2020年湖北省随州市中考数学试题

随州市2020年初中毕业升学考试数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且只

有一个是正确的）

1.2020的倒数是（）

11

A.-2020B.2020C.-------D.----------

20202020

【答案】C

【解析】

【分析】

根据倒数的定义解答.

【详解】2020的倒数是

2020

故选：C.

【点睛】此题考查倒数的定义，熟比

2.如图，直线“〃2,直线/与4，分别交于A，8两点，若Nl=60°，则N2的度数是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

如图：先运用两直线平行、同位角相等得到N3=Nl=60。，然后再根据邻补角的性质得到N3+N2=180。，最

后计算即可.

【详解】解：如图：

VZl=60°

.•.Z3=Z1=6O°

VZ3+Z2=180°

・•・Z2=180°-Z3=180°-60°=120°.

故答案为c.

【点睛】本题考查了平行性质和邻补角的性质，掌握平行线的性质（两直线平行、同位角相等）是正确

解答本题的关键.

3.随州7月份连续5天的最高气温分别为：29,30,32,30,34（单位：C）,则这组数据的众数和中位数

分别为（）

A.30,32B.31,30C.30,31D.30,30

【答案】D

【解析】

【分析】

根据众数和中位数的求解答案来判断即可.

【详解】解：；7月份连续5天的最高气温分别为：29,30,30,32,34（单位：℃）

这组数据的众数是：30

中位数：30

故选：D

【点睛】本题考查了众数和中位数，注意有偶数个数时中位数就是中间两个数的平均数，而个数有奇数个

时，中位数就是中间的一个数.

4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体为（）

A.圆柱B.圆锥C.四棱柱D.四棱锥

【答案】A

【解析】

【分析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案.

【详解】俯视图为圆的几何体为球，圆柱，再根据其他视图，可知此几何体为圆柱.

故选：A.

【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力.

2I

5.=~十工——的计算结果为()

x—4x~—2x

2x2

C.----D'x(x+2)

x+2x+2x—2

【答案】B

【解析】

分析】

先把分母因式分解，再把除法转换为乘法,约分化简得到结果.

________2_______:_____1___

(x+2)(x—2)x(x-2)

=7----3-----(x-2)

(x+2)(x—2)

2x

x+2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分式的除法，

6.我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足,

问鸡兔各几何设鸡有》只，兔有丁只，则根据题意，下列方程组中正确的是()

x+y=35x+y=352x+y=35x+4v=35

A.<B.,C.vD.<

2x+4y=944x+2y=94x+4j=942x+y=94

【答案】A

【解析】

【分析】

根据“上有三十五头''和"下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可.

【详解】解：设鸡有》只，兔有y只

根据上有三十五头，可得x+y=35；

下有九十四足，2x+4y=94

x+y=35

即《

2x+4y=94

故答案为A.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键.

7.小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回,则下列函数图象最能体现他离家的距离（s）与出

发时间（D之间的对应关系的是（

A.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知条件，确定出每一步的函数图形，再把图象结合起来即可求出结果.

【详解】解：小明从家出发步行至学校，可以看作是一条缓慢上升的直线;

中间停留一段时间，可以看作与水平方向平行的直线;

从学校乘车返回家，可以看作是•条迅速下降的直线;

结合四个选项，B符合题意;

故选：B.

【点睛】本题主要考查了函数的图象问题，在解题时要根据实际情况确定出函数的图象是解题的关键.

8.设边长为。的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为〃、「、R,则下列结论不正确的是

A.h-R+rB.R=2rC.r=—aDR=a

4-T

【答案】C

【解析】

【分析】

将图形标记各点，即可从图中看出长度关系证明A正确，再由构造的直角三角形和30。特殊角证明B正确，利用

勾股定理求出「和R,即可判断C、D.

