2020年高考数学总复习讲练测思想03 数形结合思想（讲）（教师版）

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思想03数形结合思想

耕育考

1.（2016•全国高考真题（文））函数产2%2-e团在［-2,2］的图像大致为（）

【答案】D

【解析】

函数f（x）=2X?Y闵在［-2,2］上是偶函数,其图象关于丫轴对称,因为〃2）=8-e2,0<8-e2<1,所以排

除4B选项；当x6［0,2］时,/=4x-e”有一零点，设为%,当ye（。，q）时,f（x）为减函数，当xe（乙2）时,/'（x）

为增函数.故选D

2.（2017•全国高考真题（理））在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切

的圆上.若AP=XAB+〃AD，则4+〃的最大值为（）

A.3B.272C.小D.2

【答案】A

【解析】

如图所示，建立平面直角坐标系.

设A（0,1）,B（0,0）,C（2,0）,D（2,1）,P（x,y）,

2z\2o4

易得圆的半径r=石，即圆C的方程是（x—2）一+丁=不

/、/、/、ULU1UUUUL1U1

AP=（x,y-l）,AB=（0,-1）,AD=（2,0），若满足AP=2AB+/JAD,

x=2〃

则<=3，X=l_y,所以X+〃=：_y+l,

、yT=T

设z=]—y+1,即]—y+l—z=0,点P（x,y）在圆（x-2）2+/=1"上,

x

所以圆心（2,0）到直线5―y+1—z=0的距离即

所以z的最大值是3,即4+〃的最大值是3,故选A.

x+2y-4<0

3.（2014•浙江高考真题（理））当实数苍V满足｛x-y-l<0时,1<依+V<4恒成立，则实数a的取

x>l

值范围是.

-3

【答案】I,

【解析】

作出不等式组表示的区域如下图所示的阴影部分区域,

由图可知：不等式1<公+y<4在阴影部分区域恒成立,令2=仆+》可知。20,因为当。之0,且当

x=l,y=O时,z=ax+y=a+O=a<。不能使得1<ax+y<4恒成立；由a20得z=ac+y在点（1,0）

处取得最小值，即2mm=以+V=a，在点（2,1）处取得最大值,即入醛=奴+y=2a+1,所以有｛氏国解得

3

l<a<~.

2

4.（2017•全国高考真题（文））四棱锥尸-A5CD中，侧面上4。为等边三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=-AD,/BAD=ZABC=90°.

2

（1）证明：直线3C//平面R4。；

（2）若△PCD面积为25，求四棱锥尸—A5CD的体积.

【答案】（I）见解析（II）473

【解析】

（1）在平面力5。£>内，因为N5/O=NJ8C=90°，所以BC//AD.

又BCQ平面PAD.4。u平面PAD,故8。〃平面PAD.

（2）取力。的中点A7,连接PM,CM.

由AB=BC=LAD及BC〃AD,NABC=90。,

2

得四边形48CM为正方形,则CMJLAD.

因为侧面尸力。为等边三角形且垂直于底面458,平面平面ABCD=AD,

所以PA/_L力尸MJ•底面ABCD.

因为CA/u底面所以PMJLCA/,

设8。=x,则CM=x,CD=41X,PM=Jlr,PC=PO=2x，取CD的中点N,连接PN,则

PNJ.CO,所以PN=巫x，

2

因为△PC£＞的面积为2-，所以,JIrx亚•=2"，

22

解得x=-2（舍去），x=2.

于是AB=BC=2,AD=4,PA/=2&

所以四棱锥P-ABC。的体积/=1x这型x2=4JI

32

5.（2013•浙江高考真题（文））（2013•浙江）已知抛物线C的顶点为O（0,0），焦点F（0,1）

（I）求抛物线C的方程；

（II）过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线1：y=x-2于M、N两点，求|MN|

的最小值.

