人教A版高中数学第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难) (42)(有解析)

第五章第4节《三角函数的图象与性质》解答题(较难)(42)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.已知向量而=(cos2%,a),n=(a,2+V3sin2x),且函数f(%)=沅•五-5(aWR).

(I)当函数f(x)在［o5］上的最大值为3时，求。的值；

(11)在(1)的条件下，若对任意的teR,函数y=/Q),在(t,t+b］上的图像与直线y=-l有且

仅有两个不同的交点，试确定6的值.并求函数y=f(x)在(0,回上的单调递减区间.

2.如图，矩形ABCC是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCQE区域内部展

示文物，QE是玻璃幕墙，游客只能在2L4DE区域内参观.在AE上点P处安装一可旋转的监控

摄像头，4MPN为监控角，其中M、N在线段DE(含端点)上，且点M在点N的右下方.经测量得

知：4。=6米，AE=6米，4P=2米，/MPN=*记/EPM=火弧度)，监控摄像头的可视区

域｛aJPMN的面积为S平方米.

5

(1)求S关于。的函数关系式，并写出的取值范围；(参考数据：tan；々3)

4

(2)求S的最小值.

3.设函数f(%)=sin%,%GR.

(1)已知6G—2兀),函数/(%+6)是偶函数,求。的值；

(2)求函数y=\f(x+割2+/a+割2(*e[0,争)的值域.

7T

4.已知函数/(1)=silLT-COS(X—；)+86%-

(1)求函数f(%)的最大值，并写出f(%)取最大值时X的取值集合；

(2)在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若/(4)=1,b+c=3求。的最小值.

5.已知向量W=(cosx,-，6=(V^sinx,cos2x),xCR,设函数f(x)=W-G；

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间.

(2)求f(x)在［04］上的最大值和最小值.

6.在平面直角坐标系xO.y中，曲线C的参数方程为｛:/；：；；：；«为参数)，点P坐标为(。，2).

以坐标原点。为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为。=a(0<a<》,

直线/交曲线C于A,B两点.

(1)求点P的极坐标和曲线C的极坐标方程；

(2)设AB的中点为M,求三角形。PM面积的最大值.

7.在斜AABC中，ahc分别是角4B,C的对边，且(a+b+c)(b-a—c)+2=cos(r+?

acsinAcotiA

(I)求角A的大小；

(II)若吗〉求角B得取值范围.

8.已知梯形ABC。顶点B,C在以AO为直径的圆上，40=4米

图1图2

(1)如图1,若电热丝由三线段A3,BC,8组成，在A8,CD上每米可辐射1单位热量，在

8c上每米可辐射2单位热量，请设计8c的长度，使得电热丝的总热量最大，并求总热量的最

大值；

(2)如图2,若电热丝由弧蕊，曲和弦BC这三部分组成，在弧检，力上每米可辐射1单位热

量，在弦8c上每米可辐射2单位热量，请设计8c的长度，使得电热丝辐射的总热量最大。

9.已知函数/'(x)=1+2百s讥xcosx-ZsiMx，xER.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若把/(x)向右平移今个单位得到函数g(x),求g(x)在区间［-］,0］上的值域.

10.已知实数x,y满足方程/+y2—轨+1=0.求:

(1)，勺最大值和最小值；

(2)/+y2的最大值和最小值，

11.如图，在直角三角形AABC中，LACB=9O°,ZB/1C=60°,AC=4,点M在货段43上。(1)若

CM=713,求AM的长；

(2)若点N在线段MB上，且NMCN=30。，求AMCN的面积最小值，并求△MCN的面积遢小时

MN的长。

B

.N

M

CA

12.如图，在本市某旧小区改造工程中，需要在地下铺设天燃气管道.已知小区某处三幢房屋分别位

于扇形048的三个顶点上，点。是弧AB的中点，现欲在线段。。上找一处开挖工作坑P(不与

点。，。重合)，为铺设三条地下天燃气管线P0,PA,PB,已知。4=40米，记

NAPQ=Brad,该三条地下天燃气管线的总长度为y米.

A

⑴将y表示成。的函数,并写出。的范围;

(2)请确定工作坑尸的位置，使此处地下天燃气管线的总长度最小，并求出总长度的最小值.