如图所示，标上各点，AO为R,OB为r,AB为/?,

从图象可以得出AB=AO+OB,即&=R+r,A正确；

•.•三角形为等边三角形，

ZCAO=30°,

根据垂径定理可知NACO=90。，

/.AO=2OC,即R=2r,B正确;

(1

2222

在RSACO中，利用勾股定理可得：AO=AC+OC,即甯=上。+r,

(2)

[IlB中关系可得：+产，解得/，则R=2^。，

所以C错误，D正确；

故选：C.

【点睛】本题考查圆与正三角形的性质结合，关键在于巧妙利用半径和构建直角三角形.

122

9.将关于x的一元二次方程x-px+q=Q变形为x=px-q,就可以将x表示为关于x的一次多项式，

从而达至『'降次''的目的，又如丁=彳72=彳(0匠-幻=...,我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法

可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，己知：%—i=o,且1〉。，则/一2》3+3彳的值为()

A.1-^/5B.3-75C.1+75D.3+75

【答案】C

【解析】

【分析】

先求得f=x+i，代入/一2/+3%即可得出答案.

【详解】：％2_%_1=0,

."=x+l，X_1±]T)2-4X1X(-1)_1±&,

22

•*-x4-2x3+3x

=(%+1)**-2x(x+l)+3x

=x2+2X+1-2X2-2X+3X

=-x2+3%+l

=-(x+l)+3x+l

=2x,

=好，且无>0,

2

.1+小

•,x=------，

2

，原式-2x辿=1+后,

2

故选：C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次.

io.如图所示，已知二次函数、=/+笈+°的图象与*轴交于4—1,0)，6(3,0)两点，与y轴的正半轴

交于点C,顶点为。，则下列结论：①2a+Z?=0：②2c<3。；③当AA6C是等腰三角形时，。的值有

2个；④当_BCD是直角三角形时，a=--.其中正确的有()

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据二次函数对称轴的位置可判断；②把两个点代入解析式可得到方程组，解出B与C的关系即可；③由

图象可知，BC^AC,从而得以判断；④根据直角三角形的

【详解】..•二次函数,=办2+笈+。的图象与x轴交于A(—1,0),8(3,0)两点，

-1+3

，二次函数的对称轴为x=-----=1,

2

即-2=1,

2a

•*.2〃+b=().

故①正确；

•••二次函数了=0?+法+。的图象与X轴交于4-1,0),8(3,0)两点，

a—b+c=0,9a+3b+c—0,

又,：b=4a,

3b--6a，a—(-2a)+c=0,

：.3b--6a，9a—6a+c=0.

2c=-6a，

2c—3b>

故②错误；

由图象可知，当八A8c是等腰三角形时，

BC^AC，只能是A8=4。或A3=BC，故a有两个值，

故③正确；

是直角三角形，

/.分两种情况8。J_C。或。C，8C,

得到的a有两个值，

故④错误；

故答案选B.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，准确分析判断是解题的关键.

二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对

应题号处的横线上)

11.计算：(-1)2+V9=.

【答案】4

【解析】

【分析】

分别进行乘方运算和开根号，相加即可.

【详解】原式=1+3=4.

故答案为4.

【点睛】本题主要考查了实数运算，准确进行幕的运算是解题的关键.

12.如图，点A，B,。在二。上，AD是/班C的角平分线，若Z8OC=120°，则NCAD的度数为.

【答案】30°

【解析】

【分析】

根据圆周角定理求出ABAC,再由角平分线的性质可得到结果；

【详解】VZBOC=120\

/.ZBAC=60°,

又：是ZBAC的角平分线，

NBAD=ZCAD^-ZBAC=30°,

2

故答案为30。.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确运用角平分线的性质是解题的必要步骤.

13.幻方是相当古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫图.将数字b9分别填入

如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是15,则加的值为.

【答案】9

【解析】

【分析】

本题首先根据每一横行数字之和为15求出第一个方格数字，继而根据对角线斜边数字和为15求出最后一

格数字，最后根据每一竖行数字之和为15求出m.

