2018-2019学年上海中学高一（上）期末数学试卷（解析版）

2018-2019学年上海中学高一(上)期末数学试卷

一、填空题

1.函数f(X)=后孑山(X-1)的定义域为.

2.设函数f(x)=0+1)(x-a)为奇函数,则实数a的值为.

x

3.已知y=loge+2(a>0且aWl)的图象过定点P,点尸在指数函数y=/(x)的图象上，

则/(x)=.

4.方程§2*1=(/)乂的解为.

5.对任意正实数x,y,f(xy)=/(x)旷(y),/(9)=4,则f(愿)=.

6.已知第函数/(x)=("P-5〃z+7)x'"是R上的增函数，则5的值为.

2"(箕40)1

7.已知函数f(x)=\.//、的反函数是fi(x),则fl(4)=______.

log2x(0<x^l)2

8.函数y=log和2-6X+5I的单调递增区间为.

9.若函数f(x)=1。ga(x2-ax+2)(a>0且aWl)满足：对任意x”xz，当XiVxzq"!"

时，/(xi)-f(x2)>0,则a的取值范围为.

10.已知x>0,定义f(x)表示不小于x的最小整数，若f(3xt/(x))=/(6.5),则正

数x的取值范围为.

11.已知函数f(x)=log“(m+2)-log(2ni+l+—)(a>0且aWl)只有一个零点，则

aX

实数〃7的取值范围为.

logj(1-x),

12.已知函数/(x)=，7,(〃<根)的值域是[-1,1],有下列

22-lx-11-3,n〈x《m

结论：(1)”=0时，，吒(0,2]；(2)〃=和，改，2]；(3)n=[0,/)时，

me(〃，2],其中正确的结论的序号为.

二、选择题

13.下列函数中，是奇函数且在区间(1,+8)上是增函数的是()

B.f()=(1)|x|

A.f(x)=--xX

C.f(x)=-x3D.f(x)=-log2^1

14.已知/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-8,0)上单调递增，若实数，"满足

f(依-1|)>/(-1),则%的取值范围是()

A.(-8,0)B.(-°°,0)U(2,+8)

C.(0,2)D.(2,+8)

15.如果函数/(x)在其定义域内存在实数项)，使得/(沏+1)=/(xo)+/'(1)成立，则称

函数/"(X)为“可拆分函数”，若f(x)=lg-j为“可拆分函数”，则a的取值范围

2X+1

是()

A.(1.|)B.(1,3)C.(1,3]D.(3,+8]

16.定义在(-1,1)上的函数f(尤)满足f(x)=/1、-,当xe(-I,0]时，f(x)

f(X-1J+1

-1,若函数g(x)=1/(x)-马-尔-加在(-1,1)内恰有3个零点，则实

x+12

数机的取值范围是()

A.(―,—)B.[―,—)C.[―,—)D.(―,—)

416416L42;2'

三、解答题

17.已知函数f(x)=2*7的反函数是y=/T(x),g(x)=log4(3x+l).

(1)画出/(x)=2*-1的图象；

(2)解方程(x)=g(x).

18.已知定义在R上的奇函数/(x)=ka-ax((a>0且,依R).

(1)求人的值，并用定义证明当。>1时，函数/(x)是R上的增函数；

(2)已知f⑴=■|,求函数g(x)=/+"2•在区间[0,I]上的取值范围.

19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线

路通车后，电车的发车时间间隔r(单位：分钟)满足2WfW20,经市场调研测算，电车

载客量与发车时间间隔，相关，当10W/W20时电车为满载状态，载客量为400人，当2

<f<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-力的平方成正比，且发车时间间隔为2

分钟时的载客量为272人，记电车载客量为pCt).

(1)求p(f)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为Q=6p(tA1500_60(元),问当发车时间间隔为多少

时，该线路每分钟的净收益最大?

20.对于定义域为。的函数)，=/(x),若存在区间［a,勿u。，使得/(x)同时满足，(T)f

(x)在［。，句上是单调函数，②当/(x)的定义域为［小切时，/(%)的值域也为［a,b］,

则称区间［〃，句为该函数的一个“和谐区间”.

(1)求出函数/(x)=/的所有“和谐区间”［a,h］；

(2)函数f(x)=|g-3|是否存在“和谐区间”3,勿？若存在，求出实数。，》的值；

若不存在，请说明理由；

(3)已知定义在(2,k)上的函数f(x)=2m—多有“和谐区间”，求正整数k取最小

x-1

值时实数，”的取值范围.

2

21.定义在R上的函数g(x)和二次函数〃(x)满足：g(x)+2g(-x)=/+--9,h

e

(-2)—h(0)-1,〃(-3)--2.