13.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为［''+"6'卜>0-,为参数)，以坐标

Iy=1+rsn炉

原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为再加(。-：)1,若直

线/与曲线c相切；

(1)求曲线C的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；

(2)在曲线C上取两点M,N与原点。构成AMON,且满足NA/ON,求△MON面积的最

大值.

2

14.已知函数/'(%)=2sin3xcos3x-2V3sin<ox+V3(w>0)直线x=xvx=&是函数y=f⑺的

图象的任意两条对称轴，且出—打1的最小值为余

(1)求3的值；

(2)求函数f(x)的单调增区间;

15.设函数/(x)=sinx+cosx,xeR..

(1)求函数f(x)•f(n-x)的最小正周期；

(2)求函数g(x)=sin3x+cos3x的最大值

16.设复数z满足4z+2=5百+333=sin。+cos仇€R).

(1)求z的值；

(2)设复数Z和3在复平面上对应的点分别是Z和W,求|Z勿I的取值范围.

17.已知函数f(x)=Asin(3x+(p)+B(A>0,3>0,|<p|<])的最小正周期为2n,最小值为一2,且

当x=4寸，函数取得最大值4.

6

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)若当x€后,争时，方程f(x)=m+l有解，求实数机的取值范围.

18.已知函数/3-sin'】\'3<n.<o-'：.

44(4

(I)求/。)的最大值及此时X的值；

(n)求，⑴+7(2)+…+-2019)的值.

19.己知函数/'(x)=2V3sinxcosx—2sin2x+3.

(1)当*€[0,(时,求f(x)的值域；

(□)若/4BC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且满足=小),吧旧、2+2«w(.4+C),

aahiAJ

求f(B)的值.

20.已知向量日=(sin；,sin沙石=(2sin：,2cos*函数f(x)=苍.另一同

(I)若/'(阳))=一2，且一4兀<x0<-7T,求出的值；

(H)若{/'(x)|y=f(x),xe卜兀,_1}U[a-l,a],求a的取值范围.

21.已知函数/'(%)=sin©-x)cosx-sinx•COS(TT+x),xG(0,7r)

(I)求函数f(x)的单调递增区间；

(II)在44BC中，若A为锐角，且〃4)=1,BC=2,B=会求AC边的长.

22.某菜农有两段总长度为207n的篱笆尸4及P3,现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成

一个如图所示的四边形菜园OAPB(假设OM、ON这两面墙都足够长).已知|P4|=\PB\=10(m),

AAOP=ABOP=p40Ap=LOBP.设乙OAP=8,四边形。APB的面积为S.

(1)将S表示为。的函数，并写出自变量。的取值范围;

(2)求出S的最大值，并指出此时所对应。的值.

23.如图，矩形公园0A8C中，。4=2/nn,0C=1km,公园在左下角阴影部分是以。为圆心，半

径为1km的;圆面的人工湖.现计划修建一条与圆相切的观光道路EF(点E,尸分别在边0A与

BC上)，。为切点.

(1)求观光道路EF长度的最大值;

(2)公园计划在道路EF右侧种植草坪，求草坪ABE尸的面积5的最大值.

24.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(2,0)和单位圆上的两点B(1,O),C(-1，0,点尸是劣弧成;

上一点，4BOC=a,4BOP=仁

(1)若。C1OP,求sin(zr-a)+sin(-S)的值;

(2)设/(t)=|+t赤|，当/Q)的最小值为1时，求声•历的值.

25.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A,B,C三点满足沆!=：函+|函.

⑴求1弱的值；

(2)已知4(l,cosx),B(1+cosx,cosx),x6[0,/(x)=OA-'OC-(2m+|)~AB>若/(x)的

最小值为g(ni)，求g(m)的最大值.

26.在锐角2MBe中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足泌-3acgC+

(1)求A的大小；

(2)若a=W，求炉+c2的取值范围.

27.设函数y=/(x)=sin(a)x+租)，o)>0,0<cp<ir,y=/'(x)为y=/(x)的导数，若g(x)=

/(x)+b/'(%)为奇函数，且对任意的xeR有g(x)最大值为2.

