2020-2021学年乐山市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年乐山市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1,若X,丫6%*比+3/是奇数，贝。，中一个是数，一是偶，

若久2-3x2=则=1或x=2/空/

x=y=0,则％2+yO/格/

给出下四个命：

那么下列说法确是（）

A.①的逆命题为真B.②的否命题为真

C.③的逆否命题为假D.④的逆命题为假

2.在三棱锥。一ABC中，CD，底面ABC,AE//CD,AABC为等边三角形，AB=CD=AE=V3,

又知三棱锥D-ABC与三棱锥E-2BC的公共部分为一个三棱锥，则此公共三棱锥的外接球的表

面积为（）

7q

A.47rB.-TiC.37rD.-n

3.过三点*1,3）,5（4,2）,0（1,-7）的圆交y轴于M,N两点，则|M|=（）

A.2痴B.8C.10D.4存

4.设a,£为不重合的平面，m,ri为不重合的直线，则下列命题正确的是（）

A.若a1£,aC\0=n,mln,则TH1a

B.若mca,nu0,mln,则九1a

C.若几1a,n上0,7nl则zn1a

D.若血〃。，n“B,mln,则a1/7

5.如图所示，正方形4BCD和正方形DEFG,原点。为4D的中点，抛物线f一_—

2Px（p>0）经过C,F两点，则直线BE的斜率为（）

DEx

C.2+V2

D.2-V2

6.如图，正方体ABC。—A/GA的棱长为2,点M是4B的中点,

则直线DBi与直线CM所成角的余弦值为（）

A.一百

15

B.0

C.小

15

D.包

15

7.若直线狈+"+。=0与抛物线、2=2%交于「，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF,QF分别

交抛物线于点M,N,则直线MN的方程为（）

A.4cx—2by+a=0B.ax-2by+4c=0

C.4cx+2by+a=0D.ax+2by+4c=0

8.下列四个正方体图形中，8为正方体的两个顶点，M、N、尸分别为其所在棱的中点,

9.圆。1：/+丫2—6%+4y+12=0与圆。2：i+丫2—i4x—2y+14=0的位置关系是()

A.相离B.内含C.外切D.内切

10.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正方形，侧视

图是矩形，俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（）

A.12兀B,12?r+16C.8兀D.

871+16

11.双曲线>，=l（a>Q,b>0）的两个焦点为Fl®若双曲线上存在一点P，满足|P6I=2|Pa|,

则双曲线离心率的取值范围为（）

A.(1,3]B.(1,3)C.(3,+8)D.[3,+oo)

12.8.下列命题为真命题的是

A.已知G,b&R,则“=<一2”是“&>0且5<0”的充分不必要条件

ab

B.已知数列沁)为等比数列，则“％〈%〈%”是的既不充分也不必要条件

C.已知两个平面a,§,若两条异面直线??%落满足m二a,若u尸且馆//p,许//CL,则

a//P

D.三与e(-x,0),使44%成立

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.给出下列命题：

(1)空间中点P的柱坐标为(25,1),则点P的直角坐标为(1,旧,1)；

(2)若曲线法+鼻=1表示双曲线，则k的取值范围是(l,+8)u(—叫―4)；

⑶已知4(-5,0),B(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为，则点M的轨迹方程

为日+也=1；

25100

2

(4)已知双曲线方程为/-?=1,则过点P(l,l)可以作一条直线/与双曲线交于4B两点，使点P是

线段4B的中点.

其中正确命题的序号是.

22

14.尸为椭圆'+多=1(4>3>0)上动点，使A即圈为直角三角形的点P有且仅有4个，则离

ah

心率力的范围是.

15.棱台上、下底面面积比为1：9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是.

16.设F是双曲线C：马―1=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端

a2b2

点，则c的离心率为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线.

(1)经过这9个点可确定多少条直线？

(2)以这9个点为顶点，可确定多少个三角形？

(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？

18.已知双曲的中心在坐标原点，实轴在久轴上，其离心率6=鱼，已知点(2逐,0)到双曲线上的点

的最短距离为2&，求双曲线的方程.

19.如图，正方体4BCD-4/16%的顶点C在平面a上，所有顶点都在平面a的同一侧，且满足4/

和&D与平面a所成角均为半

(I)求证：BD〃平面a；

(H)求直线/。与平面a所成角的余弦值.

20.如图，已知抛物线C：V=2px(p>0),焦点为F,过点G(2p,0)作

直线I交抛物线C于4,B两点，设4(久1/1),S(x2,y2).

