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2021年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)1.(4分)下列各数:﹣4,﹣2.8,0,|﹣4|,其中比﹣3小的数是()A.﹣4 B.|﹣4| C.0 D.﹣2.82.(4分)下列运算正确的是()A.2x2+3x3=5x5 B.(﹣2x)3=﹣6x3 C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2﹣3x)=4﹣9x23.(4分)如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,则这个几何体的左视图是()A. B. C. D.4.(4分)如图,直线m∥n,三角尺的直角顶点在直线m上,且三角尺的直角被直线m平分,若∠1=60°,则下列结论错误的是()A.∠2=75° B.∠3=45° C.∠4=105° D.∠5=130°5.(4分)为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求,了解学生的睡眠状况,调查了一个班50名学生每天的睡眠时间,绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示,则所调查学生睡眠时间的众数,中位数分别为()A.7h7h B.8h7.5h C.7h7.5h D.8h8h6.(4分)如图,在△ABC中,AB=6,以点A为圆心,3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E和点G,点F是优弧GE上一点,∠CDE=18°,则∠GFE的度数是()A.50° B.48° C.45° D.36°7.(4分)已知关于x的一元二次方程kx2﹣(2k﹣1)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k>﹣ B.k< C.k>﹣且k≠0 D.k<且k≠08.(4分)将抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过()A.(﹣2,2) B.(﹣1,1) C.(0,6) D.(1,﹣3)9.(4分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为()A.2﹣2 B.3﹣ C.4﹣ D.210.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,E是BD的中点,则下列四个结论:①AM=CN;②若MD=AM,∠A=90°,则BM=CM;③若MD=2AM,则S△MNC=S△BNE;④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等.其中正确结论的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11.(4分)如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端B的俯角为45°,点A、B、C、D、E在同一平面内,斜坡AD的坡度i=1:2.4.根据小颖的测量数据,计算出建筑物BC的高度约为(参考数据:≈1.732)()A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米12.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B、C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为()A. B. C. D.3二、填空题(本大题共6小题,满分24分。只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13.(4分)2021年5月15日7时18分,天问一号着陆巡视器成功着陆于火星,我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功.探测器距离地球约3.2亿千米.数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为千米.14.(4分)《九章算术》中记载:“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?”其大意是:“今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱?”设甲的钱数为x,乙的钱数为y,根据题意,可列方程组为.15.(4分)如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象,图象过点(3,0),对称轴为直线x=1,有下列四个结论:①abc>0;②a﹣b+c=0;③y的最大值为3;④方程ax2+bx+c+1=0有实数根.其中正确的为(将所有正确结论的序号都填入).16.(4分)若△ABC为直角三角形,AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示,则阴影部分的面积为.17.(4分)如图,将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为.18.