(几何证明大题-圆)(20题)-2021年中考数学考点必杀题(浙江专用)(解析版)

2021中考考点必杀500题

专练12(几何证明大题…圆)(20道)

1.(2021•浙江丽水市•九年级一模)如图，四边形45。的四个顶点在以NC为直径的

□O上，点。为AC的中点，过圆心。作OEWIB于点E,交5。于点/，AC=10,

OF=\.

(1)求证：［1480=45。.

(2)求4B的长.

(3)求尸G的长.

【答案】(1)见解析；(2)AB=S-(3)=

7

【分析】

(1)根据直径所对的圆周角是直角证明NABC=90°,再根据等弧所对的圆周角相等

即可得到结论；

(2)iiE0EFB=□EBF=45°,设BE=EF=a,根据BO2=BE2+EO?求出a的值，从而

可得结论；

(3)证明OG尸CG8可得5G=6bG,再求出8尸的长即可得到结论.

【详解】

解：(1)证明：/C是口。的直径

ZABC=90°

又点D为AC的中点,

AD^DC

ZABD=ZCBD=-ZABC=45°；

2

(2)连接80,

DOEAB

□AE=3七，BEO=90°

又［ZABD=45°

□nEFB=QEBF=45°

设BE=EF=a,

□OF=1,

OE=a-\

□4C=10

\2AO=BO=CO=5

BO2=BE2+EO2

/+3-1尸=52,

整理得，a2-a-U=0

解得：。=4或。=一3(舍去)

□B£=4

□48=8；

(3)口力8=8,4C=10,L\ABC=90°

BC=yjAC2-AB2-6

又□□QE8=ABC=90°

UEF//BC

□□OEG=ECBG

又「OGF=CGB

OGFCGB

OFFG

-----=------

BCBG

—即3G=6R7

BG6

又BF=6_BE=4O

FG+BG=7FG=4亚

FG=-47L2-

7

【点睛】

本题考查圆综合题、垂径定理、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.

2.（2021・温州外国语学校九年级其他模拟）如图，在口46。中，BA=BC,以AB为

直径作1。，交边AC于点0,交CB的延长线于点E,连结OE交A3于点足

（1）求证：AD=DE.

（2）若sin/A3E=15,AD=2y/w，求。的直径和曾'的长.

4

【答案】（1）证明见解析；（2）直径为8,后尸=2叵

3

【分析】

（1）连接/£、BD,证明/Z>CO,DE=CD,从而可得结论；

（2）连结OD,设「。的半径为r,根据4。2=钻2+比2求出r=4,再证明

r2M-EF

UDOF^OEBF,可得丁=一E~F—求解即可.

一r

2

【详解】

解：（1）证明：连接ZE、BD,如图，

c

'、、o

UN8是1O的直径

□-J£5=90□,□?10^=90

AB=BC

QQCAB=BCA,AD=CD

BAD^W8E。所对的弧是B£)

BAD=DEB

DE=CD

UAD=DE^

(2)设。的半径为r,

在戊口ABE中，sinZABE=^-

4

AEAE_y/l5

AE=^-r

2

根据勾股得BE=」

2

在RtAACE中，根据AC2=AE2+CE2，

(45/10)2=

解得，r=4

AB=8

连结OO,则OD是的中位线,

c

D

'-.0

OD//BE

：QDOF^]EBF

OPDF

"~BE~~EF

r_2晒-EF

「一EF

-Y

2

2>/10

解得:

3

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线性质等

知识，证明口。0尸问石即是解答此题的关键.

3.（2021•浙江温州市•九年级其他模拟）如图，口。是矩形ABCD的外接圆，AABC

的平分线分别交AC,口O,CD的延长线于点E,EG,过点尸作口O的切线切，交

CG于点H.

(1)证明：FH//AC.

(2)若tan/84c=3,OE=2,求切的长.

Q

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

(1)连结OF,首先根据切线的性质得出NOEH=90°,然后利用矩形的性质，角平

分线的定义及圆周角定理得出NCOF=90°,进而通过同旁内角互补两直线平行即可

证明：

(2)作印J_AC于点/,作包，AB于点L,则有HF=OI,然后设EL=BL=3a,

则AL=a,通过勾股定理求出AE,AB的长度，然后通过平行线分线段成比例得出

ATAr

—=—,进而求出”的值，则答案可解.

