《数学（上 二册）（第二版）》 课件 第5-9章 平面向量 -排列组合与概率统计

平面向量第5章1目录5.1平面向量的概念及其线性运算5.2平面向量的坐标表示5.3平面向量的数量积25.1平面向量的概念及其线性运算3平面向量的概念我们把类似位移、速度、力等既有大小又有方向的量称为向量，而把那些只有大小没有方向的量（如长度、时间、年龄等）称为数量。处在平面内的向量常被称为平面向量。本章讨论的向量都是平面向量。在实例考察关于力的实例中，重力G、浮力F都是用带箭头的线段表示的。线段的长度表示力的大小，线段的箭头方向表示力的方向。由于带箭头的线段能直观形象地反映向量的大小和方向，因此，我们通常用这种带箭头的线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。4如图a所示，A，B是线段的两个端点。如果向量的方向是从A到B（A为起点，B为终点），则该向量可记作

，读作“向量AB”如果方向相反（B为起点，A为终点），则该向量可记作

，读作“向量BA”。显然，

与

的大小相等且方向相反。用带箭头的线段表示一个已知向量时，线段的起点可以在平面上任何位置，被限定的只是终点相对于起点的位置。如图b所示，一个水平向右、大小为50牛顿的力F可以用

来表示，也能用

来表示，即向量只与大小和方向有关，而与起点选取的位置无关。这样的向量常被称为自由向量。本章讨论的向量都是自由向量。56向量也可以用小写英文字母a，b，c，…表示。这些字母印刷时用黑体，手写则应写成

，…的形式。向量有两个基本要素：大小和方向。向量的大小称为向量的模（或长度），向量

，a，

的长度分别记作

。我们把模为零的向量称为零向量，记作0。零向量的方向是任意的。一排学生一起前进，在这一过程中，他们的位移方向相同；飞机在北京和重庆之间往返的位移方向相反。我们把方向相同或相反的非零向量称为平行向量。如图所示，a，b，c是三个平行向量，可记作a∥b∥c。7我们规定：零向量与任一向量平行，即0∥a。长度相等且方向相同的向量称为相等向量。一排同学一起齐步前进，他们的位移就是相等向量。与向量a模相等且方向相反的向量b称为向量a的负向量（或相反向量），记作b=-a。如图所示，a，b，c是一组平行向量，在平面内任意地作一条平行于上述向量的直线l。任选l上的一点O，可以作

。这就是说，任一组平行向量都可以被移到同一条直线上。所以，我们也将平行向量称为共线向量。8平面向量的加减运算如图所示，我们用字母A，B，C分别表示北京、上海、广州三个城市所在的位置。如果一架飞机从A处（北京）飞到B处（上海），然后再从B处飞到C处（广州），那么这架飞机两次（飞行）位移

和

的和，与飞机从A处直接飞到C处的位移

相同。我们把位移

称为位移

与

的和，记作9如图所示，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作

=a，

=b，则向量

称为a与b的和向量，记作a+b，即求向量和的运算称为向量的加法，上述这种求两个向量和的方法称为向量加法的三角形法则。10如图所示，四边形ABCD是平行四边形，因为

，所以

。。可见，

与

的和正好是以向量

，

为邻边的平行四边形的对角线AC表示的向量。这种求不共线的两个向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。对于向量加法，我们规定：1.a+0=0+a=a。2.a+（-a）=0。向量加法还满足下列运算律：1.a+b=b+a。2.（a+b）+c=a+（b+c）。通常我们将（a+b）+c记作a+b+c。11我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数。同样地，我们定义a-b=a+（-b），即减去一个向量等于加上这个向量的负向量，所得到的向量称为a与b的差向量。求向量差的运算称为向量的减法。由向量减法的定义，起点相同的两个向量

和

的差向量应为由此，我们可以得到a-b的作图方法。12如图所示，在平面内任取一点O，作

=a，

=b，则

=a-b。即起点相同的两个向量a与b的差a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。13向量的数乘运算如图所示，桌面上放有质量相等的4个铁球，每个铁球对桌面的压力F是相等的，则桌面受到的总压力是F+F+F+F。14如图所示，我们作出则我们把F+F+F+F记作4F。可以看出，向量4F的方向与F的方向相同，向量4F的模是F的模的4倍，即15实数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算。对任意向量a，b，设λ，μ为实数，有1.λ（μa）=（λμ）a。2.（λ+μ）a=λa+μa。3.λ（a+b）=λa+λb。由数乘向量和共线向量的概念，可以得到165.2平面向量的坐标表示17向量的坐标表示如图b所示，力F1=

，F2=

，它们的起点为同一个点O，

的终点M的坐标为（45，0），

的终点N的坐标为（0，60）。根据向量加法的平行四边形法则，两个力F1，F2的合力F=

+

=

的终点A的坐标为（45，60）。因此，合力F的大小和方向分别为可以看出，在平面直角坐标系中，当向量的起点位于坐标原点时，向量的长度和方向就由终点的坐标唯一确定。1819如图a所示，在平面直角坐标系中，对于给定的一个向量a，我们总可以通过平移，使向量a的起点位于坐标原点O，这时向量a的终点A是唯一确定的。根据平行四边形法则，向量a=

可以看成是两个向量

与

的和。即设点A的坐标是（x，y），i，j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量（即模为1的向量）。则所以2021我们把用xi+yj来表示向量的形式称为向量a的代数形式。把有序实数对（x，y）称为向量a的坐标表示，也称为坐标形式，记作而且，向量a的模为显然，向量

终点A的坐标（x，y），就是向量

的坐标；反之亦然。22如上图b所示，对于直角坐标系中任一向量

，起点A的坐标是（x1，y1），终点B的坐标是（x2，y2）。由向量的减法，得到根据向量的代数形式，可知所以

=（x2-x1，y2-y1），即23向量的坐标运算一在平面直角坐标系中，已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）