【详解】设第一方格数字为x,最后一格数字为y,如下图所示：

由已知得:x+7+2=15,故x=6；

因为x+5+y=15,将x=6代入求得y=4；

又因2+m+y=15,将y=4代入求得m=9：

故答案为：9.

【点睛】本题考查新题型，本质是一元一次方程的求解，理清题意，按照图示所给信息逐步列方程求解即

可.

14.如图，A3C中，点。，E，尸分别为AB，AC,BC的中点，点P,M.N分别为DE，DF，

EF的中点，若随机向，A3C内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为一.

【答案】上

16

【解析】

【分析】

根据三角形的中位线定理建立面积之间的关系,按规律求解，再根据概率公式进行求解即可.

【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形各边长都等于最大三角形各边的一半，并且这两个三角

形相似，

那么第二个△DEF的面积=1△ABC的面积

4

那么第三个△MPN的面积=1△DEF的面积=-!-△ABC的面积

416

•••若随机向八ABC内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为：々

16

故答案为：-4

16

【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，概率公式，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第三

个三角形的面积与第一个三角形的面积的关系，以及概率公式.

k

15.如图，直线A3与双曲线y=—(A>0)在第一象限内交于A、B两点,与x轴交于点C,点5为线段AC

x

的中点，连接。4,若△AOC的面积为3,则左的值为一.

【答案】2

【解析】

【分析】

设A点坐标为幺］,C点坐标为(6,0),求出B点坐标为(字,与］,根据B点在y=K(%>0)上可

Vcij^22aJx

得上上.〜=匕整理得〃=3a,再根据三角形面积公式得一・3。・一二3可得k的值.

22a2a

【详解】解：设A点坐标为(a,：)C点坐标为3,0),

8恰为AC的中点，

8点的坐标为，

I22a)

k

8点在y=—(左>0)的图象上，

X

a+bk.

二.---------=k

22a

：,h=3ci

SOAC=3

二.%=2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：

反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式.

16.如图，已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点M，N分别在边AO，8C上，沿着MN折叠矩形

ABCD,使点A，8分别落在E，F处,且点尸在线段CO上（不与两端点重合），过点M作

于点〃，连接8E，给出下列判断：①,MHNs二BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3<MN<”；

4

③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点；④若。则折叠后重叠部分的面积为史.其

312

中正确的是.（写出所有正确判断的序号）.

【答案】①②③④

【解析】

【分析】

由题意，逐一判定，①由折叠的性质以及等腰三角形三线合一的性质即可判定；②根据题意点尸在线段CO

上（不与两端点重合），假设F分别在C、D两点，即可得出其取值范围；③由相似三角形、正方形的性质

以及勾股定理构建方程，即可判定；④由相似三角形以及勾股定理，得出梯形MEFN的面积和△MEO的面

积，即可得解；

【详解】

由折叠性质，得，BG=FG,BN=FN

ABF±MN

VZBIH=ZMIG,MHIBC

：.ZHBI=ZGMI

,//MHN=NBCF=90°

MHNs&BCF

故①结论正确；

假设F与C重合时，MN取得最小值，即为3；

假设F与D重合时，MN取得最大值，

•：_MHNSJBCF

.MHBC

•；MH=3,BCM,BF£BC2+CF2=,42+32=5

MN=—

4

•••点F在线段CO上(不与两端点重合)

二折痕MN的长度的取值范围为3<MN〈竺

4

故②结论正确；

•••四边形为正方形

；.MH=HC=3

；,MHNs；BCF

,MHBC

••而一百

令m=x,则CN=3—x,FN=BN=\+x

•••CF=\lFN2-NC2=J(1+X)2-(3_X)2

3________4_______

"*^(1+X)2-(3-X)2

3

・,・%=5，x2=3(不符合题意，舍去)

:.HN=、HC,即N为〃。的中点

2

故③结论正确；

@VDF=-DC,AB=CD=3

3

，DF=1,CF=2

；•BF=\lBC2+CF2=A/42+22=275

.,.BG=GF=V5

力MHNs乙BCF

.MHBC

.3

，HN=一

2

VAFGN^AMHN

，GN=@

2

33

，BH=BC-HN-NC=4--------=1

22

VZEMO=ZCNF,ZMEO=ZNCF=90°

AAMEO^ANCF

.MENC

''~EO~~CF

4

.\E0=-

3

，折叠后重叠部分的面积为：

S梯形5-5/](哈硒卜上13£0寸1+|卜3-9*=1|

故④结论正确；

故答案为：①②③④.