ABAC

【详解】

解：(1)连结OF,如图，

•.•FH是切线，

:.ZOFH=90°.

在矩形ABC。中，NA5C=90。,

BG平分NABC，

:.ZCBG^-ZABC^45°,

2

ZCOF=2NCBG=90°，

.-.ZCOF+ZOFH=180°,

：.HFIIAC.

(2)如图，作H/LAC于点/,作包，A6于点心则四边形是矩形,

:.HF=OI.

EL

vtanABAC=—=3,ZABG=45°,

AL

设EL=BL=3a,则AL=a.

AE=V10a»AB=4。，

BCHLE，

,AL_AE

,AB-AC'

.a_VlOa

"7a~AC

AC=4y/10a,AO=2vTUa.

OE=Vio«=2,a=—,OC=OF=HI=2>/10«=4.

14

.」C=—

48

..FH=OI=OC-IC=4——=-.

33

【点睛】

本题主要考查圆的综合，掌握平行线的判定及性质，矩形的性质，平行线分线段成比例

是关键.

4.(2021•杭州育才中学九年级二模)如图，N5是。的直径，弦。口/15于点E,G

是AC上一点，NG,0c的延长线交于点尸，连接ND,GD,GC.

(1)求证：CGF=」AGD.

(2)已知1OG尸=120。，AB=4.

□求CD的长.

AO3

□若——=一，求NOG与口4F。的面积之比.

AG2

【答案】（1）见解析；（2）2百；1：2

【分析】

（1）连接/C,根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可证结论；

（2）口连接2Q,先根据题意得到匚/GZ）=60。，进而即可证得口/8是等边三角形，根

据圆周角定理得到ADB=90。,ABD-=60°,解直角三角形求得4。，即可求得。的

长；

Af7DFADDGDF3,DF3

根据相似三角形的性质得到——=--------,AG=，从而得到——二--,

AD~~DG~AG~~\D~~2CD2

S3

。尸=3百,AF・AG=AD2=12,进一步得到三口=-，由相似三角形的性质得到FG・E4

3CDG2

FG3q

=FCFD=9,即可得到即——=--»进而求得三3二

2

AG4、ADG

【详解】

(1)证明：连接力C,

□48是匚。的直径，弦CD1AB于点、E,

DE=CE,

DAD=ACf

V\V\ADC=UACD,

□四边形ADCG是圆内接四边形，

UUCGF=\ADCf

U\JAGD=nACDf

nnCGF=J.AGD；

(2)解:口连接50,

□□£>GF=120°,

nn^GD=180°-120°=60°,

LIUACD=ABD=UAGD=60°f

□□/CO是等边三角形，

口4B是直径,

□□4D5=90。，

sinABD=—=—,

AB2

口/3=4,

CD=AD=l5

□□0£>JG=DE4Z),CAGD=CADC,

□LMDGLIEW7。，

AF_DF_AD

而一而一而'

DG3

-----=—»AD=CD=2r,

AG2

DF3厂，

——=-,DF=3J3,AF,AG=A»=12,

CD2

CF=DF-CD=g,

□□GCF=DD^F,□尸=「尸，

UUFCGU3FAD,

FGFC

：-------------,

FDFA

FG'FA=FC・FD=#)又373=9,

FGFA9„„FG_3

=即-----

FA-AG12,AG-4

qa

uFGD_o

SAGD4

DF_3

CD~2,

q7

°CDG_土

uFDGJ

SCDG_1

°ADG/

【点睛】

本题考查的是垂径定理，圆周角定理和解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.

5.(2020•浙江九年级期末)如图，口45。内接于口0.是□。的直径，C是弧

的中点，弦A3于点〃，连结A。，分别交CE、BC于点P、Q.连结

(1)若口。的半径为5,BH=8.求CE的长.

(2)求证：ZACH=NCBD.

(3)求证；尸是线段AQ的中点.

【答案】(1)8：(2)见解析；(3)见解析

【分析】

(1)连接OC,根据勾股定理求出C”,再根据垂径定理求出即可.

(2)根据垂径定理得出垂直平分CE,推出〃为CE中点，弧40=弧/£,根据圆

周角定理推出即可.

(3)根据圆周角定理求出推出NP=CP,求出PCQ=CQP,PC=PQ,

即可得出答案.

