《集合的概念》教学设计【高中数学人教A版必修第一册教案】

集合的概念

♦教学目标

1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系.

2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号.

3.能用集合语言：描述法、列举法表示有关数学对象，并在描述法学习和应用过程中,

提升学生的数学抽象素养.

♦教学重难点

教学重点：元素与集合之间的关系及其表示，以及用符号语言表示集合.

教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合：描述法中元素所满足的条件利用符号

表述及识别.

♦课前准备

PPT.

♦教学过程

一、学习章引言，整体概览

我们知道，方程炉=2在有理数范围内无解，但在实数范围内有解.在平面内，到定点

的距离等于定长的点的集合是圆，而在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，

因此，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础.集合论是德国数学家康托在

19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表

达数学的一些内容.我们将集合作为一种语言来学习，将学会使用最基本的集合语言表示有

关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力.

集合语言是一种抽象的数学语言，学习集合语言最好的方法就是使用，非洲大草原上生

存着几千种动物，它们常常面临着生与死的考验，为了生存，它们过着“群居”的生活，这

种“物以类聚”就产生某种动物集合.让我们一起走进“集合”世界，探索集合的奥秘.

二、概念的引入

问题1:下面的例子，每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？

我们把研究的对象统称为元素，例子中的元素分别是什么？

(1)1—10之间的所有偶数；(2)立德中学今年入学的全体高一学生；

(3)所有的正方形；(4)到直线/的距离等于定长d的所有点；

(5)方程V—3x+2=0的所有实数根：(6)地球上的四大洋.

师生活动：学生独立思考、讨论交流.

追问：例子中研究的对象分别是什么，构成的集合是什么.

预设的答案：(1)1〜10之间的每个偶数作为元素，这些元素的全体就是一个集合.

(2)立德中学今年入学的每一位高一学生作为元素，这些元素的全体也是一集合.

(3)每一个正方形作为元素，所有的正方形构成一个集合.

(4)到直线/的距离等于定长d的点作为元素，满足条件的点全体构成的一个集合.

(5)方程/-3、+2=0的根作为元素，这些元素构成了一个集合.

(6)地球上的四大洋作为元素，这些大洋构成了一个集合.

设计意图：通过初中所学及实例，让学生感知、了解、抽象出元素与集合的含义.提高

学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力.

三、概念的理解

例1判断下列说法是否正确.

(1)所有好看的花可以构成一个集合.

(2)由1,3,0,5,|一3］这些数组成的集合中有5个元素.

(3)高一(3)班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合发了改变.

师生活动：学生独立观察，充分思考，交流讨论.

追问：(1)你从哪个角度分析一些研究对象能否构成集合？(从集合中的元素是否确

定)

(2)集合中的元素能否相同，可以重复吗？(不能重复，如问题(2)中|一3|=3,所

以集合只有4个元素1,3,0,5,集合中的元素是互异的)

(3)高一(3)班的全体同学调整座位后这个班集体变了吗？(班集体没有变，集合没

有变化，集合中的元素是没有顺序的)

(4)通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？请你再举一些相应的例子.(确

定性、互异性、无序性)

（5）如何判断两个集合相等？（元素是否完全一样，两个集合中元素是一样的，则这

两个集合相等）

设计意图：通过具体的例子让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括出元素的三个特

性，深刻理解集合概念.

问题2：元素和集合各用什么字母表示？元素和集合之间有哪两种关系？用什么符号表

示？常用数集及其记法有哪些？

师生活动：学生独立阅读完成.给出练习检测其阅读效果.

预设的答案：

（1）元素用小写拉丁字母a,b,c…表示；集合用大写拉丁字母4,B,C…表示.

（2）元素与集合的关系：“属于”、“不属于”.

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作“6A；如果人不是集合A中的元

素，就说〃不属于集合A,记作旅人

（3）常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N'、整数集Z、有

理数集Q、实数集R.（根据学生的实际情况，适当回顾一下具体数集包含哪些数，对记忆

有帮助）

设计意图：用数学语言表示集合和元素.元素、集合的字母表示，元素与集合的“属于”

或“不属于”关系，常用数集及其记法，建议在运用中逐渐熟练掌握.

问题3：上面的例1使用自然语言表示集合，还有其他方法可以表示集合吗？例如，地

球上的四大洋组成的集合，我们明确地知道地球上的4大洋是什么，而自然语言表达的不具

体，那么该用什么方法呢？再比如，不等式％—3<7的解集，又该用什么方法表示呢？

师生活动：学生独立思考，然后交流讨论.教师适时地选择下面问题进行追问.

追问1：上述两个例子有什么区别呢？从集合中元素的特点来分析.

预设的答案：第1个例子集合中的元素是有限个（4个），可以这样表示{太平洋，大

西洋，印度洋，北冰洋}.第2个集合中的元素都小于10,集合中的元素都是实数且是无数

多个.

追问2：你能总结归纳出列举法的特征吗？使用列举法表示时需要注意什么？

预设的答案：把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方

法叫做列举法.利用列举法表示集合时应注意：①大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；

②元素虽然与顺序无关，但是防止不重不漏，按一定的顺序列举较好，如：从小到大或者从

大到小等.

追问3：显然不能用列举法表示不等式x-3<7的解集.那么解集中元素的共同特点是

什么？将这个共同特征描述清楚，写出来也可以表示集合，这就是集合的描述法.阅读课本

第4页，什么叫描述法？然后用描述法写出解集对应的集合.

预设的答案：共同特点是在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其

取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征，一

般形式为：*|p（x）}.这种用所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

{x|x<10},或者{xGR|xV10},或者{x|x—3V7},或者{xGR|x—3<7}.

追问4：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？

预设的答案：

表示

特点适用对象

方法

自然元素不可列或无共同

简单易懂、生活化

语言特征

列举每个元素一一列举出来，直观

元素有限、可列

法明显

描述元素是无限的或比较

元素具有明显的共同特征

法多

设计意图：通过集合的表示法，学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让

学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素

的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举

不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言描述

集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法.在这个过程中提升学生的数学抽象

素养.

四、概念的巩固应用

例2考查下列每组对象，能构成一个集合的是（）

①某校高一年级成绩优秀的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的自然数；

④我国新型冠状病毒疫情期间支援武汉的白衣天使.

A.③④B.②③④C.②③D.②④

答案：B

设计意图：帮助学生理解集合中元素的特性.判断一组对象能否组成集合，关键看该组

对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同

时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

例3下列关系中，正确的有()

吗GR；@|-3|eN；④|一小gQ；⑤0={0}

A.1个B.2个C.3个D.4个

答案：C

设计意图：促进学生熟练判断元素与集合间的关系.判断元素与集合关系的两种方法：

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即

可.(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所

具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.

例4用适当的方法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整数的集合；

(2)坐标平面内第一象限的点的集合；

(3)方程炉一9=0的实数根组成的集合C；

(4)一次函数y=x+3与y——2x+6的图象的交点组成的集合D.

师生活动：学生分析判断，交流讨论写出结果，教师巡视观察学生写的情况，纠正错误

写法.

预设的答案：(1)根据被除数=商义除数十余数，可知此集合表示为{x|x=3〃+l,n

GN).

(2)第一象限内点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示为{(x,)，)卜>0,>'>0}.

(3)方程9=0的实数根为一3,3,所以C={-3,3}.

y=x+3,[x=l,

(4)由f.得

y——2x+6ly=4,

所以，一次函数y=x+3与y=—2x+6的交点为(1,4),所以。={(1,4)}.

解题思路：描述法表示集合的2个步骤(如图1)：