巧用平方根的概念解决相关题目（解析版）-七年级数学下册

第05讲巧用平方根的概念解决相关题目类型一：巧用非负性求值类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值类型三：巧用算术平方根的最小值求值类型四：巧用平方根的定义解方程【类型一：巧用非负性求值】1．（2023秋•余姚市期中）已知，则的值是（）A． B． C． D．【分析】先根据非负数的性质求出m、n的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴m﹣4＝0，n+9＝0，解得m＝4，n＝﹣9，∴＝＝﹣．故选：B．2．（2023春•祥云县期末）已知+|b﹣1|＝0．那么（a+b）2023的值为（）A．﹣1 B．1 C．32023 D．﹣32023【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵+|b﹣1|＝0．∴a+2＝0，b﹣1＝0，即a＝﹣2，b＝1，∴（a+b）2023＝（﹣2+1）2023＝﹣1，故选：A．3．（2023春•五华区校级期中）已知x，y满足+（y+1）2＝0，那么x﹣y的平方根是（）A． B． C．1 D．±1【分析】利用算术平方根的定义以及偶次方的性质得出x，y的值，再利用平方根的定义求出答案．【解答】解：∵x，y满足+（y+1）2＝0，∴x＝2，y＝﹣1，∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝3，∴x﹣y的平方根是：±．故选：A．4．（2023秋•大东区期中）+|b+2|＝0，则的值是（）A．0 B．2018 C．﹣1 D．1【分析】直接利用绝对值以及算术平方根的性质得出a，b的值，代入计算得出答案．【解答】解：根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，解得：a＝1，b＝﹣2，则＝＝1．故选：D．5．（2023春•西岗区月考）已知（4﹣a）2与互为相反数，则a﹣b的平方根是（）A． B． C． D．【分析】根据算术平方根、偶次方的非负性求出a、b的值，再求出a﹣b的值，由平方根的定义进行计算即可．【解答】解：由题意得，（4﹣a）2+＝0，而（4﹣a）2≥0，≥0，∴4﹣a＝0，b+1＝0，解得a＝4，b＝﹣1，∴a﹣b＝5，∴a﹣b的平方根是，故选：C．6．（2022秋•九龙坡区期末）已知a、b、c都是实数，若，则的值等于（）A．1 B．﹣ C．2 D．﹣2【分析】先根据平方，绝对值和算术平方根的非负性求出a，b，c的值，再将a，b，c代入中即可求解．【解答】解：∵，，|2b﹣|≥0，（c+2a）2≥0，∴a﹣2＝0，2b﹣＝0，c+2a＝0，∴a＝2，b＝，c＝﹣4，∴＝＝＝2，故选：C．7．（2023春•赛罕区期中）已知，则a2+b2的值为（）A．2 B． C．1或﹣1 D．1【分析】由已知得，两边平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，从而可选出正确答案．【解答】解：，则两边平方得，整理得，两边平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，故选：D．8．（2023春•南山区校级月考），则a+b＝（）A．a+b＝﹣1 B．a+b＝1 C．a+b＝2 D．a+b＝3【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，可得a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，从而得到a＝2，b＝﹣1，即可求解．【解答】解：∵，，∴，∴a﹣b﹣3＝0，2a﹣4＝0，解得：a＝2，b＝﹣1，∴a+b＝1．故选：B．【类型二：巧用正数的两个平方根的关系求值】9．（2023秋•榆阳区校级月考）一个正数的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，则这个数是（）A．49 B．25 C．16 D．7【分析】根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出2a﹣3+5﹣a＝0，求出a的值，即可求出这个数．【解答】解：由题意得，2a﹣3+5﹣a＝0，解得a＝﹣2，∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7，2a﹣3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，∴（±7）2＝49，即这个数是49，故选：A．10．（2023春•台江区校级期末）若一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，则m的值是（）A．﹣7 B．﹣4 C．1 D．