2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题16 不等式含答案

2024初中数学竞赛七年级竞赛辅导讲义专题16不等式（组）阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1.解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2.解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于的不等式组恰好有5个整数解，则t的取值范围是（）A、B、C、D、(2013年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把的解集用含t的式子表示，根据题意，结合数轴分析t的取值范围.【例2】如果关于的不等式那么关于的不等式的解集为.（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于的不等式，求出m，n的值或m，n的关系.【例3】已知方程组若方程组有非负整数解，求正整数m的值.（天津市竞赛试题）解题思路：解关于，y的方程组，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.【例4】已知三个非负数a，b，c满足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m的最大值与最小值.【例6】设是自然数，，，，求的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a，b满足且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.解题思路：解法一：已知a－b的范围，需知－b的范围，即可知a－2b的最大值得情形.解法二：设a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b能力训练A级已知关于x的不等式那么m的值是（“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组的解集是，那么a＋b的值为（湖北省武汉市竞赛试题）若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，则的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组的解x，y都是正数，则m的取值范围是（河南省中考试题）关于x的不等式的解集为，则a应满足（）A、a＞1B、a＜1C、D、(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）适合不等式的x的取值的范围是（）已知不等式的解集那么m等于（）A、B、C、3D、－3已知，下面给出4个结论：①；②；③④，其中，一定成立的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个（江苏省竞赛试题）9、当k为何整数值时，方程组有正整数解？（天津市竞赛试题）10、如果是关于x，y的方程的解，求不等式组的解集11、已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a，b）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B级如果关于x的不等式的正整数解为1，2，3那么的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）若不等式组有解，则的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式只有三个正整数解，那么这时正数a的取值范围为.（”希望杯“邀请赛试题）已知则的取值范围为.(“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a，b，c满足不等式组，则a，b，c的大小关系是（）A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、c＜a＜bD、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）一共（）个整数x适合不等式A、10000B、20000C、9999D、80000（五羊杯“竞赛试题）已知m，n是整数，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，则mn的值是（）A、70B、72C、77D、84不等式的解集为（）B、C、D、（山东省竞赛试题）的最大值和最小值.（北京市”迎春杯”竞赛试题）已知x，y，z是三个非负有理数，且满足3x＋2y＋z＝5，x＋y－z＝2，若s＝2x＋y－z，求s的取值范围.（天津市竞赛试题）求满足下列条件的最小正整数n，对于n存在正整数k使成立.已知正整数a，b，c满足a＜b＜c，且，试求a，b，c的值.专题16不等式（组）例1C提示：解不等式组得，则5个整数解为x＝19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤.例2提示：，，，，.例3或提示：解方程组得，由得－1≤m≤0例4提示：由已知条件得,解得,m=3c－2.由得,解得,故m的最大值为,最小值为例5先用x1和x2表示x3,x4，…，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7=2010.于是得.因为x2是自然数,所以是整数，所以x1是10的奇数倍.又因为x1＜x2，故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2+x3的最大值为2(x1+x2)=2×118=236.例6解法一：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4②，由②知－4≤－a－b≤－1③，①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0.∴a=1且b=0，此时8a+2003b=8.解法二：设a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+(m－n)b,知,解得.而,,∴a－2b=+∴－2≤a－2b≤1当a—2b最大时，a+b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此时8a+2003b=8.A级1.2.11. 1提示:原不等式组变形为由解集是0＜x＜2知,解得故a+b=2+(－1)=13.a＜－b＜b＜－a4.＜m＜75.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集为x＜－3知x+3＜0,所以a－1＜0,得a＜1.6.C7.B8.C9.k=2或3.10. 提示：由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x＜－3.11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，所以其解不可能是必有，由整数解的情况可知,得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整数对(a,b)共有2×3=6对.B级1.提示:由题意可知:.由正整数解为1,2,3知,解得2.a≥－1提示:原不等式组变形为由不等式组有解知－a≤1,故a≥－13.9≤a＜124.5.B提示:原不等式组变形为,,.6.C示：若x≥2000，则(x－2000)+x≤9999，即2000≤x≤5999,共有4000个整数;若0≤x＜2000,则(x－2000)+x≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合若x＜0，则2000－x+(－x)≤9999即－3999.5≤x＜0，共有3999个整数适合，故一共有4000+2000+3999=9999个整数适合.7.D8.C提示:由原不等式得x2＞(x+5)29.提示：解不等式，得,原式=,从而知最大值为4，最小值为10.提示：s=x+2，2≤s≤311.提示:由,得，即.又n与k是都是正整数，显然n＞8，当n取9,10,11,12,13,14时，k都取不到整数.当n=15时,,即此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13.12.由得，故，即，又因为，故a=2，从而有，又，则，即b＜4，又b＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.专题17不等式(组)的应用阅读与思考许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在：1．作差或作商比较有理数的大小．2．求代数式的取值范围．3．求代数式的最大值或最小值．4．列不等式(组)解应用题．