(1)求g(x)表达式；

(2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,。=黑=。(一9，求的面积最大

值.

28.已知TT(v/jjsanx,co«x+siux),b—(2cosx,sinx—cosx)»/(x)—a-b-

(1)求函数y=f(x)的单调区间；

(2)当xe翁当时，求函数y=f(x)的最大值和最小值.

在直角坐标系)，中，直线/的参数方程为为参数)，在极坐标系(与直角坐标

29.xOy—0।csinci

系X。)，取相同的长度单位，且以原点。为极点，以X轴非负半轴为极轴)中，曲线C的方程P=

8sin0.

(1)求曲线C的直角坐标系方程；

(2)若点P(l,3),设圆C与直线/交于点4B,求|P(+|PB|的最小值.

30.己知在极坐系中，点P(p,0)绕极点。顺时针旋转角a得到点P'(p,0-a).以。为原点，极轴为x

轴非负半轴，并取相同的单位长度建立平面直角坐标系，曲线氏xy=l绕。逆时针旋转彳得到

曲线C.

(1)求曲线E的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)点例的极坐标为(4,》，直线/过点”且与曲线E交于A,B两点，求|M4|•的最小值.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)由已知得，/(x)=m-n-5=acos2x+V3asin2x+2Q—5=2asin(2x+-)+2a-

6

5当％€„时,2x+£W+g)E[—1],

LLJooooz

当a>0时，f(x)的最大值为4a—5=3所以a=2,

当a<0时，/(x)的最大值为a-5=3,故a=8(舍)，

综上函数f(x)在[o5]的最大值为3时a=2；

(2)当a=2时，y=f(x)=4sin(2x+^)—1,

由y=f(%)的最小正周期为万可知，b=冗,

又由—F42%4—4FkEZ,

22/CTT622/CTT,

可得2+kn<x<—+kn,kEZ,

63

因为%e(o,TT],

所以函数/(x)在(0,用上的单调递减区间为

解析：本题考查了y4疝+⑺的图象和性质以及函数与方程的综合应用，是一般题.

(1)由平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换得出/(乃的解析式，再由函数f(x)在[0,斗上的最大

值为3,求出“的值；

(2)由(1)得出/'(X)的解析式，进而得出从再由正弦函数的性质得出函数的单调区间.

2.答案：解：(1)在APME中，4EPM=0,PE=AE-AP=4米，

Z.PEM=-,£PME=--0,

44

,r_PExsin。4sin04，5sin0

由正弦定理可知：siiiZPA/E.，3?r\sii>0+co由，

sin----9

\4)

在APNE中，由正弦定理可知：NE=PEx：；(9;W)=2依sin"o»0),

,呜-0)"

所以AfN=NE-ME=—，八2勺--,

coer。+sin0co«0

又点尸到DE的距离为dKiu:2^2,

4

c1、…，48

所以APMN的面积—2'-1+32°1—g一例+二+1'

当M与E重合时，｛an｝；当N与。重合时,｛an｝,即｛a”｝,｛an｝,所以｛%｝.

综上可得：｛an｝,｛an｝,

团当5｝即｛%｝时,

｛斯｝取得最小值为｛即｝，

所以可视区域｛a^PMN面积的最小值为｛aj平方米.

解析：本题主要考查三角函数建模的应用.

(1)结合正弦定理面积公式建立函数模型.

(2)三角函数求最值.

3.答案：(1)•.•/(Z+0)=sin3+0)是偶函数，

二对任意实数x都有sin(i+0)=sin(-x+0),

UPsinrajs。+ix^j-sinO-sinj'cosO+cosrsiirf?,

故2sin_m>s。：()，所以(，NU0.

又。6[0,2兀),因此。:或丁.

(2)y=[f(r+§]2+[/(%+J)]2

=曲』(1+看)+sin2(1+：)

即l_cos(2工+：)1-cos(2x+^)

y=2+2

11/《,,3.„、

,v3小7T\

=1—-cos(2x+-)

■.-xe[0,J.-.2x+=e[=^]

“、肝、r瓜li

•••co«(2x+-)G[―--,-]>

函数的值域是[1一9,夕

解析：本题考查函数的奇偶性及正弦余弦函数的性质及二倍角公式及两角和与差的三角函数的综合

运用，属于中档题.

