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文档简介
二次函数新定义问题专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题►类型之一应用型:阅读——理解——建模——应用图4-ZT-11.2017·巴中如图4-ZT-1,我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,点A,B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,AB为半圆的直径,且抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3,则半圆圆心M点的坐标为________.2.一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时,我们称该函数为“偶函数”.如果二次函数y=x2+bx-4是“偶函数”,该函数的图象与x轴交于点A和点B,顶点为P,那么△ABP的面积是________.3.2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称,我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”,如图4-ZT-2所示,二次函数y1=x2+2x+2与y2=x2-2x+2是“关于y轴对称二次函数”.(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点.(2)二次函数y=2(x+2)2+1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________;二次函数y=a(x-h)2+k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________.(3)平面直角坐标系中,记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A,它们的两个顶点分别为B,C,且BC=6,顺次连结点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,求“关于y轴对称二次函数”的表达式.图4-ZT-2►类型之二探究型:阅读——理解——尝试——探究4.若抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:请你写出一条定点抛物线的函数表达式.小敏写出了一个答案:y=2x2+3x-4,请你写出一个不同于小敏的答案;(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式.请你解答.5.2017·衢州定义:如图4-ZT-3①,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,点P在该抛物线上(点P与A,B两点不重合),若△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2,则称点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股点.(1)直接写出抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标;(2)如图②,已知抛物线C:y=ax2+bx(a≠0)与x轴交于A,B两点,点P(1,eq\r(3))是抛物线C的勾股点,求抛物线C的函数表达式;(3)在(2)的条件下,点Q在抛物线C上,求满足条件S△ABQ=S△ABP的点Q(异于点P)的坐标.图4-ZT-36.2017·嵊州市模拟在平面直角坐标系中,我们把直线y=ax+c称为抛物线y=ax2+bx+c的生成线,抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点,例如:抛物线y=x2-2的生成线是直线y=x-2,生成点是(0,-2)和(1,-1).(1)若抛物线y=mx2-5x-2的生成线是直线y=-3x-n,求m与n的值.(2)已知抛物线y=x2-3x+3如图4-ZT-4所示,若它的一个生成点是(m,m+3).①求m的值.②若抛物线y=x2+px+q是由抛物线y=x2-3x+3平移所得(不重合),且同时满足以下两个条件:一是这两个抛物线具有相同的生成线;二是若抛物线y=x2-3x+3的生成点为点A,B,抛物线y=x2+px+q的生成点为点C,D,则AB=CD.求p与q的值.图4-ZT-47.2017·随州在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-eq\f(2\r(3),3)x2-eq\f(4\r(3),3)x+2eq\r(3)与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________,点A的坐标为________,点B的坐标为________.(2)如图4-ZT-5,M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标.(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.图4-ZT-5►类型之三概括型:阅读——理解——概括——拓展8.2017·郴州设a,b是任意两个实数,用max{a,b}表示a,b两数中较大者,例如:max{-1,-1}=-1,max{1,2}=2,max{4,3}=4,参照上面的材料,解答下列问题:(1)max{5,2}=________,max{0,3}=________;(2)若max{3x+1,-x+1}=-x+1,求x的取值范围;(3)求函数y=x2-2x-4与y=-x+2的图象的交点坐标,函数y=x2-2x-4的图象如图4-ZT-6所示,请你在图中作出函数y=-x+2的图象,并根据图象直接写出max{-x+2,x2-2x-4}的最小值.