【详解】

解：(1)连接。C,

BH=8,OB=OC=5,

OH=3

口由勾股定理得：CH/守=4,

CEAB,

CH=EH=4,

(2)证明：L/8是。的直径，CEUAB,

AB垂直平分CE,

即”为CE中点，弧

又二C是弧4。的中点，

弧AC=^CD

弧4。=弧8=弧AE

□UACH=CBD；

(3)由(2)知，QACH=UCBD,

5l.JUCAD=UCBD

n\JACH=.CAD,

UAP=CP

又1是口。的直径，

UUACB=ADB=90°,

QDPCQ=90°-QACH,CPQC=BQD=9Q°-「\CBD,

0nPCQ=\：PQC,

PC=PQ,

UAP=PQ,

即P是线段的中点.

【点睛】

本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要

考查学生的推理能力.

6.(2020•浙江九年级期中)如图，A3是口。的直径，30是口。的弦，延长3。到

点C,使£＞。=3。，连结AC交口。于点F.

(1)求证：AB^AC.

(2)若AB=8,NB4c=45。，求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见详解；(2)2n-4也

【分析】

(1)连接Z。，根据圆周角定理可以证得/。垂直且平分3C,然后根据垂直平分线的

性质证得AB—AC；

(2)连接0D、过。作。根据扇形的面积公式解答即可.

【详解】

解：(1)AB=AC.理由如下：

连接/D

是匚0的直径，

□0/105=90°,BPADDBC,

又UDC=BD,

AD垂直平分BC,

QAB=AC；

(2)连接O。、过。作ZWEL48.

□AB=AC,ADLBC,

2BAD=B4C=45°,

□□BO£)=2：2BAD=45。，

口”=8,

□08=00=4,

0/7=4-72=272，

OBD的面积=gx4x20=40

又扇形OBD的面积=45x7x4-=2小

360

口阴影部分面积=2兀-4后.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，扇形的面积公式以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和

对应圆心角的度数的关系是关键.

7.（2021•浙江宁波市•九年级二模）我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三

角形称为该三角形的垂足三角形.

(1)如图1,AABC中，AB=AC=8,BC=6,△£)£/是AABC的垂足三角形，求

OE的长.

（2）如图2,圆内接三角形AABC中，A8=4。=%8。=6,乙48。的垂足三角形

。£户的周长为＞.

□求y与X的关系式；

□若ADEb的周长为19吴2时，求口。的半径.

（图1）（图2）

【答案】（1）3；（2）y=12----；――

x"8

【分析】

（1）根据垂足三角形的定义和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案;

（2）j同（1）中方法可得。6=班＞=。/=3,再根据A3。£口&%。得出

AE=x一一,再根据AAEF□A43C得出EF=6一一:,即可得出V与x的关系式；

xx

根据当y=M时，求得％=5,从而得出/。=4,再根据垂径定理的推论得出AA8C

的外心。在线段L,从而利用勾股定理即可得出口。的半径.

【详解】

解：（1）ADEE是AABC的垂足三角形，

ADA.BC,BEA.AC,

AB=AC>

。是8C的中点，

NBEC是直角,

DE=-BC=3.

2

（2）连结CE和8F,同（1）中方法可得OE=8£>=£>E=3,

ZABC=ZBED，

AB=AC.

ZABC=ZBCA,

ZABC=ZBED^ZBCA,

ABDEQABAC,

BEDE

---—----,

BCAC

BEC=C/8=90。，ZABC=ABCA,BC=CB；

\BEC=\CFB

□BE=CF,

AE=AF.

AE_AF

AB-AC

ZA=ZA，

AAEFDAABC.

EFAE

o———,

BCAB

e/108

EF=6----,

x

s108

y=12----.

x

A

ACER是A48c的垂足三角形，

ADVBC,

AB^AC

力。垂直平分8C,

MBC的外心。在线段AO上，

AD=V52-32=4

连结BO，

设口。的半径为r,则32+(4—r)2=，,

解得「=」25，即口0的半径为2」5.

88

本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的高，垂径定理的推论以及相似三角形的

性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

8.(2021•浙江温州市•九年级一模)4B是□。的江径,弦。口48于点E,连接NC,

过点。作。尸〃NC交口O于点尸，连接4RCF,过点4作4G口。厂延长线于点G.

(1)求证：CA=CF.

2

(2)若tan1Nb=—，CF-GF=9,求14c尸的面积.

