第2章 一元一次不等式与一元一次不等式组（教师版）-八年级数学下册

第2章一元一次不等式与一元一次不等式组知识点01：不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.易错指导：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．知识点02：一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．易错指导：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

易错指导：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.易错指导：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.知识点03：一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

易错指导：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．知识点04：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解为何值时，函数的值为0？确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标.求关于、的二元一次方程组的解．为何值时，函数与函数的值相等？确定直线与直线的交点的坐标.求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集为何值时，函数的值大于0？确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021春•武侯区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种解：设静怡准备买A种笔记本x本，则购买B种笔记本（7﹣x）本，根据题意可知，10x+8（7﹣x）≤70，7﹣x＞0，解得，x＜7，∵x≥4，∴4≤x＜7，∴x可取4，5，6，∴共三有种方案．故选：B．2．（2分）（2022春•思明区校级期末）已知a＜b，下列不等式成立的是（）A．a+2＜b+1 B．﹣3a＞﹣2b C．m﹣a＞m﹣b D．am2＜bm2解：A、不等式的两边都减1，不等号的方向不变，故A错误；B、不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，B选项没有乘以同一个负数，故B错误；C、∵a＜b，∴﹣a＞﹣b∴m﹣a＞m﹣b，故C正确；D、∵m2≥0，a＜b∴am2≤bm2，故D错误；故选：C．3．（2分）（2022春•增城区期末）如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（）A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故选：B．4．（2分）（2020•南京二模）若不等式组有解，则k的取值范围是（）A．k＜2 B．k≥2 C．k＜1 D．1≤k＜2解：因为不等式组有解，k＜2．故选：A．5．（2分）（2018春•唐河县期中）如图，已知直线y＝ax+b与直线y＝x+c的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③对于直线y＝x+c上任意两点A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，则yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．①④ D．③④解：∵直线y＝ax+b，y随x的增大而减小，∴a＜0，①正确；∵直线y＝x+c与y轴交于负半轴，∴c＜0，②错误；直线y＝x+c中，k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，∴xA＜xB，则yA＜yB，③错误；x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，④正确；故选：C．6．（2分）（2020•长安区校级模拟）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（）A． B． C． D．解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，∵，∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；若三个整数解为0，1，2，则；解得．故选：B．7．（2分）（2023春•香坊区校级期中）如图，在数轴上表示不等式3x﹣6＞0的解集，正确的是（）A． B． C． D．解：3x﹣6＞0，3x＞6，x＞2，在数轴上表示为，故选：B．8．（2分）（2023春•新民市期中）已知关于x的不等式组的最小整数解是2，则实数m的取值范围是（）A．﹣3≤m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3≤m≤﹣2解：解不等式≥2，得：x≥4+m，解不等式x﹣4≤3（x﹣2），得：x≥1，∵不等式组的最小整数解是2，∴1＜4+m≤2，解得﹣3＜m≤﹣2，故选：B．9．（2分）（2023春•罗湖区期中）某学校举行“创新杯”篮球比赛，比赛方案规定：每场比赛都要分出胜负，每队胜1场积2分，负1场积1分，每只球队在全部8场比赛中积分不少于12分，才能获奖．