(4分)如图,点B1在直线l:y=x上,点B1的横坐标为2,过点B1作B1A1⊥l,交x轴于点A1,以A1B1为边,向右作正方形A1B1B2C1,延长B2C1交x轴于点A2;以A2B2为边,向右作正方形A2B2B3C2,延长B3C2交x轴于点A3;以A3B3为边,向右作正方形A3B3B4C3,延长B4C3交x轴于点A4;…;照这个规律进行下去,则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为(结果用含正整数n的代数式表示).三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)19.(10分)(1)先化简,再求值:,其中a=+3;解不等式:1﹣.20.(10分)为庆祝中国共产党成立100周年,落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史,永远跟党走”主题教育活动的通知》要求,某学校举行党史知识竞赛,随机调查了部分学生的竞赛成绩,绘制成两幅不完整的统计图表.根据统计图表提供的信息,解答下列问题:(1)本次共调查了名学生;C组所在扇形的圆心角为度;(2)该校共有学生1600人,若90分以上为优秀,估计该校优秀学生人数为多少?(3)若E组14名学生中有4人满分,设这4名学生为E1,E2,E3,E4,从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1,E2的概率.竞赛成绩统计表(成绩满分100分)组别分数人数A组75<x≤804B组80<x≤85C组85<x≤9010D组90<x≤95E组95<x≤10014合计21.(10分)如图,点P为函数y=x+1与函数y=(x>0)图象的交点,点P的纵坐标为4,PB⊥x轴,垂足为点B.(1)求m的值;(2)点M是函数y=(x>0)图象上一动点,过点M作MD⊥BP于点D,若tan∠PMD=,求点M的坐标.22.(10分)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划每天生产疫苗16万剂,但受某些因素影响,有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情,回厂的工人加班生产,由原来每天工作8小时增加到10小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗15万剂.(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人?(2)生产4天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760万剂的生产任务,问该厂共需要多少天才能完成任务?23.(11分)四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.(1)若AC=EC,如图1,求证:四边形BECD为平行四边形;(2)若AB=AD,点F是AB上的点,AF=BE,EG⊥AC于点G,如图2,求证:△DGF是等腰直角三角形.24.(13分)二次函数y=ax2+bx+4(a≠0)的图象经过点A(﹣4,0),B(1,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点,连接BP、AC,交于点Q,过点P作PD⊥x轴于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,当∠DPB=2∠BCO时,求直线BP的表达式;(3)请判断:是否有最大值,如有请求出有最大值时点P的坐标,如没有请说明理由.25.(14分)如图1,O为半圆的圆心,C、D为半圆上的两点,且=.连接AC并延长,与BD的延长线相交于点E.(1)求证:CD=ED;(2)AD与OC,BC分别交于点F,H.①若CF=CH,如图2,求证:CF•AF=FO•AH;②若圆的半径为2,BD=1,如图3,求AC的值.
2021年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)1.(4分)下列各数:﹣4,﹣2.8,0,|﹣4|,其中比﹣3小的数是()A.﹣4 B.|﹣4| C.0 D.﹣2.8【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.【解答】解:∵|﹣4|=4,∴﹣4<﹣3<﹣2.8<0<|﹣4|,∴其中比﹣3小的数是﹣4.故选:A.【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法,掌握有理数大小比较法则是解答本题的关键.2.(4分)下列运算正确的是()A.2x2+3x3=5x5 B.(﹣2x)3=﹣6x3 C.(x+y)2=x2+y2 D.(3x+2)(2﹣3x)=4﹣9x2【分析】根据合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式计算即可.【解答】解:A选项,2x2与3x3不是同类项,不能合并,故该选项计算错误,不符合题意;B选项,原式=﹣8x3,故该选项计算错误,不符合题意;C选项,原式=x2+2xy+y2,故该选项计算错误,不符合题意;D选项,原式=22﹣(3x)2=4﹣9x2,故该选项计算正确,符合题意;故选:D.【点评】本题考查了合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式,注意完全平方公式展开有三项.3.(4分)如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,则这个几何体的左视图是()A. B. C. D.