3.4 乘法公式（分层练习）（解析版）

第3章整式的乘除3.4乘法公式精选练习基础篇基础篇1．（2023秋·海南海口·八年级校联考期末）已知，，则的值为（

）A．5 B．7 C．11 D．13【答案】D【分析】将两边平方，利用完全平方式化简后，把的值代入即可求解．【详解】将两边平方得，将代入得：，所以，故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键．2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级校考期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】从图中可以得出，大正方形的边长为，大正方形的面积就为，4个矩形完全相同，且长为a，宽为b，则4个矩形的面积为，中间的正方形的边长为，面积等于，大正方形面积减去4个矩形的面积就等于中间阴影部分的面积．【详解】解：∵四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，∴四个矩形的面积为，∵大正方形的边长为，∴大正方形面积为，∴中间小正方形的面积为，而中间小正方形的面积也可表示为：，∴．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义，利用正方形面积和矩形的面积的计算方法解决问题．3．（2023秋·山东日照·八年级校考期末）如果是一个完全平方式，那么k的值是（

）A．5 B．-3 C．5或 D．3或5【答案】C【分析】先将原式变形为，根据题意可得，解出，即可求解．【详解】解：，∵是一个完全平方式，∴，∴，解得或．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，熟练掌握完全平方公式含有三项：首平方，尾平方，首尾二倍在中央，首尾同号是解题的关键．4．（河南省开封市2022-2023学年八年级上学期期末数学试题）关于x的多项式是完全平方式，则实数a的值是（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】根据完全平方公式进行分析计算．【详解】解：∵多项式是完全平方式，∴．故选：C．【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．5．（2023秋·山西吕梁·八年级校考期末）如图所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：则长方形的面积为故选：B．【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积．6．（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知，，则的值为（

）A．5 B．25 C．37 D．6【答案】B【分析】利用完全平方公式进行变形计算即可．【详解】解：∵，，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．7．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（

）．A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】∵是一个完全平方式，∴，解得：或．故选：C．【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．8．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）若，则（）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据平方差公式即可求解．【详解】解：∵，∴，则，解得：或（舍），故选：B．【点睛】本题主要考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：．9．（2023春·全国·七年级专题练习）二次三项式是一个完全平方式，则k的值是____．【答案】【分析】这里首末两项是x和6这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和6积的2倍，故，求解即可．【详解】解：∵二次三项式是一个完全平方式，∴中间一项为加上或减去x和6积的2倍，故，解得，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的特征．利用完全平方公式是解答本题的关键．10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知：，则__________．【答案】【分析】将变形为，然后将，代入求解即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式进行运算是关键．11．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）已知，，则的值为______．【答案】57【分析】将代数式变形后，再将，代入即可求出答案．【详解】解：∵，，∴故答案为：57．【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式．12．（2022春·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知，则代数式的值为_____．【答案】【分析】将已知等式完全平方，然后根据完全平方公式展开即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．13．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）请你计算：，…猜想的结果是____（n为大于2的正整数）【答案】##【分析】各式计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可．【详解】解：∵，，；∴猜想，故答案为：【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．14．（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，长方形的周长是cm，分别以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为cm2，那么长方形的面积是______cm2．【答案】8【详解】解：∵正方形和的面积之和为，∴，∵长方形的周长是cm，∴，∴，∴，∵∴，∴长方形的面积是．故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键．15．（2023春·全国·七年级专题练习）．【答案】【分析】利用完全平方，以及平方差计算，再合并即可求出值．【详解】解：．【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解决问题的关键．16．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则直接计算即可．（2）利用平方差公式、完全平方公式进行计算．【详解】（1）解：．（2）解：．【点睛】本题主要考查了整式的运算，掌握整式运算法则以及乘法公式是解题的关键．注意去括号时，符号的变化．17．（2022秋·广东肇庆·七年级统考期末）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】先计算整式的混合运算，再将字母的值代入计算．【详解】解：原式当时，原式．【点睛】此题考查了整式的化简求值，正确掌握整式混合运算法则是解题的关键．18．（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）（1）已知，求代数式的值；（2）已知，求的值．【答案】（1），2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将代入进行计算即可；（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．【详解】解：（1），