(1)求g(x)和/?(x)的解析式；

(2)若对于x”X2&\-1,11，均有h(%,)+axi+52g(也)+3-e成立，求a的取值范

围；

'g(x),x>0

(3)设/(x)=4,、>，在(2)的条件下，讨论方程力/Yx)l=a+5的解的个

h(x),x<0

数.

2018・2019学年上海中学高一(上)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题

1.函数/(X)=劣2-廿加(x-1)的定义域为(1，2]

2-x>0

【解答】解:由题意可得解得1VXW2,

x-l>0'

故函数的定义域为：(1,2],

故答案为：(1,2]

2.设函数f(x)=为奇函数,则实数”的值为1

X

【解答】解：f(x)=x,(l-a)x-a是奇函数,

X

/./(-X)=-/(X)，即x2+(a-l)x-a=_x2+(l-a)x-a,

-xX

22

Ax+(a-1)x-a=x~+(1-a)x-a,

/.(aT)x=(l-a)x,

故答案为：1.

3.已知y=logd+2(a＞0且。*1)的图象过定点P,点P在指数函数y=/(x)的图象上,

则/(x)=2”.

【解答】解：由。的任意性，x=l时，y=2,故y=log«x+2(。＞0且oWl)的图象过定

点P(1,2),

把尸(1,2)代入指数函数/(x)=a,。＞0且aWl,得a=2,

所以/(无)=2\

故答案为：2\

4.方程923f4-1=(y)X的解为=|_.

【解答】解：由题意，9Zv+，=-V，

3X

.•.9但1.3*=1,

32但13，=1,

32(2v+l)+A=b即35**2=i.

5x+2=0,

故答案为：-

5

5.对任意正实数羽y,/(xy)=/(x)+fCy),/(9)=4,则f（北）=_1

【解答】解：令x=y=3,则/(9)=2f(3)=4,

・"⑶=2,

令x=y=dl，则f(3)=2f(巡)=2，

故答案为：1.

6.已知某函数/(X)=(毋-5〃什7)/是R上的增函数，I贝m।的值为3

2_

【解答】解：函数/(x)=(w2-5/n+7)”是塞函数，则m-5m+7=1,

即nf-5m+6=0,

解得m—2或机=3；

当机=2时，/(x)=f不是R上的增函数，不满足题意；

当机=3时，/(x)=f是R上的增函数，满足题意.

则〃?的值为3.

故答案为：3.

7.已知函数/(x)=1/、的反函数是fl(A,则尸弓)=-1

log2x(,0<.x%lj

【解答】解：由题意，xWO,2X=^,：,x=-l,

：.f'(―)=-1.

2

故答案为-1.

8.函数y=log/*-6x+5l的单调递增区间为(-8,1),[3,5）

【解答】解：函数，=|f-6x+5|的图象如图，

内层函数大于0的减区间为(-8,1),[3,5)；

而外层函数y=i°gj?为定义域内的减函数，

4

函数尸log/-6x+5|的单调递增区间为(-8,|),⑶5).

故答案为：(-8,1),[3,5).

9.若函数f(x)=log(x2-ax+2)(〃>0且a/l)满足：对任意x”X2)当

0't,/(X,)-f(x2)>0,则。的取值范围为(1,2、回).

2

【解答】解：•.•尸，-以+2=(x-4)?+2-在对称轴左边递减，

24

，当X[<X2W*|fl寸，yi>j2

:对任意的XI、X2,当"时，f(X|)-f(%2)>0^/'(%1)>f(%2)>

故应有”>1①

2

又因为y=x2-ax+3在真数位置上所以须有2-3_>0=-2&<“<2衣②

4

综上得1<a<242

故答案为：(1,2&).

10.已知x>0,定义/(x)表示不小于x的最小整数，若)=/(6.5),则正

数x的取值范围为_春-1]_.

【解答】解：由题意，/(6.5)=7,故)=7,

.\6<3x+f(x)W7,

当/(工)=i时，ovxWi,

此时6<3x+lW7,解得蔡<x《2,不符合题意；

当f(x)=2时，1VXW2,

此时6V3x+2<7,解得满足题意；

当f(x)=3时，2VA<3,

此时6<3x+3W7,解得l〈x《母，不符合题意；

易知，当x>争寸均不符合题意；

综上，实数X的取值范围为仔，

故答案为：壹|].

9

11.已知函数/(X)=log”(g+2)-log”(2/H+1+—)(〃>0且只有一个零点，则

x

实数m的取值范围为-1或m=0或m--5.

-----------------------------2-

9

【解答】解：函数/'(x)=log«("ix+2)-log(2m+l+—)(〃>0且〃#1)只有一个零

f/X

点，

可得f(x)=0,Bpmx+2=2m+\+—>0,有且只有一个实根，

X

7n=0,x=2显然成立；

由+(1-2/n)x-2=0,△=(1-2m)2+8/H=0,

解得m=-/，此时x=2成立；

99-Y

由m(x-2)=--1=^-,

xx

即(x-2)处2=0,

X

由xW2,可得的+1=0,

2m+2^0,即mW-1.

