2020年-2022年北京初二（下）期末数学试卷汇编：旋转变换

第1页/共1页2020-2022北京初二（下）期末数学汇编旋转变换一、单选题1．（2022·北京昌平·八年级期末）全球新能源汽车发展已进入不可逆的快车道，中国的新能源汽车产业一直在增长，不断迈上新台阶．下列图形是我国国产部分新能源品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．2．（2022·北京顺义·八年级期末）下列图案中，不是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．（2021·北京石景山·八年级期末）点B与点A（﹣2，3）关于原点对称，点B的坐标为（

）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）4．（2021·北京延庆·八年级期末）下列图形中，是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．5．（2021·北京石景山·八年级期末）下列标识中是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．6．（2021·北京顺义·八年级期末）下列图形中，不是中心对称图形的是（

）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等边三角形7．（2020·北京市第二中学分校八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕B点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（

）A．30° B．60° C．90° D．150°8．（2020·北京顺义·八年级期末）下列图形中是中心对称图形的是（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．正五边形二、填空题9．（2022·北京昌平·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的顶点在第二象限，点O为AC的中点，边轴，当AB＝1时，点D的坐标为______．10．（2021·北京顺义·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一边长为1的正方形OABC，点B在x轴的正半轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，…，照此规律作下去，则B2的坐标是___；B2020的坐标是___．11．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．12．（2021·北京海淀·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，直线（）与直线，直线分别交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为________．13．（2020·北京市第二中学分校八年级期末）如图，边长为6的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，交于点，则____________．三、解答题14．（2022·北京顺义·八年级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，2），点B（-3，-2）．(1)如果四边形ABCD是以原点O为对称中心的平行四边形，直接写出点C、D的坐标；(2)记横、纵坐标都为整数的点叫做整点．

①写出（1）中的平行四边形ABCD内部（不包括边界）的整点的个数；②已知平行四边形的对称中心在x轴上，且点M，点N分别在点B，A的右侧，当平行四边形内部（不包括边界）的整点的个数恰好为9个时，设直线MN的表达式为y=kx+b，求k的值及b的取值范围．15．（2021·北京平谷·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．16．（2021·北京平谷·八年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为________；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为________．（2）E（-3，3），F（a，0）．点E关于点F的“垂直图形”记为，求点的坐标（用含a的式子表示）．17．（2020·北京密云·八年级期末）正方形ABCD中，将线段AB绕点B顺时针旋转α(其中)，得到线段BE，连接AE．过点C作CF⊥AE交AE延长线于点F，连接EC，DF．（1）在图1中补全图形；（2）求∠AEC的度数；（3）用等式表示线段AF，DF，CF的数量关系，并证明．18．（2020·北京市第二中学分校八年级期末）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．（1）①依题意补全图1；②猜想线段DQ与BP的关系是：；（2）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2．19．（2020·北京交通大学附属中学八年级期末）∠MON＝45°，点P在射线OM上，点A，B在射线ON上（点B与点O在点A的两侧），且AB＝1，以点P为旋转中心，将线段AB逆时针旋转90°，得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应）．（1）如图，若OA＝1，OP＝，依题意补全图形；（2）若OP＝，当线段AB在射线ON上运动时，线段CD与射线OM有公共点，求OA的取值范围．（要写过程）20．（2020·北京交通大学附属中学八年级期末）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M为BC的中点，点P为AB边上一动点，点N为线段BM上一动点，以点P为旋转中心，将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，且点B的对应点为D，点N的对应点为E．（1）当点N与点M重合，且点P不是AB的中点时．①依据题意补全图1；②证明：以A，M，E，D为顶点的四边形是矩形．（2）连接EM，若AB＝4，写出一个BN的值，使得EM＝EA成立，并证明．21．（2020·北京延庆·八年级期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的任意一点，连接AE，过点B做BH⊥AE，垂足为H，交CD于点P，将线段PC绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，连接EQ．（1）补全图形；（2）写出AE与EQ的数量关系，并加以证明．22．（2020·北京大兴·八年级期末）已知：是等边三角形，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，连接EC，作EF//BC交直线AB于点F．(1)当点D在线段BC上时，如图1，①依据题意，补全图1；②猜想线段AB，AF，BD的数量关系，并证明；(2)当点D在线段BC的延长线上时，直接写出线段AB，AF，BD的数量关系．

