导数应用：含参函数的单调性讨论(二)

导数应用：含参函数的单调性讨论(二)对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。典型例题例1、已知函数,讨论函数的单调性.分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定的解区间；确定函数的减区间就是确定的解区间；讨论单调性与讨论不等式的解区间相应。解：因为，所以(1)当时，，当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减；(2)当时，的图像开口向上，I)当时，，所以函数在R上递增；II)当时，方程的两个根分别为且所以函数在，上单调递增，在上单调递减；(3)当时，的图像开口向下，且方程的两个根分别为且所以函数在，上单调递减，在上单调递增。综上所述，当时，所以函数在上单调递增，在，上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当，函数在R上递增；小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。例2．（2010山东理数改编）已知函数.讨论的单调性；解：因为的定义域为所以，令，则同号法一：根据熟知二次函数性质可知g(x)的正负符号与开口有关，因此可先分类型讨论：①当时，由于<1，开口向下,结合其图象易知，,此时，函数单调递减；时，，此时，函数单调递增.②当时，开口向上,但是否在定义域需要讨论：因所以i)当时，由于<1，开口向上,结合其图象易知，，此时，函数单调递增.时，,此时，函数单调递减；ii)当时，g(x)开口向上且，但两根大小需要讨论：a)当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；b)当，g(x)开口向上且在（0，）有两根时，，此时，函数单调递减；小结：求单调区间要确定定义域，确定导函数符号的关键是看分子相应函数，因此讨论点有：第一是类型（一次与二次的根个数显然不同)；第二有没有根（二次的看判别式），第三是有根是否为增根（在不在定义根内；第四有根的确定谁大；第五看区间内导函数的正负号（二次函数要看开口）。确记要数形结合，多数考题不会全部讨论点都要讨论的，题中往往有特别条件，不少讨论点会同时确定（即知一个就同时确定另一个）。判别式与开口的讨论点先谁都可以，但从简单优先原则下可先根据判别式讨论，因为当导函数无根时它只有一种符号，相应原函数在定义域内（每个连续的区间）为单调函数较简单。巩固作业：1.已知函数，求的单调区间.解：2.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间。解：的定义域为.(1)(2)①若即时，>0,故在单调递增.②若0<,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.③若,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.综上所述，当，单调增区为,减区间是;当时，的减区间是，增区间是；当时，在定义域上递增，单调增区为（不存在减区间）;当时，的减区间是，在增区间是.3.已知函数()=(1+)-+(≥0)，求()的单调区间.解：，.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）当.（3）当即时，故的单调递增区间是.（4）当即（）时，由得，；由得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.（5）当即（）时，由得，；由得，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.综上知