图4-ZT-6详解详析1.(1,0)[解析]解x2-2x-3=0得x1=-1,x2=3,所以抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),所以AB=4,所以点M的坐标为(1,0).2.8[解析]∵二次函数y=x2+bx-4是“偶函数”,∴-eq\f(b,2×1)=0,∴b=0,∴函数表达式为y=x2-4,令y=0,则x2-4=0,解得x1=-2,x2=2,∴A(-2,0),B(2,0),∴AB=2-(-2)=4.令x=0,则y=-4,∴点P的坐标为(0,-4),∴△ABP的面积=eq\f(1,2)×4×4=8.3.解:(1)顶点关于y轴对称,对称轴关于y轴对称.(答案不唯一)(2)y=2(x-2)2+1y=a(x+h)2+k(3)(答案不唯一)如图,由BC=6,顺次连结点A,B,O,C得到一个面积为24的菱形,得OA=8,点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(-3,4).设左侧抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+4,将点A的坐标代入,得9a+4=8,解得a=eq\f(4,9),故y=eq\f(4,9)(x+3)2+4,其“关于y轴对称二次函数”的表达式为y=eq\f(4,9)(x-3)2+4.根据对称性,开口向下的抛物线也符合题意,“关于y轴对称二次函数”的表达式为y=-eq\f(4,9)(x+3)2-4和y=-eq\f(4,9)(x-3)2-4.4.解:(1)答案不唯一,合理即可.(2)因为抛物线的函数表达式可化为y=-(x2-2bx+b2)+b2+c+1=-(x-b)2+b2+c+1,所以此定点抛物线的顶点坐标为(b,b2+c+1).因为抛物线过定点M(1,1),将其代入函数表达式可得-1+2b+c+1=1,解得c=1-2b,则顶点纵坐标b2+c+1=b2+1-2b+1=(b-1)2+1,所以当b=1时,b2+c+1的值最小为1,此时c=1-2b=1-2×1=-1.故抛物线的函数表达式为y=-x2+2x.5.解:(1)抛物线y=-x2+1的勾股点的坐标为(0,1).(2)抛物线y=ax2+bx过原点,即点A(0,0).如图,过点P作PG⊥x轴于点G.∵点P的坐标为(1,eq\r(3)),∴AG=1,PG=eq\r(3),PA=eq\r(AG2+PG2)=eq\r(12+(\r(3))2)=2,∴∠PAG=60°,∴AB=2PA=4,∴点B的坐标为(4,0).设抛物线C的函数表达式为y=ax(x-4),将P(1,eq\r(3))代入得a=-eq\f(\r(3),3),∴y=-eq\f(\r(3),3)x(x-4)=-eq\f(\r(3),3)x2+eq\f(4\r(3),3)x.(3)①当点Q在x轴上方时,由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为eq\r(3),则有-eq\f(\r(3),3)x2+eq\f(4\r(3),3)x=eq\r(3),解得x1=3,x2=1,∴点Q的坐标为(3,eq\r(3));②当点Q在x轴下方时,由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为-eq\r(3),则有-eq\f(\r(3),3)x2+eq\f(4\r(3),3)x=-eq\r(3),解得x1=2+eq\r(7),x2=2-eq\r(7),∴点Q的坐标为(2+eq\r(7),-eq\r(3))或(2-eq\r(7),-eq\r(3)).综上,满足条件的点Q有3个,其坐标为(3,eq\r(3))或(2+eq\r(7),-eq\r(3))或(2-eq\r(7),-eq\r(3)).6.解:(1)∵抛物线y=mx2-5x-2的生成线是直线y=-3x-n,∴m=-3,-n=-2,∴n=2.(2)①∵抛物线y=x2-3x+3的一个生成点是(m,m+3),∴m+3=m2-3m+3,整理,得m2-4m=0,解得m=0或4.②∵抛物线y=x2+px+q是由抛物线y=x2-3x+3平移所得(不重合),且这两个抛物线具有相同的生成线,∴q=3.∵抛物线y=x2-3x+3与它生成线y=x+3的生成点为(0,3),(4,7),∴AB2=(4-0)2+(7-3)2=32.∵抛物线y=x2+px+3与它生成线y=x+3的生成点为(0,3),(1-p,4-p),∴CD2=(1-p-0)2+(4-p-3)2=2(1-p)2.∵AB=CD,∴2(1-p)2=32,∴p=5或-3.∵抛物线y=x2+px+3与抛物线y=x2-3x+3不重合,(3)E1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(4\r(3),3))),F1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2\r(3),3)));E2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,-\f(4\r(3),3))),F2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-4,\f(10\r(3),3))).8.解:(1)53(2)由题意可
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