(1)若由•由=4,求抛物线C的方程；

(2)若直线［与力轴不垂直，直线2F交抛物线C于另一点M,直线BF交抛

物线C于另一点N.求证：直线Z与直线MN斜率之比为定值.

21.如图，在三棱柱ABC—AiBiCi中，侧面是菱形，^BAAr=60°,E是棱的中点，C4=

CB=1,F在线段4C上，且AF=2FC.

A1

(1)证明：CB1〃面&EF；

(2)若C4_LC8,ffiCXBL^ABB^,求三棱锥C-44#的体积

(x=-t

22.在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为17用(t为参数)，若以直角坐标系无Oy的。点

(>Z=T+Tt

为极点，0%为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为P=2cos(。-今.

(1)求直线1的倾斜角；

(2)若直线I与曲线C交于A,B两点，求4B.

参考答案及解析

L答案：A

解析：解：对于，命题的逆命题是“x=l或x=2,则x2-+2=0是真命；

综，选项说法正确的是.

对，命题的否命是“若x<,或xN3,则（X+2）（-3>0”是假命题；

于，该命题逆命是“若x,yeN*,y中个奇数一个是偶，则x+y是奇，"，它是真命题；

故选：

写出该命的否并判断真假；

判断命题的从而得出它的逆否命题的真性；

写出题的逆命题并判真假性.

本题考查了四种题的关系，也考查断命题真假的问题，是基础.

2.答案：A

解析：

本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知，求出球的半径，是解答的关键，属于中档

题.

画出满足条件的图形，可得此三棱锥的底面ABC是边长为旧的等边三角形，求出外接圆半径，求出

球的半径，可得答案.

解：如下图所示：

三棱锥D-28C与三棱锥E-ABC的公共部分为三棱锥尸-ABC,

底面ABC是边长为旧的等边三角形，外接圆半径为1,内切圆半径为

AF1CF,几何体的外接球的球心在4C的垂直平分线上，因为，△ABC为等边三角形，所以它的外

接圆的圆心就是球心，外接圆的半径就是球的半径，

外接球的表面积S=4TT7?2=47r.

故选A.

3.答案：D

解析：设圆的方程为%2+y2+o%+Ey+F=o,则

'1-9-D-3E一尸=0

(16-4-4。-2七一尸=0，

l+49-D-7£-F=0

・••D=-2,E=4,F=-20,

.•・%2+y2—2%+4y—20=0,

令第=0,可得y2+4y-20=0,

-**y=-2±2>/6"，

\MN\=4怖。

故选：Do

4.答案：C

解析：

本题考查线面、面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.

利用线面、面面垂直的判定定理判断.

解：对于4al/?,=时，若?！1TH,mu0,则?n1a,但题目中无条件??iu故A也不

一定成立；

对于8,由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项8

中，只有ml几，则几1a,显然不成立；

对于C,Tila,九1/7,贝！Ja〃/?,又mlS，则血_1_仇，结论成立；

对于O,m//a,n//p,mln,只能得到平面a里有一条直线垂直于平面口里的一条直线，不满足面

面垂直的判定定理，故得不到a1£,故不正确；

故选C.

5.答案：B

解析：

本题考查抛物线的方程，考查直线斜率的计算，求出B,E的坐标是关键.

设正方形48C。和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),求出8,E的坐标，即可求出直线BE的斜

率.

解：设正方形2BCD和正方形OEFG的边长分别为a,b(a<b),

-T)CL

y=2p(-+b),

解得a=p,b=(V2+l)p,

则B(一泉-a),E(^+b,0),

直线BE的斜率k=盘言=看=缶=1一1

故选艮

6.答案：C

解析：

本题考查了利用空间向量法求解异面直线所成角的余弦值，属于基础题.

先以。为原点，为支轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出DBi与CM所

成角的余弦值.此时要注意异面直线所成角的范围.

解：以D为原点，D4为x轴，DC为y轴，。必为z轴，建立空间直角坐标系，

因为正方体48CD-ABiGA的棱长为2,

则M(2,l,0),C(0,2,0),£>(0,0,0),8式2,2,2),

西=(2,2,2),CM=(2,-1,0)，

设QB】与CM所成角为仇((»<0([),

'DB'I-CAI4-2+0v/15

则I

同IE5/T2-\/5IT,

•••OB】与CM所成角的余弦值为誓.

故选c.

7.答案：A

解析：解：设尸01，乃），M（x2,y2）＞可。3，%），

由PM过焦点F,得月%=-1，久2=%则有P（襄，一：），

同理Q（专，-/）,

4%3y-i

将P点代入直线方程a%+by+c=0,有。•亳+人（一怖）+c=。，

两边乘以4%2,得。—"土■+4%2c=0,

2%2

又先=2%2，y-i=—＞

二a—2by2+4cx2=0,

同理a-2&y3+4CX3=0

故所求直线为a—2by+4cx=0.