(1)利用诱导公式结合余弦函数的性质求解即可.

(2)由二倍角公式及两角和与差的三角函数化简函数解析式，然后由余弦函数的性质求解即可.

4.答案：解：⑴解：/1(x)=sinxgcosx+3sinx)+cos?%—：

V3.上12

=—sinxcosx+-coszx

22

1V311

=-(—sin2x+-cos2x)+-

17T1

=-sin(2x+-)+-

LO4

.•・函数f(x)的最大值为也

当/(x)取最大值时sin(2x+5=1，

2x+-=2kn+-(keZ),解得x=fc7r+-(fceZ),

626

故的取值集合为｛

Xx|x=x=/cn-+pofcGZ).

(2)由题意f(4)=:sin(2A+5+；=J,化简得sin(24+»=£

No4Zoz

2A+N=^+2k/r或，24+m=F+2/OT,keZ,

又•・.0<A<nt

・••A=-•

3，

在△ABC中，根据余弦定理，得@2=坟+c2-2bccosg=(b+c)2—3bc,

•・•b+c=3.

：•a2>p当且仅当力=c=?时取最小值|.

422

解析：本题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及基本不等式的基本知识，本题属于基础

题.

(1)先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值及此时X的集合.

(2)利用f(4)求得A,进而根据余弦定理构建从。和〃的关系，利用基本不等式的知识求得〃的最小

值.

5.答案：解：(1)由已知可得：/")n-b—,,COS2J

^^sin2x-=sin(2jr——)»

226

:、T=7T;

由2k?r+,)£2N—,W2k?r+)£Z,

可得k?r+；47Wk?r+)；.kEZ,

・・.f(%)的单调递减区间为(kTT+]k；r+^](A-€Z)；

«5O

⑵“€(0.，,2x—江H，7，

/666

7T1

sin(2z-6)W.1],

.•.〃>)的最大值为1,最小值为/

解析：本题考查了正弦函数的图象与性质、函数y=4s/3x+9)的图象与性质和向量的数量积，

是中档题.

(1)先由三角恒等变换得出/(工)=曲](21-，)，即可得出最小正周期，由

2kk+：42工一，W2k7r+<€Z,得出单调递减区间；

⑵由.©().：,得拉-卜根据正弦函数的图象与性质得出最值.

6.答案：解：(1)易知点P在y轴正半轴上，且0P=2,

所以尸的极坐标为(2.：),

将方程匕Z!:为参数)，消去参数f后可得Q-1产+(y-I/=1,

(y-1rsine

，曲线C的普通方程为（久一1）2+（y-1）2=1,

即％2+y2—2%—2y+l=0,

将/+y2=p2,x=pcos。,y=psin。代入上式可得，

・,・曲线C的极坐标方程为p?-2P(sin。4-cos。)+1=0;

(2)设A,8两点的极坐标分别为Si，。)，(P2，。)，

由[p2—2P(sin。+cos0)+1=0

Iff=a

消去。整理得/-2x/2psin(a+：)+「()，

根据题意可得Pi，P2是方程6-20psiu(c+9+1。的两根，

Pl+p>=2v^疝1(0+'；),P1P2=1,

M到OP的距离d=OAf-sin(—a)=°’；0’cosa=\/2sin(a+：)co«n

Szw»o.w=[•\OP\d=\/2sin(o+=^sin(2a+[)+：，

当。；时，(SN0M)max=早，

所以三角形OPM面积的最大值为四.

2

解析：本题考查参数方程和极坐标方程，以及与面积有关的最值问题，属于中档题.

（1）直接求出点P的极坐标;将曲线C的参数方程化为普通方程，然后再化为极坐标方程即可；

（2）设A,3两点的极坐标分别为（Pi，e）,（P2，e）,结合二次方程根据系数的关系及极径的意义可求得

\0M\=|^|,又由题意得OP=2,求出历到OP的距离，即可表示出三角形。PM的面积，由三

角函数的性质可得面积的最大值.

