点F，如图：则∠FBA=∠BAC，由令x=0，则y=2，∴C（0，2），又∵A（，0），∴AC的解析式为设BF的解析式为，∵BF过点B（﹣2，0），∴∴BF的解析式为：∴解得：∴∵△BFA∽△ABC，∴AB2=BF•AC，∴化简整理得：16=0，不存在这种情形，即这种情况不存满足要求的F点；②∵B（﹣2，0），C（2，0），∴BC的解析式为，∠ABC=45°，在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，如图：∴BF⊥BC，∴BF的解析式为∴解得：F（2a，﹣2a﹣2），∴∵△BFA∽△BAC，∴AB2=BF•BC，∴整理得：解得或（舍去），综上所述，时，以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似．13.（2024河南三门峡·一模）（11分）如图，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：，即：；∴抛物线的解析式为：（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：又∵OC⊥AB∴△OAC∽△OCB∴∠OCA=∠OBC∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（1.5，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：，即：，且△=0；∴，即∴直线l：由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：解得：即M（2，﹣3）．14.（2024吉林东北师范大学附属中学·一模）（10分）如图，在中，，，于点．动点从点出发，沿以的速度向终点运动，点不与重合．过点作交折线于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点运动的时间为．（1）当点在边上时，求的值．（2）用含的代数式表示的长．（3）求与之间的函数关系式．（第23题）

答案：解：（1）如图①，，．（2分）（第23题）图①图图①图②图③图④（2）①当时，．（3分）②当时，．（4分）（3）①如图②，当时，．（6分）②如图③，当时，．（8分）③如图④，当时，．（10分）15.（2024吉林东北师范大学附属中学·一模）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与直线交于、两点，点、的坐标分别为、．点在抛物线上，且不与点、重合，过点作轴的平行线交射线于点，以为边作矩形，与点始终在同侧，且．设点的横坐标为（），矩形的周长为．（1）用含的代数式表示点的坐标．（2）求与之间的函数关系式．（3）当矩形是正方形时，求的值．（4）直接写出矩形的边与抛物线有两个交点时的取值范围．答案：解：（1）∵点在抛物线上，∴．（2分）（2）∵轴，∴．当时，如图①，．．当时，如图②，．．图图①图②图③图④（3）∵矩形是正方形，∴．当时，如图③，．解得．（7分）当时，如图④，．解得（舍去），．（9分）（4）或或．（12分）如图⑤、⑥、⑦．图图⑤图⑥图⑦16.（2024江苏常熟·一模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得利润ω（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）利用已知结合销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具，表示出涨价后的销量即可，进而得出w与x的函数关系；（2）利用（1）中所求，得出关于x的等式方程求出即可；（3）利用“玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务”进而得出不等式组求出x的取值范围，再利用二次函数性质求出最值即可即可．【解答】解：（1）由题意可得：y=600﹣×20=1000﹣10x，w=y（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000，销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得出：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解得：x1=50，x2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．（3）根据题意得：解得：44≤x≤60，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，∴当44≤x≤60时，w随x增大而增大．∴当x=60时，w最大值=12000（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为12000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及不等式组的应用，根据题意得出x的取值范围是解题关键．17.（2024江苏常熟·一模）如图，一次函数y=kx的图象与二次函数y=﹣x2+bx图象的交点M的坐标是（﹣4，﹣4）．（1）求k、b的值；（2）将直线y=kx沿y轴平移，分别交x轴、y轴于A、B两点问：二次函数y=﹣x2+bx图象上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，若存在求点P的坐标，若不存在说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点M的坐标（﹣4，﹣4）分别代入一次函数与二次函数的解析式即可求出k和b的值；（2）存在点P，使得以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，设y=x+a，易证∠BAO=45°，所以可得△AOB为等腰直角三角形，若以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，则△PAB也为等腰直角三角形，由此可分四种情况分别讨论求出符合题意点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx的图象与二次函数y=﹣x2+bx图象的交点M的坐标是（﹣4，﹣4），∴﹣4k=﹣4，﹣4=﹣16﹣4b，∴k=1，b=﹣3；（2）存在点P，使得以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，理由如下：设y=x+a，则∠BAO=45°，所以可得△AOB为等腰直角三角形，若以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，则△PAB也为等腰直角三角形，①如图①当∠BPA=90°时，则有OB=OA=PB=PA=a，所以点P（﹣a，a）代入y=﹣x2﹣3x得﹣a=a2﹣3a，解得：a=2，∴点P的坐标（﹣2，2）；②如图②当∠BPA=90°时，则有AP=AB，PB=2OB，所以点P（﹣2a，a）代入y=﹣x2﹣3x得a=4a2+6a，解得：a=，∴点P的坐标（﹣，）；③如图③当∠BPA=90°时，且B在x轴上方时，则有AP=AB，PB=2OB，所以点P（﹣a，a）代入y=﹣x2﹣3x得2a=﹣a2+3a，解得a=1，∴点P的坐标（﹣1，2）；④如图④当∠BPA=90°时，且B在x轴上，则有BP=AB，所以点P（﹣a，0）代入y=﹣x2﹣3x得0=﹣a2+3a，解得a=3，∴点P的坐标（﹣3，0）．