16【分析】根据平方根的定义得出3m+1+2m﹣6＝0，再进行求解即可得出答案．【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是3m+1与2m﹣6，∴3m+1+2m﹣6＝0，∴m＝1；故选：C．11．（2023秋•玄武区校级期中）若一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，则a＝﹣1，这个正数是16．【分析】根据平方根的性质即可求得a的值，然后根据平方根的定义即可求得这个正数的值．【解答】解：∵一个正数的两个平方根是2a﹣2和﹣a+3，∴2a﹣2﹣a+3＝0，解得：a＝﹣1，则﹣a+3＝1+3＝4，那么这个正数是16，故答案为：﹣1；16．12．（2023春•南通期末）已知正实数x的两个平方根是a和a+b，若2a2x+（a+b）2x＝27，则x＝3．【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得x＝a2＝（a+b）2，然后将其代入2a2x+（a+b）2x＝27中，利用平方根的定义计算后根据题意确定x的值即可．【解答】解：∵正实数x的两个平方根是a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵2a2x+（a+b）2x＝27，∴2x•x+x•x＝27，即3x2＝27，则x2＝9，∵x为正实数，∴x＝3，故答案为：3．13．（2023秋•太和区期中）若＝2，正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，求2a+b+c平方根．【分析】由于一个正数的两个平方根互为相反数，得：2c﹣1和﹣c+2＝0．解方程即可求出c，然后即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求2a+b+c平方根．【解答】解：∵正数b的两个平方根分别是2c﹣1和﹣c+2，∴2c﹣1﹣c+2＝0，解得c＝﹣1，∴b＝（﹣2﹣1）2＝9，∵＝2，解得a＝5，∴2a+b+c＝10+9﹣1＝18，∴18的平方根是±3．14．（2023春•普兰店区期中）一个正数x的两个平方根分别是2a﹣1与﹣a+2，求a的值和这个正数x的值．【分析】正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣11，所以﹣a+2与2a﹣1互为相反数；即﹣a+2+2a﹣1＝0解答可求出a；根据x＝（﹣a+2）2，代入可求出x的值．【解答】解：∵正数x有两个平方根，分别是﹣a+2与2a﹣1，∴﹣a+2+2a﹣1＝0解得a＝﹣1．所以x＝（﹣a+2）2＝（1+2）2＝9．15．（2023秋•临汾月考）若实数b的两个不同平方根是2a﹣3和3a﹣7，求5a﹣b的平方根．【分析】根据平方根的性质进行解题即可．【解答】解：由题意得（2a﹣3）+（3a﹣7）＝0，解得a＝2，∴b＝（2a﹣3）2＝1，∴5a﹣b＝9．∴5a﹣b的平方根为±3．16．（2023春•惠阳区期末）已知正实数x的两个平方根分别为a和a+b．（1）若a＝﹣2，求b和x的值；（2）若b＝6时，求a和x的值；（3）若a2x+（a+b）2x＝8，求x的值．【分析】（1）根据平方根的定义及性质即可求得b的值和x的值；（2）根据平方根的定义及性质即可求得a的值和x的值；（3）根据平方根的定义将原式进行变形后解方程，然后结合已知条件确定x的值即可．【解答】解：（1）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，∴a+a+b＝0，即2a+b＝0，∵a＝﹣2，∴b＝4，x＝（﹣2）2＝4；（2）∵2a+b＝0，b＝6，∴2a+6＝0，解得：a＝﹣3，∴x＝（﹣3）2＝9；（3）∵正实数x的平方根分别为a和a+b，∴x＝a2＝（a+b）2，∵a2x+（a+b）2x＝8，∴x2+x2＝8，即2x2＝8，解得：x＝±2，∵x为正实数，∴x＝2．【类型三：巧用算术平方根的最小值求值】17．（2023•墨玉县一模）当x＝4时，式子3+有最小值，且最小值是3．【分析】先根据二次根式非负的性质求出x的值，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴当x﹣4＝0时，会有最小值，∴当x＝4时，会有最小值，且最小值是3．故答案为：4，3．18．（2023春•东湖区校级期中）已知y＝﹣9+，当x＝13时，y的最小值＝﹣9．【分析】由算术平方根的非负性求解即可．【解答】解：∵，∴当x＝13时，有最小值是0，∴当x＝13时，y有最小值，最小值为﹣9+0＝﹣9，故答案为：13；﹣9．19．（2023春•潮阳区期末）已知是整数，则自然数m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【分析】根据算术平方根的定义可得被开方数是9，进而求出答案．