3

B

【答案】(1)证明见详解；(2)9713

【分析】

(1)连接/£>.想办法证明/Cm,AD=CF,可得结论.

(2)过点/作44口。尸于，.证明UXFGEm/F"(44S),推出FG=FH,因为

CF-FG=CF-FH=CH=9,求出力“，4c可得结论.

【详解】

(1)如图所示，连接力。

U/8是直径，ABCD,

EC=ED,

DAC=AD,

QACQDF,

ZACF=ZCFD,

AF=CD，

AD=CF，

AD=CF,

DAC=CF.

(2)如图所示，过点4作/1〃口。尸于从

□口4尸G+UAFD=180°,AFEHUACD=180°,

□□4FG=EL4CO,

QAC=ADf

UOACD=rADC,

□□4£>C=匚力FC,

QnAFG=nAFHf

\2AGLFG,AHFH,

□□G=AHF=90°f

QAF=AFf

UUAFGUDAFH(AAS)f

□FG=FH,

AH2

□CF-FG=CF-FH=CH=9,tanACH=——=一，

CH3

□4〃=6,

4C=CF=y/AH2+CH2=762+92=3V13，

SAcr=，・C八A”=L3屈x6=9而

22

故答案为9对

【点睛】

本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角

三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中

考压轴题.

9.(2020•浙江九年级期末)如图，己知锐角三角形4BC内接于圆O,OD、BC交于

点。，OABC,连接OA

□求证：OD=-OAi

2

□当Q4=2时，求口抽。面积的最大值.

(2)点£在线段OA上，OE=OD,连接。E,设

ZABC=m/OED,ZACB=n/OED(肛〃是正数)，若？ABC?ACB,求证:

tn-H+2=0.

【答案】(1)见解析；3石；(2)见解析

【分析】

(1)连接03、OC,则88=工8008/C=60。，即可求解；

8c长度为定值,

2

口/8C面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；

(2)8/C=180°-ABC-ACB=\^°-mx-nx=—BOC=DOC,而

2

UA0D=COD+QA0C=1S00-mx-nx+2mx=180°+m.r-«j-,即可求解.

【详解】

NOBC=30。，

.\OD=-OB=-OA；

22

8c长度为定值,

.1A5c面积的最大值，要求8c边上的高最大,

OA=OB=2,OD——0A-1,

2

BC=2BD=26，

当“。过点。时，4)最大，即：A£)=A0+0£)=3,

□48。面积的最大值=，8。、45=36；

则ZABC=iwc,ZACB=tvc，

则ZR4c=180。一ZABC—ZAC3=180。一"a一nr=」/30C=/OOC,

2

ZAOC=2ZABC=2nvc，

ZAOD=Z.COD+ZAOC=180°-inx-nx+2mx=180°+mx-nx.

•：OE=OD,

ZAOD=180°-2x,

即：180°+mr-ra:=180o-2x,

化简得：m-H+2=0.

【点睛】

本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中(2),

4。£>=/。。£>+/4。(7是本题容易忽视的地方，本题难度适中.

10.(2020•浙江九年级期中)如图，已知以点O为圆心的半圆，AB为直径，点C在

半圆O上一点，连结AC,,点。为弧AC的中点，连结BD交AC于点E,延长BD

交过点力的切线于点尸，DE=2,EB=6.

F

DC

///E

AoB

(1)求证：ZAFE=ZAEF.

(2)求AF的长.

(3)求ZXABE的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)A/=2右；(3)AABE的面积为12.

【分析】

(1)利用同弧所对的圆周角相等可得口/8尸=CBD,再根据等角的余角相等可得

□CEB=F,再根据对顶角相等和等量代换可证得结论；

(2)连接4),证明ADFBDA,根据相似三角形对应边成比例可得ZO,再根据勾

股定理可得/用

(3)根据即可得出结论.

【详解】

解：(1)证明：匚48为直径，4尸为圆。的切线，

UUC=U/^5=90°,

□/45F+F=90°,UCEB+CBD=90°,

。为AC的中点

AD=CD，

□□JBF=DC5Z),

□□F=ZC£5,

□□C£8=_AEF,

\JUF=JAEF；

(2)连接ZQ,

UAB为直径，

o

QUADB=UADF=90f

□□/+ZIE4Z>90°,

□□ZBF+□尸=90。，

□□E4ZACL4瓦V

U"=AEFf

FD=DE=2,

口BE=6,

□8D=8,

o

□□E4D=U48E,DADF=UE4B=90f

□UADFUBDA,

FDAD2AO5四

----=----,即nn=-----,解得AD=4

ADBDAD8

AF=>]DF2+AD2=722+42=2A/5：

(3)S=-BEA£)=-x6x4=12.

