2021-2022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷

2021-2022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

2.（2分）在等式①/+x=l；②3+2=5；③2+1=0；④x+y=l；⑤x+3=2%中，符合一元

x

二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.（4）D.①④

3.（2分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性

大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率

是（）

A.AB.Ac.2D.A

6299

4.（2分）利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）

A.直径所对圆周角为90°

B.如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径

C.直径是最长的弦

D.垂直于弦的直径平分这条弦

5.（2分）计算半径为1,圆心角为60°的扇形面积为（）

AA.兀BD.——兀Ck.兀D.K

362

6.（2分）在求解方程a^+bx+cuO（aWO）时，先在平面直角坐标系中画出函数

的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，

分析图中的信息，方程的近似解是（）

A.x\=-3,X2=2B.XI=-3,X2=3C.XI=-2,X2=2D.xi=-2,X2=3

7.（2分）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云

长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道

它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题

意可以列方程为（）

A.?-60%-864=0B.x（x+60）=864

C.x2-60x+864=0D.x（x+30）=864

8.（2分）在中，/C=90°,BC=4cm,AC=3c〃].把△ABC绕点4顺时针旋转

90°后，得到△ABiCi,如图所示，则点8所走过的路径长为（)

—ucmC・—Tic/nD.5nc/n

42

二、填空题（每小题2分）

9.（2分）抛物线y=2（x-1）2+5的顶点坐标是,图象的开口方向是

10.（2分）已知点A、B、C、。在圆。上，且尸。切圆。于点。，OELCQ于点E,对于

下列说法：①圆上AbB是优弧；②圆上A6O是优弧；③线段AC是弦；④NCW和NAOF

都是圆周角；⑤/COA是圆心角，其中正确的说法是

11.（2分）在下图中，AB是。。的直径，要使得直线AT是。。的切线，需要添加的一个

条件是.（写一个条件即可）

12.（2分）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正

确的画图步骤是.

13.（2分）下面是用配方法解关于x的一元二次方程37+x-2=0的具体过程，3，+2x-l

=0.

解：第一步：/+2x-』=o

33

第二步：

33

第三步：/+乙+（A）2=A+（A）2

3333

第四步：（x+A）2=A.\X+A=+2-：.X\=—,X2=-1

39333

以下四条语句与上面四步对应：”①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各

加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1,方程两边都除以二次项系数”，则第一

步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是.

14.（2分）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃.北京将首次举办冬奥会，成为国际上

唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”.墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现

有三辆车按照1,2,3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率

是.

15.(2分)在平面直角坐标系中，已知点A(2a-b,-8)与点B(-2,a+3b)关于原点

对称，贝IIa=,b=.

16.(2分)已知二次函数y=or2+/?x+c的图象如图所示，则下列结论①“<0；②9a+36+c>

0；③c>0；④-3〈一且<0中正确的是.

2a

三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.(5分)用适当的方法解下列方程：

(1)2?-18=0.

(2)(m-1)2-l+w=0.

18.(5分)在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为-岫.如：2*1=22-2

Xl=2.根据这个法则，

(1)计算：3*2=:

(2)判断(什2)*(2什1)=0是否为一元二次方程，并求解；

(3)判断方程(x+2)*1=3的根是否为加=-3-泥,■=T忐,并说明理由.

22

19.(5分)已知7+4X-5=0,求代数式2(x+1)(x-1)-(%-2)2的值.

20.(5分)如图，AB是。0的弦，C是00上的一点，且NACB=60°,于点E,

交。。于点。.若。。的半径为6,求弦A8的长.

21.(5分)己知：如图，射线4M.

求作：△ABC,使得点B在射线AM上，/C=90。,ZA=60°.

作法：①在射线AM上任取一点。；

②以点。为圆心，0A的长为半径画圆，交射线AM于另一点8；

③以点A为圆心，A。的长为半径画弧，在射线AM上方交。。于点C；

④连接AC、BC.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：TAB为。。的直径，点C在。。上，

ZACB=90°（）（填推理依据）.

连接0C.

"：OA=OC=AC,

...△AOC为等边三角形（）（填推理依据）.