【解答】解：若是整数，则自然数m的最小值是3，故选：B．20．（2023春•海淀区校级期中）关于式子m2+1（m为实数），下列结论中错误的是（）A．式子m2+1定有平方根 B．当m＝0时，式子m2+1有最小值 C．无论m为何值，式子m2+1的值一定是有理数 D．式子m2+1的算术平方根一定大于等于1【分析】分别根据平方根有意义的条件，最小值，无理数的意义及算术平方根的意义判断求解．【解答】解：∵m2+1（m为实数）≥1，∴A：m2+1定有平方根，B：当m＝0时，m2+1有最小值1，D：m2+1的算术平方根大于等于1，C：当m＝π时，m2+1是无理数，故选：C．21．（2023春•淮北月考）当a取什么值时，的值最小？请求出这个最小值．【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．【解答】解：∵≥0，∴当a＝﹣时，有最小值，是0．则的最小值是1．【类型四：巧用平方根的定义解方程】22．（2023秋•永修县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+5与2a﹣11．（1）求a及m的值；（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）根据平方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）由题意得：a+5+2a﹣11＝0，解得：a＝2，∴m＝（a+5）2＝49；（2）原方程为：2x2﹣16＝0，∴x2＝8，解得：．23．（2023春•牧野区校级期中）解方程：（1）16x2＝49；（2）（x﹣2）2＝64．【分析】（1）（2）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可求解．【解答】解：（1）16x2＝49，∴x2＝，∴x＝±；（2）（x﹣2）2＝64，∴x﹣2＝±8，∴x＝10或x＝﹣6．24．（2023春•西和县期中）解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【分析】（1）利用一元二次方程的解法求解即可；（2）把（x+1）看作一个整体，求解即可．【解答】解：（1）25x2﹣49＝0，化为：，∴x＝±，∴；（2）2（x+1）2﹣49＝1，化为：（x+1）2＝25，∴x+1＝±5，∴x1＝4，x2＝﹣6．25．（2023春•澄海区期末）已知|2a+b﹣4|与互为相反数．（1）求5a﹣4b的平方根；（2）解关于x的方程ax2+5b﹣5＝0．【分析】（1）依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得5a﹣4b的值，最后依据平方根的定义求解即可；（2）将a、b的值代入得到关于x的方程，然后解方程即可．【解答】解：（1）由题意，得，∴2a+b﹣4＝0，3b+12＝0，解得：a＝4，b＝﹣4，∴5a﹣4b＝5×4﹣4×（﹣4）＝36，∴5a﹣4b的平方根为±6；（2）将a＝4，b＝﹣4代入ax2+5b﹣5＝0，得4x2﹣25＝0，解得：．26．（2023春•鄱阳县期末）已知a、b满足，解关于x的方程（a+4）x+b2＝a﹣1．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式得到关于x的一元一次方程，求解即可．【解答】解：根据题意得，2a+10＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣5，b＝，所以，方程为（﹣5+4）x+5＝﹣5﹣1，即﹣x+5＝﹣6，解得x＝11．27．（2023春•天河区期中）已知一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，（1）求a的值；（2）求关于x的方程ax3﹣64＝0的解．【分析】（1）根据平方根的定义可求出a的值；（2）将a的值代入后，再由立方根的定义进行计算即可．【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+6与2a﹣9，∴a+6+2a﹣9＝0，解得a＝1，答：a＝1；（2）当a＝1时，原方程可变为x3﹣64＝0，由立方根的定义可知，x＝4，即方程x3﹣64＝0的解为x＝4．28．（2023春•昭平县期中）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）将a＝1代入m＝（a+6）2中，可得m的值；（3）根据平方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，解得，a＝1；（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，∴m＝72＝49；（3）x2﹣16＝0，x2