MAB4fEiF22

故△ABE的面积为12.

【点睛】

本题考查圆周角定理，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质

和判定.正确构造辅助线，构造相似的直角三角形是解题关键.

11.(2021•浙江温州市•九年级一模)如图1,在:中，AB=AC,00是一X5C的

外接圆，过C作CD//N5,CD交口。于。,连接交8c于点E,延长〃C至点尸，

ftCF=AC,连接N尸.

(1)求证：4尸是」。的切线;

（2）求证：AB2-BE2=BE*ECi

（3）如图2,若点G是的内心，8c・5E=64,求3G的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8

【分析】

（1）连接O/,^\\ACAF=UCFA^VACD=UCAF^CFA=2\ACAF,结合」ACB=」BCD

得04cz>2「MC8,：。/=一XC8,据此可知/尸BC,从而得04AF,从而得证；

（2）证明□ZBEmCS/,列比例式可得结论；

（3）由（2）知4B2=BC・BE,据此知48=8,连接4G,^CBAG=CBAD+QDAG,

UBGA=UGAC+UACB,由点G为内心知DAG=GAC,结合

QBAD+DAG=G4C+FCB得BAG=BGA,从而得出8G=Z8=8.

【详解】

解：（1）如图1,连接04,

图1

AB=AC,

片8=舛C，ACB=B,

GOABC,

QCA=CF,

QQCAF=JCFA,

UCDAB,

OUBCD=B,

DDACB^JBCD,

0QACD=CCAF+GCE4=2JCAF,

U\^ACB=BCD,

□□JCZ>2ACB,

CAF=ACB,

AFBC,

OAAF,

□4尸为口。的切线;

(2)□BAD=BCD=UACB,Jfi=B,

V\ABECBA,

ABBE

------------

BCAB

□AB?=BC，BE=BE(BE+CE)=Be+BE・CE,

OAB-S^BE-ECx

(3)由(2)知：AB2=BC,BE,

BC・BE=64,

口/8=8,

如图2,连接4G,

图2

BAG=iBAD+DAG,BGA=\GAC+ACB,

点G为内心,

UUDAG=\GAC,

又□□A4£)+2JD4G=：：G/C+E]/C8,\JBAD=QACB,

BAG=BGA,

BG=4B=8.

【点睛】

本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握平行线的性质，垂径定理,三角形内心的性质,

切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的

关键.

12.（2020•浙江杭州市•九年级期中）已知：C,。是以AB为直径的口。上的两点，直

径A8垂直平分CO,并将线段AC绕点N逆时针旋转90°,得到AE,连接E。，分

别交口。和A8于尸,G,连接FC.

（1）求证：ZACF=ZAED；

（2）8与AB交于点P，其他条件不变，

口连接EB,当尸为。3的中点时，若N4£）C=aN£）EC,ZAFC=hZDFC,求。力

的值.

FG

□请问—是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由.

AP

【答案】（1）见解析；（2）a=l；b=2；是定值0,见解析

【分析】

（1）连接/。，利用垂径定理证得4D=/IC,由旋转的性质可知4C=/E,推出

QAED=\JADF,即可推出结论；

OP1

（2*为08的中点，在放「OPC中，计算cos「产0c=3己=］，得出UPOC=60。，再得

至!|口（70。=20尸0c=120。计算。0=60。，4c得到/DC为等边三角形，从而得到

UCAD=DFC,求出a的值，再计算AFC=2。尸C求出6的值.

（3）过点E作EMZCO,过点。作DMO,且EN与直线45交于点与直线DN

交于点M先证」ACP,推出£M=/P,AM=CP,再证明UENO为等腰直角三角

形，推出EMG为等腰直角三角形，即可通过锐角三角函数推出结论.

【详解】

解：如图1.