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．18.（2024江苏丹阳市丹北片·一模）（7分）今年以来，国务院连续发布了《关于加快构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》等一系列支持性政策，各地政府高度重视、积极响应，中国掀起了大众创业万众创新的新浪潮.某创新公司生产营销A、B两种新产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝12.信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系.根据以上信息，解答下列问题：（1）求；（2）该公司准备生产营销A、B两种产品共10吨，请设计一个生产方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？答案：（1）a=-1，b=8（2）方案：A3吨，B7吨，最大利润29万元。19.（2024江苏丹阳市丹北片·一模）（本题满分10分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，求它的解析式。（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．答案：（10分）（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°•GO==，IO=cos30°•GO==3，JO=cos30°•OE==，JE=sin30°•OE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（3分）（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF的中位线，∴xD=xN=•xG=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP），S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xQ），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP）+•（yK﹣yQ）•（xH﹣xQ）=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xP）=•[﹣x+2﹣（x2﹣x）]•[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xP）﹣•（yK﹣yQ）•（xQ﹣xH）=•（yK﹣yQ）•（xH﹣xP）=﹣x2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．20.（2024江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）（14分）如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．答案：（14分）解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），∴，解得，故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则点C的坐标为（3，0），∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点E坐标为（1，﹣4），设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），∴CO=DF=3，DO=EF=1，根据勾股定理，CD===，在△COD和△DFE中，∵，∴△COD≌△DFE（SAS），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，∴∠CDE=180°﹣90°=90°，∴CD⊥DE，①分OC与CD是对应边时，∵△DOC∽△PDC，∴=，即=，解得DP=，过点P作PG⊥y轴于点G，则==，即==，解得DG=1，PG=，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，所以点P（﹣，0），当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，所以，点P（，﹣2）；②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，∴=，即=，解得DP=3，过点P作PG⊥y轴于点G，则==，即==，解得DG=9，PG=3，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，所以，点P的坐标是（﹣3，8），当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，所以，点P的坐标是（3，﹣10），综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．21.（2024河南洛阳·一模）(11分)如图12，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-4，0)，B（-1，0）两点．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴左侧的抛物线上有一动点D．①如图(a)，直线y-x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴，交QC于点F。请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：1？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由，②如图(b)，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当□ODAE的面积S为何值时，满足条件的点D恰好有3个？请直接写出此时S的值以及相应的D点坐标．