ZA=60°.

所以AABC为所求作的三角形.

•------------•--------------------------

A0M

22.（5分）已知关于x的方程/-4/nx+4/〃2-9=0.

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）设此方程的两个根分别为xi,X2,其中xi<x2.若2XI=X2+1,求，〃的值.

23.（5分）苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”.小

王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成

活率如下表所示:

移植棵数（〃）成活数（相）成活率（典）移植棵数（”）成活数（相）成活率（如）

nn

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.92370006335X

7506620.88314000126280.902

根据以上信息，回答下列问题:

（1）当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是,那么成活率x是；

（2）随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性,

可以估计树苗成活的概率是；

（3）若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活；

（4）若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.此结论正确吗？说明理由.

24.（7分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示:

X・•・-10123

y…0-3m-30・・・

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求俄的值；

（3）在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象;

（4）这个二次函数的图象经过点（-2"）和（a"）两点，写出,b=

25.（6分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话.为推进“文明交通行动计划”，公

安部将每年的12月2日定为“交通安全日”.班主任决定从4名同学（小迎，小冬，小

奥，小会）中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动.

抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝

上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张

卡片中随机抽取一张，记下名字.

（1）“小冬被抽中”是事件，“小红被抽中”是事件（填“不可能”、“必

然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小会的概率是；

(2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概

率.

26.(6分)如图，以四边形ABC。的对角线30为直径作圆，圆心为0,过点A作AELCD

的延长线于点E,已知DA平■分NBDE.

(1)求证：AE是。0切线；

(2)若AE=4,CD=6,求。。的半径和AQ的长.

27.(7分)△ACB中，ZC=90°,以点A为中心，分别将线段A8,4c逆时针旋转60°

得到线段AD,AE,连接OE,延长£>E交CB于点F.

(1)如图1,若/4=60°,/CFE的度数为；

(2)如图2,当30°<ZA<60°时，

①依题意补全图2；

②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明.

28.(7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-^+hx+c与x轴交于点A,B(A在B

的左侧).

(1)抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4.求抛物线的表达式；

(2)将(1)中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O,

且与x轴正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,求点尸的坐标；

(3)当匕=4时，抛物线上有两点M(xi,川)和N(X2,”)，若xi<2,X2>2,X\+X2

>4,试判断yi与”的大小，并说明理由.

2021-2022学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选：A.

【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴

对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合.

2.（2分）在等式①f+x=l；②3+2=5；③-1+1=0；@x+y—1；⑤x+3=2x中，符合一元

x

二次方程概念的是（）

A.①⑤B.①C.@D.①④

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.只含有一个未知数，并且未知数的最

高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

【解答】解：①f+x=l是一元二次方程；

②3+2=5,不含未知数，不是方程；

③工+1=0是分式方程；

⑤x+y=l是二元一次方程；

⑤x+3=2x是一元一次方程；

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键.

3.（2分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性

大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时.，一辆车向左转，一辆车向右转的概率

是（）

A.AB.Ac.2D.A

6299

【分析】画树状图，共有91种等可能的结果，一辆车向左转，一辆车向右转的结果有2

种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如下：

共有91种等可能的结果，一辆车向左转，一辆车向右转的结果有2种，

.•.一辆车向左转，一辆车向右转的概率为2,

9

故选：C.

【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合两步或两步以上完成的事件.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概

率=所求情况数与总情况数之比求解.

4.（2分）利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）

A.直径所对圆周角为90°

B.如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径

C.直径是最长的弦

D.垂直于弦的直径平分这条弦

【分析】利用圆周角定理及其推论进行判断.

【解答】解：定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出直径所对的圆周

角为90°.

故选：A.

【点评】本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而

判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.也考查了圆周角定理.

5.（2分）计算半径为1,圆心角为60°的扇形面积为（）

AA.几B口.TT「C.7TD「.n

362

【分析】利用扇形面积公式可得.

【解答】解：5扇彩=60.X12=工,

3606

故选：B.

【点评】此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键.