故选：A.

设P（%i，yi）,M（x2,y2）＞N（%3，y3）,确定P,Q的坐标，代入直线方程ax+by+c=0,即可求出直

线MN的方程.

本题考查抛物线的性质，考查点与直线的位置关系，考查学生的计算能力，确定P,Q的坐标是关键.

8.答案：B

解析：

本题考查线线平行、线面平行的判定，属于基础题目.

解：对图①，构造/I邸,所在的平面，

即对角面，可以证明这个对角面与平面4瀛浮平行，

由面面平行的的性质可得,哪手情平面盘瀛酎，

对图④，通过证明,您常公等翦，

然后可得/I鼠抬平面4瀛部;

对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行.

故选艮

9.答案：D

解析：解：因为圆。1的圆心01(3,—2),半径万=1；

圆。2的圆心。2(7,1),半径上=6,

•••|。1。2|=J(3_7)2+[(_2)_1]2

=5=r2-

所以两圆内切.

故选：D.

求出两个圆的圆心与半径，通过弦心距与半径的和与差的关系，判断两个圆的位置关系.

本题考查两个圆的位置关系的判断，求出圆心距与半径和与差的关系是解题的关键.

10.答案:B

解析:

本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的表面积的应用问题，是基础题目.

根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为半圆的圆柱体的一部分，结合图中的数据，求出它的

表面积.

解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面为半圆的圆柱体的一部分，

且底面半圆的半径为2,圆柱体的高为4；

.・.该几何体的表面积为

S=2s底面+S侧面+S截面

1,1

=2X-7T-22+--27T-2-4+4X4

=12兀+16.

故选：B.

1L答案：A

解析：

本题考查求解双曲线的离心率.

解:由于|PF/=2|PF2|,即|PFi|>IPF2I，

根据双曲线的定义可知|Pa|—IPF2I=2a,所以有IPF2I=2a,

而右支上的点离焦点最近的点为右顶点，

■■■2a>c—a,

•••1<第3,即1<”3,

故答案为(1,3].

12.答案：C

解析：

选项X中，y<-2<=>+2=.S0oab<0是a>0且6<0的必要不

ababab

充分条件，所以/错;

选项3中，由为<42cq得《外：°或彳：I<°可以推出；但若如<。5，则该

g>1y<Q<1

数列有可能是摆动的等比数列，如：1,一1,1,-1,1,-1……，此时推不出色</<?，

4%42

所以3错；选项。中，当x0<0时，n=(；尸。>(；)0=1=3"。>4%,所以。错.

故答案为C.

13.答案:(2)

解析：解：(1)空间中点P的柱坐标为(2,弓，1),则久=2cos，=V^,y=2sin^=1,z=1,故不正

确；

22

(2)曲线£+£=1表示双曲线，贝！](4+k)(l—k)<0,；.k的取值范围是(l,+8)u(―8,—4),正

确；

⑶已知4(-5,0),5(5,0),直线2M,8M相交于点M,且它们的斜率之积为—右则点M的轨迹方程

为会+篙=1(尤4±5),故不正确；

(4)设过点P(l,l)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1

①当k存在时，联立得(2—1)/+(2左2-2/<)%—l+2k—3=0,当直线与双曲线相交于两个不

O

同点，则必有△=(21-2/<)2—4(2一1)(—左2+2k—3)>0,k<-

又方程的两个不同的根是两交点4B的横坐标，P是线段4B的中点，.••％1+亚=2,.•.k=2

fc=2,使2一卜2中0但使△<0

因此当k=2时，方程无实数解

故过点P(l,l)与双曲线交于两点4B且P为线段4B中点的直线不存在.

当x=1时，直线经过点P但不满足条件，

综上，符合条件的直线/不存在

故答案为：(2).

对四个命题分别进行判断，即可得出结论.

本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强.

解析：解：由题意得，①当PF］，》轴时，由两个点P满足APfiB为直角三角形；同理当PF2，％轴

时，

由两个点尸满足小PF1F2为直角三角形・•・•使△PaF2为直角三角形的点P有且只有4个，

二以原点为圆心，C为半径的圆与椭圆无交点，c<b,

c2<b2=a2-c2,■-e2<又e>0,解得0<e<四.

