《数学（上 一册）（第二版）》 课件 第2章 函数

函数第2章54目录2.1函数的概念2.2函数的性质2.3幂函数2.4指数函数2.5对数函数55教学要求：1.理解函数的概念，会用函数观察、认识、分析客观世界中变量之间的关系。2.学会用恰当的方法（解析法、列表法、图像法）表示函数，会解读用列表法与图像法表示的函数关系的实际含义。3.会求一些简单的函数的定义域。4.理解函数值的概念，并会用观察与分析的方法得到一些简单的函数的值域。5.会用描点法画函数的图像。6.会通过观察与分析，判断函数的奇偶性、单调性，并能利用函数的单调性确定函数在有限区间上的最大值或最小值。567.了解反函数的概念以及求函数的反函数的基本方法。8.了解n次方根的概念，掌握实数指数幂的运算法则，能熟练地使用计算器求幂的值。9.了解由指数式引入对数概念的过程，理解对数的含义，掌握对数的运算法则，能熟练地使用计算器求对数值。10.学会运用函数知识理解和解决简单的实际问题。11.掌握数形结合的数学思想方法，了解幂函数、指数函数、对数函数模型的实际背景，理解它们的概念，了解它们的图像特征和性质，并能够将这些知识用于解释生活和生产中有关指数、对数规律变化的问题。572.1函数的概念58我们在初中已经初步接触了一些有关函数的概念：变量在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。常量在一个变化过程中，数值保持不变的量称为常量。函数与自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么变量y称为变量x的函数，x称为自变量。正比例函数形如y=kx（k≠0且k是常数）的函数称为正比例函数，其中常数k称为正比例系数。59反比例函数形如y=

（k≠0且k是常数）的函数称为反比例函数，其中常数k称为反比例系数。一次函数形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数称为一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。二次函数形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数称为二次函数，其中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。60函数的概念我们知道，用不等式表示的x的取值范围就是满足相应不等式的实数x的集合，这种集合可以用区间表示。因此，实例考察的“面积”一例中，x的取值范围可以写成（0，+∞）；“个人所得税”一例中，x的取值范围可以写成（5000，8000]。进一步考察上面这两个例子会发现，x每取一个值，函数y按照对应法则，都有唯一的值与之对应。由此，我们可以加深对函数的认识：61例如，正比例函数y=kx（k≠0）的对应关系是“乘以k”，定义域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞）；二次函数y=x2+c的对应关系是“求平方再加c”，定义域是（-∞，+∞），值域是[c，+∞）。从函数的概念可以知道，函数的定义域和对应关系是构成函数的两大要素。函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就随之确定了。62函数的表示方法表示两个变量之间的函数关系的方法有解析法、列表法和图像法三种。解析法我们学过的正比例函数y=kx（k≠0），反比例函数y=