（1）把点A（－4，0）、B（－1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为：……….….……….……….3(2)过C作CM⊥DF于M，过D作DN⊥CQ于N，则CM=-2x，DF=DN，由题意可得DF=2CM，①当D在Q点右侧时：解得（x=0舍去）∴D(-1，0)…….5②当D在Q点左侧时：解得（x=0舍去）∴D()(3)当D点到x轴的距离等于抛物线顶点到x轴距离时，这样的点恰好只有3个，此时S=此时点的坐标：、、22.（2024辽宁丹东七中·一模）（14分）如图，抛物线y=—2x2+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．（1）求线段AB长；（2）证明：OP=PC；（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，⊿OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，⊿PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使⊿PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．（1）AB＝（2）△PMO≌△CNP∴OP＝PC（3）①当0＜m＜时，BC＝1－m－m＝1－m∴S＝②当＜m＜时，BC＝m－1S＝(4)(0,1)或(,1－)23．（2024吉林长春朝阳区·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（4，0），与y轴交于点C，点P在第一、二象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线BC于点D、E，设点P的横坐标为m，线段DE的长度为d．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）当点P在第一象限时，求d与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当PE=2DE时，求m的值；（4）如图②，过点E作EF∥y轴交x轴于点F，直接写出四边形ODEF的周长不变时m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据E点的纵坐标，可得E点的横坐标，根据两点间的距离，可得答案；（3）根据PE与DE的关系，可得关于m的方程，根据解方程根据解方程，可得答案；（4）根据周长公式，可得答案．【解答】解：（1）由题意，得解得∴这条抛物线对应的函数表达式是y=﹣x2+3x+4；（2）当x=0时，y=4．∴点C的坐标是（0，4）．设直线BC的函数关系式为y=kx+b．由题意，得解得∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4，∵PD∥x轴，∴yP=yE=﹣m2+3m+4．．∴xE=﹣m2+3m．图①，当0＜m＜3时，如图①，d=﹣m2+3m．当3＜m＜4时，如图②，d=m2﹣3m．（3）当0＜m＜3时，DE=﹣m2+3m，PE=﹣m2+4m．∵PE=2DE，∴﹣m2+4m=2（﹣m2+3m）．解得m1=0（不合题意，舍去），m2=2．当3＜m＜4时，DE=m2﹣3m，PE=﹣m2+4m．∵PE=2DE，∴﹣m2+4m=2（m2﹣3m）．解得m1=0（不合题意，舍去），m2=．当PE=2DE时，m=2或m=．（4）﹣1＜m＜0或3＜m＜4．解答如下：当0＜m＜3时，如图③，DE=﹣m2+3m，EF=﹣m2+3m+4．∴C=2（﹣m2+3m+4﹣m2+3m）=﹣4m2+12m+8．当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，如图④、⑤，DE=m2﹣3m，EF=﹣m2+3m+4．∴C=2（﹣m2+3m+4+m2﹣3m）=8．综上所述：四边形ODEF的周长不变时m的取值范围是﹣1＜m＜0或3＜m＜4．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴直线上点的纵坐标相等得出E点的纵坐标是解题关键；利用PE与DE的关系得出关于m的方程是解题关键；利用矩形的周长公式是解题关键．24．（2024湖南省岳阳市十二校联考·一模）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）点N在线段OA上，点M在线段OB上，且OM=2ON，过点N作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P．①当ON为何值时，四边形OMPN为矩形；②△AOQ能否为等腰三角形？若能，求出此时ON的值；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）可设顶点式，根据待定系数法可求抛物线对应的函数关系式；（2）①当四边形OMPN为矩形时，满足条件OM=PN，据此列一元二次方程求解；②△AOQ为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：．∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4；（2）①设ON=t（0＜t＜1）．则OM=2t，PN=﹣（t+1）2+4，∵四边形OMPN为矩形，∴OM=PN，即2t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+4t﹣3=0，解得t=﹣2，由于t=﹣﹣2＜0，故舍去，∴当ON=﹣2时，四边形OMPN为矩形；②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AOQ为等腰三角形，有三种情况：（I）若OQ=AQ，如答图1所示：则N为OA中点，ON=OA=，∴ON=；（II）若OQ=OA，如答图2所示：设AN=x，则QD=AD•tanA=3x，ON=OA﹣AN=1﹣x，在Rt△QON中，由勾股定理得：ON2+QN2=OQ2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，ON=1﹣x=，∴ON=；（III）若OA=AQ，如答图3所示：设AN=x，则QD=AN•tanA=3x，在Rt△AQN中，由勾股定理得：QN2+AN2=AQ2，即x2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴ON=1﹣x=1﹣，∴ON=1﹣．综上所述，当ON为、、（1﹣）时，△AOQ为等腰三角形．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．26．（2024湖南湘潭·一模）（10分）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标.