E

连接=

:.ZACF^ZADF

又AE是由线段AC绕点4速时针旋转90°得到,

AC=AE，

•.•CDJ•直径48,

.•.AB垂直平分C。，

AC=AD,

：.AE=AD

：.ZAED=ZADF,

ZACF=ZAED

(2)如图，连接/。，OC,OD,AF,

□由(1)知ZC=/O,ABQCD,

UCP=PD,

□尸为08的中点,

OP=­OB

2

在MUOPC中，

八八OP1

cosPOC=——=—，

OC2

□□POC=60°,

□□COD=2UPOC=2x60°=120°

CAD=—COD=-x120°=60°

22

□□Z)FC=!CAD=60°

又UZC=4D

□□4OC为等边三角形，

□□CJD=60°

r\UCAD='DFC

□a=l

又AFC+JZ)C=180°

□UAFC=1S00-JADC=l20°

□HAFC=2DFC

Ub=2

故答案为：。=1；b=2

是定值、回，理由如下：

如图2,过点E作应V//CD，过点。作。N且EN与直线AB交于点M，与

直线ON交于点N,

NE4C=NCPA=90°,ZEAM+ZCAB=ZCAB+ZACP=90°,,

ZEAM=ZACP

同理ZAffi4=NOW,又AC=AE,.•口£4M4ACP(AS4),

:.EM=AP,AM=CP

DN±CD,CD1AB,

：.DN//AB

乂EN//CD,：.四边形MNDP是矩形，

:.MN=PD,MP=ND,

QA3是直径,

CD±AB,:.MN=PD=CP=AM,

乂EM-AP,

:.EM+MN=AP+AM

即EN=MP=ND,.PEN。是等腰直角三角形,

;.NEDN=45。,

:./EGM=/EDN=45。,

△EMG是等腰直角三角形,

EMV2

----=---,

EG2

.•竺=空=日

APEM

本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，全等三角形，锐角三角函数等，解题关键是能

够通过添加合适的辅助线构造全等三角形及直角三角形.

13.(2021•浙江九年级专题练习)如图，DE为半圆。的直径，A是DE延长线上一点,

AB切半圆。于点C,连接OB,连接CD交OB于点F,B=D.

(1)求证：F为CD的中点.

(2)若BC=2AC,OF=2,求AD的长.

B

D

EO

【答案】(1)见解析；(2)5"

【分析】

(1)连接0C,根据切线的性质得到OCOAB,得到nB+[]BOC=90。，等量代换得到

□DCO+DBOC=90°,求得OFdCD,根据等腰三角形的性质得到结论；

(2)连接CE,根据三角形中位线定理得到CE=2OF=4,CECOF,根据相似三角形的

性质即可得到结论.

【详解】

解：(1)连接OC,

□AB切半圆O于点C,

□OCAB,

□□BCO=90°,

□□B+OBOC=90°,

□OC=OD,

□□D=DCO,

□□B=DD,

□□B=DDCO,

□□DCO+DBOC=90°,

□□CFO=90°,

□OFDCD,

□F为CD的中点；

(2)连接CE,

□OD=OE,DF=CF,

CE=2OF=4,CEiOF,

□□ACE"ABO,

ACCE

----...—，

ABOB

□BC=2AC,

□AB=3AC,

——AC=——CE=一1,

ABOB3

□0B=12,

□□BCO=nCFO=90°,

□□OCF+aCOF=LCOF+匚B=90。,

OCF=B,

nnocFnOBC,

OC_OB

~6F~~6C'

OC12

---二----，

2OC

OC—2>/6，

OE=OC=26，DE=2OC=4向

OCEQOB,

AEAC1

.——=--=—，

OEBC2

AE=—OE=V6,

2

AD=AE+DE=5A/6.

本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅

助线构造相似三角形是解题的关键.

14.(2021•浙江九年级专题练习)如图，RfU/BC中，口C=90。，点。在边45上，以

。点为圆心、05为半径作圆，分别与8C、N6相交于点0、E,连接40,ND是二O

的切线.

(1)求证：」。。=」8；

(2)若BC=4,tanJ?=—,求LI0半径.

2

【答案】（1）见解析；（2）延

4

【分析】

（1）连接。。，由切线的性质可推出ODB+4DC=90。，利用C=90。求出

DADC+D4c=90。，再根据圆的半径构成的等腰三角形即可证明CAD5B；

（2）设圆的半径为r,利用锐角三角函数定义求出/C=8Ctan5=2,则可由勾股定理

得出AB=1AC2+BC?=逝2+42=2石，再利用勾股定理列出关于「的方程，求出

方程的解即可得到结果.