小明所在球队参加了比赛并计划获奖，设这个球队在全部比赛中胜x场，则x应满足的关系式是（）A．2x+（8﹣x）≥12 B．2x+（8﹣x）≤12 C．2x﹣（8﹣x）≥12 D．2x＞12解：由题意，胜一场得2x分，负一场得（8﹣x）分，则得不等式：2x+（8﹣x）≥12，故答案为：A．10．（2分）（2018•巴彦淖尔）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，则m的最小整数解为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0解：，①﹣②得：x﹣y＝3m+2，∵关于x，y的方程组的解满足x﹣y＞﹣，∴3m+2＞﹣，解得：m＞﹣，∴m的最小整数解为﹣1，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•城中区模拟）如图所示，函数y2＝ax+b和y1＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．解：∵函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点，∴根据图象可以看出，当y1＞y2时，x的取值范围是x＞2或x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1或x＞2．12．（2分）（2020春•润州区期末）已知实数x、y满足2x﹣3y＝4，且x＞﹣1，y≤2，设k＝x﹣y，则k的取值范围是1＜k≤3．解：∵2x﹣3y＝4，∴y＝（2x﹣4），∵y≤2，∴（2x﹣4）≤2，解得x≤5，又∵x＞﹣1，∴﹣1＜x≤5，∵k＝x﹣（2x﹣4）＝x+，当x＝﹣1时，k＝×（﹣1）+＝1；当x＝5时，k＝×5+＝3，∴1＜k≤3．故答案为：1＜k≤3．13．（2分）（2018春•义安区期末）如图，已知一次函数y1＝﹣x+b的图象与y轴交于点A（0，6），y2＝kx﹣2的图象与x轴交于点B（2，0），那么使y1＞y2成立的自变量x的取值范围是x＜4．解：将点A（0，6）代入一次函数y1＝﹣x+b，得0+b＝6，解得b＝6，故函数解析式为y1＝﹣x+6；将点B（2，0）代入y2＝kx﹣2，得2k﹣2＝0，解得k＝1，故函数解析式为y2＝x﹣2，解方程组，解得，∴两函数图象交点坐标为（4，2），∴使y1＞y2成立的自变量x的取值范围是x＜4．故答案为：x＜4．14．（2分）（2023•洛阳三模）不等式组的所有整数解的和是5．解：，由①得：x＞，由②得：x≤3，∴不等式组的解集为＜x≤3，则所有整数解为2，3，之和为2+3＝5．故答案为：5．15．（2分）（2023春•江北区期中）如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程3y+6a＝22﹣y的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为﹣3．解：由，得x≤5，由3x+6＞a+4，得x＞，∵关于x的不等式组有且只有3个奇数解，∴这三个奇数解是1，3，5，∴﹣1≤＜1，解得﹣1≤a＜5，由方程3y+6a＝22﹣y，可得y＝，∵方程3y+6a＝22﹣y的解为非负整数，∴≥0且为整数，解得a≤且为整数，∴﹣1≤a≤且为整数，∴满足条件的整数a的值为﹣1，1，3，∵﹣1×1×3＝﹣3，∴符合条件的所有整数a的积为﹣3，故答案为：﹣3．16．（2分）（2023春•沙坪坝区校级期中）若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为﹣4．解：由一元一次不等式组得：x≤1且x，∵一元一次不等式组有解，∴，解得：a≤1，解分式方程得：y＝，∵分式方程的解是整数，y≠1，∴当a+1＝1时，a＝0；当a+1＝2时，a＝1；当a+1＝4时，a＝3，不符合题意；当a+1＝﹣1时，a＝﹣2；当a+1＝﹣2时，a＝﹣3；当a+1＝﹣4时，a＝﹣5，y＝1，不符合题意；∴符合条件的所有整数a的和为：0+1﹣2﹣3＝﹣4．故答案为：﹣4．17．（2分）（2023春•龙泉驿区期中）若整数m使关于x的不等式组有解，且使关于x的分式方程＝﹣1有整数解，则整数m的值为6．解：解不等式组得，∵不等式组有解，∴3m+2＞﹣2m+17，解得m＞3，分式方程＝﹣1两边同乘（x+2）（x﹣2），得：mx﹣x2﹣2x＝﹣x2+4，∴x＝，∵方程有整数解，m＞3，且≠±2，∴m＝6．故答案为：6．18．（2分）（2022春•辛集市期末）一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x应满足的不等式为3x≥300﹣60．解：由题意，列出不等关系x（6﹣1﹣2）+60≥300，化简得3x≥300﹣60．19．（2分）（2016春•岱岳区期中）今年三月份甲、乙两个工程队承包了面积1800m2的区域绿化，已知甲队每天能完成100m2，需绿化费用为0.4万元；乙队每天能完成50m2，需绿化费用为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作10天．解：设应安排甲队工作y天，根据题意得：0.4y+×0.25≤8，解得：y≥10．即：至少应安排甲队工作10天；故答案为：10．20．（2分）（2019春•南岸区校级期末）自2019年起，全国全面启动生活垃圾分类工作．