【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案.【解答】解:从左边看从左到右第一列是两个小正方形,第二列有4个小正方形,第三列有3个小正方形,故选:B.【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图,重点是对空间观念的考查.4.(4分)如图,直线m∥n,三角尺的直角顶点在直线m上,且三角尺的直角被直线m平分,若∠1=60°,则下列结论错误的是()A.∠2=75° B.∠3=45° C.∠4=105° D.∠5=130°【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题.【解答】解:如图,∵三角尺的直角被直线m平分,∴∠6=∠7=45°,∴∠4=∠1+∠6=45°+60°=105°,∵m∥n,∴∠3=∠7=45°,∠2=180°﹣∠4=75°,∴∠5=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°,故选项A、B、C正确,故选:D.【点评】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答.5.(4分)为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求,了解学生的睡眠状况,调查了一个班50名学生每天的睡眠时间,绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示,则所调查学生睡眠时间的众数,中位数分别为()A.7h7h B.8h7.5h C.7h7.5h D.8h8h【分析】直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可.【解答】解:∵7h出现了19次,出现的次数最多,∴所调查学生睡眠时间的众数是7h;∵共有50名学生,中位数是第25、26个数的平均数,∴所调查学生睡眠时间的中位数是=7.5(h).故选:C.【点评】此题主要考查了众数、中位数的概念,正确把握中位数的概念是解题关键.6.(4分)如图,在△ABC中,AB=6,以点A为圆心,3为半径的圆与边BC相切于点D,与AC,AB分别交于点E和点G,点F是优弧GE上一点,∠CDE=18°,则∠GFE的度数是()A.50° B.48° C.45° D.36°【分析】连接AD,根据切线的性质得到AD⊥BC,根据垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°,根据直角三角形的性质得到∠B=30°,根据三角形的内角和定理得到∠GAD=60°,根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE=72°,根据圆周角定理即可得到结论.【解答】解:连接AD,∵BC与⊙A相切于点D,∴AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∵AB=6,AG=AD=3,∴AD=AB,∴∠B=30°,∴∠GAD=60°,∵∠CDE=18°,∴∠ADE=90°﹣18°=72°,∵AD=AE,∴∠AED=∠ADE=72°,∴∠DAE=180°﹣∠ADE﹣∠AED=180°﹣72°﹣72°=36°,∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+36°=96°,∴∠GFE=GAE=96°=48°,故选:B.【点评】本题考查了切线的性质,直角三角形的性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,正确的识别图形是解题的关键.7.(4分)已知关于x的一元二次方程kx2﹣(2k﹣1)x+k﹣2=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k>﹣ B.k< C.k>﹣且k≠0 D.k<且k≠0【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=(2k﹣1)2﹣4k•(k﹣2)>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.【解答】解:根据题意得k≠0且△=(2k﹣1)2﹣4k•(k﹣2)>0,解得k>﹣且k≠0.故选:C.【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根.8.(4分)将抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过()A.(﹣2,2) B.(﹣1,1) C.(0,6) D.(1,﹣3)【分析】直接将原函数写成顶点式,再利用二次函数平移规律:左加右减,上加下减,进而得出平移后解析式,再把各选项的点代入判断即可.【解答】解:y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x2+2x)+3=﹣[(x+1)2﹣1]+3=﹣(x+1)2+4,∵将抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,∴得到的抛物线解析式为:y=﹣x2+2,当x=﹣2时,y=﹣(﹣2)2+2=﹣4+2=﹣2,故(﹣2,2)不在此抛物线上,故A选项不合题意;当x=﹣1时,y=﹣(﹣1)2+2=﹣1+2=1,故(﹣1,1)在此抛物线上,故B选项符合题意;当x=0时,y=﹣02+2=0+2=2,故(0,6)不在此抛物线上,故C选项不合题意;当x=1时,y=﹣12+2=﹣1+2=1,故(1,﹣3)不在此抛物线上,故D选项不合题意;故选:B.