6.（2分）在求解方程a?+bx+c=O（a/O）时，先在平面直角坐标系中画出函数）=0?+版+。

的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，

分析图中的信息，方程的近似解是（）

A.用=-3,X2—2B.xi=-3,A2=3C.x\--2,X2—2D.x\--2,%2—3

【分析】根据图象即可求得.

【解答】解：由图象可知，抛物线y=〃/+云+c（〃WO）与x轴的交点接近（-2,0）和

（3,0）,

...方程。/+勿;+。=0（。#0）的近似解是xi=-2,X2=3,

故选：D.

【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，抛物线与X轴的交点，熟知二次

函数与一元二次方程的关系是解题的关键.

7.（2分）南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云

长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道

它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题

意可以列方程为（）

A.x2-60%-864=0B.x（x+60）=864

C./-60x+864=0D.x（x+30）=864

【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据

矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：•••矩形田地的长为x步，矩形田地的长与宽的和是60步，

...矩形田地的宽为（60-%）步.

依题意得：x（60-JC）=864,

整理得：/-60x+864=0.

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正

确列出一元二次方程是解题的关键.

8.（2分）在RtZ\ABC中，ZC=90°，BC=4cm,AC=3cm.把△ABC绕点A顺时针旋转

90°后，得到△481。，如图所示，则点8所走过的路径长为（）

A.5,\[2cmB.—TicmC.—irc/nD.5ncm

42

【分析】根据勾股定理可将A8的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以A8的

长为半径，圆心角为90°的扇形的弧长.

【解答】解：在RtaABC中，/1B=VBC2+AC2=Vl2+32=5,

IAB=

故点B所经过的路程为昂的.

2

故选：c.

【点评】本题的关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化.

二、填空题（每小题2分）

9.（2分）抛物线y=2（x-1）2+5的顶点坐标是（1,5）,图象的开口方向是

±.

【分析】根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案.

【解答】解：..5=2（x-1）2+5是二次函数的顶点式，

,该函数的顶点坐标为（1,5）,

•.•二次项系数a=2>0,

...该抛物线的开口向上，

故答案为：（1,5）,向上.

【点评】本题主要考查二次函数的顶点式的性质，关键是要牢记二次函数顶点式的特点.

10.（2分）已知点A、B、C、。在圆。上，且FC切圆。于点。，OELCD于点E,对于

下列说法：①圆上AbB是优弧；②圆上AbD是优弧；③线段AC是弦；@ZCAD和NAQF

都是圆周角；⑤/COA是圆心角，其中正确的说法是①②③⑤.

b

【分析】由优弧，弦，圆周角的概念及切线的性质可得出答案.

【解答】解：由图可知圆上46B及圆上A6D是优弧，故①②正确,

由弦的定义可知线段AC是弦，故③正确；

：尸£>切圆。于点D,

.../AO尸是圆周角，

故④不错误；

VA,C是圆上的点，

；.NAOC是圆心角，故⑤正确；

故答案为：①②③⑤.

【点评】本题考查了圆有关的概念，切线的性质，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键.

11.（2分）在下图中，A8是。。的直径，要使得直线AT是。。的切线，需要添加的一个

条件是件7MC=/B（答案不唯一）.（写一个条件即可）

【分析】要使得直线AT是的切线，只要证明/。47=90°即可，根据直径所对的圆

周角是直角可得N4CB=90°,从而得NB+N8AC=90°,所以只要满足N：WC=NB即

可.

【解答】解：「AB是。。的直径，

，N4CB=90°,

/.ZB+ZBAC=90°,

当/窗C=NB时，ZTAC+ZBAC=90°,

即NOAT=90°,

,：OA是圆。的半径，

直线AT是O。的切线，

故答案为：ZTAC=ZB（答案不唯一）.

【点评】本题考查了切线的判定，熟练掌握圆周角定理与切线的判定是解题的关键.

12.（2分）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正

确的画图步骤是②③④①.

【分析】由圆周角定理及切线的性质可得出答案.

【解答】解：由圆周角定理先画出圆的直径，再由切线的性质画出圆的切线可得出正确

的画图步骤是：

②③④①.