7.答案：解:

(I)一(a+6+c)(b-a-c)十co«(.4+C)

扇—(0+c)2tr—a1—(?cos(A+C)-cosB

----i------4-2-

ac----------acsinAcos.A

-sin2.4

9

2+/-〃

2ac

^siii2.4

sivC2,A=1,

VAE(0,7T),・•・2A=p

.n

-A=一;

4'

/sinCr-

(7T叱加>8

・♦・cosB>0,

由(I)知B+C=^

.37T37r.

sin(——B)sin-cos-snin

>卮即nn--------1—3

cxxsZ?cosU

4-^y-tanB>x/2，

EPtanB>1,

-.0<B,

4

解析：本题考查余弦定理、倍角公式、和差角公式化筒函数式，三角函数性质，属中档题.

a2+c2-b2

bl2…2」

(I)由公式化简得_-l2HC,即可求得角A；

2A

(n)由和差角公式得吧‘加0t-OKrSinD.6'从而得tanB>L求得角B取值范围.

cosB

8.答案：解：设以A。为直径的圆，圆心为。，乙4。3=氏0e(0,=)

(l)4B=4sing,BC=4cos6,

总热量单位f(。)=8cos0+8sin1

二-16si】J'+8sin-4-8

9

=—16(siii；—1尸+9,

当sing=；时，f⑻取最大值，此时BC=(米，总热量最大9(单位)

答：应设计8c长为g米，电热丝辐射的总热量最大，最大值为9单位.

(2)总热量单位g(0)=46+8cos6,9G(0,^),

g'(。)=4—8sin。，

令g'(61)=0,即4-8sin0=0,

因。6(05),所以。=%

当。6(0,》时，g'(J)>0,g(。)为增函数，

当。€()：)时，g'(8)<0,g(8)为减函数，

当。=看时，g⑻取最大值，

此时BC=4cos6(=2百米.

答：应设计8c长为2遮米，电热丝辐射的总热量最大.

解析：本题考查三角函数模型的应用，利用导数求函数的最值，难度较大.

⑴由乙4OB=6,得AB=4sin1,BC=4cos0,所以总热量单位/(。)=8cos0+8sing转化成三角函

数的最值问题求解；

(2)总热量单位g(8)=4。+8cos。，利用导数求g(。)在(0,])上的最值即可.

9.答案：解：(1)函数/(x)=1+2'/3sinxcosx—2sin2x

=>/3sin2x+cos2x=2sin(2x+-),

6

T27r2n

••T=—=——=7T;

32

(2)若把函数/⑶的图象向右平移汐单位得到函数g(无)=2sin[2(x-^)+^=2sin(2x-今的图象,

••1XG[-p0],

2x-le[一手一丁

・•・sin(2x-E[―1,刍,

oZ

二［］

g(%)=2sin(2x--6)e-2,1.

故g(x)在区间［-》。］上的最小值为-2,最大值为1.

即9。)在区间［一90］上的值域为52,1］.

解析：本题主要考查三角函数的化简及函数y=Asin(ajx+w)图象变换规律.

(1)利用半角公式降次，再逆用和差角公式，化简函数/'(x)的解析式，再利用正弦函数的周期得出结

果.

(2)利用函数y=Asin(a)x+勿)的图象变换规律求得g(x)的解析式，由x的范围求出o>x+的范围，

即可利用正弦函数的性质求出y的范围.

10.答案：解：原方程可化为(X—2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，遍为半径的圆.

(1注的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设9=k,

即y=kx.当直线y=依与圆相切时，斜率％取得最大值或最小值，

|21一。1―ns

此时1'解得々=±遮(如图1).

所以(的最大值为百，最小值为-百.

m।

(2)令％=2+yf3cosa,y=Vasina，

22i—i

则/+y2=(2+y/Scosa)+(V3sina)=7+4y/3cosaG[7—4\/3,7+4V3]>

故/+)；2的最大值为7+4百，最小值为7一46.

解析：本题主要考查了圆的方程的综合运用，三角函数的定义域和值域.考查了学生转化和化归的

思想和数形结合的思想.

(1)整理方程可知，方程表示以点(2,0)为圆心，以百为半径的圆，设(=々，进而根据圆心(2,0)到丫=

依的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.

(2)令x=2+V3cosa,y=V3sina,进而得出/+yz的最大值与最小值.

