2020-2021学年吉林省白山市高二（上）期末数学试卷（文科） （解析版）

2020-2021学年吉林省白山市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题（共12小题）.

22

1.椭圆“十七二1上任意一点到两焦点的距离之和为（)

11

A.2^/6B.2V5C.2^11D.Vu

2.设命题p：V/?eR,2〃+l是奇数，则—为()

A.2n+l是偶数B.2九+1不是奇数

C.3??GR,2〃+1是偶数D.力理R,2/7+1不是奇数

3.若直线y=%+3经过抛物线y2=mx的焦点,则m=()

A.6B.12C.-6D.-12

4.在下列函数中，求导错误的是（）

A.f(x)=x2-1,f(x)=2x

B.g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+^-

x

C.h(x)=W，h，(x)=-x+1

X

ee

D.(p(x)=xsinx+cosx,(p1(x)=xcosx

5.圆Ci：N+）R=9与圆C2：(x-1)2+(}H-2)2=36的位置关系是)

A.相交B.相离C.内切D.内含

x22

6.双曲线，y=1的渐近线的斜率为（)

sin2400cos240

A.±tan50°B.±tan40°C.±sin500D.±sin40°

7.如图，某圆锥的顶点为A,底面圆的圆心为O,8c与。E为底面圆的两条互相垂直的直

径，厂为母线A3的中点，且AO=3,3。=2,则异面直线AC与。尸所成角的正切值为

()

。岑D.噜

B・零

8.己知函数/（x）=x3+kx-k,则'己VO”是uf（x）有极值”的（

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9.已知“，方表示两条不同的直线，a,0表示两个不同的平面，则下列命题为假命题的是

A.若a_La,a±p,贝Ua〃0

B.若a±a,a//b,。仁0,则b〃0

C.若〃J_a,则a_La

D.若a〃a,bca,则“〃/?

10.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为32m则该几何体的高

〃为（）

TR3

A.3B.2百C.4D.6

11.已知P是圆C1=0外一点，过尸作圆。的两条切线，切点分别为A,

B,则而的最小值为（）

A.12V2-18B.673-18C.1272-16D.673-16

12.已知奇函数/(x)的定义域为R,且对任意xeR,"x)-f(x)<0恒成立，则不等

ff(2x-3)>0

式组4A的解集是()

e，f(x+1)>e4f(2x-3)

A.(4,+8)B.(0.1)

C.(I，4)D.(-1,-|-)U(4,+8)

二、填空题(共4小题).

13.两平行直线fci+8y+2=O与6x-8y+l=0之间的距离为

22

14.双曲线勺_半_二1的离心率为

15.若直线y=3x+m与函数yTd-x2的图象有公共点，则，"的最小值为.

16.已知曲线y=2x-阮(■在点(1,2)处的切线与曲线丫=(a-1)N+(“+3)x+5相切,

贝ija-.

三、解答题：解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知，〃为正数，p：不等式/>机-3对X6R恒成立；q：函数f(X)=X?吟(x>0)的

最小值不小于2.

(1)若q为真命题，求胆的取值范围；

(2)若pAq为假命题，pVq为真命题，求"的取值范围.

18.如图，在正三棱柱ABC-AIBIG中，AC=CCi=2,0是4cl的中点.

(1)求证：AiB〃平面BCD；

(2)求点4到平面囱8的距离.

19.已知直线/与抛物线C：y2—2px(/?>0)交于A,B两点,且点(2,-4)在C上.

(1)求C的方程；

(2)若/的斜率为3,且过点(1,1),求|AB|.

参考答案

一、选择题(共12小题).

22

1.椭圆工=1上任意一点到两焦点的距离之和为()

11

A.2瓜B.2娓c.2V11D.711

【分析】利用椭圆方程，结合椭圆的定义，推出结果即可.

22,_

解：因为〃=11,所以椭圆—上=1任意一点到两焦点的距离之和为2a=2

116

故选：C.

2.设命题p：V/?GR,2〃+1是奇数，则—>为()

A.VneR,2n+l是偶数B.SneR,2n+l不是奇数

C.3neR,2n+l是偶数D.3ngR,2»+l不是奇数

【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定求解即可.

解：>：3nGR,2〃+1不是奇数.

故选：B.

3.若直线y=x+3经过抛物线了2=〃式的焦点，则机=()

A.6B.12C.-6D.-12

【分析】求出抛物线的焦点坐标，然后求解，〃即可.

解：因为直线y=x+3与x轴的交点为(-3,0),

所以：=-3,即％=-12.

4

故选：D.

4.在下列函数中，求导错误的是()

A.f(x)=x2-1,f(x)=2x

B.g(x)=xlnx,g，(x)=lnx+^-

x

,x_x+2,x+1

C.h(zx)=——,hyz(x)=-——

ee

D.(p(x)=xsinx+cosx,(p'(x)=xcosx

【分析】根据导数的运算法则分别求出各选项的导函数，然后即可得到正确选项.