故答案为：②③④①.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

13.（2分）下面是用配方法解关于x的一元二次方程3?+x-2=0的具体过程，3?+2x-1

=0.

解：第一步：x2+-^vV--=0

33

2

第二步：x+-2vr=A

33

第三步：，+4+（1）2=工+（1）2

3333

第四步:（x+A）2=^.：.x+——+—XI--1

39333

以下四条语句与上面四步对应：''①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各

加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1,方程两边都除以二次项系数”，则第一

步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②.

【分析】把二次项系数化为1以后，把常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一

半的平方，再运用开平方法求解.

【解答】解：3，+2x-1=0,

把二次项系数化1得：/+--工=0,

33

移项得：

33

配方得：/+4+（工）2=_L+（A）即（x+JL）

333339

开方得：X+——+—,

33

解得：XI——,XI--1,

3

故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②，

故答案为：④①③②.

【点评】本题主要考查解一元二次方程一配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次

方程的步骤.

14.（2分）时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃.北京将首次举办冬奥会，成为国际上

唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”.墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现

有三辆车按照1,2,3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1

种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：画树状图如下：

开始

M123

/1\z4\/N

123123123

共有9种等可能的结果，其中墩墩和融融两人同坐2号车的结果有1种，

墩墩和融融两人同坐2号车的概率为上，

9

故答案为：1.

9

【点评】本题考查了树状图法求概率：利用树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选

出符合事件4或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

15.(2分)在平面直角坐标系中，已知点A(2〃-8,-8)与点8(-2,〃+36)关于原点

对称，则a=2,h=2.

【分析】利用关于原点对称的点的特点建立方程组即可.

【解答】解：；点A(2a-b,-8)与点B(-2,a+3b)关于原点对称,

.'.2a-b=2,a+3b=S,

•.a=2,Z?=2,

故答案为2,2.

【点评】此题是关于原点对称的点的坐标，主要考查坐标系中点的对称点的特征，熟记

对称点的特征是解本题的关键，是一道简单题.

16.(2分)已知二次函数的图象如图所示，则下列结论①a<0：②9a+38+c>

0；③c>0；④-3V一且<0中正确的是①③④.

【分析】根据二次函数的图象可确定。和c的符号，根据x=3的函数值和对称轴的位置

即可得出答案.

【解答】解：由二次函数的图象可知开口向下，

...①说法符合题意，

,由图象可知，当x=3时，y=9a+3b+c<0,

•••②说法不合题意，

•••二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，

.,.c>0,

③说法符合题意，

•••由图象可知抛物线的对称轴在-3和0之间，

A-3<-且V0,

2a

④说法符合题意，

故答案为：①③④.

【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要能根据图象确定a,c的符号,

能确定9a+38+C是x=3时的函数值.

三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.(5分)用适当的方法解下列方程：

(1)2?-18=0.

(2)Cm-1)2-1+/M=0.

【分析】(1)利用直接开平方法求解比较简便；

(2)利用因式分解法求解比较简便.

【解答】解：(1)移项，得2?=18,

所以X2=9,

所以x=±3.

所以x\—3,X2—-3.

(2)(w-1)2+(m-1)=0,

(/??-1)("2-1+1)=0.

nt(TH-1)=0.

.\m=0或相-1=0.

•・mi=0,77721.

【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法、因式分解法是解决本题的关

键.

18.(5分)在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为如：2*1=22-2

XI=2.根据这个法则，

(1)计算：3*2=3；

(2)判断(f+2)*(2什1)=0是否为一元二次方程，并求解；

(3)判断方程(x+2)*1=3的根是否为x2=z3jV5_,并说明理由.

22

【分析】(1)利用题中的新定义列式计算可得结果；

(2)利用题中的新定义判断即可；

(3)利用题中的新定义判断即可.