【解析】

(I)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0)则箜=1,解得p=2,故抛物线C的方程为x2=

(II)设A(xi,yi),B(X2,y2)，直线AB的方程为y=kx+1

y=kx+l2

由19消去y,整理得x-4kx-4=0

lx2=4y

2=42

所以Xl+X2=4k,XlX2=-4,从而有|X1-X2|=J(X1+x2)-4X1x27k+l

y=--x4Xi--------ro

由1xj解得点M的横坐标为XM=-----=x2=TZ—，

X]-V]_LL_4Xi

y=x-2X14

一8

同理可得点N的横坐标为=_

XN4TZx2

LL8A.1o后________X]_X?_______,8V2Vk5+l

所以|MN|=J^|XM-XN|=&ITT=

4X[4-x2X1x2-4(x]+x2)+1614k-31

令4k-3=t,t不为0,贝ijk=古9

4

当t>0时,|MN|=27^2|T+1>2近

当t<0时,|MN|=25)

综上所述，当t=-孕时,|MN|的最小值是结

35

钎考向

一、考向分析：

二、考向解读

考向一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围

典例L（福建省福州市2019届高三上学期抽测）如图，函数/"（£）的图像为两条射线C4c8组成的折线,

如果不等式f（为＞x2-x-a的解集中有且仅有1个整数,那么实数a的取值范围是（）

C.{a|-2<a<2}D.{a|a>-2}

【答案】B

【解析】

根据题意可知f(x)=俨*2,*£0,

l-x+2,x>0

不等式f(x)-x-a等价于-x-f(x),

令g(x)—Y-x-f(x)

_(x2-3x-2,x<0

xz-2,x>0'

可得g(x)的大致图象，如图所示,

又g(0)=-2,g(l)=-l,g(-l)=2,

•.•要使不等式的解集中有且仅有1个整数，

贝I]-2Wa<l,

即a取值范围是{a|-2Wa<l}.

故选：B.

典例2.(2019・宁夏大学附属中学高三月考(理))已知当0〈尤<2时，不等式‘3<2。+1——以恒

x2

成立,则实数a的取值范围为()

A.(In2+1,+oo)B.(In2-1,+oo)C.(；,+oo)D.(In2-1,0)

【答案】B

【解析】

不等式一^<2a+l——以，可看作函数/(x)=-^,g(x)=--a(x-4)+1,在区间(0,2]

■X2%2

上,“X)的图像在g(X)图像下方./(x)=20[nx)，所以4工)在(0,e)上递增，在Q+8)上递减，所以

“可在x=e时取得极大值也即是最大值，且x>1时/(">0.g(%)图像过点

(4,1)./(2)=In2,/(2)=，所以过的〃X)的切线方程为y—In2=二(x—2),

点4(4,1)在切线上,g(x)也过点4(4,1).画出“x),g(x)在区间(0,2]上的图像如下图所示，由图可

[]]n2

知,一<左AS=———，解得a>In2—1.

故选：B

考向二、构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围

ln(x+l),x>0

典例3.(2018•山东高考模拟(文))已知函数=1，若机<〃，且于(m)=f(n),

—x+l,x<0

[2

则〃一相的取值范围为()

A.[3-21n2,2)B.[3-21n2,2]C.[e-1,2)D.[e-1,2]

【答案】A

【解析】

作出函数的图象,如图所示，若用<〃，且/(加)=/(〃)，

则当ln(x+l)=1时,得x+l=e,即x=e-l,

贝！I满足0v〃<e—1,一2<m"。，

贝！Jln(〃+1)=工加+1,即根=ln(〃+l)—2,则〃一相=〃+2—21n(〃+l),

2

r\-|

设/1(〃)二孔+2—21n(〃+l),0贝!J=1H-------=――

当〃(〃)>。，解得1VH<6—1,当解得Ov〃vl,

当〃=1时，函数力(〃)取得最小值/z(l)=l+2—21n(l+l)=3—21n2,

当〃=0时，"(0)=2—21nl=2；

当〃=e—1时，/z(e—1)=e—1+2—21n(e—1+1)=e—l<2,

所以3—21n2v/z(〃)<2,即〃一根的取值范围是［3—21n2,2),故选A.

[c^—ab,aWb,

典例4.对于实数〃和仇定义运算“*"：a^b=\设7(x)=(2x—1)*(%—1),且关于x的方

[bab,a>b.

程段)=M(>£R)恰有三个互不相等的实数根孙工2,%3,则X1X2X3的取值范围是.

【答案】匕尹，0

X—x,xWO,

【解析】由定义可知,Ax)="作出函数f(x)的图象,如图所示.

〔一X—x,x〉O.