列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”．例题与求解【例1】如果关于的方程只有负根，那么的取值范围是_________．(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)解题思路：由＜0建立关于的不等式．【例2】已知A＝，B＝，C＝，则有()．A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．B＞C＞A(浙江省绍兴市竞赛试题)解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较【例3】已知，，，，，，是彼此不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数的最大值．(北京市竞赛试题)解题思路：设＜＜＜···＜，则+++···+＝159，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含的不等式．【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元．(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程和不等式结合起来分析．【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．(河北省竞赛试题)解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．【例6】已知，皆为自然数，且1＜＜．若，．求的值．(香港中学数学竞赛试题)解题思路：此题可理解为在个连续自然数中去除其中一个数(且1＜＜，是非两头的两个数)，使剩余的数的平均数等于10，求和之和。能力训练A级1.若方程的解小于零，则的取值范围是___________．2.若方程组的解为，，且2＜＜4，则－的取值范围是___________．（山东省聊城市中考试题）3.，，，是正整数，且＋＝20，＋＝24，＋＝22，设＋＋＋的最大值为M，最小值为N，则M－N＝_________．（重庆市竞赛试题）4．一辆公共汽车上有名乘客，到某一车站时有名乘客下车，则车上原有______________名乘客．（吉林省长春市中考试题）5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的，且至少是红球的，黄球与白球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．(河北省竞赛试题)6．若，且≥2，则()A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值(浙江省杭州市中考题)7．设，，则P，Q的大小关系是（）．A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能确定8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于()A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克(山东省烟台市中考试题)9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?(江苏省竞赛试题)10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深度为2.5m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港．根据题目中所给的条件，回答下列问题：(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m，卸货最多只能用______小时；(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几小时，才能交给乙队接着卸？（江苏省苏州市中考试题）B级1．设，，，都是整数，且＜3，＜5，＜7，＜30，那么的最大可能值为_______．（“新世纪杯”数学竞赛试题）2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有住满4人，该宾馆底楼有客房___________间．3．已知＜0，满足不等式，那么的取值范围是___________．4．若，满足，S＝，则S的取值范围是__________．(广西竞赛试题)5．已知，，，…，是彼此互不相等的负数，且M＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，N＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，那么M与N的大小关系是()A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．无法确定(江苏省竞赛试题)6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行()套．A．2000B．3000C．4000D．5000(“希望杯”邀请赛试题)7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?(北京市竞赛试题)8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖金（元/人）15007000当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积19分．(1)请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费的和为W(元)，试求W的最大值。(黑龙江省中考试题)9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元，改造一所A类学校和两所．B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?(2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所?(3)我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方案．(湖北省襄樊市中考试题)10．设，，…，是整数，且满足下列条件：(1)－l≤≤2(＝1，2，…，2008)；(2)；(3)．求的最大值和最小值．(“宗沪杯”竞赛试题)专题17不等式（组）的应用-1＜m＜1例2A例3设，因a1，a2，…a7为正整数，故，，，，，，上面不等式相加，得，，故的最大值为19.设小熊玩具和小猫玩具的个数分别为x、y，总售价为z，则当总售价z=2200元时，则为，即解得，故x=14.当x=14时，y=24，z=80×14+45×24=2200元，故安排生产小熊玩具14个，小猫玩具24个可达到总售价2200元.提示：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，则解得，故z=41，42，43，44，45.由此得出x，y的对应值，于是得到5种方案：（x，y，z）=（73，36，41）；（x，y，z）=（76，32，42）；（x，y，z）=（79，28，43）；（x，y，z）=（82，24，44）；（x，y，z）=（85，20，45）.例6∵1＜k＜n∴即，∴，即∴n=19。于是，解得k=10，故a=n+k=19+10=29.A级1.a＞19922.0＜x-y＜13.36提示：b=20-a,c=24-a.d=22-a，，由a，b，c，d为正整数，得，原式=66-2a，∴M=66-2×1=64， N=66-2×19=28，则M-N=64-28=36.4.6或11或16提示：5a-4≥0，9-2a≥0以及5a-4≥9-2a.5.54提示：设有白球x个，黄球y个，红球z个，则依题意有，由①得，∴，即，又∵x为整数，∴，则②式得，即.6.C提示：由条件得a＞0，b＜0或a＜0，b＜0，从而或，.7.A8.D9.购买46张6元票、94张10元票花钱最少，最少需要1216元.10.（1）68（2）甲愉至少应工作4小时.B级1.3026提示：a≤3b-1，b≤5c-1，c≤7d-1，d≤30-1=29.2.10提示：设底楼有x间客房，则3.4.提示：由题中条件知，解得，又因为，故，解得.5.A提示：设，，则，故M＞N.6.A设出版社发行x套书，则100×（1-0.3）x≥（8000+20x）（1+10%）.提示：设甲、乙、丙三种盐水应分别取x克，y克，z克，解得，从而，解得8.（1）设A队胜x场、平y场、负z场，则，，∵，∴，解得.∴x=4，5或6，即A队获胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1；当x=5时，y=4，z=3；当x=6时，y=1，z=5.⑵W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=19300-600x.