11.答案：解：(1)在RtZkABC中，AACB=90°,NBAC=60。，AC=4,点M在线段AB上.

CM=V13,

CM2=AC2+AM2-2AC-AMcosA,

即13=16+AM2-4-AM,

解得4M=1或4M=3.

(2)设乙4cM=a,ae[0°,60o],在AACN中，由正弦定理得

CN_4。_-CAC

SIIL4sinZCAT.4sin(9O0+a)cosn

CMACAC

在八"CM中'由正弦定理得力=由INA.。=sin(6()+c)'

.CM=2禽

sin(600+n)

/.Saw=，八/•CNsiiMA/CN=3

_________3______________________3_____________________12________

~2,1.瓜,瓜~1-0—2sin(2a+60°)+g，

--cow-a+-sinaco«a---H-----coso2aH—sin2a

22444

v0°<a<60°,

・•・60°<2a+60°<180°,

・•・0<sin(2a+600)<1,

・•・当a=15。时，△MCN的面积最小为24-12代,

在ACMN中，MN上的高八—AC-inA24，

此时MN最小值为交皿=丝等=873-12.

h2V3

解析：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，三角函数的值域，考查转化

思想以及计算能力.

（1）CM=V13.直接利用余弦定理求AM的长；

（2）设乙4cM=a,a6[0°,60°],在AACN中，由正弦定理求出CM在△力CM中，由正弦定理求出

CM,然后表示出AMCN的面积，利用三角函数的有界性求出三角形面积的最小值，并求△MCN的

最小面积时MN的长.

12.答案：解：（1）因为。为弧4B的中点，由对称性可知，PA=PB,

4Aop=乙BOP=

6，

TT

又乙。=兀一Z-OAP

4P6,=0-6

PAOAOP

由正弦定理‘得呜二砺二而二竦y

4()sin(0—；：)

又04=40,得匕1

S1II0

所以y=PA+PB+OP=2PA+OP=当+强味:

)()禽siiW—cu«0+2

suiusuW

因为乙4PQ>〃OP,所以当尸与Q重合时，ZAPO=ZOAP=,

所以。的取值范围是9等）.

o1Z

⑵令叵叱+且浮

sin0sm。612

令匕=2s则tsin。+cos。=2,

sint/

sin(0+</?)=<1,(tans=J,

解得t>值或t4-遍（舍去）,

当£=时，有sin〃+coos"20。二.，

所以当e=g时，八。）有最小值26，此时OP=竿米，

此时y有最小值4075米.

答：当0P长为竺3米时，此时天燃气管线的长度最短为406米.

3

解析：本题考查解三角形中的正弦定理、三角函数模型的应用，属于较难题.

（1）利用正弦定理可求得PA、OP,从而得到y=20阚型詈如，其中

sind6iz

（2）令/⑻==遍+三济再令"号,可得sin（。+㈤=品<1，值呻=»

可求得f（。）的最小值，即可得到答案.

13.答案：解：（1）由题意，直线/的极坐标方程为内加伊-：）1,

«5

所以直线I的直角坐标方程为y=V3x+2,

曲线C是圆心为（百,1）,半径为厂的圆，

因为直线/与曲线C相切，

所以r=l6x6-i+2|=2,

2

所以曲线C的方程为（X-遮）2+（y-1）2=4,

所以曲线C的极坐标方程为护-2、务roM2/zii出0,

即〃,lsin（0+;,）；

（2）由（1）得，曲线C的极坐标方程为〃4疝1（0+勺，

不妨设M（P1，6）,N（p2,8+，），（P1>O，P2>O）,

所以SA”仆

=\p1P2=4sin（°+。•sin（9+J

«52

=2siii0c+2\&cos%

=xin20+\/3COK20+\/3

=2sm（20+：）+\片，

3

当°,；；时，△MON的面积取得最大值，最大值为2+6，

所以△MON面积的最大值为2+V3.

解析：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化，三角形面积公式，三

角函数的性质，二倍角公式，两角和的正弦公式，考查了运算求解能力，属于中档题.