【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换,正确掌握平移规律是解题关键.9.(4分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=2,CD=1,则AD的长为()A.2﹣2 B.3﹣ C.4﹣ D.2【分析】延长AD、BC交于E,先利用直角三角形的性质求得AE的长,然后再求得DE的长,从而求得答案.【解答】解:延长AD、BC交于E,∵∠BCD=120°,∴∠A=60°,∵∠B=90°,∴∠ADC=90°,∠E=30°,在Rt△ABE中,AE=2AB=4,在Rt△CDE中,DE==,∴AD=AE﹣DE=4﹣,故选:C.【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.10.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,E是BD的中点,则下列四个结论:①AM=CN;②若MD=AM,∠A=90°,则BM=CM;③若MD=2AM,则S△MNC=S△BNE;④若AB=MN,则△MFN与△DFC全等.其中正确结论的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【分析】根据平行四边形的性质,证明△MDE≌△NBE,从而判断①正确;若MD=AM,∠A=90°,则平行四边形ABCD为矩形,通过证明△BAM≌△CDM可以判断②;过点M作MG⊥BC,交BC于G,过点E作EH⊥BC,交BC于H,通过三角形面积公式可以判断③;若AB=MN则四边形MNCD是等腰梯形,通过证明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判断④.【解答】解:①∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB=∠CBD,∵E是BD的中点,∴BE=DE,在△MDE和△NBE中,,∴△MDE≌△NBE(ASA),∴DM=BN,∴AM=CN,故①正确;②若MD=AM,∠A=90°,则平行四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=∠A=90°,在△BAM和△CDM中,,∴△BAM≌△CDM(SAS),∴BM=CM,故②正确;③过点M作MG⊥BC,交BC于G,过点E作EH⊥BC,交BC于H,由①易得四边形MBND是平行四边形,E为BD中点,∴MG=2EH,又∵MD=2AM,BN=MD,AM=NC,∴S△MNC=NC•MG=•BN•2EH=BN•EH=S△BNE,故③正确;④∵AB=MN,AB=DC,∴MN=DC,又∵AD∥BC,∴四边形MNCD是等腰梯形或平行四边形,如果四边形MNCD是等腰梯形,∴∠MNC=∠DCN,在△MNC和△DCN中,,∴△MNC≌△DCN(SAS),∴∠NMC=∠CDN,在△MFN和△DFC中,,∴△MFN≌△DFC(AAS),如果是平行四边形,由平行四边形的性质可以得到△MFN≌△DFC,故④正确.∴正确的个数是4个,故选:D.【点评】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质,关键是对知识的掌握和运用.11.(4分)如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端B的俯角为45°,点A、B、C、D、E在同一平面内,斜坡AD的坡度i=1:2.4.根据小颖的测量数据,计算出建筑物BC的高度约为(参考数据:≈1.732)()A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米【分析】作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F.则四边形DHBF是矩形,在Rt△ADH中求出DH,再在Rt△EFB中求出EF,在Rt△EFC中求出CF即可解决问题.【解答】解:如图作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F.在Rt△ADH中,AD=130米,DH:AH=1:2.4,∴DH=50(米),∵四边形DHBF是矩形,∴BF=DH=50(米),在Rt△EFB中,∠BEF=45°,∴EF=BF=50(米),在Rt△EFC中,FC=EF•tan60°,∴CF=50×≈86.6(米),∴BC=BF+CF=136.6(米).故选:A.【点评】本题考查了解直角三角形,坡度,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.12.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=5,点P在线段BC上运动(含B、C两点),连接AP,以点A为中心,将线段AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段DQ的最小值为()A. B. C. D.3【分析】如图,以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H.利用全等三角形的性质证明∠AFQ=90°,推出∠AEF=60°,推出点Q在射线FE上运动,求出DH,可得结论.【解答】解:如图,以AB为边向右作等边△ABF,作射线FQ交AD于点E,过点D作DH⊥QE于H.