由图可知，当0〈水:时，广(X)=H(R£R)恰有三个互不相等的实数根不,X?,禹.

1

不妨设X1〈X2〈X3,易知A2>0,且X2+X3=2X]=1,.•・/2矛3<]令<

/<0,

解得x=l或X=苧(舍去)・•••三〈为〈0,••.三"X/KO.,答案[上请,0)

考向三、构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系

Z7Yb

典例5.函数/(%)=-----^的图象如图所示，则下列结论成立的是()

(x+c)

(A)6z>0,b>Q,c<0(B)a<0,b>Q,c>0

(C)a<Q,Z?>0,c<0(D)a<0,b<Q,c<0

【答案】C

/7y_i_A卜

【解析】由/（%）=------及图象可知，xw—c,—c>0,则。<0；当％=0时，/（0）=二>0,所以

（x+c）c

b

b>0；当y=0,or+b=0,所以x=——>0,所以a<0.故a<0,b>0,cvO,选C.

a

考向四、构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式

典例6.（上海市2018-2019学年高二下学期检测）“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角

度看,我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数/（》）=奴2+（2人+1»—。一2（。/6氏。/0）在[3,4]

至少有一个零点，则1+匕2的最小值为

【答案】—

100

【解析】

把等式看成关于a,b的直线方程：（N-1）a+2xb+x-2=0,

由于直线上一点（〃力）到原点的距离大于等于原点到直线的距离,

7

即+/2

I)?+(2X>'

>(^^)2=-----------------

所以521+，(X-2+丁+4)2,

x—2

*•x-2H-----在［3,4］是减函数,

x-2

55

2H—<冗-2H-----K1+5；

2x—2

95

即一Vx-2+----<6；

2x—2

11

-------------------->----

故(x-2+8+4)2—100；

x—2

23

当x=3,a=----,b=-----时取等号，

2550

故邪+岳的最小值为-1—.

100

故答案为：---.

100

典例7.(湖北省黄冈市2019届高三元月调研)关于T的实系数方程必+ax+b=o的一个根在(0,1)内,

另一个根在(1,2)内，则a+26-3的值域为.

【答案】(-5,-2)

【解析】

令r(x)=x2+ax+b,

\t

\C(-3S2)y

、、

V，

\f\a+Hl=0

由方程x2+ax+b=0的一个根在(0,1)内，

另一个根在(L2)内，

(/(0)=b>0

则有〈/(1)=l+a+&<0，画出(a,b)的区域，

|/(2)=4+2a+b>0

如图所示,A4BC的区域(不含边界).

其中,4(一1,0)、5(-2,0)、C(-3,2),

々z=a+2b-3,

平移z=a+2b-3,

当Q=-2,6=0时,Z=(-2)-3=-5,取得最小值，

当a=-3,b=2时,Z=(-3)+2x2-3=-2,取得最大值;

故a+2b-3的值域为(-5,-2)；

故答案为(-5,-2).

考向五、构建立体几何模型研究代数问题

典例8.(2019•北京高三月考(理))如图,在菱形ABC。中，乙48c=60。,E产分别是边的中点，现将

△ABC沿着对角线AC翻折,则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为()

7B.fC.^

【答案】D

【解析】

如图，

以AC的中点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设二面角3-AC-。为可证N6QD=8,设棱形的

边长为4,则

A(0,-2,0),B(2^cos0,0,20sin,E(6cos仇-1,6sin6>),C(0,2,0),。倒后0,0),网石,1,0)

FE=(Geos8-6,-2,用sin8)

易知平面ACD的法向量“=(0,0,1)

设直线所与平面ACD所成角为。，则

.2(\n'FE\}3sin2^3sin2^30-cos?6)

‘3(cos^-l)2+4+3sin2^10—6cos62(5-3cos6»)

1一—

令,(x)=豆后，*'(T1)

c,(\3x^—1Ox+3(3x-l)(x-3)

(3x-5)2

则/'（X）>0时一1<X<g即在1—1,；］上单调递增;

r（x）<o时g<x<i即/⑴在%1）上单调递减；

sin2a

tan2a)£

)maxcos2a2

「.（tana）二^~

\/max2

故选：D

典例9.（福建省泉州市2019届高三1月质检）类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概

念.已知球。的一个内接四面体4BCD中,AB1BC,5D过球心。,若该四面体的体积为1,且45+BC=2,则

球O的表面积的最小值为.