【详解】

（1）证明：连接OC,

EL4。是口0的切线，

aODUAD,

□□450=90。，

DDODB+lADC^90°,

□□C=90°,

□U4DC+LD4c=90。,

□□DJC=\ODB,

口OD=OB,

□□5=匚。。&

□□CJD=JB；

(2)解：设I。的半径为小

在RfABCBC=4,tanB=—,

2

□JC=^CtanB=2,

根据勾股定理得：/8=y]AC2+BC2=722+42=275>

OA=2逐-r,

在RtACD中，tanG4D=tan^=一,

2

□C-anLlC4D=l,

根据勾股定理得：/3=/。+82=4+1=5,

在Rt中，OA2=OD2+AD2,即(26-r)2=^+5,

解得，=延，

4

。半径为迈.

4

【点睛】

此题考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形的有关知识以及勾股定理的运用,

熟练掌握切线的与性质及解直角三角形是解题的关键.

15.(2021•浙江九年级专题练习)如图，45和C。为□。的直径，AB3CD,点E为

。上一点，CE=CA,延长ZE交LO于点尸，连接C尸交Z5于点G.

(1)求证：CE2=AE»AF；

(2)求证：EL4C尸=3口比1/；

(3)若尸G=2,求NE的长.

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)272

【分析】

(1)先判断出ACE=AFC,进而判断出LSCEAFC,得出/C^=ZE・/IF,即可得

出结论；

(2)先求出匚。£=口。以=67.5。，进而求出口比1F=DQCF=22.5。，即可得出结论；

(3)先求出厂"，G",再判断出/"=尸，=2,最后判断出EF=FG,即可得出结论.

【详解】

解：(1)和8为no的直径，ABCD,

AC=AD

UHACE^CAFC,

QQCAE=GFAC,

uUACEAFC,

ACAE

-----=-----，

AFAC

\：AC1=AE^AF,

QAC=CEf

QCE2=AE*AF；

(2)口ABDCD,

□LMOC=90。，

□O4=0C,

□□4匿=匚04c=45。，

AFC=—JOC=45°,

2

UAC=CE,

U\JCAE=AEC=—(180°-ACO)=67.5°,

nUBAF=DCAF-'OAC=22.5°f

□DAEC=产。+口0//=45。+口。。/=67.5。，

□□03=22.5。，

□□4。/=口。。+口。月尸=67.5。=3*22.5。=3口54/；

(3)如图，过点G作GH」C尸交力产于H,

□□FG//=90°,

DUAFC=45°f

□□WG=45°,

□HG=FG=2,

FH=2y[2，

□□44尸=22.5。，□产HG=45。，

□U4GH=FHG-nBAF=225°=」BAF,

AH=HG=2,

AF=AH+FH=2+272，

由（2）知，OAE=OCG,

QQAOE=nCOG=90°,OA=OC,

^UAOEQUCOG（SAS）,

UOE=OG,UAEO=UCGO,

QQOEF=LOGF,

连接EG,

□OE=OG,

QaOEG=OOGE=45°,

□UFEG=UFGE,

□EF=FG=2,

AE=AF-EF=2+2yfi-2=20.

【点睛】

此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的

判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求出/尸是解本题的关键.

16.（2020•浙江九年级期中）如图，A3为口0直径，。为口。上一点，过点。作口。

的切线OC交直线AB于点C.过点/作AELCD,垂足为E,交口。于点尸，连接

【答案】（1）见详解；（2）AE=16

【分析】

（1）连接O。，由题意易得8,进而可得A七〃。。，然后可证

NB=Z.ODB=-NDOC,则问题可求证；

2

(2)连接O。、BF,由题意易得AC=------=6,则有00=6+04=6+0。，进

sinC

而可得变=2=°D,然后可得/尸=90°,A8=24,最后问题可求解.

0C30D+6

【详解】

。。是口。的切线，

OD1CD，

AE1CD,

AE//OD,

乙DOC=NBAF,

□00=08,

ZB=ZODB=-ZDOC,

2

NFAB=2NB；

OC=6+QA=6+O£），

由（1）可得"＞，co.

OD2OD

---———-------，

OC3OD+6

00=12,

是□。的直径，

"=90°,AB=24,

CD//BF，

NC=ZABF,

AF=ABsinZABF=i6.

【点睛】

本题主要考查圆的切线定理及三角函数，熟练掌握圆的切线定理及三角函数是解题的关

键.