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABP=∠BAD=90°,∵△ABF,△APQ都是等边三角形,∴∠BAF=∠PAQ=60°,BA=FA,PA=QA,∴∠BAP=∠FAQ,在△BAP和△FAQ中,,∴△BAP≌△FAQ(SAS),∴∠ABP=∠AFQ=90°,∵∠FAE=90°﹣60°=30°,∴∠AEF=90°﹣30°=60°,∵AB=AF=5,AE=AF÷cos30°=,∴点Q在射线FE上运动,∵AD=BC=5,∴DE=AD﹣AE=,∵DH⊥EF,∠DEH=∠AEF=60°,∴DH=DE•sin60°=×=,根据垂线段最短可知,当点Q与H重合时,DQ的值最小,最小值为,故选:A.【点评】本题考查矩形的性质,旋转变换,等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,本题的突破点是证明点Q的在射线FE上运动,属于中考选择题中的压轴题.二、填空题(本大题共6小题,满分24分。只要求填写最后结果,每小题填对得4分)13.(4分)2021年5月15日7时18分,天问一号着陆巡视器成功着陆于火星,我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功.探测器距离地球约3.2亿千米.数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为3.2×108千米.【分析】把一个大于10的数写成科学记数法形式:a×10n,其中1≤a<10,n为正整数,n的值比这个数的整数位数少1.【解答】解:3.2亿=320000000=3.2×108,故答案为:3.2×108.【点评】本题考查了科学记数法,解题的关键是确定a和n的值.14.(4分)《九章算术》中记载:“今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?”其大意是:“今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱?”设甲的钱数为x,乙的钱数为y,根据题意,可列方程组为.【分析】根据乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为50和题目中所设的未知数,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题.【解答】解:由题意可得,,故答案为:.【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是找出题目中的等量关系,列出相应的方程组.15.(4分)如图是抛物线y=ax2+bx+c的部分图象,图象过点(3,0),对称轴为直线x=1,有下列四个结论:①abc>0;②a﹣b+c=0;③y的最大值为3;④方程ax2+bx+c+1=0有实数根.其中正确的为②④(将所有正确结论的序号都填入).【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系,由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴判定b与0的关系;当x=﹣1时,y=a﹣b+c;然后由图象确定当y=﹣1时,x的值有2个.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴,∴c>0,∴abc<0,故①错误;∵抛物线与x轴的交点(3,0),对称轴为直线x=1,∴抛物线x轴的另一个交点在(﹣1,0),∴当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,即②正确;由图象无法判断y的最大值,故③错误;方程ax2+bx+c+1=0的根的个数,可看作二次函数y=ax2+bx+c与y=﹣1的交点个数,由图象可知,必然有2个交点,即方程ax2+bx+c+1=0有2个不相等的实数根.故④正确.故答案为:②④.【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系,函数思想,数形结合等.关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右,(简称:左同右异);③常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c).16.(4分)若△ABC为直角三角形,AC=BC=4,以BC为直径画半圆如图所示,则阴影部分的面积为4.【分析】设AB交半圆于点D,连接CD.构建直径所对的圆周角∠BDC=90°,然后利用等腰直角△ABC的性质:斜边上的中线是斜边的一半、中线与高线重合,求得CD=BD=AD,从而求得弦BD与CD所对的弓形的面积相等,所以图中阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积﹣直角三角形BCD的面积.【解答】解:设AB交半圆于点D,连接CD.∵BC是直径,∴∠BDC=90°,即CD⊥AB;又∵△ABC为等腰直角三角形,∴CD垂直平分斜边AB,∴CD=BD=AD,∴=,∴S弓形BD=S弓形CD,∴S阴影=SRt△ABC﹣SRt△BCD;∵△ABC为等腰直角三角形,CD是斜边AB的垂直平分线,∴SRt△ABC=2SRt△BCD;又SRt△ABC=×4×4=8,∴S阴影=4;故答案为:4.【点评】本题综合考查了圆周角定理、等腰三角形的性质.