(1)求出直线/的直角坐标方程，利用直线与圆相切可得圆的半径，即可得出结果：

(2)利用曲线C的极坐标方程和三角形面积公式，可得

Swv2sin(20+：)+/，，求出最值，即可得出结果•

14.答案：解：⑴「/(1)=2\&si】『w+

=sin2u；jr+、&=2sin(2u；x+

・.,直线＞=%nx=&是函数y=/CO的图象的任意两条对称轴，且1/一外1的最小值为去

，函数的最小正周期为姑

2n

A—=7T=31.

23

(2)由(1)知，/(x)=2sin(2x+：),

**•——+2/CTTW2.X+,工&+2/CTT,kEZ,

■■■~^+kn<x<^+kn,k&Z,

,kGZ.

解析：本题考查三角函数恒等变形以及正弦函数的性质，属于基础题.

⑴根据二倍角公式和两角和公式得/(02siu(2cr+；),然后通过最小正周期为兀，得到答=兀=

.523

CO=1；

(2)根据正弦函数图象和性质直接得出结论.

15.答案：解：(1)/(%)•f(n—%)=(sinx+cosx)(sinx-cosx)=sin2%—cos2x=—cos2》,・,•函数

/(%)-f(n-%)的最小正周期是二;Jr；

(2)因为f(%)=sinx+cosx=V2sin(x+：)E[-V2,V2],

2

g(x)=(siiur+cosT)(Si〃。_sinx<xjtir+co«x)

+cotir)[l-(8皿+----]=/(x)(1-_gr(H)+](1),令/(工)=£，,••的

最大值即

y=一/3+|t,te[-鱼,>/司的最大值，

•••y=-|(t2-1),当y，>0时，得X€(-1,1)；当y<0时，X>1<-1;

结合定义域可知函数在[-或，一1],上递减，在(—1,1)上递增.

因为/'(一鱼)=一日;/'(1)=1，1>一乎，所以g(x)的最大值为1.

解析：本题考查了三角函数的性质、二倍角公式及其应用以及利用导数研究函数函数的最值问题，

属于中档题.

(1)将已知代入即可得到函数人x)-f(n-X),再根据二倍角公式化简即可得到最小正周期；

(2)先将函数g(x)转换为g(i)=(sinx+cosj-)(sin2x-siiuroosr+,再根据已知条件以及二倍

角公式化简，再令=最后通过导数研究单调性进而可求得函数g(x)的最大值.

16.答案：解：

(1)设2=a+bi(a,b6R),则2=a—bi,

代入4z+z=5V3+3i

化简得5a+3bi=573+3i

.•・由复数相等可得=?国

(3b=3

解得Q=y/3,b=1

Az=V34-i;

(2)由z=V3+i和3=sind+cos/在复平面内对应的点为Z(b,1)和“(sinacos。)，

22

A\ZW\=(V3—sin。)4-(1—cos0)=-2遮sin。—2cos0

=—2\/3sin^—2cos0+5=-4sin(0++5

•「sin(0+7)W[-1,1],-4sin(0+7)+5€[1,9]

A\ZW\e[1,3].

解析：本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及共规复数，复数相等以及辅助角

公式的应用，考查计算能力，属于中档题.

(1)设2=。+儿5/611),根据复数相等，得出关于实数4、6的方程组，解出这两个未知数，即

可得出复数Z的值；

(2)利用复数的模长公式得出Zl「24皿。+，)+5,即可求出|ZW|的取值范围.

17.答案：解：(1)因为f(x)的最小正周期为2兀，

得3=—=1,

27r

又｛片笨,解得真；

由题意，::+W_2k;r+：(k€Z),

即W=2kp*(k€Z),因为=|<p

所以，(P=Y，

所以/(工),：太in(工一勺+L

(2)当2kn-5wx-g42k7T+1(keZ),

即xe[2kn-?2kn+由(keZ)时，函数f(x)单调递增，

(3)方程/(x)=m+1可化为，〃：太汨"-彳)，

«5

因为xe与号，所以x*e[W，

由正弦函数图象可知，实数，"的取值范围是1)；1

解析：本题主要考查了由y=Asin(3x+(p)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属

于中档题.