当时，原式；（2），．【点睛】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．19．（2022春·吉林长春·七年级校考阶段练习）（1）已知，，用含有，的代数式表示；（2）定义新运算：对于任意实数，，都有，若，求的值．【答案】（1）；（2）的值为【分析】（1）根据，把化简为：，即可；（2）根据定义新运算：的运算法则，即可求出．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查幂的运算，一元一次方程的知识，解题的关键掌握幂的运算法则，理解定义新运算的运算．20．（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：；(2)如果图中的、满足，，求的值；(3)已知，求．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）依据该图形的总面积为或可得结果；（2）由（1）题结果可得，将，可求得即的值；（3）设，，则，依据代入计算可求得即可求出．【详解】（1）解：该图形的总面积为：或故答案为：；（2）由（1）题结果可得，∴当，时，，∴；（3）设，，∴，则，∵，，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．提升篇提升篇1．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）下列各式，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据完全平方公式及平方差公式进行运算，即可判定．【详解】解：A.，故该选项错误；B.，故该选项正确；C.，故该选项错误；D.，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了利用完全平方公式及平方差公式进行运算，熟练掌握和运用完全平方公式及平方差公式是解决本题的关键．2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末），为实数，整式的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值．【详解】解：，∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．故选：A．【点睛】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．3．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】C【分析】由图可得五边形面积为正方形的面积加上梯形的面积，根据阴影部分面积为五边形面积减去空白部分两个三角形面积列式计算即可．【详解】解：由图可知，五边形的面积正方形的面积梯形的面积，阴影部分的面积五边形的面积三角形的面积三角形的面积，∵，，∴，∴阴影部分的面积为．故选：C．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．4．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）若，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．无法判断【答案】A【分析】根据完全平方公式的变形，将b化简，进而与a比较即可求解．【详解】解：，，故．故选A．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．5．（2023秋·广东湛江·八年级统考期末）现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）（1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为______．（2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片______块．A．和6 B．和5 C．和4 D．和3【答案】A【分析】（1）分别求两个正方形面积再求它们的和；（2）根据完全平方式结构构造完全平方式即可．【详解】解：（1）∵甲纸片的面积是，乙纸片的面积是，∴甲、乙纸片各1块的面积之和是，故答案为：；（2）∵甲纸片1块和乙纸片9块的面积之和为：，且是完全平方式，∴要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形时，还需取丙纸片6块，故答案为：6．故选A．【点睛】此题考查了完全平方式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形和完全平方式的结构准确列式、构造求解．6．（2023秋·福建三明·七年级统考期末）若，，，……，是2022个由1和组成的数，且满足，则的值为（

）A．2122 B．2422 C．3844 D．4244【答案】C【分析】根据完全平方公式展开，整理汇总即可解得．【详解】解：故选：C．【点睛】此题考查了完全平方公式，解题的关键是熟悉完全平方公式．7．（2021春·浙江宁波·七年级校考期中）某家具生产厂一月份生产沙发a件，生产椅子4a件．已知沙发产量每月平均增长率为x，椅子产量每月平均降低率为y．若该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，且，则为（

）．A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】先表示出三月份生产椅子数量为，生产沙发的数量为，根据该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，列出等式，即，整理变形为，最后将代入求出结果即可．【详解】解：根据题意得：该生产厂三月份生产椅子数量为，生产沙发的数量为，∵该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，∴，∵，∴，即，整理得：，把代入得：，解得：，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用，解题的关键是根据题意得出，熟练应用平方差公式．8．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）设，是实数，定义一种新运算：．则下列结论中正确的有（

