【数学】导数专题测试（2）-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数专题测试（2）一、选择题1．某物体的运动方程是s=4+t2，则该物体在[2，2.1]时间内的平均速度是（）A.0.41 B.3 C.4 D.4.12．式子表示的是（）A.f′（1） B.f′（△x）

C.f′（1+△x） D.f（1）3．下列求导运算正确的是（）A. B.

C.（x2sinx）′=2xcosx D.（3x）′=3x4．若曲线在点处的切线与直线垂直,则实数().A. B.1 C. D.25．函数g（x）的图象关于y轴对称，x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，g（2）=0．又g（x）=f（x+1），则（x+1）f（x）＞0的解集为（）A.（3，+∞） B.{x|x∈R，x≠1}

C.（1，+∞） D.{x|x＜-1或x＞3}6．若函数在上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为()A. B. C. D. 7．已知函数f（x）的定义域为R，且满足了f'（x）-f（x）＞1（f'（x）是f（x）的导函数），若f（0）=0，则不等式ex-f（x）＜1的解集为（）A.（-∞，0） B.（0，+∞）

C.（-∞，-1） D.（-1，+∞）8．已知实数x,y满足ylny=e2x-yln（2x），则y的最小值为（）A. B.e

C. D.e2二、多选题9．已知函数f（x）的定义域为R且导函数为f'（x），如图是函数y=xf'（x）的图象，则下列说法正确的是（）A.函数f（x）的增区间是（-2，0），（2，+∞）

B.函数f（x）的增区间是（-∞，-2），（2，+∞）

C.x=-2是函数的极小值点

D.x=2是函数的极小值点10．已知奇函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且f（1-x）-f（1+x）+2x=0恒成立，若f（x）在[0，1]单调递增，则（）A.f（x）在[1，2]上单调递减

B.f（0）=0

C.f（2022）=2022

D.f'（2023）=111．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx-1，若函数g（x）=f（-x）+1的图象关于点（1，0）对称，且g（-2）＜0，则（）A.a＜0

B.g（x）有3个零点

C.f（x）的对称中心是（-1，0）

D.12a-4b+c＜0三、填空题12．已知函数f（x）=f′（）sinx+cosx,则f（）=_____．13．设函数f（x）=x++b,若曲线y=f（x）在点（a,f（a））处的切线经过坐标原点，则ab=_____．14．已知x＞0，f（x）=x2+ex，g（x）=（m2+1）x+lnx,若f（x）≥g（x）恒成立，则实数m的取值范围是_____．四、解答题15．已知函数在处的切线为x轴．（1）求a,b的值;（2）求的单调区间．16．设,函数的单调增区间是.（1）求实数a;（2）求函数的极值.17．(0分)已知函数f（x）=x+1-xex．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）判断f（x）是否有零点．若有，求出零点个数；若没有，请说明理由．18．已知函数.（1）当时,求的单调区间（2）讨论的单调性;（3）当时,证明.答案1．【答案】D【解析】根据题意，由物体的运动方程以及平均变化率的计算公式可得其平均速度为，计算即可得答案．

解：根据题意，物体的运动方程是s=3+t2，

则在时间[2，2.1]内相应的平均速度为==4.1；

故选：D．2．【答案】A【解析】根据题意，由导数的定义可得==f′（1），即可得答案．

解：根据题意，==f′（1），

故选：A．3．【答案】A【解析】直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算性质对各个选项逐一判断即可．

解：，故选项A正确；

，故选项B错误；

（x2sinx）′=（x2）′sinx+x2（sinx）′=2xsinx+x2cosx,故选项C错误；

（3x）′=3xln3，故选项D错误．

故选：A．4．答案：C解析：因为,所以曲线在点处的切线的斜率为,直线l的斜率,由切线与直线l垂直知,即,解得.故选:C.5．【答案】A【解析】根据条件先确定函数g（x）的单调性和对称性，由此得到g（2）=g（-2）=0，且有当x＜-2或x＞2时，g（x）＞0，当-2＜x＜2时，g（x）＜0，将不等式变形为（x+1）g（x-1）＞0，分类讨论，分别求解即可得到答案．