22

故答案为：

15.答案：春

解析：解：设棱台的上下底面面积分别为1,9,则棱台的中截面面积为4,设棱台的高为2%,

中截面将棱台分成的上下两部分体积分别为匕，V2,

则匕=|(1+4+V4)/i=叫

・匕■=[

**v219,

故答案为高.

求出棱台的中截面面积，代入棱台的体积公式即可得出比值.

本题考查了棱台的体积公式，属于基础题.

16.答案：V5

解析：解：设F(c,O),P(m,n),(m<0),

设PF的中点为M(0,b),

即有租=—c,n=2b,

将点(—c,2b)代入双曲线方程可得，

22

c14b—1《,

a2b2

“2

可得e2=—=5,

az

解得e=A/5.

故答案为：V5.

设尸(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=-以n=2b,将中点M的坐标代入

双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到.

本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，同时考查中点坐标公式的运用，

属于中档题.

17.答案：解：(1)可确定直线鬣—底+1=31(条)

(2)可确定三角形俏-盘=80(个)

(3)可确定四边形璃-酸-盘吗=105(个).

解析：根据平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，利用间接法求解即可.

本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，培养学生空间想象能力，属于基础题.

18.答案：解：双曲线的其离心率e=&，故双曲线方程可设为/—*=下.Q分)

在双曲线上任取一点®y)点(2逐,0)到双曲线上的点的距离设为d

则d2=(%-2近产+y2=2无2-4A/5X+20-A2...(4分)

d2在区间久>4或％<—4上的最小值为8...(6分)

当2W遮时,^min==10—20+20—A2=10—A2=8,解得万=2；….(8分)

22

当4>近时，d^in=d，％=2万-4V52+20-2=A-4V5A+20=8,

解得；I=2V5+2迎或4=2而-2企（舍）即〃=14+8V10;...（10分）

综上：双曲线的方程为/-y2=2或/一>2=14+8VTU...Q2分）

解析：双曲线的其离心率e=VL故双曲线方程可设为.在双曲线上任取一点（无,y）点

（2逐,0）到双曲线上的点的距离设为d,则彦=（%-2V5）2+y2=2x2-4A/5X+20-A2,d?在区间

x>2或工<-2上的最小值为8,即可求双曲线的方程.

本题考查求双曲线的方程，考查学生的计算能力，比较基础.

19.答案：解：（I）证明：以C为坐标原点，CB,CD,CCi所V

故瓦石=(0,1,1),西=(1,0,1),丽=(-1,1,0),设平面a的

法向量为记=(x,y,z),且|元|=1,

兀—遮—\BA^-n\_\y+z\兀_8_］网司一\x+z\

32出名||宿V232IDZ1II宿V2

・•・|y+z|=^-f\x+z\=日’

不妨取y+z=y,x+z=y，故％=y,

•••x2+y2+z2=1,

•••可得1—/y—A—，,z=Q

―V6A/6V6

...n=QZ，EX

根据法向量的特点，不妨设平面a的一个法向量为记=（1,1,2）,

m-RD=0,

BD〃平面a；

（口）由（I）得当=（1,0,1）,故瓦方=（-1,1,-1）,

设直线与平面a所成角的为。，贝必-9=船=熹=字

解析：（I）建立空间直角坐标系，求出平面a的法向量，再利用数量积为0即可得证;

（□）利用空间向量的夹角公式即可求解.

本题考查立体几何中的线面平行的判定定理、线面角、用空间向量解决空间角，考查空间想象能力,

运算求解能力，属于中档题.

20.答案：解：(1)设直线/的方程为x=my+2p,

代入y2=2Px得y2—2pmy-4p2=0,

则4=4p2(m2+4)>0,

且y/z=-4p2,xr-x2==4P2=4,得p=1.

••・抛物线C的方程为好=4x.

(2)证明：M(x3,y3),W(x4,y4).

由(1)同理可得=-p2,y2y4=~P2-

又直线i的斜率=

xi-x2yi+y2

直线MN的斜率々MN=??=;,

%3T4丫3十丫4

出+正？

...旦_丫3+丫4_>十、2_-P,

・・kMNyi+y2yi+y2y，2

又因y，2=—4p2,.•保=：,

故直线l与直线MN斜率之比为定值;.

y\

B

解析：(1)设直线/的方程为％=my+2p,代入y2=2p%,得y?一2pzny-4P2=0,利用韦达定理，

求解P，推出抛物线方程.

(2)M(%3,y3)»N(%4，y4)•由(1)同理可得为丫3=-。2，y2y4=-p2,求解斜率,利用斜率比值关系，化

简求解即可.

本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题.

21.答案：证明：(1)连结/当交4E于点G,连结FG,

AGAA1仁