当x=4时，W最大，W最大值=19300-600×4=16900元.9.提示：⑴设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元，依题意得，解得.即改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元.⑵设该县A，B两类学校分别为m所和n所.则60m+85n=1575，m=.∵m≤5，∴≤5，解得n≥15，即B类学校至少15所.⑶设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为（6-x）所，依题意得，解得1≤x≤4.∵x取整数，∴x=1，2，3，4，即共有4种改造方案.10.设x1，x2，…x2008中有q个0，r个-1，s个1，t个2，则，解得s+3t=1104，故0≤t≤368.由x13+x23+…x20083=-r+s+8t=6t+200得200≤x13+x23+…x20083≤6×368+200=2048.∴当t=0，s=1104，r=904时，原式取最小值200；当t=368，s=0，r=536时，原式取最小大值2408.专题18简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解【例1】满足(0＜＜＜1998)的整数对(，)共有_______对．(全国初中数学联赛试题)解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多()．A．20张B．15张C．10张D．5张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为，，张．根据题意列方程组，整体求出的－值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家中的电话号码．(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例5】甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个．问：三个小组共有多少名同学?(海峡两岸友谊赛试题)解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．【例6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车．问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于32人)解题思路：设原先租客车辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐人，根据题意列出方程求解，注意排除不符合题设条件的解．能力训练A级1．若，则＝__________．2．已知，(≠0)，则的值等于________．3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_________岁．(“希望杯”邀请赛试题)4．已知，，为整数，且，．若＜，则的最大值为_____．(全国初中数学竞赛试题)5．，都是质数，则方程共有()．A．1组解B．2组解C．3组解D．4组解(北京市竞赛试题)6．如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始．每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()．A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米7．给出下列判断：①不定方程的整数解可表示为(为整数)．②不定方程无整数解．③不定方程无整数解．其中正确的判断是()．A．①②B．②③C．①③D．①②③8．小英在邮局买了10元的邮票，其中面值0.10元的邮票不少于2枚，面值O.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了()枚邮票．A．17B．18C．19D．20(“五羊杯”邀请赛试题)9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗，所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．(“希望杯”邀请赛试题)12．已知是满足的整数，并且使二元一次方程组有整数解．问：这样的整数有多少个？（“华罗庚金杯”竞赛试题）B级1．如果，，满足，那么＝__________．(“祖冲之杯”邀请试题)2．已知，为正偶数，且，则＝_________．3．一个四位数与它的四个数字之和等于1991．这个四位数是__________．(重庆市竞赛试题)4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，每个盒中只装一种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是3，6，9，14，18．现在知道其中银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的2倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，铜牌_____枚．5．若正整数，满足，则这样的正整数对(，)的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个6．有甲、乙、丙3种商品，单价均为整数，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙l件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需()元．A．6元B．8元C．9元D．10元7．在方程组中，，，是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为()．A．6B．3C．多于6D．少于3(“希望杯”邀请赛试题)8．一个两位数中间插入一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有()个．A．1B．4C．10D．超过109．李林在银行兑换了一张面额为l00元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．50元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时。他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里程碑上的数各是多少?(“勤奋杯”竞赛试题)11．已知四位数满足，求这样的四位数．(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)12．求方程的正整数解．(“希望杯”邀请赛试题)专题18简单的不定方程、方程组例13提示：(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47，(n-m)与(n+m)奇偶性相同，对3995的任一正整数分解均可得到一个(m，n).例2C设购买10元，15元，20元的电影票分别为x，y，z张.则，②-①×15得5(z-x)=50，解得z-x=10.例3设此8位数为，将记为x，记为y，记为z.x，y，z均为自然数.即电话号码是100000x+10000y+z，且100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，则，得1111y–x=285，由100≤x≤999，y≥0，得，故电话号码是82616144.例4提示：设盒子里共有x(x≤200)粒棋子，则12a-1=11b=x(a、b为正整数)，解得a=10，b=11，x=121.例5设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得28a+30b+31c=365.因28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得a+b+c＜＜13.04，所以a+b+c≤13.因31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365.得a+b+c＞＞11.7，所以a+b+c≥12因此a+b+c=12或13.当a+b+c=13时，得2b+3c=1，此方程无正整数解；当a+b+c=12时，符合题意.例6设原先租客车x辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k人，显然x≥2，23≤k≤32.依题意有：22x+1=k(x-1).则.因为k为自然数，所以必是自然数，但23是质数，因数只有1和23，且x≥2，∴x-1=1或x-1=23.如果x-1=1，则x=2，k=45，不符合k≤32的题设条件.如果x-1=23，则x=24，k=23，符合题意.这时旅客人数等于k(x-1)=23×23=529人.A级1..2.13.1