【数学】条件概率与全概率公式学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学大单元整体学习学程《7.1条件概率与全概率公式》7.1.1条件概率【学习目标】1.结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式。；2.能说出条件概率与独立性的关系；3.能计算简单随机事件的条件概率.【预习案】一、知识回顾1.概率是随机事件发生可能性大小的度量.2.古典概型：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，简称古典概型3.一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.4.事件A与B同时发生的事件叫做事件A与事件B的积事件，记为A∩B（或AB）；事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的和事件,记为；5.若A发生不影响事件B的发生，则称事件A与事件B相互独立；任意两个事件A与B，如果有P(AB)=P(A)P(B成立)，则称事件A与事件B相互独立，简称独立6.若事件A与事件B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B).7.若事件A与事件B不能同时发生，也就是说,则称事件A与事件B互斥（或互不相容）概率的基本性质：对任意事件A，都有;必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即；如果事件A与事件B互斥，那么如果事件A与事件B互为对立事件，那么;如果，那么.设A,B是一个随机试验中的两个事件，我们有思考：如果事件A与B不相互独立，如何求P(AB)呢？下面我们从具体问题入手.1.抛掷一枚质地均匀的硬币两次．(1)两次都是正面向上的概率是多少？(2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？(3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有是多大？【概念生成】条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称．[微提醒]A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝P(B)．【探究案】【学习活动一】条件概率的理解【例1】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【变式探究1】(变设问)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．【方法技巧】计算条件概率有两种方法，分别是定义法和缩小样本空间法．1．利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)；(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．2．利用缩小样本空间法求条件概率的步骤(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB；(2)数：数出A中事件AB所包含的样本点；(3)算：利用P(B|A)＝eq\f(n(AB),n(A))求得结果．【跟踪训练1】从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．【学习活动二】概率的乘法公式三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件A为“甲没有抽到中奖奖券”，事件B为“乙抽到中奖奖券”，事件A的发生会不会影响事件B发生的概率？P(B|A)与P(B)有什么关系？【概念生成】概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝【微提醒】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生；(2)在P(B|A)中，事件A成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和；(3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件．【例2.1】气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为eq\f(3,5)，在刮台风的条件下，下大雨的概率为eq\f(9,10)，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(27,50)C．eq\f(9,10)D．eq\f(3,10)【例2.2】在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【例2.3】已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖：利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.【方法技巧】利用乘法公式的一般步骤1．首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0；2．根据已知条件表示出各事件的概率；3．代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)求出所求的概率．【跟踪训练2.1】一个口袋中装有30个除颜色外完全相同的球，其中有10个白球．若甲、乙两人不放回地各抽取一次，且甲抽完后乙再抽，则甲未抽中白球而乙抽中白球的概率为()eq\f(10,29)B．eq\f(20,87)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【跟踪训练2.2】银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.【学习活动三】条件概率的性质在必修第二册中，已经学习了概率的基本性质，基本性质包括什么？提示：性质1：性质2：性质3：性质4：性质5：性质6：条件概率的性质：设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝．(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝(3)设eq\o(B,\s\up10(－))和B互为对立事件，则P(eq\o(B,\s\up10(－))|A)＝【微提醒】(1)A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0；(2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和．【例3】在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，考生能答对其中的4道题即可通过，能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀成绩的概率为【方法技巧】应用条件概率的性质解题的方法在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若B与C互斥，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，此公式可推广到多个事件互斥的情况．【跟踪训练3】在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．【训练案】1．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(AB)＝eq\f(1,3)，P(A)＝eq\f(2,3)，则P(B|A)等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,9)D．eq\f(4,9)2．抛掷一枚骰子，观察出现的点数．