（k≠0），一次函数y=kx+b（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式来表示两个变量之间函数关系的。这种用解析式来表示函数的方法称为解析法。用解析法表示函数便于由自变量求出对应的函数值，也便于研究函数的性质。63列表法列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，下表记录的是某同学小学一年级到五年级时，各学期的数学期末考试成绩。在这里，考试成绩是学期序号的函数。用列表法表示的函数便于直接查找自变量对应的函数值，但有时会数据不全。64图像法图像法是指在平面上用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，城市的平均气温与平均降水量是随着时间变化而变化的，例如图所示是某城市平均气温和平均降水量与时间的关系。实线是气温T（单位：℃）随着时间t变化的函数关系，虚线是平均降水量Y（单位：mm）随着时间t变化的函数关系。函数的图像法表示直观形象，能清晰地反映函数关系及变化趋势，但有时无法画出函数的完整图像。65函数关系的建立用数学方法解决问题时，常常需要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式（代数式、方程、表、图或其他方法）表示出来。通常，这个过程称为建立数学模型，简称建模。函数模型是数学模型中最常用的一种。由于实践中的大量问题是两个变量之间的关系问题，因此建立两个变量之间的函数关系（函数模型）是很重要的。66在实际问题中，有时两个变量之间的对应关系式要分段来表示。例如，在省内投寄外埠平信，每封信的重量不超过20g时，付邮资0.8元；超过20g而不超过40g时，付邮资1.6元；超过40g而不超过60g时，付邮资2.4元。设平信的重量为xg（0<x≤60），应付邮资为y元，则有67①式表示了变量x∈（0，60]与y之间的函数关系，其中x是自变量，y是x的函数。这个函数与我们以前熟悉的各种函数不同，在自变量的不同取值范围内，函数的对应法则不同。我们把这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是自变量的几个取值范围的并集，它的图像要在同一个直角坐标系内逐段画出。①式所表示的函数就是一个定义域为（0，60]，值域为{0.8，1.6，2.4}的分段函数，它的图像如图所示。在日常生活和科学技术中，分段函数是经常遇到的一类函数。68对分段函数特别要注意以下几个问题：（1）分段函数在形式上，会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成多个函数。（2）分段函数的图像一般由多于一段的线段或曲线段以及点组成，同样也应该把它们看作一个整体。（3）在求分段函数的函数值时，需要注意的是，对给定的自变量，首先要确定它的范围，再根据该范围的对应法则（函数表达式），计算函数值。692.2函数的性质70函数的奇偶性我们知道，二次函数f（x）=x2的图像是关于y轴对称的轴对称图形，这种对称性在数值上也能反映出来。通过计算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）。事实上，对于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）。也就是说，函数f（x）=x2具有f（-x）=f（x）的特性。71如果函数y=f（x）（x∈D）是偶函数，那么函数y=f（x）的图像关于y轴对称。反过来，如果函数y=f（x）的图像关于y轴对称，那么这个函数一定是偶函数。72对于反比例函数

，我们知道，它的图像关于原点中心对称，这种对称性在数值上也能反映出来。对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是说，函数

具有f（-x）=-f（x）的特性。73如果函数y=f（x）（x∈D）是奇函数，那么函数y=f（x）的图像是关于原点对称的中心对称图形。反过来，如果函数y=f（x）的图像是关于原点对称的中心对称图形，那么这个函数一定是奇函数。一个函数是奇函数或偶函数，我们就说这个函数具有奇偶性。根据奇函数和偶函数的定义，可以得到：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如果一个函数既不是奇函数，又不是偶函数，我们就把这个函数称为非奇非偶函数。74函数的单调性我们知道，对于一次函数y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么当x∈（-∞，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐增大。如果k<0，那么当x∈（-∞，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐减小。上述现象反映了函数的一个基本性质———单调性。观察二次函数y=x2-2，当x在定义域（-∞，+∞）内变化时，它的图像的变化趋势如图所示。我们发现，当x∈（-∞，0]，且x逐渐增大时，y的值随之逐渐减小；当x∈[0，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐增大。7576如果函数y=f（x）在区间I上是单调增加或单调减少的，我们就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I称为函数y=f（x）的单调区间。由上述可知，二次函数y=x2-2在定义域（-∞，+∞）上没有单调性，但在（-∞，0]上是单调减少的，区间（-∞，0]为函数的单调减区间；在[0，+∞）上是单调增加的，区间[0，+∞）为函数的单调增区间。77函数的最大值与最小值我们知道，二次函数y=x2-2的图像是一条抛物线，顶点（0，-2）是抛物线上的最低点，即对于任意的x，都有f（x）≥

f（0）。从而得到，当x=0时，函数y取得最小值为-2。由于该函数图像上没有最高点，所以函数y没有最大值。78反函数我们知道，圆面积S是圆半径r的函数，即S=πr2（r>0）。反过来，也可以由圆面积S来确定圆的半径r，即r=