【答案】387r

【解析】

设45=*,BC=2-x,8。=R结合体积为1时,V=^T(2-幻］八=1,故五=就不所以

00'=\h=,所以80,=\y!x2+(2-X)2,结合

2+。。'2=2建立方程，得到4R2=片2令

B0,B0,x2(2-x)2+2x-4x+4,

h(x)=2x2-4x+4,结合二次函数的性质可知Mx)在(0,1)递减,(1,2)递增

令r(x)=拳u(x)=x2(2-x)2,结合复合函数的单调性可知,以外在(0,1)递增,在(L2)递减,而/■(>:)

始终递减,故4R2在(0,1)递减,在(1,2)递增,故当T=1,4R2取到最小值为38

所以面积最小值为387r

考向六、构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题

典例10.(2018届云南省昆明市第一中学高三月考)已知函数/(乃=3x+cosex)-11,若两个正数

a,b满足/'(2a+b)<1,则当的取值范围是()

A.(0，：)B.g+8)C.(i,1)D.(-oo,i)u(^,+oo)

【答案】C

【解析】由/'(X)=3x+cos(jx)-11可得，/•'(幻=3-jsin(jx),

即f'(x)>0对xeR恒成立,所以〃x)在实数R上单调递增.

因为f(4)=3x4+cos；—II=1,由f(2a+&)<1可得/'(2a+h)</(4),

2a+b<4

由题意可得a>0，画出a、b的可行域，

，b>0

则安可看作区域内点(a,b)与定点P(-2,-1)的斜率.

直线2a+b=4与横轴交于点4(2,0),与纵轴交于点8(0,4),又因为膜？===k=斗2=之所

2—(-2)4AC0—(-2)2

以5e（；,*，

故选C.

典例11.(上海市2018-2019学年高二下学期检测)如图，已知四面体A8CD中,m=。3=。。=30且

ZM=QB=£>C两两互相垂直，点。是AABC的中心.

(1)过。作OE，AD,求ADEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积；

(2)将ADO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，直线DA与直线BC所成角记为。，求cos。的取值范

围.

【答案】⑴垣"；⑵Q<cos0<—.

93

【解析】

(1)过后作经计算得。。=C，。4=26，位=2,由此得EH=竽，

所以ADEO绕直线DO旋转一周所形成的几何体的体积V=

39

(2)过。作OGAC交A3于G,

以0为坐标原点,O门为x轴,OG为丁轴,。。为z轴，建立空间直角坐标系,

则D(0,0,#),j=/(A—x),C(V3,-3,O),

设A(x,y,0)，则BC=(3y/3,-3,0).AD=(―x,—y,袁)，所以cos。=谓"田,

6V2

在平面上，点A的轨迹方程为炉+了2=12,

令t=6x+y,将1=后x+y看作直线y=x+t,

则直线y=—岛+t与圆/=12有公共点，

则d=*26

2

所以百，于是OVcos，4丰.

考向七、构建方程模型，求根的个数

典例12.(黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上期末)已知函数

/■(为=6炉_"2_3刀+2,*£5,则函数丫=/0I3))的零点个数为()

I-log3(x+4),x>5

A.6B.7C.9D.10

【答案】B

【解析】

当*<5时,r'(£)=x2—2x—3=(x+l)(x—3),

据此可得函数在区间(一8,-1)上单调递增,在区间(一1,3)上单调递减,在区间(3,5)上单调递增,

由函数的解析式易知函数在区间(5,+8)上单调递减，

绘制函数图像如图所示，

注意到r(-3)<0J(-2)>0,/(0)>0,/(1)<0/(4)<0,/(5)>0,

故方程r(t)=0的解：tie(-3,-2),t2e(0,l),t3e(4,5),

则原问题转化为求方程/1(#)=力@=1,2,3)时解的个数之和,

由函数图像易知满足题意的零点个数为7个.

本题选择8选项.

考向八、研究图形的形状、位置关系、性质等

典例13.(浙江省2019届高考模拟卷(二))函数y=(cos2x)・ln|x|的图像可能是()

【答案】A

【解析】

由题意得函数=(cos2x)•ln|x|的定义域为(―8,0)u(0,+co),

'//■(—x)=[cos(—2%)]•ln|-x|=(cos2x)•ln|x|=/'(%),

•••函数ro)为偶函数，

函数图象关于y轴对称,故排除C,D.