=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2）。类似地，有

a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）。24由此，我们得到：设a的坐标为（x1，y1），b的坐标为（x2，y2）。如果a∥b（b≠0），那么存在一个实数λ，使得a=λb。坐标表示为（x1，y1）=λ（x2，y2）=（λx2，λy2），即25当λ≠0时，上述方程组消去实数λ，得x1y2-x2y1=0。当λ=0时，x1=y1=0，也有x1y2-x2y1=0，这一过程也可进行逆向推导。由此，我们得到：265.3平面向量的数量积27由物理学知识可知，力做的功等于力与受力物体在力的方向上移动距离的乘积。如图所示，某同学在推小车，水平方向位移为s，推力F的方向与地面夹角为45°。那么，她做的功W等于力F在小推车位移方向上的分量|F|cos45°与小推车移动的距离|s|的乘积，即W=|F|cos45°·|s|=|F||s|cos45°。28平面向量的数量积在实例考察中，某同学做的功W=|F||s|cos45°，在这里，|F|是推力的大小，|s|是水平位移的大小，45°是力F和位移s的夹角，我们把W称为向量F和s的数量积，它是一个数量。若任意非零向量a，b的夹角为θ（θ∈[0，π]），我们就把|a||b|cosθ称为向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。29由向量的数量积的定义，可得到以下重要性质：1.a·a=|a||a|cos0°=|a|2，即有2.对于非零向量a，b，当a⊥b时，有a·b=|a||b|cos90°=0。反之，当a·b=0时，有a⊥b。3.对于任意向量a，b，c和实数m，有下列运算律：

a·b=b·a，

（ma）·b=m（a·b），（a+c）·b=a·b+c·b。30数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），在x轴上的单位向量为i，在y轴上的单位向量为j，则有|i|=1，|j|=1，i·i=1，j·j=1，i·j=0，j·i=0，a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j。31所以

a·b=（x1i+y1j）·（x2i+y2j）

=x1x2i·i+x1y2i·j+y1x2j·i+y1y2j·j

=x1x2

i

2+y1y2

j2

=x1x2+y1y2，即

a·b=x1x2+y1y2。

①32式①称为平面向量的数量积公式。由此可推出以下结论：设a=（x，y），则所以式②可用来计算平面上任意一点到坐标系原点的距离。33如果向量a是用起点A（x1，y1）和终点B（x2，y2）表示的，向量

的坐标为（x2-x1，y2-y1），从而点A和点B之间的距离为式③可用来计算平面上任意两点之间的距离。由式①及互相垂直的向量数量积为0可以得到：当a⊥b时，有反之，当a·b=x1x2+y1y2=0时，有a⊥b。34平面解析几何第6章35目录6.1直线的倾斜角和斜率6.2直线的方程6.3两条直线的位置关系6.4曲线和方程6.5圆6.6椭圆6.7双曲线6.8抛物线366.1直线的倾斜角和斜率37如图a所示，在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时，x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所形成的最小正角α，可以很好地反映直线l的倾斜程度，我们把α称为直线l的倾斜角。图b可以表示上海杨浦大桥桥塔上过同一点P的两条拉索（同一平面内）中，左侧拉索所在直线的倾斜角α1是锐角，右侧拉索所在直线的倾斜角α2是钝角。图c中的直线l垂直于x轴，它的倾斜角α是90°。图d中直线l垂直于y轴，我们规定它的倾斜角α是0°。因此，直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°（或写作α∈[0，π））。38这样，平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等。当直线l的倾斜角α≠90°时，α与其正切tanα是一一对应的，因此，直线的倾斜程度也可用tanα表示。我们把直线倾斜角α（α≠90°）的正切称为直线的斜率。通常用小写英文字母k表示，即39根据正切函数的知识，可以得到直线的倾斜角α与斜率k之间的关系如下：当直线垂直于y轴时，α=0°⇔k=0；当直线的倾斜角是锐角时，0°<α<90°⇔k>0；当直线垂直于x轴时，α=90°⇔k不存在；当直线的倾斜角是钝角时，90°<α<180°⇔k<0。40事实上，无论直线的倾斜角α是锐角还是钝角，我们都能得到如下结论：在平面直角坐标系中，经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式是设向量

=（v1，v2）与直线l平行，则向量

称为直线l的方向向量。若P1（x1，y1），P2（x2，y2）是l上的两点，则向量

=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量。由直线l的斜率公式k=

（x2≠x1）可得416.2直线的方程42直线的点向式方程如图所示，如果直线l与两条坐标轴都不垂直（斜率存在且不等于0），方向向量

=（v1，v2），且经过点P（x1，y1），求直线l的方程。43设点C（x，y）是直线l上的不同于点P的任意一点，因为

为直线l的方向向量，且

=（x-x1，y-y1），所以方程①称为直线的点向式方程。若直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则向量

