2024届焦作市博爱一中高三数学4月模拟考试卷附答案解析

届焦作市博爱一中高三数学4月模拟考试卷2024.4全卷满分150分．考试用时120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列满足，则“”是“是等比数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（

）A．16 B．24 C．32 D．484．设，，，则（

）A． B． C． D．5．已知，则（

）A． B． C． D．6．在中，角、、所对的边分别为、、，，，是内切圆的圆心，若，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知圆：（）与双曲线：（，），若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D． E．均不是8．若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分．9．已知数列的前项和为，且对于恒成立，若定义，，则以下说法正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．存在使得10．已知函数，则下列说法正确的是A．B．函数的最小正周期为C．函数的图象的对称轴方程为D．函数的图象可由的图象向右平移单位长度得到11．已知双曲线上一点A到其两条渐近线的距离之积为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12．如图，点是边长为1的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为．

13．已知数列的前项和，当取最小值时，.14．2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种．（用数字作答）四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．16．如图，空间六面体中,,，平面平面为正方形，平面平面.(1)求证：；(2)若，求平面与平面所成角的余弦值.17．猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：歌曲猜对的概率0.80.50.5获得的奖励基金金额/元100020003000(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.18．已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.(1)求双曲线的方程；(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.19．已知函数．(1)讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．1．C【分析】根据充分必要条件的证明方法，结合等比数列的定义与数列递推式即可得解.【详解】当时，因为，所以，又，则，则，依次类推可知，故，则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立；当是等比数列时，因为，所以，当时，，则是公比为的等比数列，所以，即，则，，，由，得，解得，不满足题意；当，即时，易知满足题意；所以，即必要性成立.故选：C.2．C【分析】根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值.【详解】在线段上，，，为线段的一个三等分点，，，，由平面向量基本定理得，，，当时，取得最小值.故选：C.3．B【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.【详解】若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若、和在上单调递增，则有个；综上所述：共有个.故选：B.【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．4．B【分析】由题意可得，，，即可得，，再比较与的大小关系，借助对数运算转化为比较与的大小关系，结合放缩计算即可得.【详解】，，，故，，要比较与的大小，即比较与的大小，等价于比较与的大小，等价于比较与的大小，又，故，即，即，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较与的大小关系，可借助对数运算转化为比较与的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.5．B【分析】利用两角和的正弦公式及诱导公式化简，并运用齐次式运算求解.【详解】已知,则，.故选：B.6．D【分析】计算出的内切圆半径，以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算可求得、的值，即可得解.【详解】，，所以，内切圆的圆心在边高线上（也是边上的中线），，，以直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，则、、，设的内切圆的半径为，根据等面积法可得：，解得，即点，则，，，因为，则，解得，则.故选：D.7．B【分析】由圆的切线的性质可得，即双曲线与圆有交点，即，即可计算离心率的范围.【详解】由，故，则，即双曲线与圆有交点，即，即，即，即双曲线的离心率的取值范围是.故选：B.8．A【分析】求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.【详解】，若时，当时，；当时，；则在上单调递减；在上单调递增.所以当时，取得极小值，与条件不符合,故不满足题意.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极大值，满足条件.当时，由可得或；由可得所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得极小值，不满足条件.当时，在上恒成立，即在上单调递增.此时无极值.综上所述：满足条件故选：A9．BC【分析】利用退位相减法可得数列的通项及即可判断A选项，按照给出的定义求出即可判断B选项，数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.【详解】当时，，当时，由，得，故，即，所以数列为等比数列，首项，公比，故，A选项错误；则，所以，，B选项正确；当时，，假设当时，成立，当时，由可得，则，，，，，将上式相加可得，又，则，故，即时也成立，故，C选项正确；D选项，当时，由知不成立，当时，由C选项知：，则，，，，，上式相加得，又由上知，，则，可得，又由可得，，即，D选项错误；故选：BC.【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.10．BCD【分析】根据三角恒等变换判断A，根据正弦型函数周期判断B，根据正弦型函数对称轴判断C，由图象平移判断D.【详解】对于AB，因为函数，故A错误；所以，故B正确；对于C，令，解得，故C正确；对于D，的图象向右平移单位长度可得，故D正确.故选：BCD11．ACD【分析】利用点到直线的距离公式及双曲线的几何性质结合基本不等式一一判定选项即可.【详解】易知：双曲线的渐近线方程为，设点到两条渐近线的距离分别为，则利用点到直线的距离公式可得.因为，所以，所以，所以，A正确；因为，所以，B错误；因为，当且仅当时等号成立，C正确;因为，所以，当且仅当时等号成立，D正确.故选:ACD.12．【分析】根据正六边形的性质和对称性，可将问题转化为求三角形面积最大值问题，结合基本不等式求出最值即可.【详解】

如图，由对称性可知，折叠后的图形与另外一半不完全重合时比完全重合时面积大，此时，折叠后面积为正六边形面积的与面积的3倍的和.由正六边形的性质和对称性知，，，在中，由余弦定理可得：，得，由基本不等式可知，则，故，因，，解得，当且仅当时等号成立，故，又正六边形的面积，所以折叠后的面积最大值为：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得折叠后所成图形的面积要取得最大值时的状态，从而得解.13．3【分析】根据求得，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为，则当时，，又当时，，满足，故；则，又在单调递减，在单调递增；故当时，取得最小值，也即时，取得最小值.故答案为：.14．【分析】首先计算出所有的选派方式，再挑选出不合题意选派方式，即可计算出结果.【详解】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种，其中甲、乙都不参与的选派方式共有种，其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种，所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种.故答案为：15．(1)(2)【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式和前项和公式列方程组解出公比，从而可求出通项公式；（2）由（1）得，然后用分组求和法即可求，分别计算和，即可确定的值.【详解】（1）设的公比为，则，因为，所以，依题意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故显然，随着的增大而增大，，，所以满足的最大整数.16．(1)证明见解析(2).【分析】（1）根据条件可得平面平面，利于面面平行的性质定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量表达形式进行计算即可.【详解】（1）平面平面，平面.为正方形，，同理可得平面.平面平面，平面平面.平面平面平面平面，.（2）由于为正方形，平面平面，可得平面.如图，建立空间直角坐标系，设，根据条件可知则,,可知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则取，，平面与平面所成角的余弦值为.17．(1)0.4(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的顺序猜歌名，理由见解析.【分析】（1）根据互斥事件和独立重复试验的概率公式即可求解.（2）先根据题意写出甲决定按“”的顺序猜歌名获得奖金数的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式求得每一个取值对应的概率，由数学期望的计算方法得出；再同理得出甲决定按“”顺序猜歌名的数学期望；最后可通过计算、比较方差得出答案或者分析获得0元的概率得出答案.【详解】（1）由题意可知甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名分两种情况：猜对；猜对，这两种情况不会同时发生.设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E，由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得.（2）甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，则的所有可能取值为，所以；甲决定按“”顺序猜歌名，获得的奖金数记为，则的所有可能取值为，所以.参考答案一：由于，由于，所以应该按照“”的顺序猜歌名.参考答案二：甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名.其他合理答案均给分18．(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得，，可求得双曲线的方程为；（2）设出两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明；（3）设直线的方程为，求出直线与轴的交点分别为的坐标，联立直线和双曲线方程利用韦达定理化简即可得出证明.【详解】（1）因为虚轴长，所以.又因为点在双曲线上，所以，解得.故双曲线的方程为.（2）证明：如下图所示：设，则所以因为在双曲线上，所以，可得；于是，所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是.（