解：f(x)=(x2),-r=2x,故选项A正确;

g'(x)=x7lnx+x(lnx)7=lnx+x—=lnx+b故选项8不正确;

x

z/x(x+2)‘ex-(x+2)(ex)7x+1、4石丁々

h(x)=-------------p--------=――,故4V选项C正确；

(ex)6

(p'(x)—x'sinx+x(sinx)'+(cosx)1=siax+xcosx=siox=xcosx,故选项。正确.

故选:B.

5.圆G：N+y2=9与圆。2：(x-1)2+(尹2)2=36的位置关系是()

A.相交B.相离C.内切D.内含

【分析】由两个圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心距可得小于两个半径之差，可

得两圆内含.

解：由题知C1(0,0),n=3,C2(1,-2),废=6,

属于圆心距|C1C2I=7(1-0)2+(-2-0)2=V5>

因为毛・门=3,所以|CiC21Vrz-门,

所以圆G和圆Ci的位置关系是内含.

故选：D.

22

6.双曲线——\—一I-----=1的渐近线的斜率为()

sin40cos^400

A.±tan50°B.±tan400C.±sin500D.±sin40°

【分析】利用双曲线方程，求出小儿然后求解渐近线的斜率即可.

22

解：双曲线——\-----------W------=1,可得《=sin40°,Z>=cos40°，

sin40。cos2400

所以包=等纵=sin50：小时。

asin4ucos50

22

双曲线——l-----------4-----=1的渐近线的斜率为：土tan50。.

sin400cos240°

故选：A.

7.如图，某圆锥的顶点为4,底面圆的圆心为O,8c与。E为底面圆的两条互相垂直的直

径，F为母线A8的中点，且AO=3,BO=2,则异面直线AC与QF所成角的正切值为

)

【分析】说明平面A8C.连接OF,说明NOFD为异面直线AC与CF所成角，然

后求解三角形即可.

解：因为4。，底面圆，所以AOJ_DE,

又DELBC,AODBC=O,所以QE_L平面ABC.

连接。尸，则OF〃AC,

母二父二二，

/1

则NOFQ为异面直线AC与DF所成角，

易知。。，。尸，0七郎=压,

22

所以tan/OFD号弃第•

Urlo

故选：D.

8.已知函数/(x)=xi+kx-k,则黑＜0”是V(%)有极值”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【分析】先求出函数有极值的女的范围，再根据充分条件和必要条件即可求出判断.

解：V/(x)=x3+kx-k,

.,.f(x)—3x2+k,

(x)有极值，

：.f(x)=3/+%=0有不等于0的解,

：.k<0,

“AVO”是“/(x)有极值”的充要条件，

故选：C.

9.已知“，6表示两条不同的直线，a,B表示两个不同的平面，则下列命题为假命题的是

()

A.若“J_a,则a〃0

B.若a_L。,a±a,a//b,bcf},则6〃0

C.若。〃b,b-La,贝!]a_La

D.若。〃a,baa,则“〃6

【分析】根据线面垂直的性质判定A；

根据面面垂直的性质和线面平行判定B；

根据线线平行的性质判定C；

根据空间两直线位置关系判定D.

解：对于A选项，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以A选项正确；

对于8选项，因为a_L6，aj.a,a//b,所以匕_La,所以人u0或方〃0；

又因为bCB，所以6〃0,所以B选项正确；

对于C选项，由于a〃b,b±a,所以a_La,所以C选项正确；

对于。选项，a,8可能异面，所以。选项错误.

故选：D.

10.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为32m则该几何体的高

人为()

TE3

C.4D.6

【分析】首先求出底面三角形的外接圆的半径，进一步利用球的表面积公式求出三棱柱

的高.

解：根据几何体的三视图转换为几何体的直观图：该几何体为三棱柱A5C-OM.

如图所示:

所以：底面边长为2的等腰三角形，

故底面外接圆的半径为2R=—2返l解得R=2.

sinl20

外接球的表面积为4-Tr-^=321r,解得球的半径为r=2&.

,2

所以（2&）2=22+（旦），解得力=4.

故选：C.

11.已知P是圆C：x2+y2-2x+4y-1=0外一点，过P作圆C的两条切线，切点分别为A,

B,则而,而的最小值为（）

A.12V2-I8B.673-18c.12V2-I6D.673-16

【分析】可得出圆的标准方程为（X-1）2+（尹2）2=6,从而得出圆的半径为遥，从而

—*—♦o72

可得出PA-PB=d”—y-18,然后根据基本不等式即可得出而.而的最小值.

d

解：圆C的标准方程为(x-1)2+(>2)2=6,则圆C的半径为遥，

设因=d,则IPAI=IPB|

sinZAPC=-^>•**cosZAPB=1-2)2=1

PAPB=(d2-6)(l-^y)=d2-^y-18>2V72-18=12点-18,

970

当且仅当d'qq,即d2=6&》印寸，等号成立，

故瓦•瓦的最小值为1272-18-

故选：A.