参考答案1．A【分析】根据中心对称图形的定义，即可求解．【详解】解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．2．A【分析】根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．3．A【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．【详解】解：∵点B与点A（﹣2，3）关于原点对称，∴点B的坐标为．故选：A【点睛】本题主要考查了两点关于原点对称，熟练掌握两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．4．B【分析】一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．B【分析】根据中心对称图形的特点即可判断．【详解】A.不是中心对称图形，故错误；B.是中心对称图形，故正确；C.不是中心对称图形，故错误；D.不是中心对称图形，故错误；故选B．【点睛】此题主要考查中心对称图形的识别，解题的关键是熟知中心对称图形的特点．6．D【分析】根据中心对称图形的概念中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；B、矩形是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；C、菱形是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；D、等边三角形不是中心对称图形，故本选项正确，符合题意．故选D．7．B【分析】先利用互余得到∠A=60°，再根据旋转的性质得CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，然后判断△ACA′为等边三角形得到∠ACA′=60°，从而得到旋转角的度数．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，∴CA′=CA，∠ACA′等于旋转角，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′=60°，即旋转角度为60°．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．本题的关键是证明△ACA′为等边三角形，8．C【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即得答案．【详解】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故此选项错误；B、等腰三角形不是中心对称图形，故此选项错误；C、平行四边形是中心对称图形，故此选项正确；D、正五边形不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知中心对称图形的概念是关键．9．或【分析】根据轴，AB＝1，求得点的坐标，然后根据中心对称图形的性质即可求解．【详解】解：∵已知的顶点在第二象限，点O为AC的中点，∴关于中心对称，∵在第二象限，轴，AB＝1，则，关于中心对称点的点坐标为，点D的坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，求关于原点中心对称的点的坐标，分类讨论是解题的关键．10．

【分析】根据已知条件和勾股定理求出OB2的长度即可求出B2的坐标，再根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形都逆时针旋转45°，正方形的边长都乘以所以可求出从B到B2020变化的坐标．【详解】解：∵四边形OABC是边长为1正方形，∴∴∴B1的坐标是，∴，∴B2的坐标是根据题意和图形可看出每经过一次变化，正方形逆时针旋转45°，其边长乘以，∴B3的坐标是∴B4的坐标是∴旋转8次则OB旋转一周，∵从B到B2020经过了2020次变化，2020÷8=252…4，∴从B到B2020与B4都在x轴负半轴上，∴点B2020的坐标是【点睛】本题主要考查了规律型-点的坐标，解决本题的关键是利用正方形的变化过程寻找点的变化规律．11．

【分析】由题意可知为等腰直角三角形，，旋转的性质可得，，根据勾股定理即可求解．【详解】解：由题意可知为等腰直角三角形，由旋转的性质可得，为旋转角，，旋转角的度数为连接，如下图：则，由勾股定理可得：故答案为，【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了勾股定理，掌握旋转的有关性质以及勾股定理是解题的关键．12．0【分析】根据题意可得到A，B两点关于原点对称，根据关于原点对称的点的坐标特点求解即可．【详解】因为正比例函数的图像关于原点对称，且直线与直线关于原点对称，∴A，B关于原点对称，∴．故答案为：0．【点睛】此题考查了正比例函数和一次函数图像的性质，关于原点对称的点的坐标特点等，解题的关键是熟练掌握正比例函数和一次函数图像的性质，关于原点对称的点的坐标特点．13．【分析】过点F作FI⊥BC于点I，延长线IF交AD于J，根据含30°直角三角形的性质可求出FI、FJ和JH的长度，从而求出HD的长度．【详解】解：过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，∴FI=3，CI=∵JI=CD=6，∴JF=JI-FI=6-3=3，∵∠HFC=90°，∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，∴∠JFH=∠FCB=30°，设JH=x，则HF=2x，∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，∴x=，∴DH=DJ-JH=故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．14．(1)C（2，-2），D（3，2）(2)①15个

②k=4；【分析】(1)直接根据中心对称的坐标特征写出点C，D的坐标；(2)①直接根据图可得；②先根据四边形ABMN是平行四边形，先计算AB的解析式，可得k=4，再确定平行四边形ABMN内部(不包括边界)的整点的个数恰好为9个时的边界点H和P，将H和P两点的坐标代入MN的表达式中可得结论．(1)解：如图所示，C（2，-2），D（3，2）．(2)①如上图所示，平行四边形ABCD内部的整点有15个．②设AB的表达式为，∴

