2024届上海闵行中学高三数学4月二模考试卷附答案解析

届上海闵行中学高三数学4月二模考试卷2024.4一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1．两个平面可以将空间分成个部分．2．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是．3．已知等比数列的前项和为，公比为2，且，则4．方程的解是.5．已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为.6．已知首项为2的等比数列的公比为，则．7．已知，且，则.8．在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为．10．已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是．11．我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线.设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是.12．如图，设点为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点到四个顶点的距离组成的集合记为，如果集合中有且只有个元素，那么符合条件的点有个.

二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分，每题有且只有一个正确答案）13．存在，使得的否定形式是（

）A．存在，使得 B．不存在，使得C．对任意的 D．对任意的14．已知实数，，且满足，则下列关系式成立的是（

）A． B． C． D．15．已知集合，，若，则，之间的关系是A． B． C． D．16．已知是上的单调递增函数，，不等式恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．三．解答题（本大题共5题，满分76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）．17．已知函数是定义域为R的偶函数.(1)求实数的值；(2)若对任意，都有成立，求实数k的取值范围.18．在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．19．许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上，若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束，每次套娃娃成功的概率为，每次套娃娃费用是10元.(1)记随机变量为小朋友套娃娃的次数，求的分布列和数学期望；(2)假设每个娃娃价值18元，每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏，求摊主每天利润的期望.20．在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，直线过与交于两点，当时，的面积为3.(1)求双曲线的方程；(2)已知都在的右支上，设的斜率为.①求实数的取值范围；②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由.21．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明：有且只有一个零点；(3)求函数在上的最小值.1．3或4##4或3【分析】两个平面分平行、相交两种情况讨论，从而可得结果.【详解】空间中两个平面的位置关系是平行或相交，若两个平面平行，则可将空间分成3部分，若两个平面相交，可将空间分成4部分，所以两个平面可以将空间分成3或4个部分.故答案为：3或4．2．【分析】利用点关于面对称的结论求解即可.【详解】点关于平面对称的点的坐标是.故答案为：.3．1【分析】根据等比数列基本量关系求解即可.【详解】依题意，，故，解得.故答案为：14．【分析】根据对数的运算法则计算可得.【详解】由方程，可得，，解得.故答案为：5．【分析】由相同渐近线的双曲线方程待定参数，将点的坐标代入即可求解.【详解】由题意不妨设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线E的方程为，若双曲线E经过点，则，解得，所以双曲线E的方程为.故答案为：.6．【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得解.【详解】因为数列是以首项为2，公比为的等比数列，所以.故答案为：.7．【分析】根据诱导公式结合正弦函数性质分析求解.【详解】因为，且，可知，又因为，且，结合在内单调递减，可得.故答案为：.8．3【分析】根据，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式求解.【详解】解：在中，，，，由余弦定理得：，，解得，所以，故答案为：39．8【分析】根据题意得到，再利用点到圆心距离减半径得最值，即可得到答案．【详解】因为，．所以的最小值为8．故答案为：810．【分析】根据题意转化为，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【详解】由，可得，当，，所以在单调递减，，，在上单调递增，，对任意的，都有成立，，，故答案为：．11．【分析】由，设，然后由辅助角公式化简即可求解.【详解】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为c，则，所以，又，故设，所以，当时，取得最大值.故答案为：12．【分析】根据分类计数原理求解即可．【详解】符合条件的点有两类：一，六条棱的中点；二，四个面的中心；集合中有且只有个元素，符合条件的点有个．故答案为：13．C【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.【详解】“存在，使得”的否定形式是“对任意的”.故选：C14．C【分析】根据余弦函数的性质得到，在根据对数函数的性质判断A，正弦函数的性质判断B，不等式的性质判断C，幂函数的性质判断D.【详解】因为在上单调递减，又实数，，且满足，所以，即，对于A：因为在定义域上单调递增，所以，故A错误；对于B：因为在上单调递增，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为在定义域上单调递增，所以，故D错误；故选：C15．C【解析】先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z＝x+yi，,则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，，即a2+b2＜1故选C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．16．D【分析】令在上是增函数，不等式恒成立等价于，所以，令，转化为.【详解】依题意，在上是增函数，，不等式恒成立，即恒成立，等价于恒成立，，令，则，易得，，.故选：D.17．(1)2(2)【分析】（1）由偶函数定义求得参数值；（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得范围．【详解】（1）由偶函数定义知：，即，∴对成立，.（2）由（1）得：；∵，∴，当且仅当即时等号成立，∴，∴，即，解得：或，综上，实数的取值范围为.18．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面.（2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.（2）在平面内，过作，交于，则，结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系.则，故.设平面的法向量，则即，取，则，故.而平面的法向量为，故.二面角的平面角为锐角，故其余弦值为.19．(1)分布列见解析，(2)元【分析】（1）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，根据数学期望公式得结果；（2）间接法求出一个小朋友套娃娃成功的概率，从而计算一个小朋友的利润，再计算总利润.【详解】（1）由题意知，随机变量的取值为，则，即的分布列为1234所以.（2）易知小朋友套娃娃未成功的概率为.，则小朋友套娃娃成功的概率为.记摊主每天利润为元，则的期望为，故摊主每天利润的期望为元.20．(1)(2)①②不存在，理由见解析【分析】（1）由已知条件可得，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及的面积可求出，再由离心率可求出，从而可求得双曲线的方程，（2）①设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围；②假设存在实数，使为锐角，则，所以，再结合前面的式子化简计算即可得结论.【详解】（1）因为，所以.则，所以，的面积.又的离心率为，所以.所以双曲线的方程为.（2）①根据题意，则直线，由，得，由，得恒成立.设，则，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，即，所以，解得.②假设存在实数，使为锐角，所以，即，因为，所以，由①得，即解得，与矛盾，故不存在.

【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合求解，考查计算能力，属于较难题.21．(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在处的切线方程；（2）当时，求得，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可证得结论成立；（3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最小值.【详解】（1）当时，，则，所以切线的斜率为，所以当时，曲线在处的切线方程为.（2）证明：当时，，令，则或，且，列表如下：增极大值减极小值增所以函数的极大值为，极小值为，故当时，，又因为，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一零点.综上所述，当时，函数有且只有一个零点.（3）因为，所以.①当时，对任意的，，则且不恒为零，此时函数在上单调递增，则；②当时，由，可得，由，可得，此时函数在上单调递减，在上单调递增，则；③当时，对任意的，且不恒为零，此时函数在上单调