若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,2)3．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A．0.75B．0.6C．0.52D．0.484．若B，C是互斥事件且P(B|A)＝eq\f(1,3)，P(C|A)＝eq\f(1,4)，则P(B∪C|A)等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10)D．eq\f(7,12)5．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为．6.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.457．在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A．0.2B．0.33C．0.5D．0.68．(多选)设P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，则()A．P(AB)＝eq\f(1,6)B．P(AB)＝eq\f(5,6)C．P(B)＝eq\f(1,3)D．P(B)＝eq\f(1,12)9．(多选)抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则有()A．P(A)＝eq\f(1,3)B．P(B)＝eq\f(5,18)C．P(AB)＝eq\f(5,18)D．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为eq\f(1,2)10．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为．11．某气象台统计，该地区下雨的概率为eq\f(4,15)，刮四级以上风的概率为eq\f(2,15)，既刮四级以上的风又下雨的概率为eq\f(1,10).设A为下雨，B为刮四级以上的风，则P(B|A)＝，P(A|B)＝．11.(多选)已知P(B)>0，A1A2＝∅，则下列式子一定成立的是()A．P(A1|B)≥0B.P(A1∪A2|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)C．P((A1A2)|B)≠0D.P((eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2)|B)＝112.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为eq\f(13,15)，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，在已知第2次取得白球的条件下，第1次取得黑球的概率为()A．eq\f(4,9)B．eq\f(5,9)C．eq\f(7,9)D．eq\f(13,18)13.从1～100共100个正整数中任取一数，已知取出的一个数不大于50，则此数是2或3的倍数的概率为．(多选)为吸引顾客，某商场举办购物抽奖活动，抽奖规则是：从装有2个白球和3个红球(小球除颜色外，完全相同)的抽奖箱中，每次摸出一个球，不放回地依次摸取两次，记为一次抽奖．若摸出的2个球颜色相同则为中奖，否则为不中奖．下列随机事件的概率正确的是()A．某顾客抽奖一次中奖的概率是eq\f(2,5)B．某顾客抽奖三次，至少有一次中奖的概率是eq\f(98,125)C．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是eq\f(3,10)D．在一次抽奖过程中，若已知顾客第一次抽出了红球，则该顾客中奖的概率是eq\f(1,2)7.1.2全概率公式【学习目标】1.能利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式．2.能利用全概率公式计算概率．*3.了解贝叶斯公式，并会简单应用．【预习案】从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为eq\f(a,a＋b).那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？【概念生成】一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.【微提醒】使用全概率公式计算目标事件B的概率，必须是找到样本空间Ω的一个完备事件组A1，A2，…，An，而这一完备事件组恰恰可以理解为是事件B产生的几个原因.全概率公式相当于将产生B的全部原因一一进行考察，将每一个可能性都考虑进来，这就是“全”的含义所在.,直观解释为：B发生的概率与P(BAi)(i＝1，2，…，n)有关，且B发生的概率等于所有这些概率的和，即P(B)＝P(BAi)＝P(Ai)P(B|Ai)【学习活动一】全概率公式【例1.1】某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率.【例1.2】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.任取一个零件，计算它是次品的概率．【变式探究】(变条件、变设问)两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍．现任取一零件，求合格品的概率．【方法技巧】全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下：(1)找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为Ai；(2)命名目标的概率事件为事件B；(3)代入全概率公式求解．【跟踪训练1】假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率95%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．【学习活动二】*贝叶斯公式贝叶斯公式和全概率公式有什么联系？【概念生成】设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝【微提醒】P(Ai)是根据历史数据发现的，通常称为先验概率；获取了新信息后算出的概率P(Ai|B)，通常称为后验概率．贝叶斯公式指的是，通过先验概率以及其他信息，可以算出后验概率．实际上，贝叶斯公式可以看成要根据事件发生的结果找原因，看看这一结果由各种可能原因导致的概率是多少．【例2】某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,12)和eq\f(1,4)，乘飞机不会迟到．结果他迟到了，则他乘汽车去的概率是多少？应用贝叶斯公式求概率的步骤1．根据题目的提问，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分．2．利用全概率公式求出P(B)．3．代入贝叶斯公式求得概率．【跟踪训练2】仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为2%；乙厂生产的为2000支，次品率为3%；丙厂生产的为3000支，次品率为4%．如果从中随机抽取一支，发现为次品，问该次品是甲厂产品的概率为多少？【训练案】1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为()A．eq\f(3,5)B．eq\f(19,49)C．eq\f(20,49)D．eq\f(2,5)2.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此人恰是色盲的概率是()A．0.01245B．0.05786C．0.02625D．0.028653.已知P(BA)＝0.4，P(Beq\o(A,\s\up6(－)))＝0.2，则P(B)的值为()A．0.08B．0.8C．0.6D．0.54.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化．现假设人们经分析