12.已知奇函数/(x)的定义域为R,且对任意XER,f(x)-f(x)V0恒成立，则不等

ff(2x-3)>0

式组《V,、、4的解集是()

e'f(x+1)>e4f(2x-3)

A.(4,+8)B.(O,y)

C.(4)4)D.(T,U(4,+8)

f(x)

【分析】设g(x)=」^,利用导数判断g(x)的单调性，根据条件得到g(x+1)>g

e

(2x-3)>g(0),然后求出不等式的解集.

f'(x)-f(x)

解：设(」^,则>0,(x)在R上单调递增.

gx)=g'(x)=x

ee

,：f(x)是定义域为R的奇函数，.力飞。)=0,则g(0)=0.

任(2x-3)、f(0)

-2x-3>~0­

'f(2x-3)>0ee

・,•不等式组《等价于4

exf(x+1)>e4f(2x-3)f(x+l)>f(2x-3)

x+12x-3

ee

:・g(x+1)>g(2x-3)>g(0),

x+l>2x-33/,

、，解得曰<x<4,

l2x-3>02

.•.不等式的解集为碍4).

故选：C.

二、填空题:

O

13.两平行直线kx+Sy+2=Q与6x-8）叶1=0之间的距离为

【分析】先根据两直线平行系数之间的关系求出k的值，然后根据平行线的距离公式进

行求解即可.

解：因为直线fcv+8y+2=0与6x-8y+l=0平行，所以女=-6,

将-6x+8y+2=0化为6x-8），-2=0,

|-2-l|__3

所以两条平行线

故答案为：

10

22

14.双曲线、一）_=1的离心率为_号」.

【分析】利用双曲线方程真假求解久b,求解c,然后求解离心率即可.

解：因为〃2=4,〃=7,所以6b2=4+7=11,

所以离心率为£。叵.

a2

故答案为：J11.

2

15.若直线尸3/加与函数yT4-x2的图象有公共点，则团的最小值为-6.

【分析】函数了={4-/的图象表示圆/+产=4在），20的部分,则当直线y=3x+〃?经过

点（2,0）时，机取得最小值，代入计算即可.

解：由yTd-x）得12+产=4（y20）,

则函数y=）4-x2的图象表示圆3+产=4在y»0的部分，

当直线y=3x+m经过点（2,0）时，机取得最小值，且最小值为-6,

故答案为：-6.

16.已知曲线y=2r-/or在点（1,2）处的切线与曲线丁=（。-1）x2+（。+3）x+5相切，

则a=2或10.

【分析】求出/（无）在点（1，2）处的切线方程，与曲线y=（a-1）N+（。+3）x+5联

立，化为关于x的方程，利用二次项系数不为0且判别式等于0联立不等式组求解.

解：令/（x）=2xTnx,g（x）=（a-1）x2+（a+3）x+5,

贝旺'(x)=2」，f⑴=2-1=1，

X

可得曲线y=/(x)在点(1,2)处的切线方程为y=x+L

fy=x+l

2

联立，9，得(a-1)x+(a+2)x+4=0,

y=(a-l)x'+(a+3)x+5

a-17-0

9，解得。=2或。=10.

tA=a-12a+20=0

故答案为：2或10.

三、解答题：解箸应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知机为正数，p：不等式如>切-3对X6R恒成立；g函数f(x)=x?吟(x>0)的

最小值不小于2.

(1)若q为真命题，求胆的取值范围；

(2)若pAq为假命题，pVq为真命题，求相的取值范围.

【分析】Q)因为q为真命题，直接利用基本不等式进行求解即可；

(2)利用复合命题的真假，得到p,q一真一假，分别求解即可得到答案.

解：(1)因为m为正数，x>0,

所以f(x)=x2+*号>2<1，

当且仅当即乂=，时，等号成立.

X

若q为真命题，则2r>2,解得机21,

即机的取值范围为[1,+°°).

伍-3<0

(2)若P为真命题，则JQo'解得0V机<3.

因为pAq为假命题，pVq为真命题，

所以p,g—•真一假.

若P真q假.则

若4真?假，则，*》3.

综上，，〃的取值范围为(0,1)U[3,+8).

18.如图，在正三棱柱ABC-AiBiG中，AC=CCi=2,。是AiG的中点.

(1)求证：A山〃平面3C£)；

(2)求点4到平面BCD的距离.

Ci

【分析】(1)连接2G交SC于0,连接。0,可得四边形BBCC为平行四边形，4B

//DO,从而证明43〃平面BCD

(2