=（x2-x1，y2-y1）为直线l的方向向量。如果直线l与两条坐标轴都不垂直，由点向式方程可得方程②称为直线的两点式方程。44直线的点斜式方程如图所示，已知直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k。设点P（x，y）是直线l上不同于点P0的任意一点，由直线的斜率公式，得将上式两边同乘以x-x0，得因为点P0的坐标（x0，y0）同样满足上述关系式，所以关系式③就是所求直线l的方程。由于这个方程是由直线l上一定点P0（x0，y0）和直线l的斜率k所确定的，所以把方程③称为直线的点斜式方程。45直线的斜截式方程与截距式方程如图所示，点P0是直线l与y轴的交点，设其坐标为（0，b），我们把b称为直线l在y轴上的截距。此时，直线l的点斜式方程为y-b=k（x-0）即46方程④是由直线l的斜率k和在y轴上的截距b确定的，所以把方程④称为直线的斜截式方程。若直线l与x轴相交于点A，设其坐标为（a，0），我们把a称为直线l在x轴上的截距。我们把方程称为直线的截距式方程。47直线的一般式方程从上述讨论可知，直线的方程无论是点斜式还是斜截式，都是关于x，y的二元一次方程。二元一次方程的一般形式是：Ax+By+C=0（A，B不全为零）。那么，形如Ax+By+C=0（A，B不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢?我们通过下表来讨论这个问题。4849综上所述，方程Ax+By+C=0（A，B不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线。我们把形如的二元一次方程称为直线的一般式方程。506.3两条直线的位置关系51两条直线平行的判定如图所示，设直线l1和l2的倾斜角分别为α1和α2，斜率分别为k1和k2。52如果l1∥l2，那么直线l1与l2的倾斜角相等，即α1=α2，则tan

α1=tan

α2，即k1=k2。因此，若l1∥l2，则k1=k2。53如果直线l1与l2不重合，且k1=k2，即tan

α1=tan

α2（α1，α2∈[0，π）），则α1=α2，得到l1∥l2。因此，若k1=k2，则l1∥l2。于是，对于两条不重合的直线l1与l2，若它们的斜率分别为k1与k2，则有若它们的斜率都不存在，那么它们的倾斜角均为90°，也有l1∥l2。54两条直线垂直的判定设两条直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2（α1，α2≠90°），l1的方程为y=k1x+b1（k1≠0），l2的方程为y=k2x+b2（k2≠0）。我们来讨论l1⊥l2时，它们的斜率k1与k2之间的关系。由图a可得α1+（180°-α2）=90°，则所以k1=-

，即k1·k2=-1。5556因此，对斜率都存在的两条直线l1与l2，当l1⊥l2时，必有k1·k2=-1。反之，当k1·k2=-1时，有则所以α1+（180°-α2）=90°，即l1⊥l2。因此，有如果两条直线l1与l2的斜率一个等于0，另一个不存在，如上图b所示，显然，这两条直线也垂直。57相交直线的交点设平面内两条不重合的直线的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0。如果l1，l2不平行，则必然相交于一点，交点的坐标既满足l1的方程，又满足l2的方程，是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1与l2的交点。因此，求两条相交直线的交点，只需解以下方程组即可。这个方程组的解就是l1与l2的交点坐标。58点到直线的距离如图所示，在平面直角坐标系中，已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0。过点P0作直线l的垂线P0Q，Q为垂足，则垂线段P0Q的长度就是点P0到直线l的距离，记作d。可以证明，点P0（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离公式为596.4曲线和方程60曲线和方程的概念下面以图b所示抛物线为例进行分析。二次函数y=x2的图像是关于y轴对称的抛物线，这条抛物线由所有以方程x2-y=0解为坐标的点组成的。也就是说，如果点P（x0，y0）是这条抛物线上的点，则（x0，y0）一定是这个方程的解。由此推广到一般情况：在平面直角坐标系中，如果某条曲线C（可以将其看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上点的坐标都是二元方程F（x，y）=0的解；同时以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上，那么，方程F（x，y）=0称为曲线C的方程，而曲线C是这个方程F（x，y）=0的曲线。6162求曲线的方程在平面上有两定点A，B，现要寻找点P使PA⊥PB，你能求出满足条件的点P的轨迹方程吗?以线段AB的中点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标xOy。设丨AB丨=2a（a>0），则点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）。现设点P（x，y），由PA⊥PB，得kPA·kPB=-1，即整理得x2+y2=a2（x≠±a）。所以方程x2+y2=a2（x≠±a）就是点P的轨迹方程。63由此，我们可以总结出已知平面曲线求曲线方程的主要步骤：（1）建立适当的平面直角坐标系；（2）设曲线上任意一点P（或动点）的坐标为（x，y）；（3）写出点P的限制条件，即列出等式；（4）将点P的坐标代入等式，得方程F（x，y）=0；（5）化简方程F（x，y）=0（此过程应为同解变形）。由于化简过程是同解变形，所以可以省略证明“以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点”的过程。64求两条曲线的交点两条曲线（包括直线）的交点坐标也就是两条曲线的公共点的坐标。由曲线上点的坐标和其方程的解之间的关系可知，两条曲线交点的坐标，应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解。反之，方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；若方程组无实数解，则两条曲线就没有交点。因此，求两条曲线的交点就是求这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解。656.5圆66圆的标准方程如图所示，在平面直角坐标系中，已知一个圆以点C（a，b）为圆心、r为半径，设P（x，y）是圆上任意一点，则|PC|=r。由两点之间的距离公式，可以得到关于点P的坐标的关系式将上式两边平方，得67若点P（x，y）在圆上，由上述讨论可知，点P的坐标满足方程①；反之，若点P的坐标（x，y）满足方程①，则表明点P到圆心C的距离为r，即点P在以点C为圆心的圆上。所以方程①就是以点C（a，b）为圆心、r为半径的圆的方程。我们称这个方程为圆的标准方程。如果圆心在坐标系的原点，这时a=0，b=0，那么圆的标准方程就是