）①；②；③A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】B【分析】利用新运算的意义对每个选项的结论进行逐一验证即可得出结论．【详解】解：，故①正确；，，故②正确；，，∴，故③错误；故选：B【点睛】本题主要考查了乘法公式，本题是新定义型题目，理解并熟练应用题干中的新定义是解题的关键．9．（2023春·七年级单元测试）计算：_______．【答案】1【分析】将分解成，然后利用完全平方公式分解因式即可．【详解】．【点睛】本题考查了利用因式分解简化运算，掌握完全平方公式是解题的关键．10．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知，则______．【答案】【分析】利用完全平方公式变形计算即可．【详解】∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键．11．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，在中，，以，为边分别作正方形和正方形，若，，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】【分析】根据题意得到，，利用完全平方公式和正方形的面积公式求解即可．【详解】解：由题意，，，，∴，，∴图中阴影部分的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了完全平方公式、正方形的面积公式、三角形的面积公式，理解题意，掌握完全平方公式的应用是解答的关键．12．（2023春·七年级课时练习）现有如图所示的，，三种纸片若干张．（1）现取1张纸片，2张纸片，其面积和为______．（2）淇淇要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，她选取纸片9张，再取纸片1张，还需要取纸片______张．【答案】

6【分析】（1）直接计算纸片，纸片的面积进形求和即可；（2）先分别求出，，纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可．【详解】解：（1）取1张纸片，2张纸片，其面积和为：；故答案为：；（2）∵取纸片9张，取纸片1张，∴面积为，∵小明要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为，∴还需6张丙纸片，即，故答案为：6．【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个．13．（2022秋·河南南阳·八年级校考期末）我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是______．【答案】4【分析】将原式利用平方差公式将偶数项化简为，末尾是2，4，8，6四个一组循环，由此求解即可．【详解】解：，∵，，，，，…，∴末尾是2，4，8，6四个一组循环，∵，∴的的个位数是6，∴的的个位数是4，故答案为：4．【点睛】本题考查平方差公式的应用，找规律；熟练掌握平方差公式，多个数相乘后数的个位循环特点是解题的关键．14．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）设n是正整数，且是15的倍数，．已知m是完全平方数，是完全立方数，是完全5次方数，则n的最小值是______．【答案】【分析】由，，是完全立方数，可设，1，，，，，又由是完全平方数，可设，，，即可表示出，又由是完全5次方数，即可设，，，求得，1，，，，则可求得答案．【详解】解：，又，是完全立方数，即是完全立方数，设，1，，，，，是完全平方数，设，，，，1，，，，，，1，，，，，是完全5次方数，设，，，，1，，，，取最小值：，可得：，；故答案为．【点睛】此题考查了完全平方数的应用．此题难度较大，解题的关键是根据题意设，1，，，，，然后利用同样的方法，表示出，1，，，，．15．（2023春·全国·七年级专题练习）先化简再求值：(1)，其中．(2)已知m，n满足，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；（2）根据完全平方公式分别求出，即可得到答案．【详解】（1）解：，当时，原式；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．16．（2023春·全国·七年级专题练习）先化简，再求值．，其中．【答案】，【分析】利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式的运算法则去掉中括号里面的小括号，再合并同类项，然后根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后根据非负数的性质求出x、y的值并代值计算即可．【详解】解：，∵，，∴，∴，∴，∴原式．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的混合计算法则是解题的关键．17．（2023秋·青海西宁·八年级校考期末）阅读材料后解决问题．小明遇到下面一个问题：计算．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：．请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）原式补上，利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式补上

，利用平方差公式计算即可得到结果．【详解】（1）原式；（2）原式．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．18．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值．，∵，∴当时，有最小值．请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：(1)若，请求出、的值；(2)试说明代数式的值都不大于；(3)若代数式的最小值为，试求出的值．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（2）利用配方法和平方非负数的性质即可得到结论；（3）利用配方法和平方非负数的性质可得有最小值，从而得到关于的方程，求解即可．【详解】（1）解：∵，又∵，∴、．（2）证明：∵，又∵，∴，∴当时，有最大值，∴无论取何值，代数式的值都不大于．（3）解：∵，又∵∴当时，有最小值，∵的最小值为，∴，∴，∴．∴的值为．【点睛】本题是因式分解的应用，考查完全平方式和平方的非负性．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．19．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．探究发现：先填空：______；______；______；…由此猜想：