导数的意义资料

导数的意义导数的几何意义如下图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线．问题1：割线PPn的斜率kn是什么？提示：割割线PPn的斜率kn＝eq\f(Δyn,Δxn)＝eq\f(fxn－fx0,xn－x0).问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与过点P的切线PT有什么关系？提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).导数与函数图象升降的关系若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数存在且f′(x0)＞0(即切线的斜率大于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是上升的；若f′(x0)＜0(即切线的斜率小于零)，则函数y＝f(x)在x＝x0附近的图象是下降的．导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.二、导函数对于函数f(x)＝－x2＋2.求f′(x0)提示：f′(x0)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(－x0＋Δx2＋2－－x\o\al(2,0)＋2,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))(－2x0－Δx)＝－2x0.导函数的定义对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).f′(x0)与f′(x)的异同题型一利用导数定义求函数的导数[例1]利用导数的定义求下列函数的导数：(1)y＝－3x2＋2x－1；(2)y＝eq\f(3,x2)＋a(a为常数)．课后练习1．下面说法正确的是 ()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在解析：根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误.答案：C2．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：根据导数的几何意义，f(x)在x0处的导数即f(x)在x0处切线的斜率，故f′(x0)＝－eq\f(1,2)＜0.答案：B3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f′(1)＝eq\f(1,2)，由点M在切线上得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，所以f(1)＋f′(1)＝3．答案：34．曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))处切线的倾斜角为________．解析：因为eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(\f(1,3)x＋Δx3－2－\f(1,3)x3＋2,Δx)＝x2，所以y′＝x2，y′|x＝－1＝1，因此倾斜角为45°．答案：45°5．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋4，,y＝x＋10))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝13.))∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y＝x2＋4，∴y′＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(x＋Δx2＋4－x2＋4,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0)))eq\f(Δx2＋2x·Δx,Δx)＝eq\a\vs4\al(\o(lim,\s\do9(Δx→0))