x2+y2=r2。

①68圆的一般方程圆的方程还有一种形式。我们看一个具体的例子，图中，已知圆的圆心为C（6，-5），半径r为4。由此，我们可以写出这个圆的标准方程（x-6）2+（y+5）2=16。将上面的方程展开并整理得x2+y2-12x+10y+45=0。我们把方程x2+y2-12x+10y+45=0称为这个圆的一般方程。通常，如果形如的方程能够表示一个圆，我们就把它称为圆的一般方程。需注意的是，与方程③类似的方程并不是都能表示一个圆。6970直线与圆的位置关系在平面几何中，我们已经学习过直线与圆的三种不同的位置关系及它们的判定方法。已知圆C的半径为r，设圆心C到直线l的距离为d。1.直线和圆有两个公共点，称为直线与圆相交，这时直线称为圆的割线。直线l与圆C相交⇔d<r。2.直线和圆有唯一公共点，称为直线与圆相切，这时直线称为圆的切线，唯一公共点称为切点。直线l与圆C相切⇔d=r。3.直线和圆没有公共点，称为直线与圆相离。直线l与圆C相离⇔d>r。71以上应用了几何方法判定直线与圆的位置关系。在平面直角坐标系中，圆的圆心为C（a，b），直线l的方程为Ax+By+C=0，则圆心C到直线l的距离d为比较d与r的大小，即可判定直线与圆的位置关系。应用代数方法，从联立方程组的解的个数，也能判定直线与圆的位置关系。通过方程组中的第一式用含有x的式子表示出y，代入第二式，得出一个关于x的一元二次方程，由这个一元二次方程的判别式Δ的符号就能判定直线与圆是相交、相切还是相离。72我们把上述讨论的直线与圆的位置关系及判定方法总结如下：73圆的参数方程我们前面学习了直线的方程Ax+By+C=0（A，B不全为零）和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）。直线和圆的方程都可以表示为F（x，y）=0的形式。方程F（x，y）=0描述了曲线上任一点的坐标x，y之间的关系，习惯上，我们把方程F（x，y）=0称为曲线的普通方程。下面，我们要学习曲线方程的另一种形式———参数方程。如图所示，设圆心在原点、半径为r的圆O与x轴的正半轴的交点是A。74设在圆上的点从点A开始按逆时针方向运动到达点P，∠AOP=θ，则点P的位置与旋转角θ有关。当θ确定时，点P在圆上的位置也就确定了。点P在圆上的位置是随θ的变化而变化。点P的横坐标与纵坐标都是θ的函数，由三角函数的定义得并且对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P（x，y）都在圆O上。方程组①称为圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，其中θ是参数。75一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点P的坐标x，y都是某个变量t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点P（x，y）都在这条曲线上，则方程组就称为这条曲线的参数方程。变量t称为参变数，简称参数。76将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，它们都表示曲线上任意一点的坐标之间的关系。曲线的参数方程

消去参数t后即化为曲线的普通方程，但要注意的是消参数的过程中一定要保证不使方程的取值范围发生改变。776.6椭圆78观察下面图片中所显示的曲线，你能说出生活中存在的类似的曲线吗?一杯水图所示水杯的杯口为圆形，杯中盛有水。竖直放置时，杯中水面的轮廓为圆形；现将杯口倾斜（无水溢出），观察杯中水面轮廓形成的曲线。这一曲线与圆相比具有什么特征?一条曲线取一根没有伸缩性的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2

两点，且使绳长大于F1和F2之间的距离。用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，笔尖就画出了如图所示的一条曲线。79椭圆的定义及其标准方程实例考察中，上图中杯中水面的轮廓和上图中画出的曲线都是椭圆。分析上面的作图方法不难看出，椭圆上的任意一点到点F1和F2的距离的和为定值。我们定义：下面，我们来建立椭圆的方程。如图所示，以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。80设P（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（-c，0），（c，0）。又设点P与F1，F2的距离之和等于常数2a（a>0），于是有|PF1|+|PF2|=2a。应用两点间的距离公式，并把P，F1和F2的坐标代入，得整理得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）。81由椭圆的定义可知，2a>2c，即a>c>0，所以a2-c2>0。为了使方程变得简单整齐，可令a2-c2=b2（b>0），则方程变为b2x2+a2y2=a2b2，两边同除以a2b2，得这个方程称为椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）和F2（c，0），其中a2=b2+c2。82如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，如图所示，用同样的方法，可得椭圆的方程为这个方程是一个焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点为F1（0，-c）和F2（0，c），其中a，b，c之间仍然满足a2=b2+c2。83椭圆的几何性质通过曲线的方程来研究曲线的几何性质并正确画出图形是解析几何的基本问题之一，我们可以根据椭圆的标准方程，来研究椭圆的几何性质。现给出下表供读者学习、研究。8485借助上表所列的几何性质可以画出椭圆的草图。其步骤是：1.根据椭圆的标准方程标出四个顶点；2.过这四个顶点作坐标轴的平行线，得到椭圆的界定矩形；3.用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆，连接时要注意椭圆的对称性及顶点附近的平滑性。86椭圆的参数方程我们知道在同角三角函数基本关系式中有恒等式cos2

θ+sin2

θ=1，且椭圆的标准方程为因此，可以令

即（θ为参数）

这就是椭圆的参数方程。其中，常数a，b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。根据椭圆的参数方程，椭圆上任一点的坐标可设成（acosθ

，bsin

θ），这为解决椭圆问题提供了一条新的途径。876.7双曲线88双曲线的定义和标准方程显然，图所画曲线的特点是，其上任意一点到点F1和F2的距离的差的绝对值相等。我们定义：89与椭圆类似，以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2