解：因为函数g（x）的图象关于y轴对称，

所以g（x）为偶函数，则g（-2）=g（2）=0，

当x∈（-∞，0]时，g′（x）＜0，故g（x）为单调减函数，

所以当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）为单调增函数，

故当x＜-2或x＞2时，g（x）＞0，

当-2＜x＜2时，g（x）＜0，

因为g（x）=f（x+1），则f（x）=g（x-1），

故不等式（x+1）f（x）＞0即为（x+1）g（x-1）＞0，

所以有或，

解得x＞3或x∈∅，

所以（x+1）f（x）＞0的解集为（3，+∞）．

故选：A．6．答案：D解析：因为函数在上存在单调递增区间,所以存在,使成立,即存在,使成立,令,,变形得,因为,所以,所以当,即时,,所以,故选:D.7．【答案】B【解析】令g（x）=，利用导数结合已知可得g（x）在R上单调递增，从而将求不等式ex-f（x）＜1的解集转化为g（x）＞g（0）的解集，从而可得答案．

解：因为f'（x）-f（x）＞1，

所以f'（x）-f（x）-1＞0．

令g（x）=，

则g′（x）==＞0，

所以g（x）在R上单调递增，①

又f（0）=0，

所以g（0）=f（0）+1=1，

又ex-f（x）＜1⇔＞1，

即g（x）＞g（0），②

由①②得：x＞0，

即不等式ex-f（x）＜1的解集为（0，+∞），

故选：B．8．【答案】B【解析】将ylny=e2x-yln（2x）化为eln（2xy）ln（2xy）=2xe2x，构造函数f（x）=xex（x＞0），利用导数判断其单调性，根据单调性可得ln（2xy）=2x,即，再根据导数可求出其最小值．【解答】解：由ylny=e2x-yln（2x），

得ylny+yln（2x）=e2x（x＞0，y＞0），

则yln（2xy）=e2x，

所以2xyln（2xy）=2xe2x，

即eln（2xy）ln（2xy）=2xe2x．

设f（x）=xex（x＞0），

则f′（x）=（x+1）ex＞0，

可知f（x）在（0，+∞）上为增函数，

所以ln（2xy）=2x,则2xy=e2x，即．

令，则，

当时，g′（x）＜0；当时，g′（x）＞0，

所以g（x）在上为减函数，在上为增函数，

所以．

故选：B．9．【答案】BD【解析】根据题意，由函数y=xf′（x）的图象分析导函数的符号，进而可得f（x）的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．

解：根据题意，由函数y=xf′（x）的图象可知：

当x＜-2时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，

当-2＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数，

当0＜x＜2时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数，

当x＞2时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数；

据此分析选项：函数f（x）的增区间是（-∞，-2），（2，+∞），则B正确，A错误；

x=-2是函数的极大值点，x=2是函数的极小值点，则D正确，C错误；

故选：BD．10．【答案】BCD【解析】若f（x）=x,则满足条件，而f（x）=x在[1，2]上单调递增；对函数进行赋值，利用奇偶性找出函数f（x）满足f（x）+f（2+x）-2（x+1）=0，再利用导函数改变函数奇偶性得到f′（x）+f′（x+2）-2=0，从而进行判断即可