【点睛】此题主要考查矩形的折叠性质以及相似三角形的综合运用，熟练掌握，即可解题.

三、解答题(本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程)

17.先化简，再求值：«(«+2b)—2b(a+b),其中”b=乖).

【答案】a2-2h2,-1.

【解析】

【分析】

先根据整式的乘法法则化简整式，再将字母的值代入结果计算求值即可.

【详解】+2b)—2b(a+b)

=Q-+2ab—2ab—2b-

=a2-2b2

当。=&,6时，

原式=(石)2_2x(6y=5_6=_l.

【点睛】本题主要考查了整式的混合运算--化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.

18.已知关于x的一元二次方程f+(2m+l)x+加一2=0.

(1)求证：无论加取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程有两个实数根再，》2，且玉+々+3内々=1，求机的值.

【答案】(1)见解析；(2)m=8.

【解析】

【分析】

(1)求出△的值即可证明；

x.+x,=-(2m+l)

(2),根据根与系数的关系得到《।~"，代入玉+々+3%为=1,得到关于m的方程，然后

X]/=m-2

解方程即可.

【详解】(1)证明：依题意可得A=(2根+1)2-4(m一2)

=W+9>0

故无论，"取何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)由根与系数的关系可得：

%+/=-(2m+l)

«：

XyX2=m-2

由玉+%2+3XJ%2=1，得一(2m+1)+3(m—2)=1,解得m=8.

【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根

bc

与系数的关系：xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的两根时，xi+X2=—-,xiX2=—.

aa

19.根据公安部交管局下发的通知，自2020年6月1日起，将在全国开展“一带一盔”安全守护行动，其中就

要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔.某日我市交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行

者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：

年龄X(岁)人数男性占比

x<20450%

20<x<30m60%

30<x<402560%

40vx<50875%

x>503100%

(1)统计表中m的值为；

(2)若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30Wx<40”部分所对应扇形的圆心角

的度数为；

(3)在这50人中女性有人；

(4)若从年龄在“x<20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求

恰好抽到2名男性的概率.

【答案】(1)10；(2)180°：(3)18；(4)P(恰好抽到2名男性)=-.

6

【解析】

【分析】

⑴用50-4-25-8-3可求出m的值;

(2)用360。乘以年龄在“30Kx<40”部分人数所占百分比即可得到结论；

(3)分别求出每个年龄段女性人数，然后再相加即可；

(4)年龄在"％<20”的4人中，男性有2人，女性有2人，分别用Ai,A2表示男性，用Bi,B2表示女性,

然后画出树状图表示出所有等可能结果数，以及关注的事件数，然后利用概率公式进行求解即可.

【详解】解：⑴m=50-4-25-8-3=10；

故答案为：10；

(2)360°x—=180°；

50

故答案为：180。；

(3)在这50人中女性人数为：

4x(1-50%)+10x(1-60%)+25x(1-60%)+8x(1-75%)+3x(1-100%)

=2+4+10+2+0

=18；

故答案为：18；

(4)设两名男性用4,A?表示，两名女性用瓦，当表示，根据题意：

可画出树状图:

A\4BiB,

A,B\B:A\B\BiA\AzA\Ai&

或列表:

第2人

A4B2

第1人

AA国

A444片4名

耳g4耳44鸟

82A

B2B2A2

由上图(或上表)可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，

21

故P(恰好抽到2名男性)=一=一.

126

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布表.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情

况数之比.

