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福建省福州市台江区重点名校2024届中考考前最后一卷数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.一组数据8,3,8,6,7,8,7的众数和中位数分别是()A.8,6B.7,6C.7,8D.8,72.某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动,每买100元商品可参加抽奖一次,中奖的概率为.小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会,则小张()A.能中奖一次 B.能中奖两次C.至少能中奖一次 D.中奖次数不能确定3.被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST的反射面总面积约为250000m2,则250000用科学记数法表示为()A.25×104m2 B.0.25×106m2 C.2.5×105m2 D.2.5×106m24.要使分式有意义,则x的取值应满足()A.x=﹣2 B.x≠2 C.x>﹣2 D.x≠﹣25.如图所示,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片,点D,E分别在边AB,AC上,将△ABC沿着DE折叠压平,A与A′重合,若∠A=70°,则∠1+∠2=()A.70° B.110° C.130° D.140°6.如图,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置,连接C′B,则C′B的长为()A. B. C. D.17.如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是()A. B. C. D.8.如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处,若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′,则tanB′的值为()A. B. C. D.9.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x﹣k)2+h.已知球与D点的水平距离为6m时,达到最高2.6m,球网与D点的水平距离为9m.高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m,则下列判断正确的是()A.球不会过网 B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界 D.无法确定10.如图,D是等边△ABC边AD上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E、F分别在AC、BC上,则CE:CF=()A. B. C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:),根据图中数据计算,这个几何体的表面积为__________.12.利用1个a×a的正方形,1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式________.13.若两个关于x,y的二元一次方程组与有相同的解,则mn的值为_____.14.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2017的值为____.15.二次根式中字母x的取值范围是_____.16.设[x)表示大于x的最小整数,如[3)=4,[−1.2)=−1,则下列结论中正确的是______.(填写所有正确结论的序号)①[0)=0;②[x)−x的最小值是0;③[x)−x的最大值是0;④存在实数x,使[x)−x=0.5成立.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)“六一”期间,小张购述100只两种型号的文具进行销售,其中A种型号的文具进价为10元/只,售价为12元,B种型号的文具进价为15元1只,售价为23元/只.(1)小张如何进货,使进货款恰好为1300元?(2)如果购进A型文具的数量不少于B型文具数量的倍,且要使销售文具所获利润不低于500元,则小张共有几种不同的购买方案?哪一种购买方案使销售文具所获利润最大?18.(8分)某数学教师为了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况,对该班部分学生进行了一学期的跟踪调查,将调查结果分为四类并给出相应分数,A:很好,95分;B:较好75分;C:一般,60分;D:较差,30分.并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图,请你根据统计图解答下列问题:(Ⅰ)该教师调查的总人数为,图②中的m值为;(Ⅱ)求样本中分数值的平均数、众数和中位数.19.(8分)为落实“垃圾分类”,环卫部门要求垃圾要按A,B,C三类分别装袋,投放,其中A类指废电池,过期药品等有毒垃圾,B类指剩余食品等厨余垃圾,C类指塑料,废纸等可回收垃圾.甲投放了一袋垃圾,乙投放了两袋垃圾,这两袋垃圾不同类.(1)直接写出甲投放的垃圾恰好是A类的概率;(2)求乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率.20.(8分)一个不透明的袋子中,装有标号分别为1、-1、2的三个小球,他们除标号不同外,其余都完全相同;搅匀后,从中任意取一个球,标号为正数的概率是;搅匀后,从中任取一个球,标号记为k,然后放回搅匀再取一个球,标号记为b,求直线y=kx+b经过一、二、三象限的概率.21.(8分)如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点A出发,以4cm/s的速度,沿A→B的路线向点B运动;过点P作PQ∥BD,与AC相交于点Q,设运动时间为t秒,0<t<1.(1)设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式;(2)若点Q关于O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N,当t为何值时,点P、M、N在一直线上?(3)直线PN与AC相交于H点,连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分四边形APMN的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)如图,在△ABC中,D为AC上一点,且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E,连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.