（A>0）。这时，面积S是自变量，半径r是面积S的函数。在这种情况下，函数r=

（S>0）与函数S=πr2（r>0）有着特殊的关系，这种关系就是下面研究的反函数。79反函数的概念设函数y=f（x）（x∈D）的值域为M。根据这个函数中x，y的关系，求得x用y表示的解析式，即x=φ（y）。如果对于y在M中的任何一个值，通过x=φ（y），x在D中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ（y）就表示y是自变量，x是y的函数。我们就将函数x=φ（y）（y∈M）称为函数y=f（x）（x∈D）的反函数，记作x=f-1（y）。在函数x=f-1（y）中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们用x表示自变量，用y表示函数，即对调函数x=f-1（y）中的字母x，y而改写成y=f-1（x）（在本书中，函数y=f（x）的反函数都采用y=f-1（x）的形式）。例如函数y=4x（x∈R）的反函数为y=

（x∈R）。80f-1是f的逆对应。由反函数的概念可知，若函数y=f（x）有反函数y=f-1（x），那么函数y=f-1（x）的反函数就是y=f（x），即函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数。对于函数y=f（x）（x∈D），只有当任意一个y∈M的值，都有唯一的x值与它对应时，y=f（x）在它的定义域D内才有反函数存在。81反函数的求法从反函数的概念我们不难得到如下结论：函数y=f（x）的定义域是它的反函数y=f-1（x）的值域；函数y=f（x）的值域是它的反函数y=f-1（x）的定义域。求函数的反函数的一般步骤为：（1）由y=f（x）解出x=f-1（y），即把x用y表示出来；（2）将x=f-1（y）改写成y=f-1（x），也就是将x=f-1（y）中的x，y对调；（3）写出反函数y=f-1（x）的定义域。82互为反函数的函数图像间的关系由上述所学可得，函数y=2x-1（x∈R）的反函数是y=

（x∈R），函数y=

（x≥0）的反函数是y=x2（x≥0）。我们画出原函数和它的反函数的图像，见图。83从上图可以看出，函数和它的反函数的图像关于直线y=x对称。一般地，函数y=f（x）的图像和它的反函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称。反之，如果两个函数的图像关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数。842.3幂函数85实数指数幂正整数指数幂零指数幂

a0=1（a≠0）负整数指数幂整数指数幂的运算法则（a，b≠0，m，n是整数）平方根若x2=a（a≥0），则称x为a的平方根（二次方根）。立方根若x3=a，则称x为a的立方根（三次方根）。86n次方根若xn=a（a为实数，n为大于1的正整数），则称x为a的一个n次方根。当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，它们互为相反数，分别为

和

；而对于每一个负数a，它的n次方根是没有意义的。当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为

，当a>0时，

>0；当a<0时，

<0。0的n次方根是0，即

=0。87n次根式我们把形如

（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，非负数的n次方根

称为a的n次算术根，并且

=a（n>1，n为正整数）。学习了n次方根的概念，现在我们可以把整数指数幂推广到有理指数幂。例如，对于正分数指数幂，应用运算法则，有又因为所以88一般地，规定

，其中，当n为偶数时，a≥0；当n为奇数时，a∈R。等式

的左边是幂的形式，右边是根式的形式，根据需要可以相互转换。同样可以规定负分数指数幂的意义：设a≠0，n，m∈N*，且n>1，规定89这样，就把整数指数幂的概念推广到有理指数幂。可以证明整数指数幂的运算法则对有理数指数幂也同样适用，但需注意法则中出现的每一个有理数指数幂都应有意义。事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂，当m，n为实数时，整数指数幂的运算法则也成立。90幂函数我们观察一次函数y=x，二次函数y=x2，反比例函数y=