解题时,借助于辅助线CD,将隐含在题中的“直径所对的圆周∠BDC=90°”体现出来,便于利用等腰直角三角形ABC的性质:斜边上的中线是斜边的一半及CD是中线和高线,来求图中阴影部分的面积.17.(4分)如图,将矩形纸片ABCD折叠(AD>AB),使AB落在AD上,AE为折痕,然后将矩形纸片展开铺在一个平面上,E点不动,将BE边折起,使点B落在AE上的点G处,连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的长为4+2.【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D(HL),推出BF=DB′,再证明DB′=EC=BF=2,想办法求出AB′,可得结论.【解答】解:由翻折的性质可知,EB=EB′,∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°,在Rt△EBF和Rt△EB′D中,,∴Rt△EBF≌Rt△EB′D(HL),∴BF=DB′,∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°,∴四边形ECDB′是矩形,∴DB′=EC=2,∴BF=EC=2,由翻折的性质可知,BF=FG=2,∠FAG=45°,∠EGF=∠B=∠AGF=90°,∴AG=FG=2,∴AF=2.∴AB=AB′=2+2,∴AD=AB′+DB′=4+2,故答案为:4+2.【点评】本题考查翻折变换,矩形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.18.(4分)如图,点B1在直线l:y=x上,点B1的横坐标为2,过点B1作B1A1⊥l,交x轴于点A1,以A1B1为边,向右作正方形A1B1B2C1,延长B2C1交x轴于点A2;以A2B2为边,向右作正方形A2B2B3C2,延长B3C2交x轴于点A3;以A3B3为边,向右作正方形A3B3B4C3,延长B4C3交x轴于点A4;…;照这个规律进行下去,则第n个正方形AnBnBn+1∁n的边长为×()n﹣1(结果用含正整数n的代数式表示).【分析】设直线y=x与x轴夹角为α,过B1作B1H⊥x轴于H,由点B1的横坐标为2,点B1在直线l:y=x上,可得OH=2,B1H=1,OB1==,tanα==,Rt△A1B1O中,求得A1B1=OB1•tanα=,即第1个正方形边长是,在Rt△A2B2O中,求得第2个正方形边长是×,在Rt△A3B3O中,求得第3个正方形边长是×=×()2,在Rt△A4B4O中,求得第4个正方形边长是×=×()3,......观察规律即可得:第n个正方形边长是×()n﹣1.【解答】解:设直线y=x与x轴夹角为α,过B1作B1H⊥x轴于H,如图:∵点B1的横坐标为2,点B1在直线l:y=x上,令x=2得y=1,∴OH=2,B1H=1,OB1==,∴tanα==,Rt△A1B1O中,A1B1=OB1•tanα=,即第1个正方形边长是,∴OB2=OB1+B1B2=+=×3,Rt△A2B2O中,A2B2=OB2•tanα=×3×=×,即第2个正方形边长是×,∴OB3=OB2+B2B3=×3+×=×,Rt△A3B3O中,A3B3=OB3•tanα=××=×,即第3个正方形边长是×=×()2,∴OB4=OB3+B3B4=×+×=×,Rt△A4B4O中,A4B4=OB4•tanα==××=×,即第4个正方形边长是×=×()3,......观察规律可知:第n个正方形边长是×()n﹣1,故答案为:×()n﹣1.【点评】本题考查一次函数图象上点的特征,涉及解直角三角形、规律探索等知识,解题的关键是tanα=的应用.三、解答题(本大题共7小题,满分78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)19.(10分)(1)先化简,再求值:,其中a=+3;(2)解不等式:1﹣.【分析】(1)分式的混合运算,注意先算乘除,然后算加减,有小括号先算小括号里面的,然后代入求值;(2)解一元一次不等式,按照去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化1的步骤进行计算求解.【解答】解:(1)原式=[]==﹣,当a=+3时,原式=﹣;(2)去分母,得:8﹣(7x﹣1)>2(3x﹣2),去括号,得:8﹣7x+1>6x﹣4,移项,得:﹣7x﹣6x>﹣4﹣1﹣8,合并同类项,得:﹣13x>﹣13,系数化1,得:x<1.【点评】本题考查分式的化简求值,二次根式的混合运算以及解一元一次不等式,掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键.20.(10分)为庆祝中国共产党成立100周年,落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史,永远跟党走”主题教育活动的通知》要求,某学校举行党史知识竞赛,随机调查了部分学生的竞赛成绩,绘制成两幅不完整的统计图表.根据统计图表提供的信息,解答下列问题:(1)本次共调查了50名学生;C组所在扇形的圆心角为72度;(2)该校共有学生1600人,若90分以上为优秀,估计该校优秀学生人数为多少?(3)若E组14名学生中有4人满分,设这4名学生为E1,E2,E3,E4,从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1,E2的概率.