到6月底，某市部分小区先投入“垃圾分类”工作中：这部分小区平均每个小区有72户业主参加，其中参加户数低于60户的小区平均每个小区有56户业主参加，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有84户业主参加．根据调查发现，若每个小区同时新增10户业主参加，则此时参加户数低于60户的小区平均每个小区有58户，参加户数不低于60户的小区平均每个小区有90户业主参加，且该市这部分小区个数不低于50，且不高于70，则这部分小区有56个．解：设低于60户的有x个小区，不低于60户的有y个小区每个小区增加10户，则设低于60户的会在x户的基础上减少e户，不低于60户的会在y户的基础上增加e户即：低于60户有（x﹣e）个小区，不低于60户的有（y+e）个小区由题意得：72（x+y）＝56x+84y化简得：4x＝3y①同时有：58（x﹣e）+90（y+e）＝82（x+y）化简得：3x﹣y＝4e②由①②解得：x＝2.4e，y＝3.2e∵x，y，e都是正整数，且50≤x+y≤70∴50≤5.6e≤70∴e＝10，x＝24，y＝32∴x+y＝56故答案为：56．三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2023•衡水三模）（1）已知a＝﹣1，求代数式的值；（2）解不等式组，并把其解集表示在数轴上．解：（1）＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝＝2；（2）解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜4，∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4，在数轴上表示不等式组的解集为：．22．（8分）（2023春•青羊区校级期中）如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线l2分别与x轴、y轴交于C、D，连接AD．（1）直接根据图象写出关于x的不等式的解集；（2）求出m、n的值；（3）求出△ABD的面积．解：（1）∵﹣x+m＞x+1，∴x＜﹣；（2）∵直线y＝x+1经过B（，n），∴n＝×+1＝．∵直线y＝﹣x+m经过B（，），∴＝﹣×+m，∴m＝3；（3）由（2）得直线l2的解析式为y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝x+1＝1，∴H（﹣2，0），令x＝0，则0＝﹣x+3，∴y＝3，∴D（0，3），∴△ABD的面积＝△AHD的面积+△HBD的面积＝×（3﹣1）×2+×（3﹣1）×＝．23．（8分）（2023春•即墨区期中）某文具店在一次促销活动中规定：消费者消费满100元就可享受打折优惠．期中考试后，小韦同学在该店为班级买奖品，准备买3支钢笔和若干本笔记本．已知每支钢笔10元，每本笔记本4元，那么她至少买多少本笔记本才能享受打折优惠？解：设小韦买x本笔记本才能享受打折优惠，依题意得：10×3+4x≥100，解得：．∵x为整数，∴x的最小值为18．答：小韦至少买18本笔记本才能享受打折优惠．24．（8分）（2023春•朝阳区校级期中）根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣3|的图象和性质进行研究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，如表是y与x的几组对应值：x…﹣10123456…y…43210m23…其中，m＝1；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中，已经根据表格信息画出了部分图象，请你描出以上表中以其他各对对应值为坐标的点，补全函数图象；​（3）观察以上函数图象发现，当x＜3时，y随x的增大而减小；当x≥3时，y随x的增大而增大；（4）结合图象进一步探究，①不等式|x﹣3|≥2的解集是x≤1或x≥5；②若关于x的方程|x﹣3|＝2x+b的解是负数，则b的取值范围为b＞3．解：（1）m＝|4﹣3|＝1，故答案为：1；（2）如图：（3）当x≥3时，y随x的增大而增大，故答案为：增大；（4）①由图象得：不等式|x﹣3|≥2的解集是：x≤1或x≥5，故答案为：x≤1或x≥5；②由题意得：x＜0，∴原方程可化为：3﹣x＝2x+b，解得：x＝1﹣b，由题意得：1﹣b＜0，解得：b＞3，故答案为：b＞3．25．（8分）（2023春•小店区校级月考）某服装厂生产一批服装和领带，服装每套定价300元，领带每条的定价为50元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供了如下两种优惠方案：方案一：购买一套服装赠送一条领带；方案二：服装和领带均按定价的九折出售．某商店老板现要到服装厂采购服装30套，领带x（x≥30）条，请根据x的不同情况，帮助商店老板选择最省钱的方案．解：按优惠方案（1）购买，应付款：300×30+（x﹣30）×50＝50x+7500（元），按优惠方案（2）购买，应付款：（300×30+50x）×90%＝45x+8100（元），设y＝（50x+7500）﹣（45x+8100）＝5x﹣600（元），当y＜0时，即（30≤x＜120且为整数）时．选方案（1）比方案（2）更省钱，当y＝0时，即x＝120时．选两个方案一样省钱，当y＞0时，即（x＞120且为整数）时．选方案（2）比方案（1）更省钱，如果同时选择方案（1）和方案（2），那么为了获得厂方赠送领带的数量最多．同时享有9折优惠，可考虑设计别的方案（3），就是：先按（1）方案购买30套西服并获赠30条领带，然后余下的（x﹣30）条领带按优惠方案（2）购买，应