(1)求证:AB是☉O的切线;(2)若∠A=60°,DF=,求☉O的直径BC的长.23.(12分)如图,点,在上,直线是的切线,.连接交于.(1)求证:(2)若,的半径为,求的长.24.如图,四边形ABCD中,E点在AD上,其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°,且BC=CE,求证:△ABC与△DEC全等.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】试题分析:根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.把这组数据从小到大排列:3,6,7,7,8,8,8,8出现了3次,出现的次数最多,则众数是8;最中间的数是7,则这组数据的中位数是7考点:(1)众数;(2)中位数.2、D【解析】
由于中奖概率为,说明此事件为随机事件,即可能发生,也可能不发生.【详解】解:根据随机事件的定义判定,中奖次数不能确定故选D.【点睛】解答此题要明确概率和事件的关系:,为不可能事件;为必然事件;为随机事件.3、C【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数.【详解】解:由科学记数法可知:250000m2=2.5×105m2,故选C.【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.4、D【解析】试题分析:∵分式有意义,∴x+1≠0,∴x≠﹣1,即x的取值应满足:x≠﹣1.故选D.考点:分式有意义的条件.5、D【解析】∵四边形ADA'E的内角和为(4-2)•180°=360°,而由折叠可知∠AED=∠A'ED,∠ADE=∠A'DE,∠A=∠A',∴∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE=360°-∠A-∠A'=360°-2×70°=220°,∴∠1+∠2=180°×2-(∠AED+∠A'ED+∠ADE+∠A'DE)=140°.6、C【解析】
延长BC′交AB′于D,根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′,利用勾股定理列式求出AB,然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D,然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.【详解】解:延长BC′交AB′于D,连接BB',如图,在Rt△AC′B′中,AB′=AC′=2,∵BC′垂直平分AB′,∴C′D=AB=1,∵BD为等边三角形△ABB′的高,∴BD=AB′=,∴BC′=BD-C′D=-1.故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.7、C【解析】试题分析:由题意可得BQ=x.①0≤x≤1时,P点在BC边上,BP=3x,则△BPQ的面积=BP•BQ,解y=•3x•x=;故A选项错误;②1<x≤2时,P点在CD边上,则△BPQ的面积=BQ•BC,解y=•x•3=;故B选项错误;③2<x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x,则△BPQ的面积=AP•BQ,解y=•(9﹣3x)•x=;故D选项错误.故选C.考点:动点问题的函数图象.8、D【解析】
过C点作CD⊥AB,垂足为D,根据旋转性质可知,∠B′=∠B,把求tanB′的问题,转化为在Rt△BCD中求tanB.【详解】过C点作CD⊥AB,垂足为D.根据旋转性质可知,∠B′=∠B.在Rt△BCD中,tanB=,∴tanB′=tanB=.故选D.【点睛】本题考查了旋转的性质,旋转后对应角相等;三角函数的定义及三角函数值的求法.9、C【解析】分析:(1)将点A(0,2)代入求出a的值;分别求出x=9和x=18时的函数值,再分别与2.43、0比较大小可得.详解:根据题意,将点A(0,2)代入得:36a+2.6=2,解得:∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网,当x=18时,∴球会出界.故选C.点睛:考查二次函数的应用题,求范围的问题,可以利用临界点法求出自变量的值,根据题意确定范围.10、B【解析】
解:由折叠的性质可得,∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD,又因∠A=∠B=60º,根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED∽△BDF所以,设AD=a,BD=2a,AB=BC=CA=3a,再设CE==DE=x,CF==DF=y,则AE=3a-x,BF=3a-y,所以整理可得ay=3ax-xy,2ax=3ay-xy,即xy=3ax-ay①,xy=3ay-2ax②;把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax,所以5ax=4ay,,即故选B.【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、【解析】分析:由主视图和左视图确定是柱体,锥体还是球体,再由俯视图确定具体形状,确定圆锥的母线长和底面半径,从而确定其表面积.详解:由主视图和左视图为三角形判断出是锥体,由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥;根据三视图知:该圆锥的母线长为6cm,底面半径为2cm,故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π(cm2).故答案为:16π.点睛:考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.12、a1+1ab+b1=(a+b)1【解析】试题分析:两个正方形的面积分别为a1,b1,两个长方形的面积都为ab,组成的正方形的边长为a+b,面积为(a+b)1,所以a1+1ab+b1=(a+b)1.点睛:本题考查了运用完全平方公式分解因式,关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系.13、1【解析】
联立不含m、n的方程求出x与y的值,代入求出m、n的值,即可求出所求式子的值.【详解】联立得:,①×2+②,得:10x=20,解得:x=2,将x=2代入①,得:1-y=1,解得:y=0,则,将x=2、y=0代入,得:,解得:,则mn=1,故答案为1.【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.14、1【解析】