的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设P（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则两个焦点的坐标分别为F1（-c，0）和F2（c，0）。又设点P与F1，F2的距离之差的绝对值为2a（0<a<c），即丨PF1丨-丨PF2丨=±2a。90由两点间的距离公式得所以整理得（c2-a2）x2-a2y2=a2（c2-a2）。91由于0<a<c，所以c2-a2>0。令c2-a2=b2（b>0），代入上式，得b2x2-a2y2=a2b2，两边同除以a2b2，得这个方程称为双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上的双曲线，其中a，b，c之间的关系是c2=a2+b2。92如图所示，如果以经过两个焦点F1和F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，用同样的方法可得双曲线的方程为这个方程是焦点在y轴上的双曲线的标准方程，其中a，b，c间的关系仍然为c2=a2+b2。93双曲线的几何性质仿照讨论椭圆几何性质的方法，根据双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质，给出下表：9495借助上表所列的几何性质，可以快速画出双曲线的草图。步骤是：1.根据双曲线的标准方程画出双曲线的渐近线（渐近线把平面分割成四个部分）；2.标出双曲线的顶点，用描点法画出双曲线在第一象限的草图；3.利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。当然，也可以使用计算机软件便捷地绘制图像。966.8抛物线97抛物线的定义及其标准方程喷泉喷出的水的运动轨迹（曲线）正是我们见过的二次函数的图像，即抛物线。用实例考察中的方法画出的曲线也是抛物线，对称轴是水平直线。分析画抛物线的作图方法不难看出，曲线上的任意一点到直尺的距离与到点F的距离相等。我们定义：98下面，我们来建立抛物线的方程。如图所示，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为H，并使原点O与线段HF的中点重合，建立直角坐标系xOy。99设|HF|=p（p>0），那么焦点F的坐标为

，准线l的方程为x=

。设P（x，y）是抛物线上的任意一点，作PN⊥l，垂足为

，由抛物线的定义可知|PF|=|PN|。由两点间的距离公式得100展开整理得y2=2px（p>0）。这个方程称为抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴的正半轴上的抛物线（开口向右），它的焦点为F