综上可得”的范围是〃区-1或772=0或m=-右

故答案为：mW-1或m=0或m—-

2

logj(1-x),T《x<n

12.已知函数/(x)=<万，(〃〈加)的值域是[-1,1],有下列

22-|XT|_3,n〈x《m

==

结论：(1)〃=0时，加£(0,2]；(2)n~2^'l,,2]；(3)n[09时,

me(%2],其中正确的结论的序号为(2)(3)・

【解答】解：当%>1时,x-1>0,/(x)=22*i-3=23r-3,单调递减，

当-1<XV1时，/J)=22+1-3=2*”-3,单调递增，

：.f(x)=22*"-3在(-1,1)单调递增,在(1,+8)单调递减，.•.当x=l时,

取最大值为1，

...绘出22一小"-3的图象,如图下方曲线:

logj(l_x),-l<x40

(1)当〃=0时，f(x)=>'2,

22',X-1|-3,0<x<m

由函数图象可知：

要使/(x)的值域是［-1,1］,

则怵(1,2］；故(1)错误；

(2)当〃时，/(x)=log/(1x),

f(x)在［-1,单调递增，/(x)的最大值为1,最小值为-1,

：.me(A,2］；故(2)正确；

(3)当〃日0,y)时，nze［l,2］：故(3)正确；

故答案为：(2)(3).

二、选择题

13.下列函数中，是奇函数且在区间(1,+8)上是增函数的是()

A-f(x)=--xB.«)=(得)凶

x2

C./(x)=-?D.f(x)=-log2答

【解答】解：在A中，/Q）=工-》是奇函数，在区间（1,+8）上是减函数，故A错

X

、口

I天；

在8中，f（x）=（'）㈤是偶函数，在区间（1，+8）上是减函数，故B错误；

在C中，/（x）=-/是奇函数且在区间（1,+8）上是减函数，故C错误；

在。中，f（X）=Tog23M是奇函数且在区间（1,+oo）上是增函数，故。正确.

X-1

故选：D.

14.已知/（X）是定义在R上的偶函数，且在区间（-8,0）上单调递增，若实数，"满足

/（依-1|）（-1）,则%的取值范围是（）

A.（一，o）B.（-8,0）u（2,+co）

C.（0,2）D.（2,+8）

【解答】解：•••偶函数，在（-8,0）上是增函数，

二函数在（0,+8）上为减函数，

1|）>/（-1）,

：.\m-1|<1,

-\<m-1<1,

.,.0</«<2

故不等式的解集为{刑0<〃1<2},

故选：C.

15.如果函数/（x）在其定义域内存在实数xo,使得/（必+1）=/（xo）V（I）成立，则称

函数/（X）为“可拆分函数”，若f（x）=lgj—为“可拆分函数”，则a的取值范围

2X+1

是（）

A.（I，|）B.（1,3）C.（-1,3]D.（3,+8]

【解答】解：因为函数/（x）=/g:为“可分拆函数”，

2X+1

aa-

所以存在实数xo，使得lgx+i=l8~+/g去

20+120+13

aa

即x+ix且4>0,

20+12X°+1i

所以“=义?一上"一,令工=2确，则f>0,

2X2X°+1

_3(t+l)_3,3

所以，«

2t+l22(2t+l)

由f>0得

2

即“的取值范围是（鸟，3）.

2

故选：B.

16.定义在（-1,1）上的函数/（x）满足/（x）=———八r，当/£（-1,0］时，f（x）

f（X-1J+1

=-^—­若函数g（X）=，（X）-m-mx-m在（-1,1）内恰有3个零点，则实

x+12

数〃?的取值范围是（）

A.(―,-)B.[―,—)C.[―,—)D.(―,—)

416416L422'

【解答】解：当xe(-1,0]时，f(x)=---1,

x+1

当工€(0,1)Bj,x-1E(-1,0),

1————

/（X）=-7---r=1=尤，

f（X-l）+11+---1

X

若函数g（x）=\f（x）-3-〃犹-加在（-1,1］内恰有3个零点,

即方程「（x）-4-"优-m=0在（-1,1］内恰有3个根，

也就是函数y=,（x）-寺与y=mx+m的图象有三个不同交点.

作出函数图象如图:

由图可知，直线>=〃优+加恒过点（-1,0）,

过点（-1,0）与点（0,5）的直线的斜率为5；

22

过点（-1,0）与（1,高）的直线斜率为二，

24

可得1/（x）-g与y=〃a+〃?的图象有三个不同交点的，〃的取值范围为C，5）.

242

故选：C.