26．（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为即E点的坐标（，）又∵点E在直线上∴解得（舍去），，∴E的坐标为（4，3）（Ⅰ）当A为直角顶点时过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0）,易知D点坐标为（－2，0）由Rt△AOD∽Rt△P1OA得即，∴＝∴P1（，0）（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（,0）由∠OP3A+∠FP3E＝90°，得∠OP3A＝∠FEP3Rt△AOP3∽Rt△P3FE由得解得，∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）.27.（2024广东·一模）（本题满分12分）抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．25.（12分）解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，∴S△BDC=S△PDC+S△PDB，∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，∵∠MNC=90°，则△MNF∽△NCH，∴，设FN=n，则NH=3-n，∴，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N为点E时，OM=5，∴m≤5，综上，m的变化范围为：≤m≤5．27.（2024广东东莞·联考）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型；分类讨论．【分析】（1）先在直角三角形AOB中，根据∠ABO的度数和OA的长，求出OB的长，即可得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式．（2）求等边三角形的边长就是求出PM的长，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的长，然后根据∠ABO的度数，求出PM的长．当M、O重合时，可在直角三角形AOP中，根据OA的长求出AP的长，然后根据P点的速度即可求出t的值．（3）本题要分情况进行讨论：①当N在D点左侧且E在PM右侧或在PM上时，即当0≤t≤1时，重合部分是直角梯形EGNO．②当N在D点左侧且E在PM左侧时，即当1＜t＜2时，此时重复部分为五边形，（如图3）其面积可用△PMN的面积﹣△PIG的面积﹣△OMF的面积来求得．（也可用梯形ONGE的面积﹣三角形FEI的面积来求）．③当N、D重合时，即t=2时，此时M、O也重合，此时重合部分为等腰梯形．根据上述三种情况，可以得出三种不同的关于重合部分面积与t的函数关系式，进而可根据函数的性质和各自的自变量的取值范围求出对应的S的最大值．【解答】解：（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b，把A和B坐标代入得：，解得：，则直线AB的解析式为：y=﹣x+4．（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴AB=2OA=8，∵AP=t，∴BP=AB﹣AP=8t，∵△PMN是等边三角形，∴∠MPB=90°，∵tan∠PBM=，∴PM=（8﹣t）×=8﹣t．如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S，可求得AQ=AP=t，PS=QO=4﹣t，∴PM=（4﹣）÷=8﹣t，当点M与点O重合时，∵∠BAO=60°，∴AO=2AP．∴4=2t，∴t=2．（3）①当0≤t≤1时，见图2．设PN交EC于点G，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．∵∠GNH=60°，，∴HN=2，∵PM=8﹣t，∴BM=16﹣2t，∵OB=12，∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t，∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG，∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．∵S随t的增大而增大，∴当t=1时，Smax=8．②当1＜t＜2时，见图3．设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN．作GH⊥OB于H，∵FO=4﹣2t，∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2，∴EI=2t﹣2．∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4由题意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×，PC=4﹣t，PI=4﹣t，再计算S△FMO=（4﹣2t）2×S△PMN=（8﹣t）2，S△PIG=（4﹣t）2，∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO=（8﹣t）2﹣（4﹣t）2﹣（4﹣2t）2×=﹣2t2+6t+4∵﹣2＜0，∴当时，S有最大值，Smax=．③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部分为等腰梯形IMNG，见图4．S=×62﹣×22=8，综上所述：当0≤t≤1时，S=2t+6；当1＜t＜2时，S=﹣2t2+6t+4；当t=2时，S=8．∵，∴S的最大值是．【点评】本题考查一次函数解析式的确定、图形的面积求法、三角形相似及二次函数的综合应用等知识，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．28.（2024广东深圳·一模）如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点．（1）写出B，C，D点坐标（不写计算过程）（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．（3）若圆A的切线交于x轴正半轴于点M，交y轴负半轴与点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所示抛物线的顶点？说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接AD，构造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=，AD=2，根据勾股定理就可以求出AD的长，求出D的坐标，再利用圆的性质得出B，C的坐标．（2）求出B、C、D的坐标，用待定系数法设出一般式解答；（3）求出抛物线交点坐标，连接AP，则△APM是直角三角形，且AP等于圆的半径，根据三角函数就可以求出AM的长，已知OA，就可以得到OM，则M点的坐标可以求出；同理可以在直角△BNM中，根据三角函数求出BN的长，求出N的坐标，根据待定系数法就可以求出直线MN的解析式．将交点坐标代入直线解析式验证即可．【解答】解：（1）如图1，连接AD，得OA=，AD=2，∴OD===3，∴D（0，﹣3），∵点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B、C两点，∴B（﹣，0），C（3，0）；（2）∵B（﹣，0），C（3，0），D（0，﹣3