，准线方程为x=

。在建立抛物线的标准方程时，如果建立的直角坐标系使焦点在不同的坐标轴上，则得到的标准方程也不同，所以抛物线的标准方程还有另外三种形式。四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程见下表。101102103抛物线的几何性质根据抛物线的标准方程，研究抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等，列表如下：立体几何第7章104目录7.1空间几何体7.2空间几何体的三视图和直观图7.3简单几何体的表面积和体积7.4空间直线的位置关系7.5直线与平面的位置关系7.6平面与平面的位置关系7.7空间向量1057.1空间几何体106棱柱和棱锥的几何特征由若干个平面多边形所围成的几何体称为多面体。构成多面体的各个平面多边形称为多面体的面。一个多面体中，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为多面体的顶点。107棱柱图所示的计算机机箱和茶叶盒我们都非常熟悉。仔细观察两者的外形简图，就会发现它们的共同特点：两幅简图所示的几何体都是多面体；每个多面体都至少有两个平面平行，且总能找到这样的两个互相平行的平面；不在这两个面上的棱都互相平行。由此，我们可以把具有上述特点的几何体归为一类。108棱柱中，两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底；两底面间的距离为棱柱的高；其余各面称为棱柱的侧面；相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……我们常用底面顶点的字母表示棱柱。109图中的（1）（6）（11）（12）和（13）都是具有棱柱结构的物体。观察这些棱柱可知，它们的侧棱与底面垂直，我们把这样的棱柱称为直棱柱。其中（1）（11）（12）和（13）的底面都是全等的正多边形，侧面都是全等的矩形，我们把它们称为正棱柱。图中的（1）（11）（12）和（13）分别是正四棱柱、正三棱柱、正五棱柱和正六棱柱。110棱锥观察上图中的（2）（3）（7）（10）和（16）可以发现，它们都有一个面是多边形，其余各面是具有一个公共顶点的三角形。在棱锥中，多边形的面称为棱锥的底面（或底）；有公共顶点的各个三角形称为棱锥的侧面；相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱；各侧棱的公共点称为棱锥的顶点；顶点到底面的距离称为棱锥的高。底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥……其中三棱锥又称四面体。棱锥也用顶点和底面各顶点的字母表示。111上图中的（3）（7）（10）和（16）都是棱锥，而且它们的底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形，我们把这样的棱锥称为正棱锥。上图中的（3）（7）（10）和（16）分别是正四棱锥、正三棱锥、正五棱锥和正六棱锥。112圆柱和圆锥的几何特征圆柱我们用一个长方形的硬纸片绕其一边旋转一周，就能得到一个几何体。下图所示是矩形O'OBB'以一边O'O所在的直线为旋转轴旋转而成的圆柱。113我们把旋转轴称为圆柱的轴；垂直于轴的边O'B'，OB旋转而形成的圆面称为圆柱的底面；两个底面之间的距离称为圆柱的高；平行于轴的边B'B旋转而成的曲面称为圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边B'B都称为圆柱的母线。圆柱可以用表示它的轴的字母表示。例如上，图的圆柱可以表示为圆柱O'O。我们通常将圆柱和棱柱统称为柱体。114圆锥与圆柱一样，圆锥也是由平面图形旋转而成的。下图所示是直角三角形SBO以一条直角边SO所在的直线为旋转轴旋转而成的圆锥。115我们把旋转轴称为圆锥的轴；直角边SO的长度称为圆锥的高；另一条直角边OB旋转而成的圆面称为圆锥的底面；斜边SB旋转而成的曲面称为圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边SB都称为圆锥的母线。圆锥可以用表示它的轴的字母表示。例如，上图所示的圆锥可以表示为圆锥SO。图中的（4）和（15）就是圆锥形物体。我们通常将圆锥和棱锥统称为锥体。116球的结构特征同样，球也是由平面图形旋转而成的。图所示的球是半圆以直径AB所在的直线为旋转轴旋转而成的。在这个球中，AB的中点O称为球心；通过球心，且两端在球面上的线段称为球的直径；两端分别为球心和球面上任意一点的线段称为球的半径。球常用表示球心的字母表示。117简单组合体记得小时候玩过的积木吗?我们可以使用很多简单的几何体，例如圆柱、长方体等搭建出各种各样的房屋、城堡、家具（图a）等。再观察如图b所示的零件，从整体看，它不属于前面学过的任何一种几何体，但它是由一个正六棱柱和一个圆柱组成的，我们把它称为简单组合体。在现实生活中，我们接触到的物体大多由具有柱、锥、球等几何特征的物体组合而成，它们都是简单组合体。1187.2空间几何体的三视图和直观图119空间几何体的三视图我们想象有平行射线分别对几何体从前向后（主视方向）、从上向下（俯视方向）和从左向右（左视方向）投射，这时在几何体的后面、下面和右面的平面上所得到的平面图形分别称为几何体的主视图、俯视图和左视图。如图c所示，保持主视图平面不动，将俯视图平面向下旋转90°，左视图平面向右旋转90°，这样三个视图就在一个平面上了。以这三种视图方式来表现空间几何体结构的图就称为空间几何体的三视图。图d就是同学甲所搭建几何体的三视图。120121空间几何体的直观图对于空间几何体的直观图，我们并不陌生。例如在“游戏二”中，图就是同学甲用13个正方体搭建的几何体的直观图。直观图都有较强的立体感，接近人们直接观察的效果。水平放置的平面图形在直观图中变化较明显，如正方体的上、下底面变成了平行四边形，圆柱的上、下底面变成了类似椭圆的图形。因此，要画空间几何体的直观图，就要先研究水平放置的平面图形的直观图。1227.3简单几何体的表面积和体积123正棱柱与正棱锥的表面积和体积将较厚的纸板按图的样子分别画好并剪裁，再把它沿虚线折起来并粘上，做成模型。通过观察可以发现，由图a所示纸板折成的模型是正五棱柱：中间的矩形成了五棱柱的侧面，上下两个五边形成了正五棱柱的两个底面，且矩形的长等于正五棱柱底面的周长，矩形的宽为正五棱柱的侧棱长，即正五棱柱的高。实际上，图a就是正五棱柱的表面展开图。表面展开图的面积就是正五棱柱的表面积，即S表=S侧+2S底。124125由图b所示纸板折成的模型是正五棱锥：五个全等的等腰三角形围成了棱锥的侧面，正五边形为棱锥的底面，且五个等腰三角形底边长的和等于正五棱锥底面的周长，等腰三角形的腰长为侧棱长。实际上，图b就是正五棱锥的表面展开图。表面展开图的面积就是正五棱锥的表面积，即S表=S侧+S底。正棱柱、正棱锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表。126圆柱与圆锥的表面积和体积用纸剪出一个矩形和一个扇形。把矩形卷起来，并把它的一组对边粘好；再把扇形卷起来，并把它的两条半径粘好。观察可以发现，由矩形围成的是一个圆柱体的侧面。可以知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形，且矩形的长等于圆柱底面圆的周长，宽为母线长，即圆柱的高。圆柱的底面为两个全等的圆面。由扇形围成的是一个圆锥体的侧面。可以知道，圆锥的侧面展开图是一个扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长。圆锥的底面为一个圆。127圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积、表面积、体积的计算见下表。128球的表面积和体积1297.4空间直线的位置关系130平面的表示方法正像直线是可以无限延伸的一样，平面也是可以无限延伸的，也就是说，平面是没有边界的。在日常生活中常见的桌面、黑板面等，都只是平面的局部形象。平面可以用一个小写希腊字母表示，如平面α、平面β、平面γ等；也可以用平面上三个（或三个以上）不在同一直线上点表示。131例如，在图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，下底面可用“平面ABCD”表示；有时，也用平行四边形对角线上的顶点字母表示平面，例如，“平面ABCD”也可表示为“平面AC”或“平面BD”。132要在纸上画出一个无限延展的平面时，通常只画出平面的一个局部，并画成平行四边形。例如，图a表示的是一个水平放置的平面α；图b表示的是竖直放置的平面的三种画法，其中平面α、平面β和平面γ分别表示在观察者的左前方、正前方和右前方的平面。133当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画。134点、直线与平面的确定找一块平板，在它的某一面（该面平整）上任意画出点A，B。使用直尺在点A，B间画线，可以发现，只要直尺边缘上有两点分别与A，B重合，那么直尺边缘就会全都在平板的平面上。公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2不共线（不在同一条直线上）的三个点确定一个平面。135根据公理1、公理2，可得出：推论1一条直线和直线外一点确定一个平面（图a）。推论2两条相交直线确定一个平面（图b）。推论3两条平行直线确定一个平面（图c）。136公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。如图所示，点A是平面α和β的一个公共点，则平面α和β有且只有一条经过点A的公共直线l。这时也称平面α和β相交于l。137空间直线的位置关系我们把类似于图中的那些不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。空间中不重合的两条直线的位置关系有且只有三种：1381.平行———两条直线在同一平面内，且无公共点。2.相交———两条直线在同一平面内，有且只有一个公共点。3.异面———两条直线不同在任何一个平面内，无公共点。显然，两条异面直线具有下列特征：不平行、不相交、不同在任何一个平面内。画异面直线时，要以辅助平面作衬托，把两条直线明显地画在不同的平面内，以体现“异面”的特点。139空间的平行直线观察如图所示的V形架，它的两条侧边a和b均平行于V形架底边c，即a∥c，b∥c。容易看出，两条侧边a与b也互相平行，即a∥b。公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理4所表述的性质，通常称为空间平行线的传递性。140等角定理空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。141异面直线所成的角如图所示，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b。根据等角定理可知，a'和b'所成角的大小与点O位置的选取无关。我们把a'和b'所成的锐角（或直角）称为异面直线a与b所成的角（或夹角）。如果两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线相互垂直，记作a⊥b。实例考察中长方体的棱AA1与棱BC，以及蜗轮与蜗杆的轴线都相互垂直。1427.5直线与平面的位置关系143空间直线与平面的三种位置关系观察图a中线段AB1所在直线与长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面的位置关系；再观察图b中正四棱锥侧棱SA所在直线与正四棱锥的五个面的位置关系。通过实例观察与分析，我们可以得到空间直线与平面的位置关系有且只有以下三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行。直线l与平面α相交和平行可以统称为直线在平面外，记作l⊄α。144145直线与平面平行的判定现在我们来观察一扇门，门框左右两条边缘所在的直线是a，b。把墙面所在的平面记作α。若门关着，直线a，b同在平面α上，且a∥b；若门开着，a离开了平面α，但仍保持与b平行，而且a与平面α也是平行的。146一般地，我们可以得到下面的定理：线面平行判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么这条直线与此平面平行。147直线与平面平行的性质线面平行性质定理如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与交线平行。148直线与平面垂直的判定如果直线l与平面α内的任何直线都垂直，则称直线与平面互相垂直，记作l⊥α。l称为平面α的垂线，α称为直线l的垂面，l与α的交点称为垂足。从平面外一点向平面引垂线，这个点到垂足的距离称为点到平面的距离。一般地，我们可以得到下面的定理：线面垂直判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直。149直线与平面垂直的性质如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在的直线都垂直于平面ABCD，而我们知道这四条棱是相互平行的。一般地，我们可以得到直线与平面垂直的性质定理：线面垂直性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。150直线与平面所成的角如果一条直线与一个平面相交但不垂直，则称这条直线是平面的斜线，斜线与平面的交点称为斜足。如图所示，从平面α外一点P，分别作α的垂线PO和斜线PA，其中O为垂足，A为斜足，则称PO是平面的垂线段，PA是平面的斜线段，OA是斜线段PA在平面内的射影，垂足O称为点P在平面内的射影。斜线段和它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线段所在的斜线与平面所成的角。1517.6平面与平面的位置关系152将一本书放在桌面上，观察它的封面和封底所在平面有什么关系。将该书打开，再次观察它的封面和封底所在平面有什么关系。通过实例可以发现，两个不重合的平面要么没有公共点，要么有无数个公共点。我们将没有公共点的两个平面称为平行平面，将有公共点的两个不重合平面称为相交平面。153两个平面平行的判定平面α与平面β平行，记作α∥β。一般地，我们可以得到下面的定理：面面平行判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。154根据上述定理，我们还能得到下面两个推论：推论1如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。推论2垂直于同一条直线的两个平面平行。155两个平面平行的性质一般地，我们有下面的定理：面面平行性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。我们把两个平行平面间垂直线段的长，称为这两个平行平面间的距离。156二面角及其平面角沿着平面内的一条直线将平面对折，得到两个半平面，这两个半平面组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面。如果棱用AB表示，二面角可以记作二面角α-AB-β；如果棱用l表示，则可记作二面角α-l-β。如果以二面角α-AB-β的棱AB上任意一点M为端点，在两个半平面α，β内分别作垂直于棱的射线MN，MP，则称∠NMP为这个二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角来度量，且与点M在棱上的位置无关。平面角的取值范围是[0，π]。平面角为90°的二面角称为直二面角。157158两个平面垂直的判定两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。面面垂直判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。159两个平面垂直的性质一般地，我们有下面的定理：面面垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如图所示，设β⊥α，CD是平面α与β的交线，AB为平面β内的一条直线，若AB⊥CD，则AB⊥α。1607.7空间向量161空间向量及其线性运算与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示。方向相同且长度相等的有向线段表示同一向量或相等的向量。如图所示，已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作