20.如图，某楼房A8顶部有一根天线跳:，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C,D,

A，在点。处测得天线顶端£的仰角为60°，从点。走到点。，测得8=5米，从点。测得天线底端5的

仰角为45°，已知A，B,£在同一条垂直于地面的直线上，AB=25米.

(1)求A与C之间的距离：

(2)求天线8E的高度.(参考数据：gal.73,结果保留整数)

【答案】(1)AC之间的距离为30米；(2)天线BE的高度约为27米.

【解析】

【分析】

(1)根据题意，ZBAD=90°,ZBDA=45°,故AD=AB,已知CD=5,不难算出A与C之间的距离.

(2)根据题意，在改&CE中，ZACE=60°,利用三角函数可算出AE的长，又已知AB,故EB即可

求解.

【详解】(1)依题意可得，在RtAABO中，ZADB=45°,

.•.4)=45=25米，

8=5米，.•.AC=AD+C£>=25+5=30米.

即AC之间的距离为30米.

(2)在必/VICE中，NACE=60°，AC=30米，

=30tan60°=3073(米)，

AB=25米，.♦.8E=AE-A8=(30G-25)米.

由6y1.73.并精确到整数可得BE，27米.

即天线BE的高度约为27米.

【点睛】(1)本题主要考查等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是解答本题的关键.

(2)本题主要考查三角函数的灵活运用，正确运用三角函数是解答本题的关键.

21.如图，在ABC中，NACB=90°，以斜边AB上的中线CO为直径作：j。，与BC交于点M,与AB

的另一个交点为E，过“作垂足为N.

(1)求证：MN是00的切线;

3

(2)若的直径为5,sinB=-,求的长.

7

【答案】(1)见解析；(2)ED=-.

【解析】

【分析】

(1)欲证明MN为。。的切线，只要证明0MLMN.

32

(2)连接。M,CE,分别求出BD=5,BE=y,根据ED=BE—求解即可.

【详解】(1)证明：连接,

0C=0M,

:./0CM=/0MC.

在Rf.ABC中，CO是斜边AB上的中线，

；.CD=LAB=BD,

2

：.ZDCB=ZDBC,

:.NOMC=NDBC,

:.OM//BD,

MN±BD,：.MNYOM,

:.MN是。的切线.

(2)连接£)M,CE,易知OM，BC,CE_LA3,

由(1)可知BO=C£>=5,故M为8c的中点，

,„3

sin«=-,

5

4

cosB=一，

5

在RtABMD中,BM=BDcosB=4,

:.BC=2BM=8.

32

在Rt二CEB中，BE—BC-cosB->

327

：.ED=BE-BD=---5=-.

55

【点睛】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定定

理是解题的关键.

22.2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的

某型号口罩销售价格夕（元/只）和销量夕（只）与第x天的关系如下表：

第X天12345

销售价格〃（元/只）23456

销量q（只）7075808590

物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将

该型号口罩的价格调整为i元/只.据统计，该药店从第6天起销量g（只）与第x天的关系为

4=一2》2+80》一200（6<x<30,且尤为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只.

（1）亶号号号该药店该月前5天的销售价格P与x和销量4与x之间的函数关系式；

（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；

（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外

的非法所得部分处以加倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则加的取值范围为.

【答案】（1），=x+l,且x为整数，q=5x+65,且x为整数；（2）

5X2+—X+—,掇!k5且x为整数小「一口」8

W22,第5天时利润最大；（3）m...-.

-x2+40x-100,6M30且%为整数5

【解析】

【分析】

（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；

（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值.

（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围.

【详解】（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，

设p=kix+bi,

2=左1+々

将x=l,p=2；x=2,p=3分别代入得：<

3=2Z[+b]

解得：〈

所以p=x+l,

经验证p=x+l符合题意,

所以〃=x+l,且X为整数;

设q=k2x+b2,

70=k?+b?