竞赛成绩统计表(成绩满分100分)组别分数人数A组75<x≤804B组80<x≤85C组85<x≤9010D组90<x≤95E组95<x≤10014合计【分析】(1)用A组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数;用360°乘以C组人数所占的百分比得到C组的圆心角的度数;(2)先计算出D组的人数,然后用1600乘以样本中D组和E组人数所占的百分比即可;(3)画树状图展示所有12种等可能的结果,找出恰好抽到E1,E2的结果数,然后根据概率公式求解.【解答】解:(1)本次共调查的学生=14÷28%=50(人);C组的圆心角为360°×=72°,故答案为50;72;(2)B组的人数为50×12%=16(人),则D组的人数为50﹣4﹣16﹣14=16(人),则估计优秀的人数为1600×=960(人);(3)画树状图为:共有12种等可能的结果,其中恰好抽到E1,E2的结果数为2,所以恰好抽到E1,E2的概率==.【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.21.(10分)如图,点P为函数y=x+1与函数y=(x>0)图象的交点,点P的纵坐标为4,PB⊥x轴,垂足为点B.(1)求m的值;(2)点M是函数y=(x>0)图象上一动点,过点M作MD⊥BP于点D,若tan∠PMD=,求点M的坐标.【分析】(1)根据点P为函数y=x+1图象的点,点P的纵坐标为4,可以求得点P的坐标,进而求得m的值;(2)设点M的坐标(x,y),分两种情况:点M在点P右侧,点M在点P左侧,根据tan∠PMD=得=,根据点P的坐标求出x、y的值,即可得出答案.【解答】解:∵点P为函数y=x+1图象的点,点P的纵坐标为4,∴4=x+1,解得:x=6,∴点P(6,4),∵点P为函数y=x+1与函数y=(x>0)图象的交点,∴4=,∴m=24;(2)设点M的坐标(x,y),∵tan∠PMD=,∴=,①点M在点P右侧,如图,∵点P(6,4),∴PD=4﹣y,DM=x﹣6,∴=,∵xy=m=24,∴y=,∴2(4﹣)=x﹣6,解得:x=6或8,∵点M在点P右侧,∴x=8,∴y=3,∴点M的坐标为(8,3);②点M在点P左侧,∵点P(6,4),∴PD=y﹣4,DM=6﹣x,∴=,∵xy=m=24,∴y=,∴2(4﹣)=x﹣6,解得:x=6或8,∵点M在点P左侧,∴此种情况不存在;∴点M的坐标为(8,3).【点评】本题考查一次函数和反比例函数图象和性质;熟练掌握用待定系数法求函数的表达式,利用三角函数解题是关键.22.(10分)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划每天生产疫苗16万剂,但受某些因素影响,有10名工人不能按时到厂.为了应对疫情,回厂的工人加班生产,由原来每天工作8小时增加到10小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗15万剂.(1)求该厂当前参加生产的工人有多少人?(2)生产4天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为10小时.若上级分配给该厂共760万剂的生产任务,问该厂共需要多少天才能完成任务?【分析】(1)设当前参加生产的工人有x人,根据每人每小时完成的工作量不变,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)利用每人每小时完成的工作量=工作总量÷工作时间÷参与工作的人数,即可求出每人每小时完成的工作量,设还需要生产y天才能完成任务,根据工作总量=工作效率×工作时间×工作人数,即可得出关于y的方程求解.【解答】解:(1)设当前参加生产的工人有x人,由题意可得:,解得:x=30,经检验:x=30是原分式方程的解,且符合题意,∴当前参加生产的工人有30人;(2)每人每小时完成的数量为:16÷8÷40=0.05(万剂),设还需要生产y天才能完成任务,由题意可得:4×15+(30+10)×10×0.05y=760,解得:y=35,35+4=39(天),∴该厂共需要39天才能完成任务.【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用,理解题意,找准等量关系正确列式计算是解题关键.23.(11分)四边形ABCD为矩形,E是AB延长线上的一点.(1)若AC=EC,如图1,求证:四边形BECD为平行四边形;(2)若AB=AD,点F是AB上的点,AF=BE,EG⊥AC于点G,如图2,求证:△DGF是等腰直角三角形.【分析】(1)先根据四边形ABCD为矩形,CB⊥AE,AC=EC得出AB=BE即可;(2)由AB=AD得出矩形ABCD是正方形,得出∠E=∠GAE=45°,然后证明△EGF≌△AGD,再得出∠DGF=90°,GF=GD,∠DGA=∠FGE,从而得出结论.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,AB=CD,CB⊥AE,又∵AC=EC,∴AB=BE,∴BE=CD,BE∥CD,∴四边形BECD为平行四边形;(2)∵AB=AD,∴矩形ABCD是正方形,∵EG⊥AC,∴∠E=∠GAE=45°,∴GE=GA,又∵AF=BE,∴AB=FE,∴FE=AD,在△EGF和△AGD中,,∴△EGF≌△AGD(SAS),∴GF=GD,∠DGA=∠FGE,∠DGF=∠DGA+∠AGF=∠EGF+∠AGF=∠AGE=90°,∴△DGF是等腰直角三角形.【点评】本题考查矩形的性质,平行四边形的判定,以及等腰直角三角形的判定,关键是对知识的掌握和运用.24.(13分)二次函数y=ax2+bx+4(a≠
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