=a，

=b。由O，A，B三点必定在同一个平面内可以知道，任意两个空间向量都可以用同一平面内两条有向线段来表示。162可以将平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法与数乘向量的运算。163164空间向量分解定理共线向量与共面向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，向量a与b平行或共线，记作a//b。与平面向量类似有如下定理：165推论如果直线l经过已知点A且平行于已知非零向量a，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式其中向量a称为直线l的方向向量，如图所示。166在l上取

=a，则或当t=

时，点P是线段AB的中点，则①②式都称为空间直线的向量参数表示式，③式是线段AB的中点公式。167已知平面α与向量a，作

=a，如果直线OA平行于平面α或a在α内，那么我们就说向量a平行于平面α，记作a∥α。通常我们把平行于同一平面的向量称为共面向量，空间任意两个向量，总是共面的，有如下定理：168但任意三个空间向量既可能是共面的，也可能不共面。推论空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使

，或对空间任一定点O，有

。169由定理可知，如果三个向量a，b，c不共面，那么空间的每一个向量都可以由向量a，b，c线性表示。我们把｛a，b，c｝称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量。如果空间一个基底的三个基向量两两相互垂直，那么这个基底称为正交基底。特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，这个基底为单位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示。推论

设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都有唯一的有序实数组x，y，z，使

。

170空间向量的数量积171空间向量的数量积具有如下性质：（1）a·e=|a|cos〈a，e〉（e是单位向量）。（2）a⊥b⇔a·b=0。（3）|a|2=a·a。（4）λ（a·b）=（λa）·b。（5）a·b=b·a。（6）a·（b+c）=a·b+a·c。172空间向量的坐标运算空间直角坐标系从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz。点O称为坐标原点。通过每两个坐标轴的平面称为坐标平面，三个坐标平面分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。173画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°。在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，本书建立的坐标系都是右手直角坐标系。174如图所示，在空间直角坐标系O-xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i，j，k作为基向量，对于空间任意一个向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a=xi+yj+zk。有序实数组（x，y，z）称为a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（x，y，z）。175在空间直角坐标系O-xyz中，对于任意一点A（x，y，z），向量