三、解答题

17.已知函数/(x)=2'-1的反函数是(x),g(x)=log4(3x+l).

(1)画出f(x)=2'-1的图象；

(2)解方程(x)=g(x).

【解答】解：(1)如图所示，

(2)由y=2'-1,解得:x=log2(y+1),

把x与y互换可得：y=log2(x+1),

.*./(x)的反函数是尸尸(x)=log2(x+1)(x>-1).

方程/I(x)=g(X)即log2(尤+1)=log4(3x+l).

:.(x+1)2=3X+1>0,

解得：x=0,1.

18.已知定义在R上的奇函数/(x)=ka-ax((。＞0且〃Wl),依R).

(1)求人的值，并用定义证明当。＞1时，函数/(x)是R上的增函数；

(2)已知f(l)="|，求函数g(x)=/+"2•在区间10,1］上的取值范围.

【解答】解：(1)因为定义在R上的奇函数/(x)=ka-ax((a＞0且aWl),依R).

所以/(0)=k-1=0,解得&=1,

:.于(x)=a-ax,

当a>1时，任取X\，X2E(-8,4-00)，且汨<X2,

X]<X21/.^X1<6fX2，艮口QX]一QX2V0，

6/X,+X2>O,

・,./(即)<f(%2)，

所以函数/(x)在R上是增函数.

(2)由⑴知，k=l,又因为/⑴=y,

a-a'=^-,解得a=2或-《(舍)，

22

所以g(x)=2%22=4*+47=4*+士，

4X

令r=4”,(lWfW4)

则y=?+-^-,

17

所以fE[2,---],

4

函数g(x)=f+"2,在区间[0,1]上的取值范围[2,-21].

4

19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线

路通车后，电车的发车时间间隔r(单位：分钟)满足2WfW20,经市场调研测算，电车

载客量与发车时间间隔，相关，当10W/W20时电车为满载状态，载客量为400人，当2

<f<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-f)的平方成正比，且发车时间间隔为2

分钟时的载客量为272人，记电车载客量为0C).

(1)求p(/)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为Q=6p(tA1500一60(元),问当发车时间间隔为多少

时，该线路每分钟的净收益最大?

【解答】解：⑴由题意知，P⑺=［00-k(10jt1,24t<10(%为常数)，

400,10<t<20

•：p(2)=400-k(10-2)2=272,:.k=2.

.(、400-k(10-t)2,2<t<10

：.p(z)=<.

400,10<t<20

：.p(6)=400-2(10-6)2=368；

(2)由Q=6p(t)；1500_6o,可得

—(-12t2+180t-300),2<t<lC

Q=<:'

—(-60t+900),10<t<20

t

当2Wf<10时，Q=18O-(12什斗。)<180-2^12t-^=60.

当且仅当f=5时等号成立；

当10W/W20时，Q=-60+9詈W-60+90=30,当r=10时等号成立.

当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元.

20.对于定义域为。的函数)，=/(x),若存在区间［a,勿u£),使得/(x)同时满足，

(x)在［a,回上是单调函数，②当/(x)的定义域为以，切时，/(x)的值域也为［a,b\,

则称区间［a,切为该函数的一个“和谐区间”.

(1)求出函数/(X)=储的所有“和谐区间”［a,b］；

(2)函数f(x)=|g-3|是否存在“和谐区间”［。，勿？若存在，求出实数。，人的值；

若不存在，请说明理由；

(3)已知定义在(2,k)上的函数f(x)=2m—J有“和谐区间”，求正整数k取最小

x-l

值时实数，〃的取值范围.

【解答】解：(1)•.•函数/CO=f；

：.f(x)在R内单调递增；

再令/(x)=x=x9

：.x=-1,0,1；

：.f(x)=/的“和谐区间”为：[-1,0J>[0,1]>[-1,1]；

(2)假设函数f(x)=|g-3|存在和谐区间，

3|=x；

；.，+3x-4=0或x2-3x+4=0

①当』+3x-4=o,即彳=-4或1；在[-4,1]内f(x)不单调，故不成立；

②当f-3x+4=0时，x无解，故不成立；

综上所述：函数f(x)=|不存在和谐区间；

(3)•.•函数f(x)=2m-%有“和谐区间”；

.V(%)在(2,k)内单调递增，且/(x)=x在定义内有两个不等的实数根;

二2m-r=斑定义内有两个不等的实数根;

X-1

44

即：2tn=x+-----=x-l+-----+1：

x-1x-1

VxG(2,k),

••2m^2,(x-1)，即m

:函数g(x)=x〜&在(2,3)内单调递减，在(3,+8)内单调递增，

X-1

・・・Q3；

:函数g(x)=x」r^直线尸2，”在(2,k)有两个交点，g(2)=6

X-1

,4

・・kt-丁