将x=l,q=70；x=2,q=75分别代入得：v

75=2k2+b2

k=5

解得：〈2

=65

所以q=5x+65,

经验证q=5x+65符合题意，

所以4=5X+65,且x为整数;

(2)当1WXW5且x为整数时，

W=(x+1—0.5)(5x+65)

13565

=5x2+---x-\---

22

当6WxW30且x为整数时，

2

W=(1-0.5)(-2x+80%-200)=*+40x-100；

「,13565

5xH---XH---,啜k5且x为整数

即有W=<22

—x^+40x—100,6别：30且x为整数

当KW5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大,

故当x=5时，W最大=495（元）

当6WxK30且x为整数时，W=-/+40x-100=-(x—20)2+300

故当x=20时，%大=300(元)；

由495>300,可知第5天时利润最大.

(3)根据题意，

前5天的销售数量为：4=70+75+80+85+90=400(只)，

...前5天多赚的利润为:

W=(2x70+3x75+4x80+5x85+6x90)-1x400=1650-400=1250(元),

A1250m>2(XX).

.8

・・机…一；

5

Q

...用的取值范围为九

【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本

性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题.

23.勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》

中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图

1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定

理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

图3

6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三

个图形中面积关系满足5,+S2=/的有个;

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别

为5，邑，直角三角形面积为邑，请判断耳，S2,S3的关系并证明:

S3

图7

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复

这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树’'的某部分图形中，设大正方形M的

边长为定值〃？，四个小正方形A，B,C,。的边长分别为b，c,d,已知Nl=N2=N3=Na,

则当Na变化时，回答下列问题：（结果可用含加的式子表示）

@a2+b2+c2+d2=

【答案】（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为。力，斜边为c,那么（或者：在直角三

角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）；②证明见解析；（2）①3,②结论S+S?=§3；（3）①/，

@b=c,a+d=m.

【解析】

【分析】

（1）①根据所学的知识，写出勾股定理的内容即可；

②根据题意，利用面积相等的方法，即可证明勾股定理成立；

（2）①根据题意，设直角三角形的三边分别为a、b、c,利用面积相等的方法，分别求出面积的关系，即

可得到答案；

②利用三角形的面积加上两个小半圆的面积，然后减去大半圆的面积，即可得到答案；

（3）①由（1）（2）中的结论，结合勾股定理的应用可知，a2+b2+c2+d2

②由Nl=N2=N3=Na,则sinl=sin2=sin3=sina,同理可得cosl=cos2=cos3=cosa,利用

解直角三角形以及勾股定理，即可得到答案.

【详解】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为。力，斜边为c,那么。2+〃=/.

（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）

②证明：

在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即c?--ab-4+（b-a）2,

2

化简得02+6=。2

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和.

即(a+b)2=c2+ga0,4,化简得

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和.

111,

即一(tz+b)(a+b)=—cib,24—c~,化简/+=c?.

222

(2)①根据题意，则如下图所示：

在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c,则

由勾股定理，得〃+b2=c2,

£+S2=S3；

在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c,则

41

-22211

万

--=-乃QS=g%.（―）=[71b,S3=g7.（]）2="兀C,

2-2)82

1

8-

Q2+2

在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c,则

122

5.=—asin60°=^-«>S2=—b~sin600=^-b~>5,=—c~sin60°=c>

124224324

•••£+$2=¥（〃+/）,cr+lr=c2，

・/212、V32

----（〃-+。~）=——C-

4------4

/.S]+S2=S3；

...满足E+S2=S3的有3个,

故答案为：3；

②结论5,+52=53；

abI+S3亨回

S,+S=-^I+%

22JJ

.*.S]+S,=&7（。2+_c~）+S3

a2+h2=c2，

<S|+S?=S3；

(3)①如图9,正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m,则有

图9

由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：A+B=E,C+D=F,E+F=M,

a2+b2-e2-c2+d2=f2,e2+f2=m2,

a2+b2+c2+d2=m2

故答案为：”/；

②；Nl=N2=N3=Na,

sin1=sin2=sin3=sina,cos1=cos2=cos3=cosa,

由解直角三角形和正方形的性质，则

e=m*cosAa,Z?=e*sinNa,

/?=m»cosZa*sinNa；

同理：c=7〃・sinNa・cosNa；

a=m»cosZ.a•cosZ.a；

d=m«sinZa*sinNa；

b=c,

a+d-m«（cos2a+sin2a）,

cos2a+sin2a=1>

•*-a+d=m.