是确定的，容易得到因此，向量

的坐标为（x，y，z）。这就是说，当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a的坐标。176空间向量的直角坐标运算设则177复数第8章178目录8.1复数的概念8.2复数的四则运算8.3复数的极坐标形式和指数形式1798.1复数的概念180复数与复数集如图所示，我们可以把逆时针转180°看成是先逆时针转一半（90°），再逆时针转一半（90°）。仿照将乘-1看作逆时针转180°的方式，我们引入符号i，将乘i看作逆时针转90°。这样，两次乘i就逆时针转了180°，相当于乘-1。即i×i=i2=-1。181因此，i是-1的一个平方根。需要说明的是，i不是实数，也不表示具体的数量，称为虚数单位。有了虚数单位i，任何负数都能开方。例如，由（±2i）2=（±2）2·i2=-4得到-4的平方根为±2i。182183全体复数组成的集合称为复数集，用字母C表示，即C={z|z=a+bi，a，b∈R}。复数z表示成a+bi（a，b∈R）的形式称为复数的代数形式，并规定：0+0i=0，0+bi=bi。当b=0时，复数z=a+bi=a称为实数。当b≠0时，复数z=a+bi称为虚数，其中，当a=0且b≠0时，复数z=a+bi=bi称为纯虚数。把数系扩展到复数系后，复数的分类如下：如果两个复数的实部相等，且虚部也相等，那么我们就说这两个复数相等，即若a，b，c，d∈R，则如果两个复数都是实数，我们知道它们可以比较大小。如果两个复数不都是实数，即至少有一个不是实数，那么它们只有相等与不相等两种关系，而不能比较大小。184复平面及相关概念复平面任何一个复数z=a+bi对应一个有序实数对（a，b）；反之，任何一个有序实数对（a，b）对应一个复数z=a+bi。例如：有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点Z（a，b）是一一对应的，因此，可借用平面直角坐标系中的点Z（a，b）来表示复数z=a+bi，也可以用复数z=a+bi来描述平面直角坐标系中的点Z（a，b）。185如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，它表示复数z=a+bi。我们把这种建立了直角坐标系用来表示复数的平面称为复平面。这时，x轴称为实轴，y轴除去原点的部分称为虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数。按照这种表示方法，任意一个复数，都有复平面上唯一确定的一个点与它对应；反过来，复平面上任意一个点，也都有唯一确定的一个复数与它对应。由此可知，复数集C与复平面上所有的点组成的集合是一一对应的。186观察下面两对复数：•z1=3+i与z2=3-i；•z1=-1+2i与z2=-1-2i。可以发现，第一对复数z1=3+i与z2=3-i的实部相等，虚部互为相反数，如图a所示，它们所对应的点A与B关于实轴对称；第二对复数z1=-1+2i与z2=-1-2i和第一对复数具有相同的特征。187例如，复数3+i的共轭复数是3-i，纯虚数i的共轭复数是-i，实数5的共轭复数是5。互为共轭复数的两个复数z=a+bi与

=a-bi所对应的点Z（a，b）与点Z'（a，-b）关于实轴对称，如图所示。188用向量表示复数如图所示，设任意一个复数z=a+bi在复平面上所对应的点为Z（a，b）。连接OZ，显然点Z可以唯一确定一个有向线段

，习惯上，把有向线段

称为向量

（物理学中也称为矢量）；反过来，任意一个向量

也可以唯一确定一个点Z（a，b）。由此可知，点Z与向量

一一对应。因此，复数z=a+bi与向量

也是一一对应的，即复数集C中的元素与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合中的元素是一一对应的。所以，我们可以用向量

表示复数z=a+bi。通常，我们规定：相等的向量表示同一个复数。189向量

的大小（有向线段

的长度）称为复数z=a+bi的模（或绝对值），记作|z|或|a+bi|，由模的定义可知：特别地，当虚部为零，即复数z=a+bi=a是实数时，它的模等于|a|，就是实数a的绝对值；当复数z=0时，它的模等于0。190复数的辐角与辐角主值设复数z=a+bi对应于向量

，以实轴的正半轴为始边，向量

为终边的角θ，称为复数z=a+bi的辐角，它表示出向量

的方向。显然，非零复数z=a+bi的辐角不是唯一的。若θ是复数的一个辐角，则2kπ+θ（k∈Z）也是复数z=a+bi的辐角。我们把[0，2π）范围内的辐角θ的值称为辐角的主值，记作arg

z，即0≤arg

z<2π，如图所示。191例如，由任意角的三角函数定义可知，若已知角θ终边上一点Z的坐标为（a，b），则从而可以确定复数z=a+bi（a≠0）的辐角θ，角θ终边所在的象限就是复数z=a+bi所对应的点Z（a，b）所在的象限。192一对共轭复数z=a+bi与

=a-bi在复平面上对应于点A和B，点A和点B关于实轴对称，如图所示。设复数z=a+bi的模为r，辐角为θ，则共轭复数

=a-bi的模也是r，它的辐角为-θ。193复数的三角形式设复数z=a+bi的模为r，辐角为θ，由图可知z=a+bi=rcosθ+irsinθ=r（cosθ+isinθ），其中辐角θ终边所在的象限就是复平面上的点Z（a，b）所在的象限。因此，任何一个复数z=a+bi都可以表示成z=r（cosθ+isinθ）。我们把这种表示形式称为复数的三角形式。1948.2复数的四则运算195复数的加法运算我们规定，复数的加法法则为：很明显，两个复数的和仍是一个复数。容易验证，复数的加法满足交换律和结合律，即对于任意复数z1，z2，z3，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。196设z1，z2，z依次对应向量

。容易证明，以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形。因此，已知

就可以用画平行四边形的方法求得

。这种方法称为平行四边形法则。也就是说，复数的