又当xe(0,1)时,f(x)<0,

因此可排除B.

故选A.

点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域,

判断图象的上下位置.（2）从函数的单调性,判断图象的变化趋势.（3）从函数的奇偶性,判断图象的对称

性.（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.

典例14.如图,长方形43。。的边43=2,BC=1,。是A3的中点，点尸沿着边5C,CD与运

动，记=将动产到A、3两点距离之和表示为x的函数/（无），则y=/（x）的图像大致为（）

【答案】B

【解析】由已知得,当点P在边上运动时，即OKxV-时，PA+PB=Vtan2x+4+tanx；当点尸

4

在CD边上运动时，即工也,xw工时，PA+PB=J（———1）2+1+J（^—+1了+1,当％=工

442Vtanxytanx2

时，PA+PB=lyjl；当点P在AD边上运动时，即°^V冗《〃时，PA+PB=\ltan2x+4-tanx,从点P

4

的运动过程可以看出，轨迹关于直线x对称，且/■（£）〉/（1）,且轨迹非线型,故选B.

考向九、数形结合,根据不等式恒成立求参数或解不等式

3

典例15.（2019•河南省鲁山县第一高级中学高一月考）若关于x的不等式4'-/ogoXV,在

上恒成立,则实数a的取值范围是（）

D.

【答案】A

【解析】

3(1

由题意得，--Wlogax在xe0,7上恒成立，

212」

(3

即当xe0,彳时，函数y=4'--的图象不在y=logx图象的上方，

I2J2a

31

由图知：当a>l时，函数y=4*—5(0<x<e)的图象在y=logax图象的上方;

111

当0<a<l时，log?2—，解得一Wa<l.

a24

故选：A.

典例16.(2019•敦煌中学高考模拟(文))已知奇函数/(尤)在x»0时的图象如图所示，则不等式

4'(%)<。的解集为()

A.(1,2)B.(-2,-1)0(1,2)C.(-2,-1)D.(-1,1)

【答案】B

【解析】

Vxf(x)<0则:当x>0时,f(x)<0,结合函数的图象可得,l<x<2,当x<0时,f(x)>0,根据奇

函数的图象关于原点对称可得,-2Vx<-l,.•.不等式xf(x)<0的解集为(-2,-1)U(1,2).故答案为(-2,-1)

U(1,2).

密方法

1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形:

一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直

观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目

的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

2.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

(1)等价性原则.在数形结.合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有

时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其

带来的负面效应.

(2)双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析

容易出错.

(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二

要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，

特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线.

3.数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点

(1)集合的运算及Venn图；

(2)函数及其图象；

(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；

(4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；

(5)对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；

(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键

点)，做好知识的迁移与综合运用.

4.数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数

的模)；点到直线的距离公式等.

5.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特

功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.具体操作时，应注意以下几点：

(1)准确画出函数图象,注意函数的定义域；

(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先

.要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图)，然后作出两个函数

的图象，由图求解；

(3)在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论

证.

典例17.(2019.夏津第一中学高三月考)已知函数/(%)是定义在［T,0)U(0,4］上的奇函数，当

xe(O,4］时,7(%)的图象如图所示，那么满足不等式/(%)之3,—1的x的取值范围是().

A.[-1,-2][2,1]B.H，-2][0,1]

C.[T,—2][2,4]D.[-1,0)[2,4]

【答案】B

【解析】

Q

/(X)为[T,O)u(O,4]上的奇函数，所以如图，画出了⑴在[—4,0)的图象，得点(―2,-5)、点(1.2)在

/(无)上，

画出y=3*-1的图象，得到其渐近线为y=-1,且在第一象限与/(%)的图象交点为(1,2)，要解不等式

/(x).3—1厕结合图象，需/(x)的图象在y=3工—1图象的上方，从而解得:xe[-4,-2]o[0,l].

故选：B.