【解答】解：(1)根据题中的新定义得：3*2=32-3X2=9-6=3,

故答案为：3；

(2)已知等式变形得：(/+2)2-(/+2)(2/+1)=0,整理得尸+「2=0,是一元二次方

程；

解方程得p+r-2=o,得(f+2)(f-1)=0,即什2=0或L1=0,解得〃=-2,f2=l；

(3)方程变形得：(x+2)2-(x+2)=3,

整理得：/+4x+4-x-2-3=0,即/+3x-1=0,

•・Z=1,b=3,c--1,

•”_-b±db?-4ac--3±后

.♦人------------------------->

2a2

解得：XI=.-,X2———―••

22_

故方程(x+2)*1=3的根不是xi=±Z5,%2=T点.

22

【点评】此题考查了根与系数的关系，实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

19.(5分)已知/+4x-5=0,求代数式2(x+1)(x-1)-(x-2)2的值.

【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，把已知

等式变形后代入计算即可求出值.

【解答】解：；？+4尤-5=0,即/+4x=5,

原式=27-2-X2+4X-4=/+4x-6=5-6=-1.

【点评】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

20.(5分)如图，A8是00的弦，C是。。上的一点，且NACB=60°,0CAB于点E,

交。0于点。.若。。的半径为6,求弦AB的长.

【分析】连接08，根据圆周角定理求出NAO8=2NAC8=120°,求出

=工(180°-ZAOB)=30°,解直角三角形求出AE,根据垂径定理求出AE=BE,再

2

求出答案即可.

VZACB=60°,

/.ZAOB=2ZACB=120°,

•：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=1.(180°-ZAOB)=30°,

2

VOELAB,OE过圆心O,

：.AE=BE,NAEO=90°,

：OA=6,

：.OE=1.OA=3,

2

由勾股定理得：^£=V0A2-0E2=V62-32=3^3,

，BE=3料，

即A8=4E+BE=3百+3禽=6后

【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等

知识点，能根据垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键.

21.（5分）已知：如图，射线AM.

求作：△ABC,使得点8在射线AM上，NC=90°,乙4=60°.

作法：①在射线AM上任取一点0；

②以点0为圆心，0A的长为半径画圆，交射线AM于另一点氏

③以点A为圆心，A。的长为半径画弧，在射线AM上方交。。于点C；

④连接AC、BC.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•••AB为。。的直径，点C在。。上，

ZACB=90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）.

连接0C.

,：0A=0C=AC,

...△A0C为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）（填推理依据）.

.*.NA=60°.

所以△ABC为所求作的三角形.

•------------•-------------------------

A0M

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）证明NACB=90°,NA=60°即可.

为。。的直径，点C在OO上，

AZACB=90°（直径所对的圆周角是直角）,

连接0C.

,：OA=OC=AC,

...△AOC为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形），

AZA=60°.

所以AABC为所求作的三角形.

故答案为：直径所对的圆周角是直角，三边相等的三角形是等边三角形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问

题.

22.（5分）已知关于x的方程/-%+病””

（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；

（2）设此方程的两个根分别为xi,xi,其中xi<x2.若2XI=A2+1,求，”的值.

【分析】（1）首先得到4=（-4/77）2-4（4病-9）=36>0证得方程有两个不相等的

实数根；

（2）根据已知条件得到得出关于m的方程求得答案即可.

【解答】解：（1）VA=（-4w）2-4（4m2-9）=36>0,

此方程有两个不相等的实数根；

（2）4m±V36=2m±3,

2

.*.xi=2777-3,x2=2m+3,

2xi=X2+I,

.*.2（2m-3）=2m+3+l,

♦・m=5.

【点评】本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解

决第（2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点.

23.（5分）苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”.小

王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成

活率如下表所示：

移植棵数（〃）成活数（相）成活率（典）移植棵数（〃）成活数（加）成活率（旦）

nn

50470.940150013350.890

2702350.870350032030.915

4003690.92370006335X

7506620.88314000126280.902

根据以上信息，回答下列问题：

(1)当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是6335，那么成活率x是0.905；

(2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性,

可以估计树苗成活的概率是0.900；

(3)若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵；

(4)若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵.此结论正确吗？说明理由.

【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定

性，可以估计树苗成活的概率是0.900,据此进行解答即可.