（即y=x-1）的解析式，可以发现：它们都是以幂的形式出现，幂的底数是自变量x，指数是常数。幂函数的定义域与常数α的取值有关，由幂的性质可知1α=1，即x=1时，y=1，因此，幂函数的图像恒过点（1，1）。我们已经学过常见的幂函数y=xα（α=1，-1，2）的图像和性质，现在讨论另外两个具有代表性的幂函数的图像和性质。912.4指数函数92景区游客问题随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于游客人数不断增加，某地为了增加景区外收入，自2001年起取消了景区门票收费。下表给出了该景区2001年至2015年的游客人次以及增加量，游客的人次有怎样的变化规律呢?93为了便于观察规律，根据表格，该景区取消门票收费后的15年游客人次的变化如图所示。观察图像和表格，我们发现年增加量越来越大，但难以看出变化规律。94我们知道，做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增加率，增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。从2002年起，将景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到结果表明，景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。该景区的游客人次的变化就近似于指数增长。95显然，从2001年开始，景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；……设x年后，游客人次是2001年的y倍，则y=1.11x（x∈N*），即经过x年后的游客人次是2001年的1.11x倍。96药物剩余问题某种药物静脉注射后，通过尿液排出体外，每经过1天，药物在体内的剩余量就减少50%。成人单次注射这种药物1g，经过x天后，药物在体内的剩余量是多少?1天后，药物在体内的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，药物在体内的剩余量是

g；3天后，药物在体内的剩余量是

g；……设x天后，药物在体内的剩余量是yg，则y=0.5x，即经过x天后，药物在体内的剩余量是0.5xg。由上述两个问题得到的函数具有相同的特点，即自变量x都作为指数，底数都是大于0且不等于1的常量。97指数函数的概念上面出现的两个函数：y=1.11x和y=0.5x，都是以幂的形式出现，指数是自变量x，底数是一个大于0且不等于1的常数。这类函数就是我们要研究的指数函数。指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的定义域是（-∞，+∞）。98指数函数的图像和性质由于指数函数y=ax的底数a的取值范围可以分为0<a<1和a>1两种情形，我们以比较简单的指数函数y=2x和y=

为例进行讨论。为了便于研究，我们在同一平面直角坐标系中用描点法画出函数y=2x和y=

的图像。99列表（为便于绘图，无法整除的函数值保留2位小数）：从上面指数函数y=2x和y=

的图像，可以得到：（1）两个图像都在x轴上方，它们的函数值y>0。（2）两个图像都过点（0，1），即当x=0时，y=1。（3）y=2x的图像沿x轴的正方向上升，在定义域内是增函数；y=

的图像沿x轴的正方向下降，在定义域内是减函数。100一般地，指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图像和性质见下表：1012.5对数函数102细胞分裂的次数某种细胞的分裂规律为：1个细胞1次分裂成2个与它本身相同的细胞，即第1次分裂后，细胞的个数是2；第2次分裂后，细胞的个数是2×2=22；第3次分裂后，细胞的个数是；……那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞?第几次分裂后恰好出现128个细胞?103对数的运算在代数式ab=N中有a，b，N三个量，若已知其中两个量，就可以求出第三个量。已知a，b，求N是乘方运算；已知b，N，求a是开方运算；那么，已知a，N，求b是什么运算呢?例如：（1）在实例考察中，设第b次分裂后恰好出现16个细胞，即已知2b=16，求b；（2）已知2b=5，求b。它们都是已知幂的底数和幂的值，求幂的指数的运算。由于24=16，所以（1）中的b=4。但（2）中的b是多少呢?要想解决这个问题，还需要学习新的知识———对数。104对数的定义例如，由于24=16，所以4是以2为底16的对数，记作log216=4；由于3-1=

，所以-1是以3为底

的对数，记作log3

=-1。105通常，我们称等式ab=N为指数式，称等式logaN=b为对数式。根据对数的定义，可以得到，当a>0，且a≠1时，ab=N⇔logaN=b。由上述指数式与对数式的关系，可以得到如下结论：（1）零和负数没有对数，即N>0；（2）loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；（3）alogaN=N（a>0，且a≠1）；（4）logaab=b（a>0，且a≠1）。106对数的运算法则若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则有法则1法则2法则3107下面我们来证明法则1和法则3。设logaM=p，logaN=q，把它们化为指数式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM。108常用对数和自然对数我们把以10为底的对数称为常用对数。log10N通常可简记为lgN。常用对数可以用计算器求值。以无理数e（e≈2.71828）为底的对数称为自然对数。logeN通常可简记为lnN。在科学技术中用得更多的是自然对数。自然对数也可以用计算器求值。109换底公式如何求log23呢?计算器上求对数的键只有

键和