17.（2021•浙江九年级专题练习）如图，AB是门。的直径，点C为。上一点，CN为

□O的切线，OMDAB于点O,分别交AC、CN于D、M两点.

（1）求证：MD=MC；

（2）若口。的半径为5,AC=4亚,求OD长；

（3）在（2）的基础上求MC长.

（1）连接0C,利用切线的性质证明即可;

（2）根据相似三角形的判定和性质

（3）由勾股定理解答即可.

【详解】

解：（1）证明：连接OC,如图所示：

□CN为口0的切线，

□OCDCM,DOCA+DACM=90°,

OMAB,

LIUOAC+UODA=90°,

□OA=OC,

□□OAC=DOCA,

□□ACM=nODA=OCDM,

□MD=MC；

(2)解：由题意可知AB=5x2=10,AC=4右，

□AB是O的直径，

□□ACB=90。，

BC=加_(4可=25

□□AOD=DACB,CA=DA,

□□AODUACB,

ODAO

---=----,

BCAC

OD5

即击=访，

可得：OD=2.5,

(3)解：设MC=MD=x,

在Rt匚OCM中，由勾股定理得：(x+2.5)2=x2+52,

解得：x=一，

4

15

即HnMC=—.

【点睛】

本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题.

18.（2021•浙江九年级专题练习）在RtUABC中，B=90。，CE平分」BCA交AB于

点E,在AC上取一点O,以OC为半径的圆恰好经过点E,且分别交AC,BC于点D,

F,连接DE,EF.

(1)求证：AB是」O的切线;

(2)若AD=2,OC=3；

口求AEC的面积；

□求EF的长.

【答案】(1)见解析；(2)口告，|A/5

【分析】

(1)证明UFCO=OCEO,进而求解；

(2)证明/EOABC,则”=42,求出8C=%,利用Sd£c=LAE・BC

BCAC52

48

=y.即可求解；

证明AEDECF,则等=4?，即.

ECEF5

【详解】

解：(1)如图，连接OE,

□CE平分L4c8,

□□£CO=-]FCO,

口OC=OE,

□□ECO=aC£O,

QQFCO=\CEO.

UOEBC,

又口口"为。，

□□OEJ=90°,

即Z8是」。的切线;

(2)OEBC,

AEOABC,

OEAO

-----------,

BCAC

c24

BC——,

5

□□OE4=90°,

在中，0A=5,OE=3,

AE=y]o^-OE2=V52-32=4,

148

SAEC——AE・BC=一；

25

□L1OEL8C,

AE_AO

~EB~'OC'

12

BE=—,

5

-C£=yV5,

XnQOED+OEC=90。，

□UAED^DOEC^QECF,

□QADE+QEDC=QEDC+EFC=180°,

UUADE=QEFC,

口□/E。ECF,

AE_AD

~EC~~EF，

EF=4石.

【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查的是圆的基本性质性质、切线的性质与判别、三角形相似

等，有一定的综合性，难度适中.

19.(2021•浙江九年级专题练习)如图，U4BC内接于匚。，且N5为口0的直径，OE匚AB

交ZC于点E,在OE的延长线上取点D,使得Z)E=DC.

(1)求证：CD是。的切线；

(2)若ZC=26,BC=yj5,求CD的长.

D

【答案】（1）见解析；（2）—

【分析】

（1）连接0C,由等腰三角形的性质得出:1DCE=CLDEC,CA=QACO,可得出

DCE+ACO=90°,则可得出结论.

（2）过点。作。尸CE于点F,由勾股定理求出/8=5,证明AOEACB,得出比

AnAf

例线段一=—,可求出力区证明〕。产cnzcs,由相似三角形的性质得出

ACAB

—,则可得出答案.

BCAB

【详解】

（1）证明：连接0C,如图1,

口DC=DE,

□□£>C£=DEC,

□□DEC=\AEO,

□O力匚O£,

□□4+ZUEO=90。,

□U£>C£+LJ=90°,

UOA=OCf

□□J=LJCO,

□□QCE+匚力。0=90。,

OCDC,

8是。的切线；

(2)如图2,过点。作。/TICE于点F,

AC=25BC=下,

AB=ylAB2+BC2=5-

AB为。的直径，

-8=90。，

QQACB=QAOE,

XUUJ=LJ,

□□