典例18.(2019•甘肃高考模拟(文))定义在R上的偶函数了。)满足/(%-1)=/(%+1),且当

时，y(x)=%2,函数g(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时，g(x)=Igx,则函数

h(x)=于(x)-g(x)的零点的的个数是()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

由于/(x-1)=/(x+1)，所以，函数y=/⑴的周期为2,且函数y=f[x)为偶函数，

由可龙)=0,得出/⑴=g(x),问题转化为函数y=/(x)与函数y=g(x)图象的交点个数,作出函

数丁=/(%)与函数y=g(x)的图象如下图所示，

由图象可知，0巧(x)WL,当x>10时，g(x)=lgx>l,

则函数y=/(%)与函数y=g(x)在(10,-H»)上没有交点，

结合图像可知，函数，=/(")与函数，=g(x)图象共有11个交点,故选：C.

m

典例19.(2019•全国高三专题练习(理))已知函数/(x)=xe*-77U+,(e为自然对数的底数)在

(0,+oo)上有两个零点，则M的范围是()

A.(0,e)B.(0,2e)C.(e,+oo)D.(2e,-H»)

【答案】D

【解析】

mm|

由/(x)=xe-mx+—=0xe-mx--=m(x--),

当x=」时,方程不成立，即X片《，

22

、几%(x)=---r,八口1、

设''1(%>0且X*—),

x——2

|e"(x-l)(2x+l)

：x>0且，...由"(x)=0得x=l,

2

当x>l时,h'(x)>0,函数为增函数，

当0<x<l且x/工时，h\x)<0,函数为减函数,

2

则当x=1时函数取得极小值,极小值为/z(l)=2e,

当0<x<工时，h(x)<0,且单调递减，作出函数h{x}的图象如图:

2

_xex

要使m=-r有两个不同的根,

X——

2

则m>2e即可，

即实数m的取值范围是(2e,y).

方法2：由f(x)=xex-mx+—=0Wxex=mx--=m{x--),

设g(x)=xe*,h(x)=m(x---),

g\x)=ex+xex=(x+V)ex，当尤>0时，g'(x)>0,贝Ug(x)为增函数,

设/z(x)=mx—；与g(x)=叱，相切时的切点为(a,ae"),切线斜率k=(a+l)ea,

则切线方程为y-aea=(a+l)ea(x-a),

当切线过(g,0)时，-ae"=(a+l)e"(；—a),

L'P—a=-a-\----a2—a,即2cr—a—1=0,得4=1或。=—(舍)，则切线斜率左=(l+l)e=2e,

222

要使g(x)与/i(x)在(0,+oo)上有两个不同的交点，则m>2e,

即实数机的取值范围是(2e,+oo).

典例20.(2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考)

2x+y>2

P(x,y)满足｛九-y-1V0，则1+产的最小值为—

x+2y<4

4

【答案】j

X2+y2的表示可行域上的点到原点的距离的平方,其最小值显然是原点到直线AC距离的平方:

,0+0-2丫_4

、J'4+1?5

4

故答案为：-

5

典例21.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E、F分

别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为6,则cos。的最大值为

【答案】|

【解析】建立坐标系如图所示.设AB=1,则AF=(1,；,0),E(1,0,0).设M(0,y,l)(0<y<1),则

|JT

=(—a,y,1),由于异面直线所成角的范围为(0,,所以

2（1二y）2（1-y）

E]2=1—8学+1,令8y+l=/,lWY9,则

逐74y?+5,网2+54K+5

8y+l161

——»二，当/=1时取等号.所以

4y2+5oic5

/+——2

2（1二y）11>2_2

cos。=当y=0时,取得最大值.

+5一6755

典例22.(2018届山东省威海市高三上期末)在平面直角坐标系xOy中,A(-6,0),B(3,-l),点P在圆

O-.x2+y2=18上,若正~PB>6,则点P的横坐标的取值范围是.

【答案】E，3、C]

设贝仁2因为纵一所以瓦

P(Xo，%)，2+y0=18,6,0),B(3ft-PB=(x0+6,y0)■(x0-3,y0+1)

22又二(%,比)即在圆炉2又在直线的

=x0+y0-18+3x0+y0=3x0+y0>6,+y=18,3x+y-6=0

上方,设直线与圆交点为D,E,圆与x正半轴交于C(3&,0),贝心跖儿)在弧DCE上，由，得

又生=丫即点的横坐标的取值范围是故答案为[泉

xD=l，xE=3,3V2,­•-l