导数的计算资料

§1.2导数的计算§1.2.1几个常用函数的导数教学目标：1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式;2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用.教学难点：四种常见函数、、、的导数公式.教学过程：一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数.二、新课讲授1.函数的导数根据导数定义,因为所以函数导数表示函数图像(图3.2-1)上每一点处的切线的斜率都为.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体的瞬时速度始终为,即物体一直处于静止状态.2.函数的导数因为所以函数导数表示函数图像(图3.2-2)上每一点处的切线的斜率都为,若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速运动.3.函数的导数因为所以函数导数表示函数图像(图3.2-3)上点处的切线的斜率都为,说明随着的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当时,随着的增加,函数减少得越来越慢;当时,随着的增加,函数增加得越来越快.若表示路程关于时间的函数,则可以解释为某物体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为.4.函数的导数因为所以函数导数(三)运算法则的证明证明:令.即法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即:(范例:(1)求的导数.(2)求的导数.法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:指导学生尝试法则2的证明:令.因为在点处可导,所以它在点处连续,于是当时,.从而即说明:1..2.若为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数..法则3：两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方：回顾导数定义：证明：设则.因为在点处可导,所以在点处连续.于是当时,从而即说明:若两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为)必可导.若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如:设,,则在处均不可导,但它们的和在处可导.三、典例分析例1假设某国家在年期间的年均通货膨胀率为,物价(单位:元)与时间(单位:年)有如下函数关系,其中为时的物价.假定某种商品的,那么在第个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到)?解:根据基本初等函数导数公式表,有所以(元/年)因此,在第个年头,这种商品的价格约为元/年的速度上涨.例2根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)解:(1)。(2)(3)(4)(5)(6)，。(7)点评:①求导数是在定义域内实行的;②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心.例3日常生活中的饮水通常是经过净化的,随着水纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用(单位:元)为求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率:(1)(2)解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数(1)因为所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨(2)因为所以,纯净度为时,费用的瞬时变化率是元/吨注:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知,.它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率,大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.例4求曲线在点的切线方程.分析:先要求出函数的导函数,然后利用导函数求出曲线在点的切线的斜率,最后应用点斜式求出切线的方程.解:斜率切线方程为化简得故曲线在点的切线方程为类型题:求曲线在点的切线方程.解:略例5试用求导的方法求和.解:略补充例题例1判断下列求导是否正确,加以改正.解:略例2求下列函数的导数(1);(2).解:略例3求在点处的导数.解:略例4求下列函数的导数(1);(2);(3).解:略例5求的导数.解:将函数变形为’.例6求的导数.解:略注:有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导.有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.例7求曲线在点处的切线方程.回顾导数的几何意义:函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.解:略例8曲线运动方程为,求时的速度.回顾导数的物理意义:瞬时速度是位移函数对时间的导数:.解:略例9已知抛物线通过点,且在点处与直线相切,求的值.四、课堂练习1.课本P92练习2.已知曲线,求曲线上横坐标为的点的切线方程.答案:五、回顾总结1.基本初等函数的导数公式表;2.导数的运算法则.六、布置作业§1.2.3复合函数的求导法则教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则.教学重点：复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.教学难点：正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.一、创设情景(一)基本初等函数的导数公式表函数导数(二)导数的运算法则导数运算法则1．2．3．推论:(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)二、新课讲授1.复合函数的概念一般地,对于两个函数和,如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.2.复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.若,则三、典例分析例1求下列函数的导数:(1)(2)(3)(其中均为常数)解:(1)函数可以看作函数和的复合函数根据复合函数求导法则有=(2)函数可以看作函数和的复合函数根据复合函数求导法则有=(3)函数可以看作函数和的复合函数根据复合函数求导法则有=例2求的导数.解:点评:求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.例3求的导数.解:，点评:本题练习商的导数和复合函数的导数,求导数后要予以化简整理.例4求的导数.解法一:解法二:点评:解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.例5曲线有两条平行于直线的切线,求此二切线之间的距离.解:令即解得或于是切点为过点的切线方程为即显然两切线间的距离等于点到此切线的距离故所求距离为补充例题例1指出下列函数的复合关系(1);(2);(3);(4);(5).解:略例2写出由下列函数复合而成的函数(1);(2).解:略例3求的导数(P122例1).解:略注意：要求步骤规范,首先设中间变量,再对几个简单函数分别求导,最后应强调把中间变量换成自变量的函数.复合函数求导步骤：分解——求导——回代.例4求下列函数的导数(1);(2);(3);(5);(6);(7).解:略注:这