把点(m,0)代入y=x2﹣x﹣1,求出m2﹣m=1,代入即可求出答案.【详解】∵二次函数y=x2﹣x﹣1的图象与x轴的一个交点为(m,0),∴m2﹣m﹣1=0,∴m2﹣m=1,∴m2﹣m+2017=1+2017=1.故答案为:1.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题,求代数式的值的应用,解答此题的关键是求出m2﹣m=1,难度适中.15、x≤1【解析】
二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数,即可求解.【详解】根据题意得:1﹣x≥0,解得x≤1.故答案为:x≤1【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质.性质:二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.16、④【解析】
根据题意[x)表示大于x的最小整数,结合各项进行判断即可得出答案.【详解】①[0)=1,故本项错误;②[x)−x>0,但是取不到0,故本项错误;③[x)−x⩽1,即最大值为1,故本项错误;④存在实数x,使[x)−x=0.5成立,例如x=0.5时,故本项正确.故答案是:④.【点睛】此题考查运算的定义,解题关键在于理解题意的运算法则.三、解答题(共8题,共72分)17、(1)A种文具进货40只,B种文具进货60只;(2)一共有三种购货方案,购买A型文具48只,购买B型文具52只使销售文具所获利润最大.【解析】
(1)设可以购进A种型号的文具x只,则可以购进B种型号的文具只,根据总价=单价×数量结合A、B两种文具的进价及总价,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出结论;(2)根据题意列不等式,解之即可得出x的取值范围,再根据一次函数的性质,即可解决最值问题.【详解】(1)设A种文具进货x只,B种文具进货只,由题意得:,解得:x=40,,答:A种文具进货40只,B种文具进货60只;(2)设购进A型文具a只,则有,且;解得:,∵a为整数,∴a=48、49、50,一共有三种购货方案;利润,∵,w随a增大而减小,当a=48时W最大,即购买A型文具48只,购买B型文具52只使销售文具所获利润最大.【点睛】本题主要考查了一次函数的实际问题,熟练掌握一次函数表达式的确定以及自变量取值范围的确定,最值的求解方法是解决本题的关键.18、(Ⅰ)25、40;(Ⅱ)平均数为68.2分,众数为75分,中位数为75分.【解析】
(1)由直方图可知A的总人数为5,再依据其所占比例20%可求解总人数;由直方图中B的人数为10及总人数可知m的值;(2)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可.【详解】(Ⅰ)该教师调查的总人数为(2+3)÷20%=25(人),m%=×100%=40%,即m=40,故答案为:25、40;(Ⅱ)由条形图知95分的有5人、75分的有10人、60分的有6人、30分的有4人,则样本分知的平均数为(分),众数为75分,中位数为第13个数据,即75分.【点睛】理解两幅统计图中各数据的含义及其对应关系是解题关键.19、(1)(2).【解析】
(1)根据总共三种,A只有一种可直接求概率;(2)列出其树状图,然后求出能出现的所有可能,及符合条件的可能,根据概率公式求解即可.【详解】解:(1)甲投放的垃圾恰好是A类的概率是.(2)列出树状图如图所示:由图可知,共有18种等可能结果,其中乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的结果有12种.所以,(乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类).即,乙投放的垃圾恰有一袋与甲投放的垃圾是同类的概率是.20、(1);(2)【解析】【分析】(1)直接运用概率的定义求解;(2)根据题意确定k>0,b>0,再通过列表计算概率.【详解】解:(1)因为1、-1、2三个数中由两个正数,所以从中任意取一个球,标号为正数的概率是.(2)因为直线y=kx+b经过一、二、三象限,所以k>0,b>0,又因为取情况:kb1-1211,11,-11,2-1-1,1-1,-1-1.222,12,-12,2共9种情况,符合条件的有4种,所以直线y=kx+b经过一、二、三象限的概率是.【点睛】本题考核知识点:求规概率.解题关键:把所有的情况列出,求出要得到的情况的种数,再用公式求出.21、(1)S=﹣2(0<t<1);(2);(3)见解析.【解析】
(1)如图1,根据S=S△ABC-S△APQ,代入可得S与t的关系式;
(2)设PM=x,则AM=2x,可得AP=x=4t,计算x的值,根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=,根据AM=AO+OM,列方程可得t的值;
(3)存在,通过画图可知:N在CD上时,直线PN平分四边形APMN的面积,根据面积相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.【详解】解:(1)如图1,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°,AC⊥BD,∴∠OAB=30°,∵AB=20,∴OB=10,AO=10,由题意得:AP=4t,∴PQ=2t,AQ=2t,∴S=S△ABC﹣S△APQ,=,=,=﹣2t2+100(0<t<1);(2)如图2,在Rt△APM中,AP=4t,∵点Q关于O的对称点为M,∴OM=OQ,设PM=x,则AM=2x,∴AP=x=4t,∴x=,∴AM=2PM=,∵AM=AO+OM,∴=10+10﹣2t,t=;答:当t为秒时,点P、M、N在一直线上;(3)存在,如图3,∵直线PN平分四边形APMN的面积,∴S△APN=S△PMN,过M作MG⊥PN于G,∴,∴MG=AP,易得△APH≌△MGH,∴AH=HM=t,∵AM=AO+OM,同理可知:OM=OQ=10﹣2t,t=10=10﹣2t,t=.答:当t为秒时,使得直线PN平分四边形APMN的面积.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质,对称的性质,三角形和四边形的面积,二次根式的化简等知识点,计算量大,解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.22、(1)证明过程见解析;(2)【解析】
(1)根据CB=CD得出∠CBD=∠CDB,然后结合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠B
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