故答案为：b=c；a+d=m.

【点睛】本题考查了求扇形的面积，解直角三角形，勾股定理的证明，以及正方形的性质，解题的关键是

掌握勾股定理的应用，注意归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，是

中档题.

24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar2+必:+1的对称轴为直线》二万，其图象与x轴交于点A和

点8（4,0）,与>轴交于点C.

（1）直接写出抛物线的解析式和NC4O的度数；

（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段A3上运动，点N以每秒收个

单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动的时间为

f（f>0）秒，连接MN,再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点。的位置，若点。恰好落

在抛物线上，求，的值及此时点。的坐标；

（3）在（2）的条件下，设p为抛物线上一动点，。为y轴上一动点，当以点c,p,。为顶点的三角形

与△MDB相似时，请直按与出点尸及其对应的点。的坐标.（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）

133（3、

【答案】（1）y=--x2+-x+i,NC4O=45°；（2）t=一，。点坐标为；（3）

444V2J

小3一小C3，一I53I）；p3k3

2222吟;

1151)

-Q9-)

4用割可。「第借溪”。，-翳）

片借卷”[。卷｝%信卷）e（0瑞.

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的对称轴以及点B坐标可求出抛物线表达式：

（2）过点N作NE_LAB于E,过点。作。FJ_A3于F,证明&V£M段，得到

NE=MF,EM=DF,从而得到点D坐标，代入抛物线表达式，求出t值即可；

13

（3）设点P（m,--rrT+-m+\）,当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，过点P作PRLy轴于点R,

44

CPPR

过点D作DS，x轴于点S,根据△CPQs△MDB,得到砺=而，从而求出m值,再证明△CPQs/\MDB,

求出CQ长度，从而得到点Q坐标，同理可求出其余点P和点Q坐标.

3

【详解】解：（1）••,抛物线了=0^+"+1的对称轴为直线苫=],

,h3

••----=—，贝ijb=-3a,

2a2

・・•抛物线经过点B（4,0）,

：.\6a+4b+1=0,将b=-3a代入，

13

解得：a=--，b=—,

44

13

抛物线的解析式为：y=—x2+-x+1,

44

令y=0,解得：x=4或-1,

令x=0,则y=L

/.A（-1,0）,C（0,1）,

・/co1

..tanZCAO=---=1,

AO

/.440=45。；

(2)由(1)易知4(-1,0),

过点N作NE_LAB于E,过点。作加'_LA8于凡

；/DMN=90。，

ZNME+ZDMF=90°,又ZNME+ZENM=90°,

/DMF=NENM,

NM=DM,ZDMN=90°,

QNEM”MFD(AAS),

:.NE=MF,EM=DF,

由题意得：Z.CA0—45°,AN--J2t>AM-3t.

AE=CE=t,EM=AM-AE=2t,

：.DF=2t,MF=t,OF=4t-\,

.-.Z)(4r-l,2r),

!-(4r-l)2+-(4r-l)+l=2r,又/>0,

44

3

故可解得：t=—或0(舍)，

4

3

经检验，当1二一时，点M,N均未到达终点，符合题意,

4

此时。点坐标为（2,g

(3)由(2)可知：D(2,g],t=3时，M(-,0),B(4,0),C(0,1),

I2；44

13

设点P(m,——m"9+一加+1),

44

如图，当点P在y轴右侧，点Q在y轴正半轴，

过点P作PR±y轴于点R,过点D作DS，x轴于点S,

3

则PR=m,DS=—,

2

若^CPQs/XMDB,

.CPPR.CP2