⑴由最小正周期可求3,又f/+/=4解得已=?，由题意，?+3=21<口+262),|在<7>

可解得仍即可求得函数/(X)的解析式；

(2)由2kn-]Sx-gW2kn+1(k6Z)可求得函数/(乃的单调递增区间；

(3)方程f(x)=m+l可化为m=3sin(x-»由女碎，勺，由正弦函数图象可解得实数机的取值

范围.

6.口

18.答案:解：(I)/(工)=8哈工一度后加《4工

--ys】n严

当疝1(]H+：)=-1，即1工+:：~^+2kir,x=；-lk*(k€Z)时,

函数有最大值为|;

(口)由/(©=：-疝1([I+：),可知函数的周期为4,

且f(1)=»彖/⑵=1+"⑶=|4)=»成

/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=2,且2019=4x504+3,

所以/(1)+/(2)+…+/(2019)

=504x2+/(I)+/(2)+/(3)

=1010.

解析：本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质，属于基础题.

(I)利用二倍角公式和两角和与差的三角函数化简/(X),再利用正弦函数的性质进行求解即可;

(n)利用函数的周期性进行求值.

19.答案:解：(I

)f(x)=2\/5疝1」(61—2siirx+3=\/3«in2x—2x--工+3=2sin(2x+^)+2,

%e[0,J.，-21+'€1片>

26[66

/万\I

.,.sin(2N+Q)W-5T，

.•.一142siu(2工+1)42,

b

•••/(%)eIM]：

JJ)sin(24+C)siiu4<xj«(A+C)+cx)«/lsiii(A+C)

/=2+2ctJs(A(i，

tinAsin-4

/.SIIL4CO8(A+C)+co&4sin(A+C)=2sinA+2finn^4oos(A+C),

7.sinC=2sim4，

由正弦定理可得c=2a,

b_鼻lr-c2-a2

=v3,cu«-4---------

02bc

..1•：'JI.-i,

.-.A=^,C=pB=|,

•••f(B)==3.

解析：本题考查正余弦定理，二倍角公式以及变形、两角和差的正弦公式，以及正弦函数的性质的

应用，考查化简、变形能力.属于中档题.

(1)由二倍角公式以及变形、两角和的正弦公式化简解析式，由x的范围求出2x+3的范围，由正弦

函数的性质求出八x)的值域；

(2)由两角和与差的正弦公式、余弦定理化简己知的式子，由条件和余弦定理求出

sniC=2siiij4=>c=2a>再根据&=V5,COSJ4='+'—巴=2^,求得A,由二角形的内角和定

a2/x-2

理求出C=1，B=g,代入可得f(B)的值.

20.答案：解：(I)由题意可得/(x)=2siM(+2sin：cos3-4=1-cos：+sin：-4=V^sinG-

A.

"f(x0)=-2,

V2sin(7-7)-3=-2,

即sin(y-;)=y-

.•.§一百=三+21兀水€2或包一工="+2k兀水€2,

244244

解得％o=7T+4/CTT,k6Z或=2〃+4/CTT,kEZ,

・,・当k=-1时，x0=—3乃或—2兀.

(n)Vy=V2sin(f-;)-3,xG卜兀，一弓，

3nxitn

——V———V——

4-24—3

2

-3-V2<V2sing-3<-4

[fM\y=/(%),%6卜7T,一gjc[a-l,a],

a—1<-3—y/2,

CLN—4

解得—4WaW—2—y/2.y

即a的取值范围是[-4,一2-V司.

解析：本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质因集合之间的包含关系，属于中档题.

(1)由题意可得/(乃==7^比停一9一3,利用/(&)=一2,结合一4兀<&〈一兀，即可求解；

(口)由丫=V2sin(；一？)一3,x6卜兀,一弓，求出y的范围，利用｛f(%)|y=f(x),xG卜兀,-詈｝《

[a-l,a],列出不等式组求解即可.

21.答案：解：(I)/(x)=sin6一x)cosx-sinx,cos(7r+x)

=CUCTN+SniTCUKJT

911.a7T.1

=cosx+-sin2x=+cos2x+1)=-^-sin(+-)+-»

令-；+2A,7T<2x+；<；+2k?r(k€Z),

解得-+A*?r<J,<:+kir(k6Z),

88

所以函数f(x)的单调增区间为(().》.(?G)；

0