解：若f（x）=x,则满足条件，而f（x）=x在[1，2]上单调递增，故A错误；

由已知有：f（1-x）-f（1+x）+2x=0恒成立，

令x=1时，f（0）-f（2）+2=0①，

令x=x+1，f[1-（x+1）]-f[1+（x+1）]+2（x+1）=0，又f（x）为奇函数，

故化简得：f（x）+f（2+x）-2（x+1）=0，

令x=0，f（0）+f（2）-2=0②，

由①②解得：f（0）=0，f（2）=2，

故B选项正确；

由上式f（x）+f（2+x）-2（x+1）=0，

令x=2，f（2）+f（4）-6=0，

故f（4）=4，

令x=4以此类推可得f（6）=6，以此类推，f（2020）=2020，

故C选项正确；

由已知有f（x）在R上可导，

对f（1-x）-f（1+x）+2x=0求导有：f′（1-x）+f′（x+1）-2=0，

令x=0，可得f′（1）=1，

又因为f（x）为奇函数，故f′（x）为偶函数，

∴f′（x-1）+f′（x+1）-2=0，

令x=x+1，f′（x+1-1）+f′（x+1+1）-2=0，

即f′（x）+f′（x+2）-2=0，

令x=1，故f′（1）+f′（3）-2=0，解得：f′（3）=1，

令x=3，得f′（5）=1，

以此类推f′（2013）=1，故D选项正确．

故选：BCD．11．【答案】ABD【解析】由题设g（x）=-ax3+bx2-cx,且g（x）+g（2-x）=0，可得b=3a,c=2a,代入解析式，结合已知条件即可判断选项的正误．

解：由题设可知：g（x）=-ax3+bx2-cx,且g（x）+g（2-x）=0，

所以ax3-bx2+cx+a（2-x）3-b（2-x）2+c（2-x）=0，

整理得（3a-b）x2+2（b-3a）x+4a-2b+c=0，

故，可得b=3a,c=2a,

故g（x）=-ax（x-1）（x-2），

又g（-2）=24a＜0，即a＜0，A正确；

g（x）有3个零点，B正确；

由g（x）+g（2-x）=f（-x）+1+f（x-2）+1=0，

则f（-x）+f（x-2）=-2，所以f（x）关于（-1，-1）对称，C错误；

12a-4b+c=12a-12a+2a=2a＜0，D正确．

故选：ABD．12．【答案】0【解析】求函数的导数，先求出f′（）的值即可得到结论．

解：函数的导数为f′（x）=f′（）cosx-sinx,

令x=，得f′（）=f′（）cos-sin=-1，

则f（x）=-sinx+cosx,

则f（）=-sin+cos=，

故答案为：0．13．【答案】-2【解析】先利用导数写出切线方程，然后将（0，0）代入切线方程，求出ab的值．

解：，所以k=．

所以切线方程为：，

将（0，0）代入上式得：，所以ab=-2．

故答案为：-2．14．【答案】[-，]【解析】f（x）≥g（x）恒成立可转化为（m2+1）≤（x＞0）恒成立，构造函数h（x）==x+-，通过导数可求得h（x）min=h（1）=1+e,从而可得答案．

解：f（x）≥g（x）恒成立⇔x2+ex≥（m2+1）x+lnx（x＞0）恒成立⇔m2+1≤（x＞0）恒成立，

令h（x）==x+-，

则h′（x）=，

再令t（x）=（x-1）ex+x2+lnx-1（x＞0），

则t′（x）=xex+2x+＞0恒成立，

∴y=t（x）在（0，+∞）上单调递增，又t（1）=h′（1）=0，

∴当x∈（0，1）时，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上单调递减；

当x∈（1，+∞）时，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上单调递增；

∴h（x）min=h（1）=1+e,

∴m2+1≤1+e,

解得：-≤m≤，

故答案为：[-，]．15．答案：（1）,（2）单调递减区间为,单调递增区间为解析：（1）因,所以,依题意且,所以,解得.（2）由（1）可得函数的定义域为R,又,令,则,所以（）在定义域R上单调递增,又,所以当时,当时,所以的单调递减区间为,单调递增区间为.16．答案：见解析解析：因为函数的单调增区间是,所以,,解得.当时,令,则或列表如下:x1f'(x)+0f(x)↘极小值↗极大值↘当时,有极小值,当时,有极大值0.17．【解析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；

（2）令f（x）=0，设g（x）=ex-1-，由导数判断g（x）的单调性，结合零点存在定理，可得结论．

解：（1）f（x）=x+1-xex的导数为f′（x）=1-（x+1）ex，

可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为0，且f（0）=1，

则切线的方程为y=1；

（2）f（x）有且只有1个零点．

理由：由f（x）=0，可得x+1=xex，

显然x=0不是零点，则ex=1+，

设g（x）=ex-1-，可得g′（x）=ex+＞0，

所以g（x）在R上递增，

由