，

解得∴AB的表达式为：，依题意，可知，∴k=4．如下图，当直线MN过点（0，-1）时，平行四边形ABMN内部有8个整点，此时b=-1，当直线MN过点（1，1）时，平行四边形ABMN内部有9个整点，此时，1=4+b，即b=-3．综上，-3≤b<-1．【点睛】本题属于一次函数和平行四边形的综合题，考查了中心对称图形、待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握新定义“整点”，学会利用图像法，寻找特殊点解决问题．15．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF．证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．16．（1）①（2，0）；②（-1，2）；（2）（a+3，a+3）．【分析】（1）①根据定义，作出点B，可得结论．②根据定义，作出点A，可得结论．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K．构造全等三角形，可得结论．【详解】（1）①如图1,故答案为：（2，0）；②如图2,故答案为：（-1，2）．（2）如图3，过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K．∴∠E=∠E′FK，在△EHF和△FKE′中，，，∵E（-3，3），G（a，0），∴H（-3，0）．∴HF=∣a+3∣，EH=FK=3．∴E′K=∣a+3∣，OK=|a+3|故答案为：【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．（1）补图见详解；（2）135°；（3）AF=+CF，证明见详解．【分析】（1）将线段AB绕点B顺时针旋转α角度，在∠ABC任意转动α即可，连接AE并延长，过点C作CF⊥AE交AE延长线于点F，连接EC，DF即可补全图形．（2）根据旋转，可得△ABE和△BCE都为等腰三角形，∠ABE=α，，则∠EBC=90°-α，分别用α表示∠BEA和∠BEC，相加即可得到答案．（3）在AF上取AH=CF，然后证明△AHD≌△CFD，可以得到HD=DF，证明∠HDF=90°，所以△HDF为等腰直角三角形，HF=，根据图可得AF=HF+AH=+CF．【详解】解：（1）根据题意，可以画出图形，如图所示：（2）∵AB旋转到BE∴△ABE和△BCE都为等腰三角形∵∠ABE=α∴∠EBC=90°-α∴∠BEA=90°-α，∠BEC=45°+α，∵∠AEC=∠BEA+∠BEC∴∠AEC=90°-α+45°+α=135°（3）在AF上取AH=CF∵∠AOD=∠COF，∠ADO=∠OFC=90°∴∠DAH=∠DCF在△AHD和△CFD中∴△AHD≌△CFD∴∠ADH=∠CDF，DH=DF∵∠ADH+∠HDO=90°∴∠CDF+∠HDO=90°∴△HDF为等腰直角三角形∴HF=∵AF=AH+HF∴AF=CF+【点睛】本题主要考查了语句理解，画出图形，运用等腰三角形的性质求角度等知识点，合理的做辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．18．（1）①补全图形如图1，见解析；②BP＝QD，BP⊥QD；（2）见解析．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②证△AQD≌△APB（SAS），可得；（2）连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°，在Rt△BPD中，运用勾股定理即可解决问题；【详解】（1）①补全图形如图1：②如图1，延长BP，QD交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，∴∠QAD＝∠BAP，∴△AQD≌△APB（SAS），∴PB＝QD，∠AQD＝∠APB，∵∠APB+∠APH＝180°，∴∠AQD+∠APH＝180°，∵∠QAP+∠APH+∠AQD+∠QHP＝360°，∴∠QHP＝90°，∴BP⊥QD，故答案为：BP＝QD，BP⊥QD；（2）证明：连接BD，如图2，∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠1＝∠2．∴△ADQ≌△ABP（SAS），∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，∵在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，∴DP2+DQ2＝2AB2．【点睛】此题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．19．（1）详见解析；（2）1≤OA≤2【分析】（1）由已知可得PA⊥OA，PA＝1，由旋转的性质可得PC＝PA＝1，PC∥OA，CD＝AB＝1，即可根据旋转画出图形．（2）作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC，即可求出OA的取值范围．【详解】解：（1）∵OA＝1，OP＝，∠MON＝45°，∴PA⊥OA，PA＝1∴PC∥OA，PC＝1．由旋转性质可知：PC⊥CD，CD＝AB＝1，∴D正好落在OM上．补全图形，如图1所示．（2）如图2，作PE⊥OM交ON于点E，作EF⊥ON交OM于点F．∵OP＝，∠MON＝45°，∴OE＝2．由题意可知，当线段AB在射线ON上从左向右平移时，线段CD在射线EF上从下向上平移，且OA＝EC．如图2，当点D与点F重合时，OA取得最小值为1．如图3，当点C与点F重合时，OA取得最大值为2．综上所述，OA的取值范围是1≤OA≤2．【点睛】本题考查了射线的动点问题，掌握旋转的性质、线段平移的规律是解题的关键．20．（1）①详见解析；②详见解析；（2）当BN＝时，一定有EM＝EA，详见解析【分析】(1)①按照题中叙述画出图形即可;②如图2，连接AE，AM.由题意可知△ABC是等腰直角三角形，由旋转可知△DPE≌△BPN，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的四边形是矩形进行证明即可;(2)当BN=时，则有EM=EA.先证明四边形FMDE是矩形再证明FE垂直平分AM,从而可得出结论．【详解】解：（1）①补全图形如图1：②证明：如图2，连接AE，AM．由题意可知：D在BC上，△ABC是等腰直角三角形，则AM⊥BC，AM＝BC，∵将△BPN逆时针旋转90°得到△DPE，∴△DPE≌△BPN，∴DE＝BN＝BC，∠EDP＝∠PBD．∴∠EDB＝∠EDP+∠PDB＝∠PBD+∠PDB＝90°，∴ED⊥BC，∴ED∥AM，且ED＝AM，∴四边形AMDE为平行四边形．又∵AM⊥BC，∴∠AMD＝90°，∴四边形AMDE是矩形．（2）解：当BN＝时，一定有EM＝EA．证明：与（1）②同理，此时仍有△DPE≌△BPN，∴DE＝BN＝，DE⊥BC，取AM的中点F，连接FE，如图3所示：∵AB＝4，∴BC＝＝4∴AM＝BC＝2，∴FM＝．∴ED∥FM，且ED＝FM，∴四边形FMDE是平行四边形，又FM⊥BC，∴∠FMD＝90°，∴四边形FMDE是矩形．∴FE⊥AM，且FA＝FM＝，∴EA＝EM．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理及全等三角