【解答】解：(D当移植的树数是7000时，表格记录成活数是6335,那么成活率x是

0.905,

故答案为：6335,0.905；

(2)随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性,

可以估计树苗成活的概率是0.900,

故答案为：0.900；

(3)若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活10000X0.900=9000(棵)，

故答案为：9000棵：

(4)此结论错误，

理由：；随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定

性，可以估计树苗成活的概率是0.900,

成活的概率是0.900可能发生，也可能不发生，

故若小张移植20000棵这种树苗，不一定成活18000棵.

【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实

验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个

频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件

的概率.

24.(7分)已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：

X•••-10123

y…0-3m-30

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求m的值；

(3)在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象;

(4)这个二次函数的图象经过点(-2,b)和(a,b)两点，写出a=4,b=5

【分析】(1)设交点式)，(x+1)(x-3),然后把(0,-3)代入求出得到抛物线解析

式；

(2)把x=l代入解析式即可求得；

(3)利用描点发法画函数图象；

(4)根据二次函数的对称性求得把x=-2代入解析式即可求得从

【解答】解：(1)设y—a(x+1)(x-3),

将(0,-3)代入得-3a=-3,解得4=1,

.•.抛物线解析式为y=(x+1)(x-3),

即y—x1-2x-3；

(2)把x=l代入y—x1-2x-3得，y=l-2-3=-4,

'.m--4；

(3)•.•图象经过点(-1,0),(3,0),

抛物线的对称轴为直线x=±3=1,

2

二抛物线的顶点坐标为(1,-4),

如图，

（4）•.•二次函数的图象经过点（-2,8）和（a,8两点，抛物线的对称轴为直线x=l,

.72+a=i,

2

；.a=4,

把x=-2代入y=7-2x-3得，y=4+4-3=5,

.'.b=5,

故答案为：4,5.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，

二次函数的图象和性质，熟知待定系数法是解题的关键.

25.（6分）数字“122”是中国道路交通事故报警电话.为推进“文明交通行动计划”，公

安部将每年的12月2日定为“交通安全日”.班主任决定从4名同学（小迎，小冬，小

奥，小会）中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动.

抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝

上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张

卡片中随机抽取一张，记下名字.

（1）“小冬被抽中”是随机事件,“小红被抽中”是不可能事件（填“不可能”、

“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小会的概率是1;

—4―

（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概

率.

【分析】（1）由随机事件、不可能事件的定义和概率公式即可得出答案；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小奥被抽中的结果有6种，再由概率公

式求解即可.

【解答】解：(1)小冬被抽中”是随机事件，“小红被抽中”是不可能事件,

第一次抽取卡片抽中小会的概率是工，

4

故答案为：随机，不可能，

4

(2)把小迎，小冬，小奥，小会4名同学的卡片分别记为：A、B、C、D,

画树状图如下：

开始

ABCD

/l\/1\ZN

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中小奥被抽中的结果有6种，

小奥被抽中的概率为&=1.

122

【点评】本题考查了树状图法求概率以及随机事件；用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键.

26.(6分)如图，以四边形ABCD的对角线80为直径作圆，圆心为0,过点A作AE_LC£>

的延长线于点E,已知D4平分N8DE.

(1)求证：AE是切线；

(2)若AE=4,CD=6,求。。的半径和A。的长.

【分析】(1)连接0A,根据已知条件证明0ALAE即可解决问题；

(2)取CO中点凡连接。尺根据垂径定理可得。尸J_C。，所以四边形AEF。是矩形,

利用勾股定理即可求出结果.

【解答】(1)证明：如图，连接0A,

,JAE1.CD,

：.ZDAE+ZADE=90°.

,：DA平分/BOE,

，NADE=ZADO,

又：04=0。，

：.ZOAD^ZADO,

：.ZDAE+ZOAD=90a,

：.OA±AE,

；.AE是。。切线；

(2)解：如图，取CO中点F,连接。兄

OFLCD于点F.

...四边形AEF。是矩形，

VCD=6,

:.DF=FC=3.

在RL^OFD中，。尸=AE=4,

•••°。=VOF2+DF2=Vl2+32=5，

在RtZXAEQ中，AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,

：.AD=-yj42+22=A/20=275)

...AC的长是蓊.

【点评】本题考